QCM : Forme canonique et sommet d’une parabole

[enonce]
Ce QCM porte sur la forme canonique et le sommet d'une parabole. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x - 3)^2 + 2$. Quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole représentant $f$ ?
[qcm]
[option]$(-3~;~2)$[/option]
[option]$(3~;~-2)$[/option]
[option correct="true"]$(3~;~2)$[/option]
[option]$(2~;~3)$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ se lit directement : le sommet a pour coordonnées $(\alpha~;~\beta)$.
Ici $\alpha = 3$ et $\beta = 2$, donc le sommet est $(3~;~2)$.[/reponse]
[reponse motif="$(-3~;~2)$"]Non.
Attention au signe : dans $(x - \alpha)^2$, le terme à l'intérieur est $x - \alpha$, donc $\alpha$ est le nombre qu'on retranche à $x$. Ici on a $(x - 3)^2$, donc $\alpha = 3$, pas $-3$.[/reponse]
[reponse motif="$(3~;~-2)$"]Non.
L'abscisse est correcte, mais le signe de l'ordonnée est faux. Le terme constant est bien $+2$, pas $-2$.[/reponse]
[reponse motif="$(2~;~3)$"]Non.
Les coordonnées ont été inversées. L'abscisse du sommet correspond à la valeur qui annule le carré (donc $x = 3$), et l'ordonnée est le terme constant ajouté ensuite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans la forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, le sommet a pour coordonnées $(\alpha~;~\beta)$. Repérer soigneusement les signes dans l'expression donnée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la droite d'équation correspondant à l'axe de symétrie de la parabole d'équation $y = 2x^2 + 8x - 5$ ?
[qcm]
[option]$x = -8$[/option]
[option]$x = 2$[/option]
[option]$x = -4$[/option]
[option correct="true"]$x = -2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'axe de symétrie de la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ est la droite verticale $x = -\dfrac{b}{2a}$.
Ici $a = 2$ et $b = 8$, donc $x = -\dfrac{8}{2 \times 2} = -\dfrac{8}{4} = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$x = -8$"]Non.
La formule $-\dfrac{b}{2a}$ comporte un dénominateur $2a$ qu'il ne faut pas oublier. Reprendre le calcul en divisant par $2a$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 2$"]Non.
Le signe « moins » devant la fraction $\dfrac{b}{2a}$ a été oublié : comme $b = 8$ est positif, le résultat doit être négatif.[/reponse]
[reponse motif="$x = -4$"]Non.
Le dénominateur de la formule est $2a$, et non $a$. Avec $a = 2$, on divise par $4$, pas par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la formule $x = -\dfrac{b}{2a}$ en identifiant correctement les coefficients $a$ et $b$, puis en faisant attention au signe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ admet sur $\mathbb{R}$ :
[qcm]
[option]un minimum[/option]
[option correct="true"]un maximum[/option]
[option]ni maximum ni minimum[/option]
[option]à la fois un maximum et un minimum[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le coefficient dominant est $a = -1 < 0$ : la parabole est donc tournée vers le bas et admet un maximum à son sommet.[/reponse]
[reponse motif="un minimum"]Non.
Une parabole admet un minimum seulement si elle est tournée vers le haut, c'est-à-dire si $a > 0$. Ici, le signe du coefficient dominant est différent.[/reponse]
[reponse motif="ni maximum ni minimum"]Non.
Une parabole admet toujours un extremum (au sommet). Observer le signe de $a$ pour déterminer s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.[/reponse]
[reponse motif="à la fois un maximum et un minimum"]Non.
Une parabole n'a qu'un seul extremum (son sommet). Un seul des deux, maximum ou minimum, selon l'orientation de la parabole.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le signe du coefficient $a$ détermine l'orientation de la parabole : $a > 0$ donne un minimum, $a < 0$ donne un maximum.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 6x + 7$ ?
