Résoudre une inéquation avec valeur absolue
[enonce]
On considère l'inéquation $|2x - 5| \leqslant 3$.
On cherche à déterminer l'ensemble des solutions et à l'écrire sous forme d'intervalle.
[/enonce]
[etape]
Pour se ramener à la forme $|x - a| \leqslant r$, on met $2$ en facteur dans l'expression $2x - 5$.
Réécrire : $2x - 5 = 2\left(x - \ldots\right)$.
Quel est le nombre qui complète la parenthèse ? [[centre]]
[math id="centre" attendu="\frac{5}{2}"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$2x - 5 = 2\left(x - \dfrac{5}{2}\right)$.
On a mis $2$ en facteur : $2 \times x - 2 \times \dfrac{5}{2} = 2x - 5$.[/reponse]
[reponse motif="5"]Non.
$2(x - 5) = 2x - 10$, ce qui ne donne pas $2x - 5$.
Diviser $5$ par le facteur mis en avant ($2$).[/reponse]
[reponse motif="-\frac{5}{2}"]Attention au signe. On factorise $2x - 5 = 2(x - ?)$.
Le signe moins est déjà dans la forme $x - a$, donc $a$ est positif ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On cherche $a$ tel que $2(x - a) = 2x - 5$.
En développant : $2x - 2a = 2x - 5$, donc $2a = 5$.[/reponse]
[aide essai="2"]On cherche $a$ tel que $2(x - a) = 2x - 5$.
En développant le membre de gauche : $2x - 2a$. Identifier $2a$.[/aide]
[aide essai="3"]$2a = 5$, donc $a = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$2x - 5 = 2\left(x - \dfrac{5}{2}\right)$, car $2 \times \dfrac{5}{2} = 5$.[/solution]
[/etape]
[etape]
On a donc $|2x - 5| = \left|2\left(x - \dfrac{5}{2}\right)\right| = |2| \times \left|x - \dfrac{5}{2}\right| = 2\left|x - \dfrac{5}{2}\right|$.
L'inéquation $|2x - 5| \leqslant 3$ devient $2\left|x - \dfrac{5}{2}\right| \leqslant 3$.
En divisant par $2$, on obtient $\left|x - \dfrac{5}{2}\right| \leqslant \ldots$
Quel est le membre de droite ? [[rayon]]
[math id="rayon" attendu="\frac{3}{2}"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\left|x - \dfrac{5}{2}\right| \leqslant \dfrac{3}{2}$.
On interprète ceci comme : la distance entre $x$ et $\dfrac{5}{2}$ est inférieure ou égale à $\dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Non.
On divise $3$ par $2$, pas $3$ par $3$.
$\dfrac{3}{2} \neq 1$.[/reponse]
[reponse motif="6"]Non.
On divise les deux membres par $2$, on ne multiplie pas.
$\dfrac{3}{2} = ?$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'inéquation $2\left|x - \dfrac{5}{2}\right| \leqslant 3$ se simplifie en divisant chaque membre par $2$.[/reponse]
[aide essai="2"]Diviser les deux membres de l'inéquation par $2$ :
$\left|x - \dfrac{5}{2}\right| \leqslant \dfrac{3}{?}$[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{3}{2}$. C'est le rayon autour du centre $\dfrac{5}{2}$.[/aide]
[/math]
[solution]En divisant par $2$ : $\left|x - \dfrac{5}{2}\right| \leqslant \dfrac{3}{2}$.[/solution]
[/etape]
[etape]
L'inéquation $\left|x - \dfrac{5}{2}\right| \leqslant \dfrac{3}{2}$ signifie que la distance entre $x$ et $\dfrac{5}{2}$ est au plus $\dfrac{3}{2}$.
Quelle double inégalité cela donne-t-il ?
[qcm]
[option]$x - \dfrac{5}{2} \leqslant \dfrac{3}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2} \leqslant x \leqslant \dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{2}$[/option]
[option]$-\dfrac{3}{2} \leqslant x \leqslant \dfrac{3}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les solutions sont les nombres situés à une distance au plus $\dfrac{3}{2}$ du centre $\dfrac{5}{2}$.
Sur la droite graduée, cela correspond à l'intervalle $\left[\dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{2}\right]$.[/reponse]
[reponse motif="$x - \dfrac{5}{2} \leqslant \dfrac{3}{2}$"]Incomplet.
