[enonce]
Ce QCM porte sur le déterminant et la colinéarité de vecteurs. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$. Quelle est la valeur de $\det(\vec{u},\vec{v})$ ?
[qcm]
[option]$11$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$-11$[/option]
[option]$-1$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -5 - 6 = -11$.[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
La formule a été appliquée à l'envers. Le déterminant est $xy' - yx'$ et non $yx' - xy'$. Recalculer : $5 \times (-1) - 2 \times 3$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Les produits ont été additionnés au lieu d'être soustraits : $5 \times (-1) + 2 \times 3 = 1$. La formule du déterminant est $xy' - yx'$, avec un signe $-$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Vérifier les produits. Le déterminant est $xy' - yx' = 5 \times (-1) - 2 \times 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule du déterminant est $\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - yx'$ avec $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Que peut-on dire de ces vecteurs ?
[qcm]
[option]non colinéaires car $\det(\vec{u},\vec{v}) = 24$[/option]
[option correct="true"]colinéaires car $\det(\vec{u},\vec{v}) = 0$[/option]
[option]non colinéaires car $\det(\vec{u},\vec{v}) = -24$[/option]
[option]colinéaires car $\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 4 \times 3 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$.
Le déterminant est nul donc les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.[/reponse]
[reponse motif="non colinéaires car $\det(\vec{u},\vec{v}) = 24$"]Non.
Les deux produits ont été additionnés : $12+12 = 24$. La formule du déterminant utilise une soustraction : $xy' - yx'$.[/reponse]
[reponse motif="non colinéaires car $\det(\vec{u},\vec{v}) = -24$"]Non.
Recalculer le déterminant en appliquant la formule $xy' - yx' = 4 \times 3 - (-6) \times (-2)$.[/reponse]
[reponse motif="colinéaires car $\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}$"]Non.
La conclusion est correcte (les vecteurs sont colinéaires), mais la justification est fausse. $\vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \neq \vec{0}$. Pour justifier la colinéarité, calculer le déterminant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - yx'$. Si le résultat est $0$, les vecteurs sont colinéaires.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(1 ; 3)$, $B(3 ; 7)$ et $C(5 ; 11)$. Quelle est la valeur de $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ ?
[qcm]
[option]$32$[/option]
[option]$16$[/option]
[option]$-16$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}$.
$\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = 2 \times 8 - 4 \times 4 = 16-16 = 0$.
Les vecteurs sont colinéaires, donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.[/reponse]
[reponse motif="$32$"]Non.
Les produits ont été additionnés : $16+16=32$. La formule du déterminant utilise une soustraction, pas une addition.[/reponse]
[reponse motif="$16$"]Non.
C'est la valeur du premier produit $2 \times 8 = 16$, mais il faut en soustraire le second : $4 \times 4 = 16$.[/reponse]
[reponse motif="$-16$"]Non.
Recalculer en appliquant la formule dans le bon ordre : $2 \times 8 - 4 \times 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis appliquer la formule $\det = xy' - yx'$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 9 \\ k \end{pmatrix}$. Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ?
[qcm]
[option]$k = -6$[/option]
[option]$k = 18$[/option]
[option]$k = 3$[/option]
[option correct="true"]$k = 6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les vecteurs sont colinéaires si $\det(\vec{u},\vec{v}) = 0$.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 3k - 2 \times 9 = 3k - 18$.
$3k - 18 = 0$ donne $k = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$k = -6$"]Non.
Le signe est incorrect. L'équation $3k - 18 = 0$ donne $3k = 18$, soit $k = 6$ (positif).[/reponse]
[reponse motif="$k = 18$"]Non.
L'équation $3k = 18$ a été résolue sans diviser par $3$. Calculer $k = \dfrac{18}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 3$"]Non.
La division a été faite dans le mauvais sens. L'équation $3k = 18$ donne $k = \dfrac{18}{3}$, pas $\dfrac{3}{18}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Poser $\det(\vec{u},\vec{v}) = 0$, soit $3k - 2 \times 9 = 0$, et résoudre l'équation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

