[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la forme algébrique et les opérations dans $\mathbb{C}$, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tout nombre complexe $z = a + ib$ (avec $a, b$ réels), la partie imaginaire de $z$ est le nombre réel $b$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La partie imaginaire d'un complexe $z = a + ib$ est par définition le réel $b$, sans le facteur $i$. C'est un nombre réel, pas un imaginaire pur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention à ne pas confondre « partie imaginaire » et « terme en $i$ ». Dans l'écriture $z = a + ib$, la partie imaginaire est le coefficient $b$ (réel), pas $ib$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Par convention, la partie imaginaire d'un complexe est le réel qui multiplie $i$ dans son écriture algébrique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $i^{4} = -1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
On a $i^{2} = -1$, donc $i^{4} = (i^{2})^{2} = (-1)^{2} = 1$, et non $-1$. Les puissances de $i$ sont périodiques de période $4$ : $i^{0} = 1, i^{1} = i, i^{2} = -1, i^{3} = -i$, puis $i^{4} = 1$ à nouveau.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre $i^{2}$ et $i^{4}$. Le carré de $i$ vaut $-1$, mais le carré de $i^{2}$ donne $(-1)^{2} = +1$ : c'est le passage à une puissance paire d'un nombre négatif qui rend le résultat positif.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $i^{4} = (i^{2})^{2} = (-1)^{2} = 1$, et non $-1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $(1 + i)(1 - i) = 2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On reconnaît l'identité remarquable $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$ avec $a = 1$ et $b = i$ :
$(1 + i)(1 - i) = 1 - i^{2} = 1 - (-1) = 2$. Le résultat est bien réel.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est d'oublier de remplacer $i^{2}$ par $-1$. L'identité $(1 + i)(1 - i) = 1 - i^{2}$ donne $1 - (-1) = 2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est l'identité remarquable $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$ appliquée à $a = 1$ et $b = i$, qui donne $1 - i^{2} = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $5$ n'est pas un nombre complexe, car il n'a pas de partie imaginaire.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ : tout réel est aussi un complexe. Le nombre $5$ s'écrit $5 + 0i$ : sa partie imaginaire vaut $0$ (et non « pas de partie imaginaire »). Il appartient bien à $\mathbb{C}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : $\mathbb{R}$ est inclus dans $\mathbb{C}$. Un nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle ; il garde donc le statut de complexe.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ : le réel $5$ s'écrit $5 + 0i$ et est bien un nombre complexe.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $z$ un nombre complexe imaginaire pur non nul.