Cette inégalité ne traduit qu'une partie de la condition. La valeur absolue impose une double contrainte : le nombre $x$ ne doit être ni trop à gauche, ni trop à droite de $\dfrac{5}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{3}{2} \leqslant x \leqslant \dfrac{3}{2}$"]Non.
On cherche les nombres à distance au plus $\dfrac{3}{2}$ du centre $\dfrac{5}{2}$, pas du centre $0$.
Le centre de l'intervalle est $\dfrac{5}{2}$, pas $0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Calculer la borne inférieure : $\dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2} = $ [[binf]]
[math id="binf" attendu="1"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{5-3}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="\frac{2}{2}"]C'est correct mais il faut simplifier.
$\dfrac{2}{2} = ?$[/reponse]
[reponse motif="4"]Non.
Les deux fractions ont le même dénominateur. On soustrait les numérateurs :
$\dfrac{5 - 3}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{5-3}{2}$. Calculer le numérateur puis simplifier.[/reponse]
[aide essai="2"]Les fractions ont le même dénominateur $2$. On soustrait les numérateurs : $5 - 3 = ?$[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{5-3}{2} = \dfrac{2}{2}$. Simplifier cette fraction.[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Calculer la borne supérieure : $\dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{2} = $ [[bsup]]
[math id="bsup" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5+3}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.[/reponse]
[reponse motif="\frac{8}{2}"]C'est correct mais il faut simplifier.
$\dfrac{8}{2} = ?$[/reponse]
[reponse motif="3"]Non.
On additionne les numérateurs : $5 + 3 = 8$, puis on divise par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5+3}{2}$. Calculer le numérateur puis simplifier.[/reponse]
[aide essai="2"]Les fractions ont le même dénominateur $2$. On additionne les numérateurs : $5 + 3 = ?$[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{5+3}{2} = \dfrac{8}{2}$. Simplifier.[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.[/solution]
[/etape]
[etape]
Les solutions de $|2x - 5| \leqslant 3$ sont donc les nombres $x$ tels que [[binf]] $\leqslant x \leqslant$ [[bsup]].
[math id="binf" attendu="1"]
[reponse statut="correct"]Correct !
La borne inférieure est bien $1$.
Vérification : $|2 \times 1 - 5| = |-3| = 3 \leqslant 3$, donc $1$ est bien solution.[/reponse]
[reponse motif="4"]Les bornes sont inversées. La plus petite valeur est la borne inférieure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Reprendre le calcul de la borne inférieure : $\dfrac{5 - 3}{2}$.[/reponse]
[aide essai="2"]La borne inférieure est $\dfrac{5-3}{2}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{5-3}{2} = \dfrac{2}{2}$.[/aide]
[/math]
[math id="bsup" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La borne supérieure est $4$, donc $S = [1\,;\,4]$.
L'inéquation est large ($\leqslant$), les deux bornes sont incluses : les crochets sont fermés.[/reponse]
[reponse motif="1"]Les bornes sont inversées. La plus grande valeur est la borne supérieure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Reprendre le calcul de la borne supérieure : $\dfrac{5 + 3}{2}$.[/reponse]
[aide essai="2"]La borne supérieure est $\dfrac{5+3}{2}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{5+3}{2} = \dfrac{8}{2}$.[/aide]
[/math]
[solution]$S = [1\,;\,4]$. Vérification : $|2 \times 1 - 5| = 3 \leqslant 3$ et $|2 \times 4 - 5| = 3 \leqslant 3$.[/solution]
[/etape]
QCM : Union, intersection et valeurs absolues
[enonce]
Ce QCM porte sur l'union et l'intersection d'intervalles et les valeurs absolues. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]
[etape]
Si $I = [-1 ; 4]$ et $J = [2 ; 7]$, quelle est l'intersection $I \cap J$ ?
[qcm]
[option]$[-1 ; 7]$[/option]
[option correct="true"]$[2 ; 4]$[/option]
[option]$[2 ; 7]$[/option]
[option]$[-1 ; 4]$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'intersection est l'ensemble des nombres qui appartiennent à $I$ et à $J$ en même temps. Les deux intervalles se chevauchent entre $2$ et $4$, donc $I \cap J = [2 ; 4]$.[/reponse]
[reponse motif="$[-1 ; 7]$"]Non.
Attention à ne pas confondre union ($\cup$) et intersection ($\cap$). L'intersection est la zone commune aux deux intervalles, pas l'ensemble de tout ce qui est colorié.[/reponse]
[reponse motif="$[2 ; 7]$"]Non.
