1. Pour ne pas surcharger la figure, seules les probabilités utilisées lors des questions suivantes ont été indiquées.

   
   • Au premier niveau (tirage de la première boule), l'urne contient $ n $ boules blanches sur un total de $ 3n $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc $ \dfrac{n}{3n} = \dfrac{1}{3} $.
     
     L'urne contient $ 2n $ boules rouges sur un total de $ 3n $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc $ \dfrac{2n}{3n} = \dfrac{2}{3} $.

   • Au second niveau (tirage de la seconde boule) :

     • Si l'on a tiré une boule blanche en premier , il reste alors $ n - 1 $ boules blanches sur un total de $ 3n - 1 $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors $ \dfrac{n - 1}{3n - 1} $.
     • ...
     • Si l'on a tiré une boule rouge en premier , il reste alors $ 2n - 1 $ boules rouges sur un total de $ 3n - 1 $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors $ \dfrac{2n - 1}{3n - 1} $.

   • Au troisième niveau (tirage de la troisième boule) :

     • Si l'on a tiré deux boules blanches lors des deux premiers tirages, il reste alors $ n - 2 $ boules blanches sur un total de $ 3n - 2 $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors $ \dfrac{n - 2}{3n - 2} $.
     • ...
     • Si l'on a tiré deux boules rouges lors des deux premiers tirages, il reste alors $ 2n - 2 $ boules rouges sur un total de $ 3n - 2 $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors $ \dfrac{2n - 2}{3n - 2} $.

2. $ X $ prend la valeur -16 si les trois boules sont blanches, c'est à dire avec une probabilité :

   $ p(X= - 16)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{n - 1}{3n - 1} \times \dfrac{n - 2}{3n - 2} $

   $ p(X= - 16)=\dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

   $ X $ prend la valeur 2 si les trois boules sont rouges, c'est à dire avec une probabilité :

   $ p(X=2)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2n - 1}{3n - 1} \times \dfrac{2n - 2}{3n - 2} $

   $ p(X=2)=\dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

   Dans les autres cas $ X $ prend la valeur $ 0 $.

   Le total des probabilités étant égal à $ 1 $ on obtient :

   $ p(X=0)=1 - p(X= - 16) - p(X=2) $

   $ p(X=0)=1 - \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} - \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

   $ p(X=0)=\dfrac{6n^2 - 4n}{(3n - 1)(3n - 2)} $

   La loi de probabilité de $ X $ est donc :

   $ x_i $	$ - 16 $	$ 0 $	$ 2 $
   $ p(X=x_i) $	$ \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $	$ \dfrac{6n^2 - 4n}{(3n - 1)(3n - 2)} $	$ \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

   L'espérance mathématique de $ X $ est :

   $ E(X)= - 16\times p(X= - 16)+0 \times p(X=0)+2 \times p(X=2) $

   $ \phantom{E(X)}= - 16\times \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} + 2 \times \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

   $ \phantom{E(X)}= - 16\times \dfrac{n^2 - 3n+2}{3(3n - 1)(3n - 2)} + 2 \times \dfrac{8n^2 - 12n+4}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

   $ \phantom{E(X)}=\dfrac{24n - 24}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

   $ \phantom{E(X)}=\dfrac{8(n - 1)}{(3n - 1)(3n - 2)} $

3. 1. La fonction $ f $ est définie et dérivable sur $ \left[1;+\infty \right[ $.

      $ f $ est de la forme $ \dfrac{u}{v} $ avec

      $ u(x)=x - 1 $ donc $ u ^{\prime}(x)=1 $

      $ v(x)=(3x - 1)(3x - 2)=9x^2 - 9x+2 $ donc $ v^{\prime}(x) = 18x - 9 $

      Par conséquent :

      $ f^{\prime}(x)=\dfrac{9x^2 - 9x+2 - (x - 1)(18x - 9)}{(3x - 1)(3x - 2))^2} $

      $ f^{\prime}(x)=\dfrac{ - 9x^2+18x - 7}{((3x - 1)(3x - 2))^2} $

      Le dénominateur est positif et le numérateur est un polynôme du second degré.

