[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les vecteurs de l'espace, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Dans l'espace, deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ ou $\vec{u} = k\vec{v}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est la définition de la colinéarité. La double formulation permet de couvrir le cas où l'un des deux vecteurs est nul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La définition de la colinéarité dans l'espace est identique à celle du plan : deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est multiple réel de l'autre.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition même de la colinéarité, valable aussi bien dans le plan que dans l'espace.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABCDEFGH$ est un cube.

Affirmation : Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{HG}$ sont colinéaires.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dans un cube, $ABGH$ est un rectangle. Les côtés $[AB]$ et $[HG]$ sont parallèles et de même longueur, donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{HG}$.
Deux vecteurs égaux sont en particulier colinéaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention : deux vecteurs ne sont pas obligés d'avoir la même origine pour être colinéaires. Ici les arêtes $[AB]$ et $[HG]$ sont parallèles et de même longueur, donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{HG}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Dans le cube, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{HG}$, donc les deux vecteurs sont colinéaires.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le vecteur nul $\vec{0}$ n'est colinéaire à aucun vecteur de l'espace.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l'espace, puisque pour tout vecteur $\vec{u}$, on peut écrire $\vec{0} = 0 \times \vec{u}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « vecteur nul » et « absence de direction » : le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, car $\vec{0} = 0 \times \vec{u}$ pour n'importe quel $\vec{u}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l'espace.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABCDEFGH$ est un cube.

Affirmation : Les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AG}$ sont colinéaires.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\overrightarrow{AC}$ est une diagonale de la face $ABCD$ : il est dans le plan de cette face.
$\overrightarrow{AG}$ est une diagonale du cube : il sort du plan $ABCD$.
Comme ces deux vecteurs n'ont pas la même direction, ils ne sont pas colinéaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de penser que ces deux vecteurs partent du même point $A$. Or, partir du même point ne suffit pas : il faut aussi que les directions coïncident.
Ici, $\overrightarrow{AC}$ est dans le plan de la base, alors que $\overrightarrow{AG}$ n'y est pas.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\overrightarrow{AC}$ est dans le plan $ABCD$, alors que $\overrightarrow{AG}$ ne l'est pas : leurs directions sont distinctes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABCD$ est un tétraèdre.

Affirmation : L'égalité $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$ est vraie.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, puis $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$.
La relation de Chasles s'applique de la même façon dans l'espace que dans le plan.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la relation de Chasles fonctionne aussi dans l'espace. Quand le point d'arrivée d'un vecteur coïncide avec le point de départ du suivant, on peut « enchaîner » les vecteurs, et ce, quel que soit le nombre de termes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est l'application répétée de la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ de l'espace tels que $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$.

Affirmation : Le vecteur $\vec{w}$ est colinéaire à $\vec{u}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\vec{w}$ est une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, mais cela ne signifie pas qu'il est colinéaire à $\vec{u}$.
Si $\vec{v}$ n'est pas colinéaire à $\vec{u}$, alors $-3\vec{v}$ apporte une « direction » que $\vec{u}$ seul ne peut pas donner.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « combinaison linéaire » et « colinéaire ». Pour que $\vec{w}$ soit colinéaire à $\vec{u}$, il faudrait pouvoir écrire $\vec{w} = k\vec{u}$ avec un seul coefficient. Or ici, le coefficient $-3$ devant $\vec{v}$ empêche cette écriture (sauf si $\vec{v}$ est lui-même colinéaire à $\vec{u}$, ce qui n'est pas précisé).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Une combinaison linéaire $2\vec{u} - 3\vec{v}$ n'est colinéaire à $\vec{u}$ que si $\vec{v}$ l'est aussi, ce qui n'est pas donné ici.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les vecteurs de l'espace et la colinéarité. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $A(1~;~2~;~3)$ et $B(4~;~0~;~5)$ deux points de l'espace. Quelles sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?
