Dépistage : prévalence et valeur prédictive

Un laboratoire commercialise un test rapide de dépistage d'une infection respiratoire. Les notices techniques indiquent que ce test :

est positif chez $ 90\,\% $ des personnes réellement infectées ;
est négatif chez $ 98\,\% $ des personnes non infectées.

On choisit une personne au hasard dans une population donnée. On note $ M $ l'événement « la personne est infectée » et $ T $ l'événement « le test est positif ».

Partie A — En période de faible circulation du virus

En dehors des pics épidémiques, on estime que $ 2\,\% $ de la population est infectée.

Préciser, à l'aide des notations $ p(M) $, $ p_M(T) $ et $ p_{\overline{M}}(T) $, les trois probabilités fournies par l'énoncé.
Construire un arbre pondéré décrivant cette situation.
Calculer la probabilité $ p(T) $ qu'une personne choisie au hasard ait un test positif.
Une personne vient d'obtenir un test positif. Calculer la probabilité $ p_T(M) $ qu'elle soit réellement infectée. Arrondir au millième.
Ce résultat peut surprendre. L'interpréter en une phrase.

Partie B — En période de pic épidémique

Pendant un pic épidémique, la proportion de personnes infectées dans la population atteint $ 25\,\% $. Les caractéristiques du test, elles, sont inchangées.

Calculer la nouvelle probabilité $ p(T) $.
Calculer la nouvelle valeur prédictive positive $ p_T(M) $. Arrondir au millième.
Comparer les deux valeurs de $ p_T(M) $ obtenues dans les parties A et B, puis expliquer ce qui fait varier la fiabilité d'un test positif.

Corrigé

Le test est positif chez $ 90\,\% $ des personnes infectées : c'est la sensibilité, soit $ p_M(T)=0{,}9 $. Il est négatif chez $ 98\,\% $ des personnes saines : c'est la spécificité, soit $ p_{\overline{M}}(\overline{T})=0{,}98 $, d'où $ p_{\overline{M}}(T)=1-0{,}98=0{,}02 $. Enfin la prévalence est $ p(M)=0{,}02 $.
On en déduit $ p_M(\overline{T})=1-0{,}9=0{,}1 $ et $ p(\overline{M})=1-0{,}02=0{,}98 $. L'arbre pondéré associé est :
Les événements $ M $ et $ \overline{M} $ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

$ p(T)=p(M)\times p_M(T)+p(\overline{M})\times p_{\overline{M}}(T) $

$ p(T)=0{,}02\times 0{,}9+0{,}98\times 0{,}02=0{,}018+0{,}0196 $

La probabilité qu'un test choisi au hasard soit positif est $\mathbf{p(T)=0{,}0376}$.
On cherche $ p_T(M) $, c'est-à-dire l'inversion du conditionnement connu $ p_M(T) $. D'après la formule de Bayes :

$ p_T(M)=\dfrac{p(M)\times p_M(T)}{p(T)}=\dfrac{0{,}02\times 0{,}9}{0{,}0376}=\dfrac{0{,}018}{0{,}0376} $

D'où $\mathbf{p_T(M)\approx 0{,}479}$.
Alors que le test semble très performant, une personne au test positif n'a qu'environ $ 47{,}9\,\% $ de chances d'être réellement infectée : un test positif sur deux est en réalité un faux positif, parce que la maladie est rare dans cette population.
La prévalence devient $ p(M)=0{,}25 $, donc $ p(\overline{M})=0{,}75 $. Les conditionnelles $ p_M(T)=0{,}9 $ et $ p_{\overline{M}}(T)=0{,}02 $ ne changent pas. La formule des probabilités totales donne :

$ p(T)=0{,}25\times 0{,}9+0{,}75\times 0{,}02=0{,}225+0{,}015 $

soit $\mathbf{p(T)=0{,}24}$.
La formule de Bayes donne la nouvelle valeur prédictive positive :

$ p_T(M)=\dfrac{0{,}25\times 0{,}9}{0{,}24}=\dfrac{0{,}225}{0{,}24} $

D'où $\mathbf{p_T(M)\approx 0{,}938}$.
La valeur prédictive positive passe d'environ $ 47{,}9\,\% $ (partie A) à environ $ 93{,}8\,\% $ (partie B). Pourtant la sensibilité et la spécificité du test sont restées identiques : seule la prévalence a augmenté. La fiabilité d'un test positif ne dépend donc pas seulement de la qualité du test, mais aussi de la fréquence de la maladie dans la population testée. Plus la maladie est répandue, plus un test positif est porteur d'information.