[qcm]
[option]$(6~;~-2)$[/option]
[option correct="true"]$(3~;~-2)$[/option]
[option]$(-3~;~-2)$[/option]
[option]$(3~;~2)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'abscisse du sommet est $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2} = 3$.
L'ordonnée est $\beta = f(3) = 3^2 - 6 \times 3 + 7 = 9 - 18 + 7 = -2$.
Le sommet est donc $(3~;~-2)$.[/reponse]
[reponse motif="$(6~;~-2)$"]Non.
L'abscisse utilise la formule $-\dfrac{b}{2a}$, pas $-b$. Penser à diviser par $2a$.[/reponse]
[reponse motif="$(-3~;~-2)$"]Non.
Attention au signe : $-\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2} = +3$ (et non $-3$), car le signe « moins » devant $b$ s'annule avec le signe de $b = -6$.[/reponse]
[reponse motif="$(3~;~2)$"]Non.
L'abscisse est correcte, mais l'ordonnée est fausse. Reprendre le calcul de $f(3)$ en surveillant les signes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'abscisse du sommet est $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$, et l'ordonnée est $f(\alpha)$. Attention aux signes lors du remplacement.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La forme canonique de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 4x + 1$ est :
[qcm]
[option]$(x - 2)^2 - 3$[/option]
[option]$(x + 2)^2 + 1$[/option]
[option correct="true"]$(x + 2)^2 - 3$[/option]
[option]$(x + 4)^2 - 3$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2} = -2$ et $\beta = f(-2) = 4 - 8 + 1 = -3$.
La forme canonique est donc $f(x) = (x - (-2))^2 - 3 = (x + 2)^2 - 3$.[/reponse]
[reponse motif="$(x - 2)^2 - 3$"]Non.
Le signe dans la parenthèse est faux. Dans la forme $(x - \alpha)^2$, on a $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -2$, donc $(x - (-2))^2 = (x + 2)^2$.[/reponse]
[reponse motif="$(x + 2)^2 + 1$"]Non.
L'abscisse $\alpha = -2$ est correcte, mais l'ordonnée $\beta$ n'est pas $c$. Il faut calculer $\beta = f(\alpha)$, et non prendre directement la constante $c$.[/reponse]
[reponse motif="$(x + 4)^2 - 3$"]Non.
Confusion entre $b$ et $\alpha$ : dans $(x - \alpha)^2$, on met $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$, et non $b$. Ici $\alpha = -2$, pas $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La forme canonique s'écrit $a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. Calculer soigneusement ces deux valeurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 5$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$. Que vaut ce minimum ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$-1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le minimum est atteint en $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2} = 2$.
La valeur du minimum est $f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Attention : la valeur de $f$ en $0$ (c'est-à-dire $c$) n'est pas le minimum de la fonction. Le minimum est atteint en $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Confusion entre l'abscisse et l'ordonnée du sommet : $\alpha = 2$ est l'endroit où le minimum est atteint, mais la valeur du minimum est $f(\alpha)$, qu'il faut encore calculer.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Erreur de signe dans le calcul de $f(2)$. Reprendre : $2^2 - 4 \times 2 + 5 = 4 - 8 + 5$ (attention, on ajoute bien $5$ à la fin).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le minimum d'un trinôme $ax^2 + bx + c$ avec $a > 0$ est $f(\alpha)$ où $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$. Calculer d'abord $\alpha$, puis évaluer $f$ en $\alpha$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Forme canonique, somme et produit des racines

