[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire pour les fonctions strictement monotones, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un réel $c \in [a\,;b]$ tel que $f(c) = k$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement l'énoncé du théorème des valeurs intermédiaires : la continuité sur un segment garantit que $f$ prend toute valeur intermédiaire entre $f(a)$ et $f(b)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le TVI est précisément l'énoncé décrit ici. Il garantit l'existence (au moins une) d'une solution, sans rien dire sur leur nombre exact.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Il s'agit de l'énoncé même du théorème des valeurs intermédiaires.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le théorème des valeurs intermédiaires affirme que l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;b]$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le TVI donne uniquement l'existence d'au moins une solution. L'unicité n'est obtenue que si l'on ajoute l'hypothèse de stricte monotonie, ce qui correspond au corollaire (parfois appelé « théorème de la bijection »).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre le TVI et son corollaire pour les fonctions strictement monotones.
Le TVI seul garantit l'existence d'au moins une solution. Pour conclure à l'unicité, il faut en plus que $f$ soit strictement monotone sur $[a\,;b]$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le TVI ne donne que l'existence ; l'unicité est apportée par le corollaire pour les fonctions strictement monotones.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue et strictement décroissante sur $[1\,;5]$ telle que $f(1) = 4$ et $f(5) = -2$.

Affirmation : L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $[1\,;5]$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La valeur $0$ est bien comprise entre $f(5) = -2$ et $f(1) = 4$. Comme $f$ est continue et strictement monotone sur $[1\,;5]$, le corollaire du TVI assure l'existence et l'unicité d'une solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention, la stricte monotonie change tout : elle apporte l'unicité en plus de l'existence.
Ici, $0$ est compris entre $-2$ et $4$, et $f$ est continue strictement monotone sur $[1\,;5]$ : le corollaire du TVI garantit une solution unique.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction est continue, strictement monotone, et $0$ est bien compris entre $f(1) = 4$ et $f(5) = -2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;2]$ par $f(x) = (x-1)^2$.

Affirmation : Puisque $f$ n'est pas monotone sur $[0\,;2]$, l'équation $f(x) = 0{,}25$ n'admet aucune solution dans cet intervalle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
La non-monotonie empêche d'utiliser le corollaire pour conclure à l'unicité, mais n'exclut absolument pas l'existence d'une solution. En découpant : sur $[0\,;1]$, $f$ décroît de $1$ à $0$ ; sur $[1\,;2]$, $f$ croît de $0$ à $1$ : la valeur $0{,}25$ est atteinte deux fois ($x = 0{,}5$ et $x = 1{,}5$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de confondre « pas de monotonie » et « pas de solution ». La non-monotonie empêche seulement l'utilisation directe du corollaire, mais on peut toujours appliquer le TVI sur des sous-intervalles où $f$ est monotone.
Ici, en posant $(x-1)^2 = 0{,}25$, on obtient $x - 1 = \pm 0{,}5$, soit $x = 0{,}5$ ou $x = 1{,}5$ : deux solutions dans $[0\,;2]$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'équation admet deux solutions ($x = 0{,}5$ et $x = 1{,}5$) ; la non-monotonie n'empêche pas l'existence, elle peut seulement multiplier les solutions.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + x - 5$.

Affirmation : L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La dérivée $f'(x) = 3x^2 + 1$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est strictement croissante. De plus, $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, donc $0$ est compris entre les deux limites. Le corollaire du TVI garantit une unique solution sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour montrer existence et unicité, on étudie le sens de variation et les limites aux bornes.
Ici $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Avec $\lim\limits_{-\infty} f = -\infty$ et $\lim\limits_{+\infty} f = +\infty$, le corollaire du TVI sur $\mathbb{R}$ donne une unique solution à $f(x) = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La dérivée $f'(x) = 3x^2 + 1$ étant strictement positive, $f$ est strictement croissante et le corollaire du TVI s'applique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur $[0\,;1]$ telle que $f(0) = -1$ et $f(1) = 2$.

Affirmation : L'équation $f(x) = 3$ admet nécessairement une solution dans $[0\,;1]$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La valeur $3$ n'est pas comprise entre $f(0) = -1$ et $f(1) = 2$ : le TVI ne s'applique pas pour cette valeur. Contre-exemple : $f(x) = 3x - 1$ vérifie $f(0) = -1$ et $f(1) = 2$, et atteint au plus $2$ sur $[0\,;1]$, sans jamais atteindre $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, le TVI n'assure l'existence d'une solution à $f(x) = k$ que si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$.