      $ \Delta = 18^2 - 4 \times 7 \times 9=72 > 0 $

      Le numérateur admet deux racines :

      $ x_1 = \dfrac{ - 18+6\sqrt{2}}{ - 18}= \dfrac{3 - \sqrt{2}}{3} $

      $ x_2 = \dfrac{ - 18 - 6\sqrt{2}}{ - 18}= \dfrac{3+\sqrt{2}}{3} $

      $ x_1 $ est inférieur à $ 1 $ et $ x_2 \approx 1{,}47 \in \left[1;+\infty \right[ $.

      On obtient le tableau de variations suivant sur $ \left[1;+\infty \right[ $ :

      
   2. D'après la question 2., $ E(X)=8f(n) $
      
      L'espérance mathématique est donc maximale pour la valeur de $ n $ qui maximise $ f(n) $.
      
      D'après la question précédente $ f $ est décroissante sur $ \left[x_2;+\infty\right[ $ donc sur $ \left[2;+\infty\right[ $ puisque $ x_2 < 2 $.
      
      Les seules valeurs entières susceptibles de maximiser $ f $ sont donc $ 1 $ ou $ 2 $.
      
      Or $ f(1)=0 $ et $ f(2)=\dfrac{1}{20} $.
      
      Donc, l'espérance mathématique est maximale pour $ n=2 $ c'est à dire si l'urne contient $ 2 $ boules blanches et $ 4 $ boules rouges.
      
      Cette espérance vaut alors $ E(X)=8f(2)=\dfrac{8}{20}=0{,}4 $

Pour réviser : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire

Partie A

On note $ A $ l'événement « le joueur tire une boule de l'urne A » et $ B $ l'événement « le joueur tire une boule de l'urne B ». Comme le dé est équilibré :

L'urne A contient $ 4 $ rouges parmi $ 10 $ boules et l'urne B contient $ 1 $ rouge parmi $ 10 $ boules :

Les événements $ A $ et $ B $ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$ p\left(R\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(R\right)+p\left(B\right)\times p_{B}\left(R\right) $

$ p\left(R\right)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{4}{10}+\dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{10}=\dfrac{4}{60}+\dfrac{5}{60}=\dfrac{9}{60} $

D'où $\mathbf{p\left(R\right)=0{,}15}$.

Partie B

1. Les deux épreuves sont indépendantes et identiques. À chaque épreuve, $ p\left(R\right)=0{,}15 $ et $ p\left(\overline{R}\right)=0{,}85 $.

   $ G $ prend la valeur $ 2x $ lorsque le joueur obtient deux boules rouges :

   $ p\left(G=2x\right)=0{,}15\times 0{,}15=0{,}0225 $

   $ G $ prend la valeur $ x-2 $ lorsque le joueur obtient une rouge et une noire (deux ordres possibles) :

   $ p\left(G=x-2\right)=2\times 0{,}15\times 0{,}85=0{,}255 $

   $ G $ prend la valeur $ -4 $ lorsque le joueur obtient deux boules noires :

   $ p\left(G=-4\right)=0{,}85\times 0{,}85=0{,}7225 $

   Vérification : $ 0{,}0225+0{,}255+0{,}7225=1 $.

   La loi de probabilité de $ G $ est donnée par le tableau :

   $ g_{i} $	$ 2x $	$ x-2 $	$ -4 $
   $ p\left(G=g_{i}\right) $	$ 0{,}0225 $	$ 0{,}255 $	$ 0{,}7225 $

2. Par définition de l'espérance :

   $ E\left(G\right)=2x\times 0{,}0225+\left(x-2\right)\times 0{,}255+\left(-4\right)\times 0{,}7225 $

   $ E\left(G\right)=0{,}045x+0{,}255x-0{,}51-2{,}89 $

   D'où $\mathbf{E\left(G\right)=0{,}3x-3{,}4}$.

3. On résout :

   $ E\left(G\right)\geqslant 0 \iff 0{,}3x-3{,}4\geqslant 0 \iff x\geqslant \dfrac{3{,}4}{0{,}3}=\dfrac{34}{3}\approx 11{,}33 $

   Comme $ x $ est un entier naturel non nul, le jeu est favorable au joueur (en moyenne) lorsque $\mathbf{x\geqslant 12}$.