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la forme canonique et les relations entre coefficients et racines, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2(x - 1)^2 + 3$.

Affirmation : $f$ admet un minimum égal à $3$, atteint en $x = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f$ est donnée sous forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $a = 2$, $\alpha = 1$ et $\beta = 3$.
Comme $a > 0$, la fonction admet un minimum $\beta = 3$ atteint en $\alpha = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour une forme $a(x - \alpha)^2 + \beta$, l'extremum vaut $\beta$ et est atteint en $\alpha$. Le signe de $a$ détermine s'il s'agit d'un minimum ($a > 0$) ou d'un maximum ($a < 0$).
Ici $a = 2 > 0$ : on a bien un minimum, égal à $3$, en $x = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La forme canonique $2(x - 1)^2 + 3$ avec $a = 2 > 0$ indique un minimum $\beta = 3$ atteint en $\alpha = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $g$ la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 - 6x + 5$.

Affirmation : Le minimum de $g$ sur $\mathbb{R}$ vaut $-4$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'abscisse du sommet est $x_S = -\dfrac{-6}{2} = 3$, et $g(3) = 9 - 18 + 5 = -4$.
Comme $a = 1 > 0$, la parabole est tournée vers le haut : $-4$ est bien le minimum de $g$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de confondre l'abscisse du sommet et la valeur du minimum. L'extremum s'obtient en calculant $g(x_S)$.
Ici $x_S = 3$ et $g(3) = 9 - 18 + 5 = -4$ : c'est bien le minimum.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Forme canonique : $g(x) = (x - 3)^2 - 4$. Le minimum vaut donc $-4$, atteint en $x = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La forme canonique de $h(x) = 2x^2 - 8x + 10$ est $h(x) = 2(x - 2)^2 + 2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On factorise $2$ dans les deux premiers termes : $h(x) = 2(x^2 - 4x) + 10 = 2\bigl((x - 2)^2 - 4\bigr) + 10 = 2(x - 2)^2 - 8 + 10 = 2(x - 2)^2 + 2$.
On peut vérifier en développant : $2(x - 2)^2 + 2 = 2(x^2 - 4x + 4) + 2 = 2x^2 - 8x + 10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas oublier de factoriser le coefficient $a$ avant de passer à la forme canonique.
En développant : $2(x - 2)^2 + 2 = 2x^2 - 8x + 8 + 2 = 2x^2 - 8x + 10$. La forme proposée est donc correcte.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $h(x) = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 10 = 2(x - 2)^2 - 8 + 10 = 2(x - 2)^2 + 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 - 7x + 12 = 0$ admet deux solutions dont la somme est $7$ et le produit $12$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour un trinôme $ax^2 + bx + c$ avec deux racines $x_1$ et $x_2$ : $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Ici $a = 1$, $b = -7$, $c = 12$ : la somme vaut $7$ et le produit $12$. (On retrouve d'ailleurs les racines $3$ et $4$.)[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention au signe de $b$ dans la formule de la somme : la somme vaut $-\dfrac{b}{a}$. Ici $b = -7$, donc $-\dfrac{-7}{1} = 7$.
Le produit vaut $\dfrac{c}{a} = 12$. Les deux relations sont donc correctes.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Somme des racines $= -\dfrac{b}{a} = 7$, produit $= \dfrac{c}{a} = 12$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : On considère un trinôme de la forme $x^2 + bx + c$ dont les racines sont $2$ et $-5$. Alors $b = -3$ et $c = -10$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La somme des racines vaut $2 + (-5) = -3$, et elle est égale à $-b$. Donc $b = 3$, et non $-3$.
Le produit vaut $2 \times (-5) = -10 = c$ : cette partie est correcte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur classique est d'oublier le signe « moins » dans la relation $x_1 + x_2 = -b$ (pour un trinôme $x^2 + bx + c$).
Somme $= -3 = -b$ donne $b = 3$ (et non $-3$). Le produit $-10 = c$ est par contre correct.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La somme vaut $-3 = -b$, donc $b = 3$ et non $-3$. Le produit $c = -10$ est lui correct. Le trinôme cherché est $x^2 + 3x - 10$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $a > 0$.

Affirmation : La fonction $f$ admet pour maximum $\beta$, atteint en $x = \alpha$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le signe du coefficient $a$ détermine la nature de l'extremum : avec $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut et $f$ admet un minimum $\beta$, pas un maximum.
C'est lorsque $a < 0$ que $\beta$ est un maximum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : la nature de l'extremum dépend du signe de $a$.
Pour $a > 0$, la parabole est ouverte vers le haut et $f$ admet un minimum égal à $\beta$, atteint en $\alpha$. Un maximum correspond au cas $a < 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Avec $a > 0$, $f$ admet un minimum égal à $\beta$ en $x = \alpha$. Le maximum correspond au cas $a < 0$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Polynômes du second degré

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 2x + 2$.