Affirmation : $z^{2}$ est aussi un imaginaire pur.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si $z = ib$ avec $b$ réel non nul, alors $z^{2} = (ib)^{2} = i^{2} b^{2} = -b^{2}$. Le résultat est un réel négatif, pas un imaginaire pur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le carré d'un imaginaire pur est un réel (négatif). En effet $(ib)^{2} = i^{2} b^{2} = -b^{2}$ : le facteur $i^{2}$ fait disparaître le caractère imaginaire pur.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Si $z = ib$ avec $b \neq 0$, alors $z^{2} = -b^{2}$ est un réel strictement négatif, pas un imaginaire pur.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout nombre complexe $z$, le nombre $z + \overline{z}$ est réel.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Avec $z = a + ib$, on a $\overline{z} = a - ib$, donc $z + \overline{z} = 2a$. Le résultat est bien un réel (égal à deux fois la partie réelle de $z$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Lors de l'addition de $z$ et $\overline{z}$, les parties imaginaires opposées s'annulent. Il reste $2a$, qui est réel.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $z + \overline{z} = 2 \, \text{Re}(z)$ est un réel.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur les opérations dans $\mathbb{C}$ : puissances de $i$, produits, quotients et identités remarquables. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La valeur de $i^{2026}$ est :
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$-1$[/option]
[option]$i$[/option]
[option]$-i$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les puissances de $i$ se répètent avec une période de $4$ : $i^{0} = 1$, $i^{1} = i$, $i^{2} = -1$, $i^{3} = -i$.
On effectue la division euclidienne de $2026$ par $4$ : $2026 = 4 \times 506 + 2$.
Donc $i^{2026} = i^{2} = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$i^{n} = 1$ correspond à un reste de $0$ dans la division par $4$. Or $2026 = 4 \times 506 + 2$, le reste est $2$, pas $0$.[/reponse]
[reponse motif="$i$"]Non.
$i^{n} = i$ correspond à un reste de $1$. Vérifier la division euclidienne : $2026 = 4 \times 506 + 2$, le reste est $2$.[/reponse]
[reponse motif="$-i$"]Non.
$i^{n} = -i$ correspond à un reste de $3$. Or $2026 \div 4$ a pour reste $2$, ce qui donne $i^{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les puissances de $i$ sont périodiques de période $4$. Calculer le reste de la division euclidienne de l'exposant par $4$ pour identifier la valeur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La forme algébrique de $\dfrac{1}{i}$ est :
[qcm]
[option]$i$[/option]
[option correct="true"]$-i$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$-1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On multiplie numérateur et dénominateur par $\overline{i} = -i$ pour rendre le dénominateur réel :
$\dfrac{1}{i} = \dfrac{1 \times (-i)}{i \times (-i)} = \dfrac{-i}{-i^{2}} = \dfrac{-i}{1} = -i$.[/reponse]
[reponse motif="$i$"]Non.
Erreur de signe. En multipliant par le conjugué, on obtient $\dfrac{-i}{1} = -i$ et non $+i$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$\dfrac{1}{i}$ n'est pas réel. Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué de $i$ pour obtenir la forme algébrique.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
On a peut-être confondu $\dfrac{1}{i}$ avec $i^{2}$. La technique correcte multiplie haut et bas par le conjugué de $i$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer $\dfrac{1}{z}$, multiplier numérateur et dénominateur par $\overline{z}$ : le dénominateur devient $|z|^{2}$ (réel).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La forme algébrique de $\dfrac{2 + i}{1 - i}$ est :
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i$[/option]
[option]$\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}i$[/option]
[option]$\dfrac{3 + i}{2}$[/option]
[option]$2 + i$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On multiplie haut et bas par le conjugué $\overline{1 - i} = 1 + i$ :
$\dfrac{(2 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{2 + 2i + i + i^{2}}{1 - i^{2}} = \dfrac{1 + 3i}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}i$"]Non.
Les rôles des parties réelle et imaginaire ont été inversés. Au numérateur on obtient $1 + 3i$, donc partie réelle $\dfrac{1}{2}$ et partie imaginaire $\dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3 + i}{2}$"]Non.
Une erreur s'est glissée dans le développement du numérateur. Reprendre $(2 + i)(1 + i)$ en distribuant chaque terme et en remplaçant $i^{2}$ par $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$2 + i$"]Non.
On semble avoir oublié l'étape de division. Multiplier numérateur et dénominateur par $1 + i$ pour rendre le dénominateur réel.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Méthode : multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, développer, remplacer $i^{2}$ par $-1$, et simplifier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La forme algébrique de $(1 + i)^{2}$ est :
[qcm]
[option]$1 + 2i$[/option]
[option correct="true"]$2i$[/option]
[option]$2 + 2i$[/option]