Cet intervalle est $J$ lui-même. L'intersection ne contient que les nombres qui sont dans $I$ et dans $J$ simultanément. Colorier les deux intervalles sur une droite graduée pour repérer la zone commune.[/reponse]
[reponse motif="$[-1 ; 4]$"]Non.
Cet intervalle est $I$ lui-même. L'intersection est la zone commune aux deux intervalles. Dessiner les deux sur une droite graduée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'intersection ($\cap$) correspond au mot « et » : les nombres qui sont dans les deux intervalles à la fois. Dessiner une droite graduée pour repérer la zone commune.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
La zone commune à $I = [-1 ; 4]$ et $J = [2 ; 7]$ va de $2$ à $4$. Donc $I \cap J = [2 ; 4]$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Que vaut $|-7 + 3|$ ?
[qcm]
[option]$-4$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$10$[/option]
[option]$-10$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$-7 + 3 = -4$, puis $|-4| = 4$. La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé.[/reponse]
[reponse motif="$-4$"]Non.
Le calcul $-7 + 3 = -4$ est correct, mais il manque une étape. Se rappeler qu'une valeur absolue est toujours positive ou nulle.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
Attention : $|a + b| \neq |a| + |b|$ en général. Il faut d'abord calculer la somme à l'intérieur des barres, puis appliquer la valeur absolue.[/reponse]
[reponse motif="$-10$"]Non.
Une valeur absolue ne peut jamais être négative. Calculer d'abord la somme $-7 + 3$, puis appliquer la définition de la valeur absolue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $-7 + 3$, puis appliquer la valeur absolue au résultat. Se rappeler qu'une valeur absolue est toujours positive ou nulle.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$-7 + 3 = -4$ et $|-4| = 4$. La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Si $I = ]-\infty ; 3]$ et $J = [5 ; +\infty[$, quelle est $I \cup J$ ?
[qcm]
[option]$\mathbb{R}$[/option]
[option]$[3 ; 5]$[/option]
[option]$\varnothing$[/option]
[option correct="true"]$]-\infty ; 3] \cup [5 ; +\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les deux intervalles ne se chevauchent pas ($3 < 5$), donc l'union ne forme pas un seul intervalle. On laisse le symbole $\cup$ entre les deux morceaux.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}$"]Non.
Vérifier si tous les nombres réels sont couverts. Par exemple, le nombre $4$ appartient-il à $I$ ou à $J$ ?[/reponse]
[reponse motif="$[3 ; 5]$"]Non.
$[3 ; 5]$ est la zone entre les deux intervalles. L'union rassemble tout ce qui est dans $I$ ou dans $J$, pas ce qui est entre les deux.[/reponse]
[reponse motif="$\varnothing$"]Non.
$\varnothing$ serait l'intersection ($I \cap J$). L'union ($\cup$) rassemble les deux morceaux, même s'ils sont disjoints.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand deux intervalles sont disjoints, l'union ne peut pas s'écrire comme un seul intervalle. On garde le symbole $\cup$ entre les deux morceaux.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Les intervalles $]-\infty ; 3]$ et $[5 ; +\infty[$ sont disjoints (aucun point commun). L'union s'écrit $]-\infty ; 3] \cup [5 ; +\infty[$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Quelle est la distance entre $-4$ et $3$ sur la droite des réels ?
[qcm]
[option]$-7$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$-1$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La distance entre deux nombres est $|3 - (-4)| = |3 + 4| = |7| = 7$. Une distance est toujours positive.[/reponse]
[reponse motif="$-7$"]Non.
Le calcul de la différence est correct, mais une distance est toujours positive ou nulle. Appliquer la valeur absolue au résultat.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Attention à ne pas additionner les deux nombres au lieu de calculer leur distance. La distance entre $a$ et $b$ se calcule par $|b - a|$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
La distance entre deux nombres n'est pas leur somme. Elle se calcule par $|b - a|$, et le résultat est toujours positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La distance entre deux nombres $a$ et $b$ se calcule par $|b - a|$. Le résultat est toujours positif.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
La distance entre $-4$ et $3$ est $|3 - (-4)| = |3 + 4| = |7| = 7$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Si $I = [-5 ; 1[$ et $J = ]-2 ; 3]$, quelle est $I \cap J$ ?