La technique d'inversion du conditionnement utilisée ici est détaillée dans la méthode inverser un conditionnement avec la formule de Bayes.

Vrai/Faux : Conditionnement, corrélation et causalité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur l'interprétation des probabilités conditionnelles (causalité, corrélation, tests diagnostiques), indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si deux événements $A$ et $B$ vérifient $p_A(B) > p(B)$, alors on peut affirmer que $A$ est une cause de $B$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'inégalité $p_A(B) > p(B)$ traduit une corrélation positive entre $A$ et $B$ : quand $A$ est réalisé, $B$ devient plus probable. Mais une corrélation n'établit jamais à elle seule une causalité : un troisième facteur peut influencer simultanément $A$ et $B$ (ex : la chaleur fait augmenter à la fois les ventes de glaces et les noyades).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas conclure trop vite : une probabilité conditionnelle plus grande mesure un lien statistique, pas un lien de cause à effet. Réfléchir à la possibilité d'un facteur extérieur agissant sur les deux événements.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'inégalité $p_A(B) > p(B)$ exprime une corrélation positive entre $A$ et $B$, mais en aucun cas une relation de cause à effet : une variable cachée peut expliquer le lien observé.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On observe sur une période donnée que les jours où le nombre de pompiers mobilisés est élevé sont aussi ceux où les dégâts d'incendie sont importants.

Affirmation : Puisque la corrélation entre « beaucoup de pompiers présents » et « dégâts importants » est forte, on peut en déduire que la présence des pompiers aggrave les incendies.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La corrélation observée s'explique par une variable cachée : la taille de l'incendie. Un grand feu provoque à la fois beaucoup de dégâts et la mobilisation de nombreux pompiers. Confondre corrélation et causalité conduit ici à une conclusion absurde.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « événements liés statistiquement » et « l'un cause l'autre ». Chercher un facteur commun susceptible d'expliquer la corrélation avant de conclure.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La taille de l'incendie est une variable cachée qui agit à la fois sur le nombre de pompiers et sur les dégâts : la corrélation n'implique pas la causalité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$A$ et $B$ sont deux événements d'un même univers, avec $p(A) > 0$.

Affirmation : Si tout résultat de $A$ est aussi un résultat de $B$ (autrement dit $A \subset B$ comme ensembles), alors $p_A(B) = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Si $A \subset B$, alors $A \cap B = A$, donc $p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)} = \dfrac{p(A)}{p(A)} = 1$. En revanche, la réciproque est fausse : $p_A(B) = 1$ signifie seulement que $B$ est réalisé presque sûrement quand $A$ l'est, ce qui n'oblige pas l'événement $A$ à être inclus dans $B$ au sens ensembliste.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Revenir à la définition de la probabilité conditionnelle et utiliser le fait que $A \cap B$ se simplifie quand $A$ est inclus dans $B$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Si $A \subset B$, alors $A \cap B = A$ et donc $p_A(B) = \dfrac{p(A)}{p(A)} = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un test diagnostique a une sensibilité de $99\,\%$ et une spécificité de $95\,\%$. La maladie touche $0{,}1\,\%$ de la population (soit une prévalence $p(M) = 0{,}001$). On note $T$ : « le test est positif » et $M$ : « la personne est malade ».

Affirmation : Comme le test est très sensible, une personne dont le test est positif a au moins $90\,\%$ de chances d'être réellement malade.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La probabilité de tester positif vaut, par la formule des probabilités totales,
$p(T) = p(M)\,p_M(T) + p(\overline{M})\,p_{\overline{M}}(T) = 0{,}001 \times 0{,}99 + 0{,}999 \times 0{,}05 \approx 0{,}0509$.
La formule de Bayes donne alors la valeur prédictive positive :
$p_T(M) = \dfrac{p(M)\,p_M(T)}{p(T)} \approx \dfrac{0{,}00099}{0{,}0509} \approx 0{,}019$, soit environ $1{,}9\,\%$.
La rareté de la maladie (prévalence) écrase la fiabilité apparente du test.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de confondre sensibilité $p_M(T)$ et valeur prédictive positive $p_T(M)$. Refaire le calcul en passant par $p(T)$ et la formule de Bayes, sans oublier que la maladie est rare.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La formule de Bayes donne $p_T(M) \approx 1{,}9\,\%$ : la faible prévalence rend la valeur prédictive positive très inférieure à la sensibilité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$A$ et $B$ sont deux événements de probabilités non nulles.