[option]$-2i$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On utilise l'identité remarquable $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ :
$(1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i - 1 = 2i$.
La partie réelle s'annule.[/reponse]
[reponse motif="$1 + 2i$"]Non.
On a oublié le terme $i^{2}$ dans le développement. L'identité remarquable donne trois termes : $1 + 2i + i^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$2 + 2i$"]Non.
On a remplacé $i^{2}$ par $+1$ au lieu de $-1$. Du coup la partie réelle vaut $1 + 1 = 2$ alors qu'elle devrait être $1 - 1 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$-2i$"]Non.
Erreur de signe sur le terme central : dans $(1 + i)^{2}$, le double produit vaut $+2i$ et non $-2i$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer avec l'identité $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$, puis remplacer $i^{2}$ par $-1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sous forme algébrique, $(2 + i)(2 - i)$ vaut :
[qcm]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$3$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$4 - i^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est l'identité $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$ avec $a = 2$ et $b = i$ :
$(2 + i)(2 - i) = 2^{2} - i^{2} = 4 - (-1) = 5$.
On reconnaît aussi $z \overline{z} = |z|^{2} = 4 + 1 = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
On a remplacé $i^{2}$ par $+1$ : on obtient alors $4 - 1 = 3$. Or $i^{2} = -1$, donc $-i^{2} = +1$ et le résultat vaut $4 + 1 = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
On a oublié le terme $-i^{2}$ qui contribue à la partie réelle. L'identité $(a + b)(a - b)$ donne $a^{2} - b^{2}$, pas $a^{2}$ tout seul.[/reponse]
[reponse motif="$4 - i^{2}$"]Non.
La forme algébrique attend un nombre réel $a + ib$ totalement simplifié. Il faut remplacer $i^{2}$ par $-1$ pour terminer le calcul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître $z \overline{z}$ avec $z = 2 + i$. On a alors $z \overline{z} = |z|^{2} = 2^{2} + 1^{2} = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $z = (1 + i)^{4}$. Sa partie réelle vaut :
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$-4$[/option]
[option]$0$[/option]
[option]$-4i$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule en deux étapes : $(1 + i)^{2} = 2i$, puis $(1 + i)^{4} = (2i)^{2} = 4i^{2} = -4$.
Le résultat est réel : sa partie réelle vaut $-4$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Erreur de signe sur $i^{2}$ : $(2i)^{2} = 4 \times i^{2} = 4 \times (-1) = -4$, et non $+4$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$(1 + i)^{4}$ ne vaut pas $0$. Calculer pas à pas : $(1 + i)^{2}$ d'abord, puis élever ce résultat au carré.[/reponse]
[reponse motif="$-4i$"]Non.
On confond $z$ avec sa partie réelle. Le calcul donne $z = -4$ qui est un nombre réel : sa partie réelle est $-4$ et sa partie imaginaire est $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Stratégie : calculer $(1 + i)^{2}$ avec l'identité remarquable, puis élever au carré. On exploite ainsi $(z^{2})^{2} = z^{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la forme algébrique d'un nombre complexe : reconnaissance des parties réelle et imaginaire, sommes, premiers produits et conditions d'égalité. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la partie imaginaire du nombre complexe $z = -3 + 5i$ ?
[qcm]
[option]$5i$[/option]
[option]$-3$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$-5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Si $z = a + ib$ avec $a$ et $b$ réels, la partie imaginaire de $z$ est le réel $b$. Ici $a = -3$ et $b = 5$, donc la partie imaginaire vaut $5$.[/reponse]
[reponse motif="$5i$"]Non.
La partie imaginaire est un nombre réel, pas un imaginaire pur. C'est le coefficient de $i$ dans l'écriture $a + ib$, sans le facteur $i$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
$-3$ correspond à la partie réelle de $z$. Bien distinguer la partie réelle (devant rien) et la partie imaginaire (devant $i$).[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Attention au signe : dans $-3 + 5i$, le coefficient de $i$ est $+5$ et non $-5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $z = a + ib$, la partie réelle est le réel $a$ et la partie imaginaire est le réel $b$ (sans le $i$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $z = (2 - 3i) + (5 + 7i)$. Sa forme algébrique est :
[qcm]
[option correct="true"]$7 + 4i$[/option]
[option]$-3 + 4i$[/option]
[option]$7 + 10i$[/option]
[option]$-3 + 10i$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On additionne séparément les parties réelles et les parties imaginaires :
$z = (2 + 5) + (-3 + 7)i = 7 + 4i$.[/reponse]
[reponse motif="$-3 + 4i$"]Non.
Le calcul $-3 + 7 = 4$ pour la partie imaginaire est correct, mais on a oublié d'additionner les parties réelles : $2 + 5$ vaut $7$, pas $-3$.[/reponse]
[reponse motif="$7 + 10i$"]Non.
Pour la partie imaginaire, il faut additionner $-3$ et $+7$ avec leur signe : $-3 + 7 = 4$, et non $3 + 7 = 10$.[/reponse]
