[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la coplanarité dans l'espace, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si l'un d'eux peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres, lorsque ces deux derniers ne sont pas colinéaires.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement la caractérisation vectorielle de la coplanarité. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, alors $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : trois vecteurs sont coplanaires lorsque l'un est combinaison linéaire des deux autres. Cette caractérisation suppose simplement que les deux « vecteurs de référence » ne sont pas colinéaires (sinon ils ne définissent pas un plan).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, $\vec{w}$ est coplanaire avec eux si et seulement si $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ pour deux réels $a$ et $b$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w} = 2\vec{u} - 5\vec{v}$.

Affirmation : Les trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\vec{w}$ est une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : c'est précisément la condition pour que les trois vecteurs soient coplanaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de penser qu'il faut « voir » les vecteurs dans un même plan. La caractérisation vectorielle est plus simple : si $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$, alors les trois vecteurs sont automatiquement coplanaires.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $\vec{w} = 2\vec{u} - 5\vec{v}$, les trois vecteurs sont coplanaires par définition.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABCDEFGH$ est un cube.

Affirmation : Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont coplanaires.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Ces trois vecteurs correspondent aux trois arêtes du cube partant de $A$ : ils ne sont pas coplanaires, sinon le cube serait aplati.
On dit qu'ils forment une base de l'espace.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : si l'on pouvait écrire $\overrightarrow{AE} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AD}$, alors $E$ appartiendrait au plan $ABD$ (soit la base du cube). Or $E$ est sur l'arête verticale au-dessus de $A$.
Les trois vecteurs définissent au contraire les trois directions indépendantes du cube : c'est une base de l'espace.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les trois arêtes $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AE}$ du cube partant de $A$ ne sont pas coplanaires : elles forment une base de l'espace.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont tels que $\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}$, avec $A$, $B$, $C$ non alignés.

Affirmation : Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$A$, $B$, $C$ étant non alignés, ils définissent un plan unique $(ABC)$, et $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Comme $\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}$, le point $D$ se construit à partir de $A$ par une combinaison de vecteurs du plan $(ABC)$ : il y appartient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Caractérisation utile : $D$ appartient au plan $(ABC)$ si et seulement si $\overrightarrow{AD}$ s'écrit comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
C'est le cas ici, avec les coefficients $3$ et $-2$, donc $D \in (ABC)$ et les quatre points sont coplanaires.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\overrightarrow{AD}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, donc $D$ appartient au plan $(ABC)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABCD$ est un tétraèdre. $I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ celui de $[AC]$ et $K$ celui de $[AD]$.

Affirmation : Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$, $\overrightarrow{IK}$ et $\overrightarrow{JK}$ sont coplanaires.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les trois points $I$, $J$, $K$ définissent un plan (s'ils sont non alignés). Tout vecteur formé par deux d'entre eux est inclus dans ce plan.
On peut aussi vérifier la relation de Chasles : $\overrightarrow{JK} = \overrightarrow{JI} + \overrightarrow{IK} = -\overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{IK}$, ce qui exprime $\overrightarrow{JK}$ comme combinaison linéaire des deux autres.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Trois vecteurs reliant trois points sont toujours coplanaires : leurs représentants sont contenus dans le plan défini par ces points.
Algébriquement, la relation de Chasles donne $\overrightarrow{JK} = \overrightarrow{IK} - \overrightarrow{IJ}$, qui est bien une combinaison linéaire.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La relation de Chasles donne $\overrightarrow{JK} = \overrightarrow{IK} - \overrightarrow{IJ}$, donc les trois vecteurs sont coplanaires.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABCDEFGH$ est un cube.