Ici $3$ n'est pas dans l'intervalle $[-1\,;2]$ : la fonction $f(x) = 3x - 1$ vérifie les hypothèses sans jamais atteindre $3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La valeur $3$ n'est pas comprise entre $f(0) = -1$ et $f(1) = 2$ ; le TVI ne donne aucune conclusion et un contre-exemple existe.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et son corollaire bijectif : conditions d'application, distinction entre existence et unicité, nombre de solutions d'une équation. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Pour pouvoir appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur $\left[a\,;\,b\right]$, l'hypothèse minimale à vérifier sur $f$ est :
[qcm]
[option correct="true"]$f$ est continue sur $\left[a\,;\,b\right]$[/option]
[option]$f$ est continue et strictement monotone sur $\left[a\,;\,b\right]$[/option]
[option]$f$ est dérivable sur $\left[a\,;\,b\right]$[/option]
[option]$f$ est positive sur $\left[a\,;\,b\right]$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le TVI ne réclame que la continuité de $f$ sur l'intervalle. Il garantit alors qu'au moins une solution existe pour toute valeur intermédiaire entre $f(a)$ et $f(b)$.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est continue et strictement monotone sur $\left[a\,;\,b\right]$"]Non.
Cette double hypothèse n'est pas requise par le TVI : elle correspond au corollaire (théorème de la bijection) qui apporte en plus l'unicité.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est dérivable sur $\left[a\,;\,b\right]$"]Non.
La dérivabilité est plus forte que la continuité, mais elle n'est pas nécessaire pour le TVI. Beaucoup de fonctions continues mais non dérivables peuvent être traitées par le TVI.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est positive sur $\left[a\,;\,b\right]$"]Non.
Le signe de $f$ n'intervient pas dans les hypothèses du TVI. Ce qui compte, c'est que la valeur cible $y_0$ soit comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Distinguer le TVI (existence : continuité seule) du corollaire (unicité : continuité + stricte monotonie).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur $\left[0\,;\,3\right]$ avec $f(0) = -1$ et $f(3) = 4$. Que peut-on affirmer ?
[qcm]
[option]L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\left[0\,;\,3\right]$[/option]
[option correct="true"]L'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution sur $\left[0\,;\,3\right]$[/option]
[option]L'équation $f(x) = 0$ n'admet aucune solution sur $\left[0\,;\,3\right]$[/option]
[option]L'équation $f(x) = 5$ admet une solution sur $\left[0\,;\,3\right]$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f$ est continue sur $\left[0\,;\,3\right]$ et $0$ est compris entre $f(0) = -1$ et $f(3) = 4$. D'après le TVI, l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution sur cet intervalle.[/reponse]
[reponse motif="L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\left[0\,;\,3\right]$"]Non.
Sans information sur la monotonie de $f$, on ne peut pas conclure à l'unicité. Le TVI seul donne l'existence, pas le nombre exact de solutions.[/reponse]
[reponse motif="L'équation $f(x) = 0$ n'admet aucune solution sur $\left[0\,;\,3\right]$"]Non.
Au contraire : $f(0)$ et $f(3)$ sont de signes contraires, donc la courbe doit forcément traverser l'axe des abscisses.[/reponse]
[reponse motif="L'équation $f(x) = 5$ admet une solution sur $\left[0\,;\,3\right]$"]Non.
La valeur $5$ n'est pas comprise entre $f(0) = -1$ et $f(3) = 4$. Le TVI ne s'applique donc pas pour cette valeur cible.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier les deux ingrédients du TVI : continuité sur l'intervalle, et valeur cherchée comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour passer du TVI au théorème de la bijection (qui assure l'unicité de la solution), l'hypothèse à ajouter sur $f$ est :
[qcm]
[option]$f$ dérivable[/option]
[option]$f$ positive[/option]
[option correct="true"]$f$ strictement monotone[/option]
[option]$f$ majorée[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La stricte monotonie garantit que $f$ ne peut pas « repasser » par une même valeur deux fois. Ajoutée à la continuité, elle assure l'unicité de la solution.[/reponse]
[reponse motif="$f$ dérivable"]Non.
Une fonction peut être dérivable sans être strictement monotone (par exemple $x \mapsto x^3 - x$ sur $\left[-2\,;\,2\right]$). La dérivabilité ne suffit donc pas à assurer l'unicité.[/reponse]
[reponse motif="$f$ positive"]Non.
La positivité ne dit rien sur le nombre de solutions. Une fonction positive peut très bien atteindre plusieurs fois la même valeur.[/reponse]
[reponse motif="$f$ majorée"]Non.