Affirmation : Conditionner par un événement ne peut jamais diminuer la probabilité : on a toujours $p_A(B) \geqslant p(B)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Conditionner peut au contraire réduire la probabilité. Exemple : on tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. Soit $B$ : « la carte est un roi » ($p(B) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$) et $A$ : « la carte est une dame ». Alors $A \cap B = \varnothing$ et $p_A(B) = 0 < p(B)$.
Plus généralement, $p_A(B)$ peut être plus petit, plus grand ou égal à $p(B)$ selon la corrélation entre $A$ et $B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Penser à un cas où $A$ rend $B$ moins probable, voire impossible. La probabilité conditionnelle peut très bien être inférieure à la probabilité initiale.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Selon le lien entre $A$ et $B$, la probabilité conditionnelle $p_A(B)$ peut être inférieure, égale ou supérieure à $p(B)$. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, on a même $p_A(B) = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On note $M$ : « être malade » et $T$ : « le test est positif ».

Affirmation : Dans le contexte d'un test diagnostique, la quantité $p_T(M)$ est appelée probabilité a priori de la maladie : c'est ce que l'on sait sur la maladie avant d'avoir effectué le test.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfaitement !
La probabilité a priori est $p(M)$ : la prévalence dans la population, connue avant d'effectuer le test. La quantité $p_T(M)$ est au contraire la probabilité a posteriori : elle réactualise l'estimation de risque après avoir observé un résultat positif. C'est précisément le rôle de la formule de Bayes que de passer de l'une à l'autre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Distinguer ce qu'on sait avant le test (information initiale) de ce qu'on en déduit après (information mise à jour). Le conditionnement par $T$ intervient toujours après avoir observé le résultat.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La probabilité a priori est $p(M)$ ; $p_T(M)$ est la probabilité a posteriori, obtenue après l'observation du résultat positif via la formule de Bayes.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Formule de Bayes et tests diagnostiques