[qcm]
[option]$(5~;~2~;~8)$[/option]
[option correct="true"]$(3~;~-2~;~2)$[/option]
[option]$(-3~;~2~;~-2)$[/option]
[option]$(3~;~2~;~2)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ en soustrayant celles de $A$ à celles de $B$ :
$\overrightarrow{AB}(4-1~;~0-2~;~5-3) = \overrightarrow{AB}(3~;~-2~;~2)$.[/reponse]
[reponse motif="$(5~;~2~;~8)$"]Non.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ne s'obtiennent pas en additionnant les coordonnées des points. Il faut soustraire celles de l'origine $A$ à celles de l'extrémité $B$.[/reponse]
[reponse motif="$(-3~;~2~;~-2)$"]Non.
Le sens de la soustraction est inversé : le vecteur calculé ici est $\overrightarrow{BA}$. Pour $\overrightarrow{AB}$, retrancher les coordonnées de $A$ à celles de $B$.[/reponse]
[reponse motif="$(3~;~2~;~2)$"]Non.
La deuxième coordonnée a un problème de signe : $0 - 2 = -2$, pas $2$. Reprendre la soustraction coordonnée par coordonnée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : retrancher chaque coordonnée de $A$ à la coordonnée correspondante de $B$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les vecteurs $\vec{u}(2~;~-3~;~4)$ et $\vec{v}(4~;~-6~;~8)$ sont-ils colinéaires ?
[qcm]
[option]Non, car ils n'ont pas les mêmes coordonnées[/option]
[option]Oui, car $\vec{v} = -2\vec{u}$[/option]
[option correct="true"]Oui, car $\vec{v} = 2\vec{u}$[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître le repère[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On compare les coordonnées : $4 = 2 \times 2$, $-6 = 2 \times (-3)$ et $8 = 2 \times 4$.
Les trois rapports valent $2$, donc $\vec{v} = 2\vec{u}$ : les vecteurs sont colinéaires.[/reponse]
[reponse motif="Non, car ils n'ont pas les mêmes coordonnées"]Non.
Deux vecteurs colinéaires n'ont pas nécessairement les mêmes coordonnées : il suffit qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. Tester si chaque coordonnée de $\vec{v}$ est un multiple commun de la coordonnée de $\vec{u}$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $\vec{v} = -2\vec{u}$"]Non.
Le coefficient est positif : $-3$ multiplié par un nombre négatif donnerait un nombre positif, or la deuxième coordonnée de $\vec{v}$ est $-6$, négative. Le coefficient est donc positif.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître le repère"]Non.
La colinéarité se vérifie directement à partir des coordonnées dans n'importe quelle base : il suffit de chercher un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour vérifier la colinéarité, chercher un réel $k$ tel que chaque coordonnée de $\vec{v}$ soit égale à $k$ fois la coordonnée correspondante de $\vec{u}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(2~;~-4~;~6)$ et $B(8~;~2~;~-4)$. Quelles sont les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ ?
[qcm]
[option]$(10~;~-2~;~2)$[/option]
[option]$(3~;~3~;~-5)$[/option]
[option correct="true"]$(5~;~-1~;~1)$[/option]
[option]$(6~;~6~;~-10)$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités :
$x_I = \dfrac{2+8}{2} = 5$, $y_I = \dfrac{-4+2}{2} = -1$, $z_I = \dfrac{6+(-4)}{2} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$(10~;~-2~;~2)$"]Non.
Les coordonnées ont été additionnées sans diviser par $2$. La formule du milieu utilise la moyenne : il faut diviser chaque somme par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$(3~;~3~;~-5)$"]Non.
Une soustraction a remplacé l'addition : $\dfrac{8-2}{2} = 3$ donne le milieu de $\overrightarrow{AB}$, pas le milieu de $[AB]$. La formule du milieu est $\dfrac{x_A+x_B}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$(6~;~6~;~-10)$"]Non.
La soustraction $B - A$ a été utilisée à la place de la somme, et la division par $2$ a été oubliée. La formule du milieu est $\dfrac{x_A+x_B}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour le milieu $I$ de $[AB]$, calculer la moyenne arithmétique de chaque coordonnée : $\dfrac{x_A+x_B}{2}$, $\dfrac{y_A+y_B}{2}$, $\dfrac{z_A+z_B}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On donne $A(1~;~0~;~2)$, $B(3~;~2~;~0)$ et $C(5~;~4~;~-2)$. Que peut-on dire des points $A$, $B$ et $C$ ?