Être majorée n'empêche en rien une fonction de prendre plusieurs fois la même valeur. Cette hypothèse n'a rien à voir avec l'unicité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour qu'une équation $f(x) = y_0$ ait une unique solution, il faut empêcher la courbe de redescendre puis remonter au-dessus de $y_0$ : la monotonie stricte est ce qui exclut ces allers-retours.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue, strictement croissante sur $\mathbb{R}$ avec $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. L'équation $f(x) = 5$ admet :
[qcm]
[option]aucune solution[/option]
[option]au moins deux solutions[/option]
[option correct="true"]exactement une solution[/option]
[option]une infinité de solutions[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$f$ est continue et strictement monotone sur $\mathbb{R}$, et $5$ est compris entre les deux limites $-\infty$ et $+\infty$. Le corollaire du TVI (généralisé à un intervalle ouvert avec limites infinies) garantit donc une unique solution.[/reponse]
[reponse motif="aucune solution"]Non.
Comme la fonction balaie toutes les valeurs de $-\infty$ à $+\infty$ et qu'elle est continue, elle prend nécessairement la valeur $5$ quelque part.[/reponse]
[reponse motif="au moins deux solutions"]Non.
Une fonction strictement monotone ne peut jamais prendre la même valeur deux fois : une fois passée par $5$, elle continue à croître et s'éloigne définitivement.[/reponse]
[reponse motif="une infinité de solutions"]Non.
Avec une fonction strictement croissante, chaque valeur n'est atteinte qu'une seule fois. Une infinité de solutions est exclue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier les trois conditions du corollaire : continuité, stricte monotonie, valeur cherchée entre les limites aux bornes. Si elles sont toutes remplies, la conclusion est l'unicité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue sur $\left[0\,;\,2\right]$ telle que $f(0) = 3$ et $f(2) = 3$. Concernant l'équation $f(x) = 5$, on peut affirmer :
[qcm]
[option]elle admet exactement une solution[/option]
[option correct="true"]on ne peut pas conclure[/option]
[option]elle admet au moins une solution[/option]
[option]elle admet exactement deux solutions[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La valeur $5$ n'est pas comprise entre $f(0) = 3$ et $f(2) = 3$, donc le TVI ne s'applique pas. Cela ne signifie pas qu'il n'y a pas de solution : $f$ pourrait par exemple monter jusqu'à $7$ puis redescendre. Sans information complémentaire, aucune conclusion n'est possible.[/reponse]
[reponse motif="elle admet exactement une solution"]Non.
Le TVI ne donne pas l'existence ici (la valeur cible n'est pas entre $f(0)$ et $f(2)$) et même s'il s'appliquait, il ne donnerait pas l'unicité sans hypothèse de monotonie.[/reponse]
[reponse motif="elle admet au moins une solution"]Non.
Le TVI exige que la valeur cherchée soit comprise entre $f(a)$ et $f(b)$. Ici $5$ n'est pas entre $3$ et $3$, donc le TVI ne s'applique pas.[/reponse]
[reponse motif="elle admet exactement deux solutions"]Non.
Sans étude plus poussée (variations de $f$), affirmer un nombre exact de solutions est impossible. La fonction pourrait n'atteindre jamais $5$, ou l'atteindre plusieurs fois.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Premier réflexe : tester si la valeur cible est comprise entre $f(a)$ et $f(b)$. Si non, le TVI est silencieux et il faut d'autres informations pour conclure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le tableau de variation d'une fonction $f$ continue sur $\left[0\,;\,4\right]$ indique qu'elle est strictement décroissante de $5$ à $-3$ sur cet intervalle. Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur $\left[0\,;\,4\right]$ est :
[qcm]
[option correct="true"]exactement une[/option]
[option]aucune[/option]
[option]au moins deux[/option]
[option]exactement deux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$f$ est continue, strictement décroissante sur $\left[0\,;\,4\right]$, et $0$ est compris entre $f(0) = 5$ et $f(4) = -3$. Le corollaire du TVI assure une unique solution.[/reponse]
[reponse motif="aucune"]Non.
La fonction descend de $5$ à $-3$ : elle traverse forcément $0$ à un moment. L'absence de solution est exclue.[/reponse]
[reponse motif="au moins deux"]Non.
Une fonction strictement décroissante ne peut prendre la même valeur deux fois : elle continue à descendre. Au plus une solution est possible.[/reponse]
[reponse motif="exactement deux"]Non.
Avec une stricte monotonie, chaque valeur n'est atteinte qu'une seule fois. Deux solutions sont impossibles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les trois conditions du corollaire sont ici réunies : continuité, stricte monotonie, valeur cible entre les valeurs aux bornes. La conclusion est donc l'unicité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]