Affirmation : Le discriminant de $f$ est strictement négatif.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 1 \times 2 = 4 - 8 = -4 < 0$.
$\Delta$ est bien strictement négatif : la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention au signe : la formule du discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$ (avec un moins devant le produit $4ac$), pas $b^2 + 4ac$.
On obtient bien $\Delta = 4 - 8 = -4$, qui est strictement négatif.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 2 = 4 - 8 = -4 < 0$, donc la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Affirmation : Le sommet de la parabole représentant $f$ a pour coordonnées $(2~;~1)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
L'abscisse du sommet est $x_S = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2} = 2$, correct.
Mais l'ordonnée vaut $f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$, et non $1$.
Le vrai sommet est donc $(2~;~-1)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de calculer $f(2)$ en oubliant un signe : $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$, pas $1$.
L'ordonnée annoncée ne correspond donc pas à celle du sommet.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'abscisse du sommet est bien $x_S = 2$, mais $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ : le sommet est en réalité $(2~;~-1)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$.

Affirmation : L'axe de symétrie de la parabole représentant $f$ est la droite d'équation $x = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'axe de symétrie d'une parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ est la droite $x = -\dfrac{b}{2a}$.
Ici : $x = -\dfrac{-4}{2 \times 2} = \dfrac{4}{4} = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre $-\dfrac{b}{a}$ et $-\dfrac{b}{2a}$ : c'est bien $2a$ au dénominateur, pas $a$.
L'axe de symétrie est donc $x = -\dfrac{-4}{4} = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'axe de symétrie est $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{4} = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

Parabole tournée vers le bas coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3

Affirmation : Le discriminant de $f$ est strictement positif.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts ($x = -1$ et $x = 3$), donc l'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions : $\Delta > 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le signe du discriminant se lit sur le nombre de points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses, et non sur l'orientation de la parabole.
Deux intersections $\Longleftrightarrow$ $\Delta > 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points distincts ($x = -1$ et $x = 3$), ce qui implique $\Delta > 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 2x + 5$.

Affirmation : La forme canonique de $f$ est $f(x) = (x+1)^2 + 5$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
En développant $(x+1)^2 + 5$, on obtient $x^2 + 2x + 1 + 5 = x^2 + 2x + 6$, ce qui est différent de $f(x) = x^2 + 2x + 5$.
La bonne forme canonique est $(x+1)^2 + 4$ (car il faut retrancher $1^2 = 1$ pour compenser le développement).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : quand on écrit $x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$, il faut bien retrancher $1^2 = 1$. La forme proposée oublie cette compensation.
Le développement donne donc un polynôme différent de $f$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En développant : $(x+1)^2 + 5 = x^2 + 2x + 6 \neq f(x)$. La bonne forme canonique est $(x+1)^2 + 4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -3x^2 + 4x - 1$.

Affirmation : $f$ possède un minimum sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le coefficient $a = -3 < 0$, donc la parabole est tournée vers le bas.
$f$ possède un maximum (et non un minimum) sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de conclure sans vérifier le signe du coefficient $a$.
Quand $a < 0$ la parabole est ouverte vers le bas : on a alors un maximum, pas un minimum.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient $a = -3 < 0$ signifie que la parabole est ouverte vers le bas : $f$ admet un maximum, et non un minimum.
[/solution]
[/etape]

Recherche du coût minimum

Le coût total, en euros, pour la fabrication d'un produit est donné par :

$ C\left(x\right)=0{,}01x^{2}+0{,}4x+9 $ avec $ x \in \left[0;100\right] $

où $ x $ est la quantité produite.

On se limite a une production de moins de 100 produits.

Le prix de vente unitaire est de 1{,}15 euros

Montrer que la fonction coût est croissante sur $ \left[0;100\right] $.

Pour quelle quantité le coût de production dépasse les 86 euros ?
Exprimer en fonction de la quantité $ x $,
1. la fonction recette $ R\left(x\right) $
2. la fonction bénéfice $ B\left(x\right) $
Étudier le sens de la variation de la fonction $ B $. En déduire la ou les quantités à produire pour réaliser un bénéfice maximal.
Étudier le signe de $ B\left(x\right) $. Pour quelles quantités produites est-on bénéficiaire ?
Le but de cette question est de montrer que le coût moyen minimum est atteint pour une production de 30 objets.
1. Calculer $ C\left(30\right) $, en déduire le coût moyen de production pour cette quantité.
2. Étudier le signe de $ C\left(x\right) - x $. En déduire que $ C\left(x\right) \geqslant x $ et résoudre l'équation : $ C\left(x\right)=x $
3. Quel est le coût moyen de production minimum ?