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : formule de Bayes, tests diagnostiques (sensibilité, spécificité, VPP, VPN) et lecture de tableaux croisés. Choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Une maladie touche $2\,\%$ d'une population. Un test de dépistage est positif chez $90\,\%$ des malades et chez $5\,\%$ des personnes saines.
On note $M$ : « être malade » et $T$ : « le test est positif ».
Quelle est la probabilité $p(T)$ qu'un individu pris au hasard ait un test positif ?
[qcm]
[option]$0{,}9$[/option]
[option]$0{,}05$[/option]
[option correct="true"]$0{,}067$[/option]
[option]$0{,}049$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On applique la formule des probabilités totales avec la partition $\{M;\overline{M}\}$ :
$p(T)=p(M)\times p_M(T)+p(\overline{M})\times p_{\overline{M}}(T)$
$p(T)=0{,}02\times 0{,}9+0{,}98\times 0{,}05=0{,}018+0{,}049=0{,}067$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}9$"]Non.
Cette valeur est la sensibilité $p_M(T)$ du test, pas $p(T)$.
$p(T)$ se calcule en pondérant par les probabilités $p(M)$ et $p(\overline{M})$ via la formule des probabilités totales.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}05$"]Non.
Cette valeur est $p_{\overline{M}}(T)$, la probabilité d'un test positif chez une personne saine.
Pour obtenir $p(T)$, il faut prendre en compte les deux branches de l'arbre $M$ et $\overline{M}$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}049$"]Non.
Tu as calculé uniquement $p(\overline{M}\cap T)=0{,}98\times 0{,}05$ en oubliant la branche $M$.
La formule des probabilités totales additionne $p(M\cap T)$ et $p(\overline{M}\cap T)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut appliquer la formule des probabilités totales : $p(T)=p(M)\times p_M(T)+p(\overline{M})\times p_{\overline{M}}(T)$.
Avec les valeurs de l'énoncé, on obtient $0{,}02\times 0{,}9+0{,}98\times 0{,}05=0{,}067$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On reprend la situation précédente : $p(M)=0{,}02$, $p_M(T)=0{,}9$, $p_{\overline{M}}(T)=0{,}05$ et $p(T)=0{,}067$.
Une personne est testée positive. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade, à $10^{-3}$ près ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}269$[/option]
[option]$0{,}900$[/option]
[option]$0{,}018$[/option]
[option]$0{,}020$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On applique la formule de Bayes (inversion du conditionnement) :
$p_T(M)=\dfrac{p(M)\times p_M(T)}{p(T)}=\dfrac{0{,}02\times 0{,}9}{0{,}067}=\dfrac{0{,}018}{0{,}067}\approx 0{,}269$.
La rareté de la maladie fait chuter la VPP malgré une sensibilité élevée.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}900$"]Non.
$0{,}9$ est la sensibilité $p_M(T)$ du test, à ne pas confondre avec la valeur prédictive positive $p_T(M)$.
La sensibilité se lit dans le sens « test sachant malade », la VPP dans le sens inverse.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}018$"]Non.
$0{,}018=p(M\cap T)$ est la probabilité d'être à la fois malade et testé positif.
Pour obtenir $p_T(M)$, il faut encore diviser cette intersection par $p(T)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}020$"]Non.
$0{,}02$ est la prévalence $p(M)$, c'est-à-dire la probabilité a priori d'être malade.
La probabilité a posteriori $p_T(M)$ tient compte de l'information « test positif » via la formule de Bayes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule de Bayes donne $p_T(M)=\dfrac{p(M)\times p_M(T)}{p(T)}$.
Avec les valeurs de l'énoncé, $p_T(M)=\dfrac{0{,}018}{0{,}067}\approx 0{,}269$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans une étude portant sur $1\,000$ personnes, on a relevé les résultats d'un test de dépistage selon le statut de la maladie $M$ :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & M & \overline{M} & \textbf{Total} \\ \hline T & 45 & 38 & 83 \\ \hline \overline{T} & 5 & 912 & 917 \\ \hline \textbf{Total} & 50 & 950 & 1\,000 \\ \hline \end{array}$$

Quelle est la sensibilité du test, c'est-à-dire $p_M(T)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{45}{83}\approx 0{,}542$[/option]
[option]$\dfrac{45}{1\,000}=0{,}045$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{45}{50}=0{,}9$[/option]
[option]$\dfrac{5}{50}=0{,}1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La sensibilité est $p_M(T)=\dfrac{p(M\cap T)}{p(M)}$.
Dans la colonne $M$ : $50$ malades, dont $45$ ont un test positif.
$p_M(T)=\dfrac{45}{50}=0{,}9$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{45}{83}\approx 0{,}542$"]Pas tout à fait.
Tu as divisé par le total de la ligne $T$ ($83$) au lieu du total de la colonne $M$ ($50$).
Ce résultat correspond à la VPP $p_T(M)$, pas à la sensibilité.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{45}{1\,000}=0{,}045$"]Non.
Tu as divisé par l'effectif total ($1\,000$) au lieu de l'effectif des malades.
La sensibilité est une probabilité conditionnelle : on se restreint à la sous-population des malades.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{50}=0{,}1$"]Non.
$\dfrac{5}{50}$ est la probabilité d'un test négatif sachant qu'on est malade, c'est $p_M(\overline{T})$.
La sensibilité concerne le test positif chez les malades.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la sensibilité, on se place dans la sous-population des malades (colonne $M$) et on calcule la part de tests positifs.
Avec ce tableau, $p_M(T)=\dfrac{45}{50}=0{,}9$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On reprend le tableau précédent.