[reponse motif="$-3 + 10i$"]Non.
Deux erreurs cumulées : la partie réelle s'obtient en ajoutant $2$ et $5$, et pour la partie imaginaire il faut conserver le signe de $-3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour additionner deux complexes, on additionne séparément les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles, en respectant les signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La forme algébrique de $z = 4i^{3} + 2i^{4}$ est :
[qcm]
[option]$-2 - 4i$[/option]
[option correct="true"]$2 - 4i$[/option]
[option]$2 + 4i$[/option]
[option]$4 + 2i$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On utilise $i^{2} = -1$, donc $i^{3} = i \times i^{2} = -i$ et $i^{4} = (i^{2})^{2} = 1$.
Ainsi $z = 4 \times (-i) + 2 \times 1 = -4i + 2 = 2 - 4i$.[/reponse]
[reponse motif="$-2 - 4i$"]Non.
$i^{4}$ vaut $1$ et non $-1$. En effet $i^{4} = (i^{2})^{2} = (-1)^{2} = 1$, donc $2i^{4} = 2$ (et non $-2$).[/reponse]
[reponse motif="$2 + 4i$"]Non.
Erreur de signe sur $i^{3}$ : $i^{3} = i \times i^{2} = i \times (-1) = -i$, donc $4i^{3} = -4i$ et non $+4i$.[/reponse]
[reponse motif="$4 + 2i$"]Non.
On a confondu le coefficient et la puissance de $i$. Il faut bien remplacer $i^{3}$ et $i^{4}$ par leur valeur dans $\mathbb{C}$ avant d'identifier parties réelle et imaginaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord les puissances de $i$ : $i^{2} = -1$, $i^{3} = -i$, $i^{4} = 1$. Puis remplacer dans l'expression et regrouper.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $z = (1 + i)(2 - i)$. Sa forme algébrique est :
[qcm]
[option]$1 + i$[/option]
[option]$1 + 3i$[/option]
[option correct="true"]$3 + i$[/option]
[option]$3 - i$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On développe en utilisant $i^{2} = -1$ :
$z = 1 \times 2 + 1 \times (-i) + i \times 2 + i \times (-i) = 2 - i + 2i - i^{2} = 2 + i + 1 = 3 + i$.[/reponse]
[reponse motif="$1 + i$"]Non.
Erreur sur $i^{2}$ : on a remplacé $i^{2}$ par $+1$ au lieu de $-1$. Ainsi $-i^{2}$ vaut $+1$ et non $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$1 + 3i$"]Non.
Les rôles de partie réelle et de partie imaginaire ont été inversés. Reprendre soigneusement le développement et regrouper séparément les termes réels et les termes en $i$.[/reponse]
[reponse motif="$3 - i$"]Non.
Erreur de signe sur la partie imaginaire : $-i + 2i = +i$, et non $-i$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer le produit en distribuant chaque terme, puis remplacer $i^{2}$ par $-1$ et regrouper les parties réelles et imaginaires.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quelle valeur du réel $x$ le complexe $z = (x - 2) + (x + 1)i$ est-il imaginaire pur (et non nul) ?
[qcm]
[option]$x = -1$[/option]
[option correct="true"]$x = 2$[/option]
[option]$x = -2$[/option]
[option]$x = 2$ ou $x = -1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$z$ est imaginaire pur (non nul) si et seulement si sa partie réelle est nulle et sa partie imaginaire est non nulle.
Partie réelle nulle : $x - 2 = 0$ donc $x = 2$.
Partie imaginaire non nulle : $x + 1 = 3 \neq 0$, donc la condition est vérifiée.[/reponse]
[reponse motif="$x = -1$"]Non.
On a annulé la partie imaginaire $x + 1 = 0$, ce qui rendrait $z$ réel et non imaginaire pur. Pour un imaginaire pur, c'est la partie réelle qui doit s'annuler.[/reponse]
[reponse motif="$x = -2$"]Non.
Erreur de signe en résolvant $x - 2 = 0$. On obtient $x = 2$ et non $x = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 2$ ou $x = -1$"]Non.
Une seule des deux conditions intervient : pour un imaginaire pur, la partie réelle doit s'annuler. La partie imaginaire, elle, ne doit pas s'annuler.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un complexe est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle vaut $0$ (et qu'il est non nul, donc partie imaginaire non nulle).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $z = a + bi$ et $z' = c + di$ deux nombres complexes (avec $a, b, c, d$ réels). On a $z = z'$ si et seulement si :
[qcm]
[option]$a + b = c + d$[/option]
[option]$a = c$ ou $b = d$[/option]
[option correct="true"]$a = c$ et $b = d$[/option]
[option]$a = d$ et $b = c$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'écriture algébrique d'un nombre complexe est unique : deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.[/reponse]
[reponse motif="$a + b = c + d$"]Non.
Cette condition n'identifie pas les parties réelles et imaginaires séparément. Par exemple $1 + 2i$ et $0 + 3i$ vérifient $1 + 2 = 0 + 3$ mais ne sont pas égaux.[/reponse]
[reponse motif="$a = c$ ou $b = d$"]Non.
Le « ou » est trop faible. Les deux égalités doivent être simultanément vraies pour que $z = z'$.[/reponse]
[reponse motif="$a = d$ et $b = c$"]Non.
On a échangé la partie réelle et la partie imaginaire. La partie réelle de $z$ doit égaler la partie réelle de $z'$, pas sa partie imaginaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'unicité de la forme algébrique impose une double égalité : parties réelles égales et parties imaginaires égales.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Exercice 1

Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :

1. $ A=\left(1+i\right)^{2} $
2. $ B=\dfrac{1+i}{1 - i} $
3. $ C=\dfrac{1}{1+i} - \dfrac{1}{1 - i} $

Exercice 2

On considère les nombres complexes $ u=3+i $ et $ v=1 - 2i $.
Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :

1. $ z_1 = uv $
2. $ z_2 = u^2 - v^2 $
3. $ z_3 = \dfrac{ u }{ v } $

Exercice 3

Soient deux réels $ x $ et $ y $ et le nombre complexe $ z = x+iy $.

1. Donner la forme algébrique de $ z^2. $
2. Pour quelle(s) valeur(s) de $ x $ et $ y $ le nombre $ z^2 $ est-il un nombre réel ?
3. Pour quelle(s) valeur(s) de $ x $ et $ y $ le nombre $ z^2 $ est-il un imaginaire pur ?

Exercice 4

On pose $ j = - \dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} $.

1. Calculer $ j^2 $ puis $ j^3 $.
2. En déduire les valeurs de $ j^{3n}, j^{3n+1} $ et $ j^{3n+2} $ pour tout entier naturel $ n $ .

Exercice 5

Résoudre dans $ \mathbb{C} $ l'équation : $ (1+i)z + i = 2iz + 1 $. On donnera la solution sous forme algébrique.

Exercice 6

Pour tout $ z \in \mathbb{C} $, on pose :

1. Montrer que $ P(i) = 0 $.

2. Démontrer qu'il existe un nombre complexe $ z_0 $ tel que, pour tout $ z \in \mathbb{C} $ :

   $ P(z)=(z - i)(z - z_0) $

   Résoudre dans $ \mathbb{C} $ l'équation $ P(z)=0 $.