Affirmation : Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CG}$ sont coplanaires.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ engendrent le plan de la base $ABCD$ (vecteurs horizontaux non colinéaires).
$\overrightarrow{CG}$ est un vecteur vertical (arête montante du cube) : il n'est pas dans la direction de la base.
Donc $\overrightarrow{CG}$ ne peut pas s'écrire comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ : les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au piège : peu importe d'où partent les vecteurs, ce qui compte est leur direction.
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ donnent les deux directions horizontales, alors que $\overrightarrow{CG}$ donne la direction verticale. Aucune combinaison de directions horizontales ne peut produire une direction verticale.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ engendrent les directions horizontales, alors que $\overrightarrow{CG}$ est vertical : il n'est pas combinaison linéaire des deux premiers.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la coplanarité de vecteurs et les combinaisons linéaires dans l'espace. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $\vec{u}(1~;~2~;~-1)$, $\vec{v}(2~;~-1~;~3)$ et $\vec{w}(4~;~3~;~1)$. Le vecteur $\vec{w}$ est-il combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui, on a $\vec{w} = 2\vec{u} + \vec{v}$[/option]
[option]Non, le système n'a pas de solution[/option]
[option]Oui, on a $\vec{w} = \vec{u} + 2\vec{v}$[/option]
[option]Oui, on a $\vec{w} = 2\vec{u} - \vec{v}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
On cherche $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$, ce qui donne le système :
$a + 2b = 4$, $2a - b = 3$, $-a + 3b = 1$.
Les deux premières équations donnent $a = 2$ et $b = 1$. La troisième est vérifiée : $-2 + 3 = 1$.
Donc $\vec{w} = 2\vec{u} + \vec{v}$.[/reponse]
[reponse motif="Non, le système n'a pas de solution"]Non.
Le système possède bien une solution. Reprendre les deux premières équations en substitution pour trouver le couple $(a~;~b)$, puis vérifier la troisième.[/reponse]
[reponse motif="Oui, on a $\vec{w} = \vec{u} + 2\vec{v}$"]Non.
En testant ce couple : $1 \times \vec{u} + 2 \times \vec{v}$ donnerait $(1+4~;~2-2~;~-1+6) = (5~;~0~;~5)$, ce qui ne correspond pas à $\vec{w}$. Les coefficients sont inversés.[/reponse]
[reponse motif="Oui, on a $\vec{w} = 2\vec{u} - \vec{v}$"]Non.
Avec ce couple : $2\vec{u} - \vec{v} = (2-2~;~4+1~;~-2-3) = (0~;~5~;~-5)$, ce qui n'est pas $\vec{w}$. Vérifier le signe du coefficient de $\vec{v}$ dans la résolution du système.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Poser le système $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ coordonnée par coordonnée, résoudre les deux premières équations en $a$ et $b$, puis vérifier que la troisième est compatible.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$A$, $B$, $C$ sont trois points non alignés. On définit $D$ par $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$. Le point $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ?
[qcm]
[option]Non, $D$ est en dehors du plan $(ABC)$[/option]
[option correct="true"]Oui, car $\overrightarrow{AD}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans coordonnées numériques[/option]
[option]Oui, mais seulement si $ABCD$ est un parallélogramme[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un point $D$ appartient au plan $(ABC)$ si et seulement s'il existe deux réels $k$ et $k'$ tels que $\overrightarrow{AD} = k\overrightarrow{AB} + k'\overrightarrow{AC}$.
Ici $\overrightarrow{AD} = 1 \cdot \overrightarrow{AB} + 1 \cdot \overrightarrow{AC}$ : la décomposition existe avec $k = k' = 1$, donc $D$ est dans le plan.[/reponse]
[reponse motif="Non, $D$ est en dehors du plan $(ABC)$"]Non.
Un point $M$ appartient au plan $(ABC)$ dès que le vecteur $\overrightarrow{AM}$ s'écrit comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. Examiner si c'est le cas pour $\overrightarrow{AD}$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans coordonnées numériques"]Non.
La caractérisation de l'appartenance à un plan se fait vectoriellement, sans coordonnées : on regarde si $\overrightarrow{AD}$ est combinaison linéaire de deux vecteurs du plan.[/reponse]
[reponse motif="Oui, mais seulement si $ABCD$ est un parallélogramme"]Non.
La conclusion ne dépend pas de la nature du quadrilatère. Dès que $\overrightarrow{AD}$ s'écrit comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, le point $D$ est dans le plan $(ABC)$, indépendamment de toute autre propriété.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier si $\overrightarrow{AD}$ peut s'écrire $k\overrightarrow{AB} + k'\overrightarrow{AC}$ pour deux réels $k$ et $k'$. Si oui, $D$ appartient au plan $(ABC)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un cube $ABCDEFGH$, on pose $\vec{i} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{j} = \overrightarrow{AD}$ et $\vec{k} = \overrightarrow{AE}$. Le sommet $G$ est diagonalement opposé à $A$. Quelle est l'expression de $\overrightarrow{AG}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ ?
[qcm]
[option]$\vec{i} + \vec{j}$[/option]
[option]$\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$[/option]
[option correct="true"]$\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$[/option]
[option]$2\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
On décompose en passant par $C$ ou par $F$ :
$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$.
$G$ s'obtient à partir de $A$ en parcourant successivement les trois arêtes du cube.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{i} + \vec{j}$"]Non.
Cette décomposition correspond au vecteur $\overrightarrow{AC}$, qui reste dans la face $ABCD$. Pour atteindre $G$, il faut aussi monter d'une hauteur du cube.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$"]Non.