D'après la figure, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
[qcm]
[option]non, car $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) = 8$[/option]
[option correct="true"]oui, car $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) = 0$[/option]
[option]oui, car $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$[/option]
[option]non, car $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
$\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) = 2 \times 2 - 4 \times 1 = 4-4 = 0$.
Le déterminant est nul donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.[/reponse]
[reponse motif="non, car $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) = 8$"]Non.
Les produits ont été additionnés : $4+4 = 8$. La formule du déterminant utilise une soustraction : $2 \times 2 - 4 \times 1$.[/reponse]
[reponse motif="oui, car $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$"]Non.
La conclusion est correcte (les droites sont parallèles), mais la justification est fausse. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \neq \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. La bonne justification est que le déterminant est nul.[/reponse]
[reponse motif="non, car $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD}$"]Non.
Deux vecteurs non égaux peuvent tout de même être colinéaires. Le parallélisme se vérifie avec le déterminant, pas avec l'égalité des vecteurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$, puis calculer le déterminant. Si le déterminant est nul, les droites sont parallèles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A(-1 ; 3)$, $B(2 ; -1)$ et $C(5 ; 1)$. Quelle est la valeur de $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ ?
[qcm]
[option]$-30$[/option]
[option]$-18$[/option]
[option correct="true"]$18$[/option]
[option]$-6$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$.
$\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = 3 \times (-2) - (-4) \times 6 = -6-(-24) = -6+24 = 18$.
Le déterminant n'est pas nul, donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.[/reponse]
[reponse motif="$-30$"]Non.
Le signe de l'ordonnée de $\overrightarrow{AB}$ a été oublié dans le calcul. Recalculer : $-(-4) \times 6 = +24$ et non $-4 \times 6 = -24$.[/reponse]
[reponse motif="$-18$"]Non.
La formule a été appliquée à l'envers : $(-4) \times 6 - 3 \times (-2) = -24+6 = -18$. Vérifier l'ordre : c'est $xy' - yx'$.[/reponse]
[reponse motif="$-6$"]Non.
C'est seulement le premier produit $3 \times (-2) = -6$. Il faut en soustraire le second produit : $(-4) \times 6 = -24$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis appliquer $\det = xy' - yx'$ en faisant attention aux signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
On considère les points $P(1\,;\,0)$, $Q(3\,;\,1)$, $R(5\,;\,2)$, $S(2\,;\,3)$ et $T(5\,;\,-2)$ placés dans le repère orthonormé ci-dessous.

Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Les points $P$, $Q$ et $R$ sont alignés.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\overrightarrow{PQ} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{PR} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$. Le déterminant vaut $2 \times 2 - 1 \times 4 = 0$ : les vecteurs sont colinéaires, donc les trois points sont alignés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour vérifier l'alignement, on calcule le déterminant de $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$.
$\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}) = 2 \times 2 - 1 \times 4 = 4 - 4 = 0$.
Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires et les points $P$, $Q$, $R$ sont alignés.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}) = 2 \times 2 - 1 \times 4 = 0$, donc $P$, $Q$ et $R$ sont alignés.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\det\left(\overrightarrow{PQ},\, \overrightarrow{PS}\right) = 7$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\overrightarrow{PQ} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{PS} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$. Le déterminant vaut $2 \times 3 - 1 \times 1 = 6 - 1 = 5$, et non $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx'$, c'est une soustraction et non une addition.
$\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}) = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5$, et non $2 \times 3 + 1 \times 1 = 7$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}) = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les points $P$, $Q$ et $S$ sont alignés.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}) = 5 \neq 0$, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points ne sont pas alignés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Trois points sont alignés si et seulement si le déterminant de deux vecteurs formés par ces points est nul.
$\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}) = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5 \neq 0$ : les points ne sont pas alignés.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}) = 5 \neq 0$, donc $P$, $Q$ et $S$ ne sont pas alignés.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les vecteurs $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PT}$ ne sont pas colinéaires.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\overrightarrow{PQ} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{PT} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$. Le déterminant vaut $2 \times (-2) - 1 \times 4 = -4 - 4 = -8 \neq 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PT}) = 2 \times (-2) - 1 \times 4 = -4 - 4 = -8$.
Le déterminant n'est pas nul, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PT}) = -8 \neq 0$, donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \end{pmatrix}$.

Affirmation : $\det(\vec{u},\, \vec{v}) = 36$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 2 \times 9 - (-3) \times (-6) = 18 - 18 = 0$, et non $36$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc colinéaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention aux signes dans le produit $(-3) \times (-6)$ : le produit de deux nombres négatifs est positif, donc $(-3) \times (-6) = 18$.
$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 2 \times 9 - (-3) \times (-6) = 18 - 18 = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 18 - 18 = 0$. Les vecteurs sont colinéaires ($\vec{v} = -3\vec{u}$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les vecteurs $\overrightarrow{QT}$ et $\overrightarrow{QS}$ ne sont pas colinéaires.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\overrightarrow{QT} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{QS} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Le déterminant vaut $2 \times 2 - (-3) \times (-1) = 4 - 3 = 1 \neq 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$\overrightarrow{QT} \begin{pmatrix} 5-3 \\ -2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{QS} \begin{pmatrix} 2-3 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
$\det(\overrightarrow{QT}, \overrightarrow{QS}) = 2 \times 2 - (-3) \times (-1) = 4 - 3 = 1 \neq 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\det(\overrightarrow{QT}, \overrightarrow{QS}) = 4 - 3 = 1 \neq 0$, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
[/solution]
[/etape]