[qcm]
[option]Ils ne sont pas alignés car ils ne sont pas dans un même plan[/option]
[option correct="true"]Ils sont alignés car $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$[/option]
[option]Ils sont alignés car leurs coordonnées augmentent toutes[/option]
[option]On ne peut pas savoir sans tracer la figure[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule $\overrightarrow{AB}(2~;~2~;~-2)$ et $\overrightarrow{AC}(4~;~4~;~-4)$.
On a $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$, donc les vecteurs sont colinéaires : les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.[/reponse]
[reponse motif="Ils ne sont pas alignés car ils ne sont pas dans un même plan"]Non.
Trois points sont toujours coplanaires (ils définissent un plan, sauf s'ils sont alignés). Pour étudier l'alignement, il faut tester la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont alignés car leurs coordonnées augmentent toutes"]Non.
Une croissance des coordonnées ne suffit pas à prouver l'alignement. Il faut tester la colinéarité des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ en cherchant un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas savoir sans tracer la figure"]Non.
L'alignement se démontre par un calcul vectoriel : il suffit de comparer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sans avoir besoin d'une figure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour étudier l'alignement de trois points, calculer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ puis tester si ces vecteurs sont colinéaires.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $\vec{u}(3~;~-1~;~2)$. Quelles sont les coordonnées du vecteur $-2\vec{u}$ ?
[qcm]
[option]$(6~;~-2~;~4)$[/option]
[option correct="true"]$(-6~;~2~;~-4)$[/option]
[option]$(-6~;~-2~;~-4)$[/option]
[option]$(-1~;~-3~;~0)$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On multiplie chaque coordonnée par $-2$ :
$-2 \times 3 = -6$, $-2 \times (-1) = 2$, $-2 \times 2 = -4$.
Donc $-2\vec{u}(-6~;~2~;~-4)$.[/reponse]
[reponse motif="$(6~;~-2~;~4)$"]Non.
Le signe négatif du coefficient $-2$ a été oublié. Multiplier chaque coordonnée par $-2$ change le signe et double la valeur absolue.[/reponse]
[reponse motif="$(-6~;~-2~;~-4)$"]Non.
Une erreur de signe sur la deuxième coordonnée : $-2 \times (-1) = +2$, pas $-2$. Le produit de deux nombres négatifs est positif.[/reponse]
[reponse motif="$(-1~;~-3~;~0)$"]Non.
Une soustraction a remplacé la multiplication. La consigne est de multiplier chaque coordonnée par $-2$, pas de soustraire $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer les coordonnées de $k\vec{u}$, multiplier chaque coordonnée de $\vec{u}$ par le réel $k$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On donne $A(0~;~1~;~-2)$ et $\overrightarrow{AB}(2~;~-1~;~3)$. Quelles sont les coordonnées du point $B$ ?
[qcm]
[option]$(2~;~-1~;~3)$[/option]
[option]$(-2~;~2~;~-5)$[/option]
[option]$(2~;~1~;~3)$[/option]
[option correct="true"]$(2~;~0~;~1)$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Comme $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A~;~y_B - y_A~;~z_B - z_A)$, on a $x_B = x_A + 2 = 2$, $y_B = y_A - 1 = 0$ et $z_B = z_A + 3 = 1$.
Donc $B(2~;~0~;~1)$.[/reponse]
[reponse motif="$(2~;~-1~;~3)$"]Non.
Les coordonnées proposées sont celles du vecteur $\overrightarrow{AB}$, pas celles du point $B$. Pour obtenir $B$, ajouter les coordonnées du vecteur à celles du point $A$.[/reponse]
[reponse motif="$(-2~;~2~;~-5)$"]Non.
Le sens de la relation est inversé : on a soustrait au lieu d'ajouter. Comme $\overrightarrow{AB} = B - A$, il faut écrire $B = A + \overrightarrow{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$(2~;~1~;~3)$"]Non.
La deuxième coordonnée pose problème : $1 + (-1) = 0$, pas $1$. Refaire l'addition coordonnée par coordonnée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
À partir de $\overrightarrow{AB}$ et de $A$, retrouver $B$ en utilisant la relation $B = A + \overrightarrow{AB}$ : ajouter chaque coordonnée du vecteur à la coordonnée correspondante du point.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]