Corrigé

Le coefficient de $ x^{2} $ dans le polynôme $ C $ est $ a=0{,}01 > 0 $. $ C $ admet donc un minimum pour

$ x_{0}= - \dfrac{b}{2a}= - \dfrac{0{,}4}{2\times 0{,}01}= - 20 $.

La fonction $ x \mapsto 0{,}01x^{2}+0{,}4x+9 $ est donc strictement croissante sur $ \left[ - 20 ; +\infty \right[ $ et par conséquent elle est strictement croissante sur $ \left[0 ; 100\right] $. Le coût de production dépasse les 86 euros lorsque :

$ 0{,}01x^{2}+0{,}4x+9 > 86 $

$ 0{,}01x^{2}+0{,}4x - 77 > 0 $

$ \Delta = b^{2} - 4ac = 0{,}4^{2} - 4\times 0{,}01\times \left( - 77\right) = 3{,}24 $

$ \sqrt{\Delta }=1{,}8 $

$ x_{1} = \dfrac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{ - 0{,}4+1{,}8}{2\times 0{,}01} = 70 $

$ x_{2} = \dfrac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{ - 0{,}4 - 1{,}8}{2\times 0{,}01} = - 110 $

Donc $ 0{,}01x^{2}+0{,}4x - 77 > 0 $ si et seulement si $ x > 70 $ (ou $ x < - 110 $ mais ici cette condition n'a pas de sens car $ x $ est une quantité positive) Le coût de production dépasse les 86 euros lorsque la quantité produite est supérieure à 70.
1. La recette est de 1{,}15 euros par produit vendu. Donc :
  
  $ R\left(x\right)=1{,}15x $
2. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de fabrication :
  
  $ B\left(x\right)=1{,}15x - \left(0{,}01x^{2}+0{,}4x+9\right)= - 0{,}01x^{2}+0{,}75x - 9 $
La fonction $ B $ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de $ x^{2} $ est strictement négatif. $ B $ admet donc un maximum pour $ x=\dfrac{ - b}{2a}=37{,}5 $ . $ B $ est croissante pour $ x < 37{,}5 $ et décroissante pour $ x > 37{,}5 $ Le bénéfice est maximum pour une quantité produite égale à 37 ou 38 unités.
Recherchons les racines de $ B $ :

Le discriminant vaut :

$ \Delta =b^{2} - 4ac = 0{,}75^{2} - 4 \times \left( - 0{,}01\right) \times \left( - 9\right) = 0{,}2025 $

$ \sqrt{\Delta } = \sqrt{0{,}2025} = 0{,}45 $

Les racines sont :

$ x_{1} = \dfrac{ - b+\sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{ - 0{,}75+0{,}45}{2\times \left( - 0{,}01\right)} = 15 $

$ x_{2} = \dfrac{ - b - \sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{ - 0{,}75 - 0{,}45}{2\times \left( - 0{,}01\right)} = 60 $

Le coefficient de $ x^{2} $ étant strictement négatif, $ B $ est positif (du signe opposé de a) entre les racines, c'est à dire qu'on est bénéficiaire lorsque la quantité produite est comprise entre 15 et 60 unités.
1. Le coût moyen est défini par :
  
  $ C_{m}=\dfrac{C\left(x\right)}{x} $ pour $\mathbf{x > 0}$.
  
  Calculons d'abord le coût total pour une production de 30 objets :
  
  $ C\left(30\right)=0{,}01\times 30^{2}+0{,}4\times 30+9= 30 $
  
  donc :
  
  $ C_{m}\left(30\right)=\dfrac{30}{30}=1 $
2. $ C\left(x\right) - x=0{,}01x^{2}+0{,}4x+9 - x=0{,}01x^{2} - 0{,}6x+9 $
  
  On utilise l'identité remarquable $ a^{2} - 2ab+b^{2}=\left(a - b\right)^{2} $ :
  
  $ C\left(x\right) - x=\left(0{,}1x - 3\right)^{2} $
  
  $ C\left(x\right) - x $ est un carré il est donc positif ou nul pour tout réel $ x $.
  