Le signe du deuxième terme est incorrect : pour passer de $A$ à $G$, on parcourt l'arête $\overrightarrow{AD}$ dans le sens positif, ce qui donne $+\vec{j}$.[/reponse]
[reponse motif="$2\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$"]Non.
Le coefficient de $\vec{i}$ est $1$, pas $2$ : on parcourt une seule arête de longueur $\vec{i}$ pour passer de $A$ à $B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer le déplacement $A \to G$ en trois arêtes successives du cube. Chaque arête correspond à un des vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ de la base.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient les vecteurs $\vec{u}(1~;~0~;~0)$, $\vec{v}(0~;~1~;~0)$ et $\vec{w}(2~;~3~;~0)$. Que peut-on dire de ces trois vecteurs ?
[qcm]
[option correct="true"]Ils sont coplanaires car $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$[/option]
[option]Ils ne sont pas coplanaires car ils ont trois directions différentes[/option]
[option]Ils forment une base de l'espace[/option]
[option]Ils sont tous colinéaires entre eux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On vérifie que $2\vec{u} + 3\vec{v} = (2~;~0~;~0) + (0~;~3~;~0) = (2~;~3~;~0) = \vec{w}$.
Comme $\vec{w}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, les trois vecteurs sont coplanaires (ils n'engendrent qu'un plan, pas tout l'espace).[/reponse]
[reponse motif="Ils ne sont pas coplanaires car ils ont trois directions différentes"]Non.
Avoir des coordonnées différentes ne signifie pas être non coplanaires. Tester si l'un des trois vecteurs s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres.[/reponse]
[reponse motif="Ils forment une base de l'espace"]Non.
Pour former une base de l'espace, les trois vecteurs doivent être non coplanaires. Ici, la troisième coordonnée est nulle pour les trois vecteurs, ce qui doit alerter.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont tous colinéaires entre eux"]Non.
Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est multiple de l'autre. Ici, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées non nulles ne se trouvent pas au même endroit).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester si l'un des trois vecteurs s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres : si oui, les vecteurs sont coplanaires.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\vec{u}(1~;~1~;~1)$, $\vec{v}(1~;~-1~;~0)$ et $\vec{w}(2~;~0~;~1)$. Le triplet $(\vec{u},~\vec{v},~\vec{w})$ forme-t-il une base de l'espace ?
[qcm]
[option]Oui, car les trois vecteurs ne sont pas colinéaires deux à deux[/option]
[option]Oui, car ils ont trois coordonnées non nulles[/option]
[option correct="true"]Non, car $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$[/option]
[option]Non, car le vecteur $\vec{u}$ a toutes ses coordonnées égales[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On teste si $\vec{w}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : on cherche $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.
Cela donne $a + b = 2$, $a - b = 0$ et $a = 1$. La résolution donne $a = b = 1$, et la troisième équation est vérifiée.
Donc $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ : les trois vecteurs sont coplanaires, ils ne forment pas une base.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car les trois vecteurs ne sont pas colinéaires deux à deux"]Non.
La non-colinéarité deux à deux ne suffit pas. Pour former une base, il faut que les trois vecteurs soient non coplanaires, c'est-à-dire qu'aucun ne soit combinaison linéaire des deux autres.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car ils ont trois coordonnées non nulles"]Non.
Avoir des coordonnées non nulles n'a aucun lien avec le caractère de base. Tester directement si $\vec{w}$ peut s'écrire comme combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car le vecteur $\vec{u}$ a toutes ses coordonnées égales"]Non.
La justification proposée n'est pas pertinente : le vecteur $\vec{i}(1~;~0~;~0)$ d'une base canonique a aussi des coordonnées particulières et fait pourtant partie d'une base. Tester la coplanarité des trois vecteurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour qu'un triplet forme une base, les trois vecteurs doivent être non coplanaires. Tester si l'un d'eux s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres : si oui, ce n'est pas une base.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On donne $A(1~;~0~;~1)$, $B(2~;~1~;~0)$ et $C(0~;~-1~;~2)$. Que peut-on dire de ces trois points ?
[qcm]
[option]Ils définissent un unique plan $(ABC)$[/option]
[option]Ils forment un triangle équilatéral[/option]
[option correct="true"]Ils sont alignés[/option]
[option]Impossible à déterminer sans plus d'informations[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule $\overrightarrow{AB}(1~;~1~;~-1)$ et $\overrightarrow{AC}(-1~;~-1~;~1)$.
On observe que $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés.[/reponse]
[reponse motif="Ils définissent un unique plan $(ABC)$"]Non.
Trois points définissent un plan unique seulement s'ils sont non alignés. Calculer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ et tester leur colinéarité avant de conclure.[/reponse]
[reponse motif="Ils forment un triangle équilatéral"]Non.
Avant de parler de triangle, il faut vérifier que les points sont non alignés. Tester la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : si elle est vraie, il n'y a pas de triangle.[/reponse]
[reponse motif="Impossible à déterminer sans plus d'informations"]Non.
Les coordonnées des trois points suffisent : calculer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ et tester si l'un est multiple de l'autre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis tester leur colinéarité avant de conclure sur la nature géométrique de la configuration.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]