[qcm]
[option]$[-5 ; 3]$[/option]
[option]$[-2 ; 1[$[/option]
[option correct="true"]$]-2 ; 1[$[/option]
[option]$]-2 ; 1]$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La zone commune va de $-2$ (exclu dans $J$) à $1$ (exclu dans $I$). Pour l'intersection, on prend le crochet le plus restrictif à chaque borne.[/reponse]
[reponse motif="$[-5 ; 3]$"]Non.
Attention à ne pas confondre union et intersection. L'intersection ($\cap$) est la zone commune, pas la zone totale.[/reponse]
[reponse motif="$[-2 ; 1[$"]Non.
La borne $-2$ est exclue dans $J$ (crochet ouvert dans $]-2 ; 3]$). Pour l'intersection, la borne doit être incluse dans les deux intervalles. Quel type de crochet faut-il en $-2$ ?[/reponse]
[reponse motif="$]-2 ; 1]$"]Non.
La borne $1$ est exclue dans $I$ (crochet ouvert dans $[-5 ; 1[$). Pour l'intersection, on prend le crochet le plus restrictif. Quel type de crochet faut-il en $1$ ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dessiner les deux intervalles sur une droite graduée. Pour l'intersection, à chaque borne, prendre le crochet le plus restrictif (ouvert si au moins un des deux est ouvert).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
La zone commune va de $-2$ à $1$. En $-2$ : ouvert dans $J$, donc ouvert. En $1$ : ouvert dans $I$, donc ouvert. $I \cap J = {]-2 ; 1[}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Que vaut $|\sqrt{3} - 2|$ ?
[qcm]
[option]$\sqrt{3} - 2$[/option]
[option correct="true"]$2 - \sqrt{3}$[/option]
[option]$\sqrt{3} + 2$[/option]
[option]$-\sqrt{3} - 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\sqrt{3} \approx 1{,}73 < 2$, donc $\sqrt{3} - 2 < 0$. La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé : $|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{3} - 2$"]Non.
$\sqrt{3} \approx 1{,}73$, donc $\sqrt{3} - 2$ est négatif. La valeur absolue ne peut pas être négative. Appliquer la définition pour un nombre négatif.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{3} + 2$"]Non.
La valeur absolue ne se calcule pas en changeant tous les signes en $+$. Déterminer d'abord le signe de $\sqrt{3} - 2$, puis appliquer la définition.[/reponse]
[reponse motif="$-\sqrt{3} - 2$"]Non.
Ce nombre est négatif ($\approx -3{,}73$), ce qui est impossible pour une valeur absolue. Vérifier le signe de $\sqrt{3} - 2$ et appliquer la définition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Commencer par déterminer si $\sqrt{3} - 2$ est positif ou négatif, puis appliquer la définition de la valeur absolue.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$\sqrt{3} \approx 1{,}73 < 2$, donc $\sqrt{3} - 2 < 0$. La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé : $|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}$.
[/solution]
[/etape]
Vrai/Faux : Valeurs absolues
[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : L'égalité $\left| x \right| = -x$ est vraie uniquement si $x = 0$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\left| x \right| = -x$ est vraie pour tout réel $x$ négatif ou nul ($x \leqslant 0$), pas uniquement pour $x = 0$. Par exemple, $\left| -3 \right| = -(-3) = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de croire que $-x$ est toujours négatif — or si $x \leqslant 0$, alors $-x \geqslant 0$, ce qui est bien compatible avec une valeur absolue.
$\left| x \right| = -x$ est vraie pour tout $x \leqslant 0$. Par exemple, $\left| -3 \right| = -(-3) = 3$. Ce n'est pas réservé à $x = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\left| x \right| = -x$ est vraie pour tout $x \leqslant 0$ (pas seulement pour $x = 0$), car si $x$ est négatif, $-x$ est positif. Exemple : $\left| -3 \right| = -(-3) = 3$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'équation $\left| x \right| = -1$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une valeur absolue est toujours positive ou nulle, elle ne peut jamais être égale à $-1$. L'équation n'admet aucune solution : $S = \varnothing$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'appliquer la méthode habituelle ($x = 1$ ou $x = -1$) sans vérifier d'abord que le second membre est positif ou nul.