  $ C\left(x\right) - x\geqslant 0 $ entraine $ C\left(x\right)\geqslant x $ pour tout $ x $.
  
  $ C\left(x\right) - x=0 \Leftrightarrow \left(0{,}1x - 3\right)^{2}=0 \Leftrightarrow 0{,}1x - 3=0 \Leftrightarrow x=30 $
3. En divisant chaque membre de l'inégalité $ C\left(x\right)\geqslant x $ par $ x $ (qui est strictement positif) on obtient :
  
  $ \dfrac{C\left(x\right)}{x}\geqslant 1 $
  
  Le coût moyen de production est donc supérieur ou égal à 1 euro, quelque soit $ x $. D'après la question a., ce coût est égal à 1 euro pour $ x=30 $. On obtient donc un coût minimum de 1 euro pour une production de 30 unités.

Courbes trinômes du second degré

Associer chacune des fonctions suivantes à sa courbe représentative :

$ f\left(x\right) = 0{,}5 x^{2} + x - 3 $
$ g\left(x\right) = x^{2} + x + 1 $
$ h\left(x\right) = - 2x^{2} + 3x $

Corrigé

Il y a plusieurs façons de résoudre ce problème. On peut, par exemple, étudier la position du sommet de la parabole.

On sait en effet que l'abscisse du sommet de la parabole d'équation $ y=ax^{2}+bx+c $ est $ x_{0}= - \dfrac{b}{2a} $

Pour $ f $ : $ x_{0}= - \dfrac{1}{2\times 0{,}5}= - 1 $, ce qui correspond à la courbe $\mathbf{C_{2}}$.
Pour $ g $ : $ x_{0}= - \dfrac{1}{2\times 1}= - \dfrac{1}{2} $, ce qui correspond à la courbe $\mathbf{C_{1}}$.
Pour $ h $ : $ x_{0}= - \dfrac{3}{2\times \left( - 2\right)}=\dfrac{3}{4} $, ce qui correspond à la courbe $\mathbf{C_{3}}$.

Aire maximale

Sur la figure ci-dessus $ ABC $ est un triangle isocèle en $ C $, de base $ AB= 4 $ mètres et de hauteur $ 1 $ mètre.

$ P $ est un point de $ \left[AC\right] $ et $ PQRS $ est un rectangle.

Où faut-il placer le point $ P $ pour que l'aire du rectangle $ PQRS $ soit maximale ? Justifier votre réponse.

Corrigé

Traçons la hauteur $ \left[CH\right] $ et notons $ PS=x $

Les droites $ \left(CH\right) $ et $ \left(PS\right) $ sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès :

$ \dfrac{PS}{HC}=\dfrac{AS}{AH} $

$ \dfrac{x}{1}=\dfrac{AS}{2} $

Par conséquent : $ AS=2x $

$ SH=AH - AS=2 - 2x $ et $ SR=2SH=4 - 4x $

L'aire du rectangle $ PQRS $ est donc :

$ \mathscr A=SR\times PS=x\left(4 - 4x\right)= - 4x^{2}+4x $

C'est une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative est une parabole en forme de « U inversé ». Le sommet de cette parabole est atteint pour $ x= - \dfrac{b}{2a}= - \dfrac{4}{ - 8}=\dfrac{1}{2} $.

Par le théorème de Thalès appliqué dans le triangle $ ACH $ (puisque $ \left(PS\right) $ et $ \left(CH\right) $ sont parallèles), on a $ \dfrac{AP}{AC}=\dfrac{AS}{AH}=\dfrac{PS}{CH}=\dfrac{1}{2} $, donc $ AP=\dfrac{1}{2}AC $.

$ P $ est alors le milieu du segment $ \left[AC\right] $.

L'aire du rectangle $ PQRS $ est donc maximale lorsque $ P $ est le milieu du segment $ \left[AC\right] $.