Une personne a un test positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit malade (valeur prédictive positive), à $10^{-3}$ près ?
[qcm]
[option]$0{,}900$[/option]
[option]$0{,}045$[/option]
[option]$0{,}458$[/option]
[option correct="true"]$0{,}542$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La VPP est $p_T(M)=\dfrac{p(M\cap T)}{p(T)}$.
Dans la ligne $T$ : $83$ tests positifs au total, dont $45$ chez des malades.
$p_T(M)=\dfrac{45}{83}\approx 0{,}542$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}900$"]Non.
$0{,}9$ est la sensibilité $p_M(T)$, pas la valeur prédictive positive.
Sensibilité et VPP sont deux conditionnelles inverses : il faut diviser par le bon total.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}045$"]Non.
Tu as divisé par l'effectif total $1\,000$ au lieu du total des tests positifs.
La VPP est une probabilité conditionnelle : on se restreint aux personnes testées positives.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}458$"]Non.
$\dfrac{38}{83}$ est la probabilité d'être sain sachant que le test est positif, c'est-à-dire $p_T(\overline{M})$.
La VPP concerne les malades parmi les positifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la VPP, on se place dans la ligne des tests positifs et on calcule la part des malades.
Avec ce tableau, $p_T(M)=\dfrac{45}{83}\approx 0{,}542$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On reprend le même tableau.

Quelle est la spécificité du test, c'est-à-dire $p_{\overline{M}}(\overline{T})$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{912}{917}\approx 0{,}995$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{912}{950}\approx 0{,}960$[/option]
[option]$\dfrac{912}{1\,000}=0{,}912$[/option]
[option]$\dfrac{38}{950}=0{,}040$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La spécificité est $p_{\overline{M}}(\overline{T})=\dfrac{p(\overline{M}\cap \overline{T})}{p(\overline{M})}$.
Dans la colonne $\overline{M}$ : $950$ personnes saines, dont $912$ ont un test négatif.
$p_{\overline{M}}(\overline{T})=\dfrac{912}{950}\approx 0{,}960$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{912}{917}\approx 0{,}995$"]Non.
Tu as lu en ligne (total $917$ des tests négatifs) au lieu de lire en colonne (total $950$ des personnes saines).
La spécificité conditionne par $\overline{M}$, donc le dénominateur est l'effectif de $\overline{M}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{912}{1\,000}=0{,}912$"]Non.
Tu as divisé par l'effectif total $1\,000$ au lieu du total des personnes saines.
La spécificité est une probabilité conditionnelle, pas une probabilité simple.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{38}{950}=0{,}040$"]Non.
$\dfrac{38}{950}$ est la probabilité d'un test positif chez une personne saine, c'est $p_{\overline{M}}(T)$.
La spécificité concerne le test négatif chez les personnes saines.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la spécificité, on se place dans la colonne $\overline{M}$ et on calcule la part de tests négatifs.
Avec ce tableau, $p_{\overline{M}}(\overline{T})=\dfrac{912}{950}\approx 0{,}960$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$A$ et $B$ sont deux événements de probabilités non nulles vérifiant :
$p(A)=0{,}4$, $p_A(B)=0{,}3$ et $p(B)=0{,}5$.
Quelle est la valeur de $p_B(A)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}300$[/option]
[option]$0{,}120$[/option]
[option correct="true"]$0{,}240$[/option]
[option]$0{,}375$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On applique la formule de Bayes :
$p_B(A)=\dfrac{p(A)\times p_A(B)}{p(B)}=\dfrac{0{,}4\times 0{,}3}{0{,}5}=\dfrac{0{,}12}{0{,}5}=0{,}24$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}300$"]Non.
$0{,}3$ est $p_A(B)$, le conditionnement « dans l'autre sens ».
$p_B(A)$ et $p_A(B)$ ne sont pas égales en général : il faut passer par la formule de Bayes.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}120$"]Pas tout à fait.
Tu as calculé $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)=0{,}12$ mais tu n'as pas terminé.
Il reste à diviser par $p(B)$ pour obtenir $p_B(A)$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}375$"]Non.
Tu as divisé $p_A(B)$ par une mauvaise quantité.
La formule de Bayes part de l'intersection $p(A)\times p_A(B)$, pas de $p_A(B)$ seul, et divise par $p(B)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La formule de Bayes donne $p_B(A)=\dfrac{p(A)\times p_A(B)}{p(B)}$.
Avec les valeurs de l'énoncé, $p_B(A)=\dfrac{0{,}4\times 0{,}3}{0{,}5}=0{,}24$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]