$\left| x \right| \geqslant 0$ pour tout réel $x$ : une valeur absolue ne peut pas être négative. L'équation $\left| x \right| = -1$ n'a donc aucune solution.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Une valeur absolue est toujours positive ou nulle, donc $\left| x \right| = -1$ est impossible. L'ensemble des solutions est vide : $S = \varnothing$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'équation $\left| x - 1 \right| = 2$ est $S = \left\{ -1~;~3 \right\}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\left| x - 1 \right| = 2$ signifie que la distance entre $x$ et $1$ sur la droite des réels vaut $2$. On trouve $x = 1 - 2 = -1$ ou $x = 1 + 2 = 3$, donc $S = \left\{ -1~;~3 \right\}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier l'un des deux cas lors de la résolution de $\left| x - 1 \right| = 2$.
$\left| x - 1 \right| = 2$ donne $x - 1 = 2$ soit $x = 3$, ou $x - 1 = -2$ soit $x = -1$. Donc $S = \left\{ -1~;~3 \right\}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left| x - 1 \right| = 2$ donne deux cas : $x - 1 = 2$ soit $x = 3$, ou $x - 1 = -2$ soit $x = -1$. Donc $S = \{-1 ; 3\}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\left| 2\pi - 6 \right| = 2\pi - 6$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\pi > 3$ donc $2\pi > 6$, ce qui signifie que $2\pi - 6 > 0$. Tout nombre positif étant égal à sa valeur absolue, on a bien $\left| 2\pi - 6 \right| = 2\pi - 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de croire que $2\pi - 6$ est négatif car $6$ est grand — or $\pi \approx 3{,}14$, donc $2\pi \approx 6{,}28 > 6$.
$\pi \approx 3{,}14$ donc $2\pi \approx 6{,}28 > 6$ : $2\pi - 6$ est positif. La valeur absolue d'un nombre positif est ce nombre lui-même.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $\pi > 3$, on a $2\pi > 6$, donc $2\pi - 6 > 0$. La valeur absolue d'un nombre positif est ce nombre lui-même.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\sqrt{2}$ est solution de l'inéquation $\left| x - 1 \right| < 1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\sqrt{2} \approx 1{,}414$ donc $\sqrt{2} - 1 \approx 0{,}414$, et $\left| \sqrt{2} - 1 \right| \approx 0{,}414 < 1$ : $\sqrt{2}$ est bien solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de substituer $\sqrt{2} \approx 1{,}4$ dans l'inéquation sans calculer la valeur absolue, ou de confondre $\left| \sqrt{2} - 1 \right|$ et $\sqrt{2}$.
$\left| \sqrt{2} - 1 \right| = \sqrt{2} - 1 \approx 0{,}414 < 1$ : la condition est vérifiée, $\sqrt{2}$ est bien solution de l'inéquation.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On calcule : $\left| \sqrt{2} - 1 \right| = \sqrt{2} - 1 \approx 0{,}414 < 1$. Donc $\sqrt{2}$ vérifie bien l'inéquation.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left| x + 1 \right| \leqslant 2$ est $S = \left[ -1~;~3 \right]$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\left| x + 1 \right| \leqslant 2$ équivaut à $-2 \leqslant x + 1 \leqslant 2$, soit $-3 \leqslant x \leqslant 1$. L'ensemble des solutions est $S = \left[ -3~;~1 \right]$, pas $\left[ -1~;~3 \right]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de résoudre $\left| x + 1 \right| \leqslant 2$ comme si c'était $\left| x - 1 \right| \leqslant 2$, en prenant $1$ comme centre de l'intervalle au lieu de $-1$.
$\left| x + 1 \right| \leqslant 2 \Leftrightarrow -2 \leqslant x + 1 \leqslant 2 \Leftrightarrow -3 \leqslant x \leqslant 1$. La bonne réponse est $S = \left[ -3~;~1 \right]$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\left| x + 1 \right| \leqslant 2 \Leftrightarrow -2 \leqslant x+1 \leqslant 2 \Leftrightarrow -3 \leqslant x \leqslant 1$. L'ensemble des solutions est $S = [-3 ; 1]$, pas $[-1 ; 3]$.
[/solution]
[/etape]
![Droite graduée montrant l'intervalle solution [-2 ; 4] de l'inéquation |x - 1| ⩽ 3](/assets/svg/distances-et-valeur-absolue-2nde-graph-bb-82.svg?v=1780824275)
![Droite graduée montrant l'intervalle solution ]-6 ; -2[ de l'inéquation |x + 4| < 2](/assets/svg/distances-et-valeur-absolue-2nde-graph-bb-83.svg?v=1780824276)