Formes canonique et factorisée

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=x^{2}+2x - 8 $

Donner la forme canonique de $ f\left(x\right) $.
Factoriser $ f\left(x\right) $.
Parmi les formes développée, canonique et factorisée, choisissez la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes :
1. Calculer $ f\left(0\right) $.
2. Résoudre l'équation $ f\left(x\right)=0 $.
3. Déterminer le sommet de la parabole d'équation $ y=x^{2}+2x - 8 $.

Corrigé

$ x^{2}+2x $ est le début de l'identité remarquable $ x^{2}+2x+1=\left(x+1\right)^{2} $

On peut donc écrire :

$ f\left(x\right)=x^{2}+2x - 8=x^{2}+2x+1 - 9=\left(x+1\right)^{2} - 9 $

Cette dernière expression est la forme canonique de $ f $.

Remarque : On peut également trouver ce résultat grâce à la formule $ f\left(x\right)=a\left(x - \alpha \right)^{2}+\beta $ (voir Forme canonique).
$ f\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2} - 9=\left(x+1\right)^{2} - 3^{2} $

On utilise alors l'identité remarquable :$ a^{2} - b^{2}=\left(a+b\right)\left(a - b\right) $ :

$ f\left(x\right)=\left[\left(x+1\right)+3\right]\left[\left(x+1\right) - 3\right]=\left(x+4\right)\left(x - 2\right) $
1. La forme développée est ici la plus adaptée :
  
  $ f\left(0\right)=0^{2}+2\times 0 - 8 $ = $\mathbf{- 8}$
2. La forme factorisée est la plus adaptée ; elle conduit à une équation produit :
  
  $ \left(x+4\right)\left(x - 2\right)=0 \Leftrightarrow x+4=0 $ ou $ x - 2=0 $
  
  Les solutions sont donc $ x= - 4 $ ou $ x=2 $.
3. La forme canonique est la plus appropriée ici :
  
  $ \left(x+1\right)^{2} $ est toujours positif ou nul et s'annule pour $ x= - 1 $.
  
  Le minimum de $ f\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2} - 9 $ est donc atteint pour $ x= - 1 $ et vaut $ f\left( - 1\right)= - 9 $.
  
  Le sommet de la parabole d'équation $ y=x^{2}+2x - 8 $ est donc le point $\mathbf{A\left( - 1~;~ - 9\right)}$.

Forme canonique – Factorisation

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=x^{2} - 4x+3 $

Montrer que pour tout réel $ x $ : $ f\left(x\right)=\left(x - 2\right)^{2} - 1 $
$ f $ admet-elle un maximum ? un minimum ? Si oui lequel.
Factoriser $ f\left(x\right) $. Résoudre l'équation $ f\left(x\right)=0 $

Corrigé

$ f\left(x\right)=x^{2} - 4x+3=x^{2} - 4x+4 - 1 $

$ x^{2} - 4x+4 $ est une identité remarquable : $ x^{2} - 4x+4=\left(x - 2\right)^{2} $

Donc :

$ f\left(x\right)=\left(x - 2\right)^{2} - 1 $
$ \left(x - 2\right)^{2} $ est positif ou nul pour tout $ x \in \mathbb{R} $ donc :

$ \left(x - 2\right)^{2} - 1 \geqslant - 1 $

Par ailleurs $ f\left(2\right)= - 1 $ donc $ f $ admet un minimum égal à $ - 1 $, atteint pour $ x=2 $.

($ f $ n'admet pas de maximum.) On pouvait également utiliser le résultat du cours : comme le coefficient de $ x^{2} $ est positif, la fonction admet un minimum, atteint pour $ x= - \dfrac{b}{2a}=2 $.
$ \left(x - 2\right)^{2} - 1 $ est une identité remarquable du type $ a^{2} - b^{2} $.

$ \left(x - 2\right)^{2} - 1=\left[\left(x - 2\right) - 1\right]\left[\left(x - 2\right)+1\right]=\left(x - 3\right)\left(x - 1\right) $

$ f\left(x\right) $ est nul si et seulement si $ \left(x - 3\right)\left(x - 1\right)=0 $

C'est une « équation-produit ». Il y a deux solutions :

$ x - 3=0 $ c'est à dire $ x=3 $

$ x - 1=0 $ c'est à dire $ x=1 $

L'ensemble des solutions est $\mathbf{S=\left\{1~;~3\right\}}$.