[enonce]
Ce QCM porte sur les intervalles. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
L'inégalité $x \geqslant -2$ correspond à l'intervalle :
[qcm]
[option]$]-\infty ; -2]$[/option]
[option]$]-2 ; +\infty[$[/option]
[option correct="true"]$[-2 ; +\infty[$[/option]
[option]$[-2 ; +\infty]$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$x \geqslant -2$ signifie que $x$ est supérieur ou égal à $-2$. Le crochet est fermé en $-2$ (inégalité large) et ouvert en $+\infty$ (l'infini n'est jamais atteint).[/reponse]
[reponse motif="$]-\infty ; -2]$"]Non.
Cet intervalle correspond à $x \leqslant -2$. Attention au sens de l'inégalité : $x \geqslant -2$ signifie que $x$ est à droite de $-2$ sur la droite graduée.[/reponse]
[reponse motif="$]-2 ; +\infty[$"]Non.
Le crochet ouvert en $-2$ exclut cette valeur, ce qui correspond à $x > -2$ (strictement). L'inégalité donnée est-elle stricte ou large ?[/reponse]
[reponse motif="$[-2 ; +\infty]$"]Non.
Le crochet est toujours ouvert du côté de l'infini : on ne peut pas « atteindre » $+\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Se rappeler : inégalité large ($\geqslant$) = crochet fermé, et l'infini a toujours un crochet ouvert.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$x \geqslant -2$ se traduit par $[-2 ; +\infty[$ : crochet fermé en $-2$ (inégalité large) et ouvert en $+\infty$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Quel nombre appartient à l'intervalle $]1 ; 4[$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2{,}5$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$1 < 2{,}5 < 4$, donc $2{,}5 \in {]1 ; 4[}$. Les deux crochets étant ouverts, les bornes $1$ et $4$ sont exclues.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Le crochet ouvert en $1$ signifie que $1$ est exclu de l'intervalle. $]1 ; 4[$ contient les nombres strictement compris entre $1$ et $4$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Le crochet ouvert en $4$ signifie que $4$ est exclu de l'intervalle. Chercher un nombre strictement compris entre les deux bornes.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$0 < 1$, donc $0$ est en dehors de l'intervalle. $]1 ; 4[$ ne contient que les nombres strictement supérieurs à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les crochets ouverts excluent les bornes. Chercher un nombre strictement compris entre $1$ et $4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$2{,}5$ appartient à $]1 ; 4[$ car $1 < 2{,}5 < 4$. Les bornes $1$ et $4$ sont exclues (crochets ouverts).
[/solution]
[/etape]

[etape]
L'intervalle $[-3 ; 5[$ correspond à l'inégalité :
[qcm]
[option]$-3 < x < 5$[/option]
[option]$-3 \leqslant x \leqslant 5$[/option]
[option correct="true"]$-3 \leqslant x < 5$[/option]
[option]$-3 < x \leqslant 5$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le crochet fermé en $-3$ donne $\leqslant$ et le crochet ouvert en $5$ donne $<$. D'où $-3 \leqslant x < 5$.[/reponse]
[reponse motif="$-3 < x < 5$"]Non.
Le crochet en $-3$ est fermé (tourné vers l'intérieur). Un crochet fermé correspond-il à une inégalité stricte ou large ?[/reponse]
[reponse motif="$-3 \leqslant x \leqslant 5$"]Non.
Le crochet en $5$ est ouvert (tourné vers l'extérieur). Un crochet ouvert correspond-il à une inégalité stricte ou large ?[/reponse]
[reponse motif="$-3 < x \leqslant 5$"]Non.
Les crochets sont inversés par rapport à cette proposition. Vérifier le sens du crochet à chaque borne de $[-3 ; 5[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Crochet fermé = inégalité large ($\leqslant$), crochet ouvert = inégalité stricte ($<$). Appliquer cette règle à chaque borne.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$[-3 ; 5[$ signifie : crochet fermé en $-3$ ($\leqslant$) et crochet ouvert en $5$ ($<$). L'inégalité est $-3 \leqslant x < 5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Lequel de ces nombres n'appartient pas à $]-\infty ; 3[$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$-100$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$2{,}99$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le crochet ouvert en $3$ signifie que $3$ est exclu. $]-\infty ; 3[$ contient tous les réels strictement inférieurs à $3$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$0 < 3$, donc $0$ appartient bien à $]-\infty ; 3[$. Chercher le nombre qui n'est pas strictement inférieur à $3$.[/reponse]
[reponse motif="$-100$"]Non.
$-100 < 3$, donc $-100 \in {]-\infty ; 3[}$. L'intervalle contient tous les réels strictement inférieurs à $3$, même les très grands nombres négatifs.[/reponse]
[reponse motif="$2{,}99$"]Non.
$2{,}99 < 3$, donc $2{,}99 \in {]-\infty ; 3[}$. Regarder attentivement le crochet en $3$ : est-il ouvert ou fermé ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le crochet ouvert en $3$ exclut une valeur précise de l'intervalle. Laquelle ?[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$3 \notin {]-\infty ; 3[}$ car le crochet ouvert en $3$ exclut cette valeur. L'intervalle contient tous les réels strictement inférieurs à $3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
L'ensemble des réels $x$ tels que $1 < x \leqslant 7$ s'écrit :
[qcm]
[option]$[1 ; 7]$[/option]
[option]$]1 ; 7[$[/option]
[option]$[1 ; 7[$[/option]
[option correct="true"]$]1 ; 7]$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$1 < x$ donne un crochet ouvert en $1$ et $x \leqslant 7$ donne un crochet fermé en $7$. D'où $]1 ; 7]$.[/reponse]
[reponse motif="$[1 ; 7]$"]Non.
L'inégalité $1 < x$ est stricte. Le crochet en $1$ doit-il être ouvert ou fermé ?[/reponse]
[reponse motif="$]1 ; 7[$"]Non.
L'inégalité $x \leqslant 7$ est large. Le crochet en $7$ doit-il être ouvert ou fermé ?[/reponse]
[reponse motif="$[1 ; 7[$"]Non.
Les deux crochets sont inversés par rapport à l'inégalité donnée. Vérifier : $1 < x$ est stricte ou large ? Et $x \leqslant 7$ ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Inégalité stricte ($<$) = crochet ouvert, inégalité large ($\leqslant$) = crochet fermé. Appliquer à chaque borne.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$1 < x$ (stricte) donne un crochet ouvert en $1$, et $x \leqslant 7$ (large) donne un crochet fermé en $7$. L'intervalle est $]1 ; 7]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le symbole $\in$ signifie :
[qcm]
[option]est inclus dans[/option]
[option]est égal à[/option]
[option correct="true"]appartient à[/option]
[option]est inférieur à[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le symbole $\in$ se lit « appartient à » et relie un nombre à un ensemble. Par exemple $3 \in \mathbb{N}$.[/reponse]
[reponse motif="est inclus dans"]Non.
« est inclus dans » correspond au symbole $\subset$, qui relie un ensemble à un autre ensemble ($\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$). Le symbole $\in$ relie un nombre à un ensemble.[/reponse]
[reponse motif="est égal à"]Non.
« est égal à » correspond au symbole $=$. Le symbole $\in$ a un tout autre sens.[/reponse]
[reponse motif="est inférieur à"]Non.
« est inférieur à » correspond aux symboles $<$ ou $\leqslant$. Le symbole $\in$ n'indique pas un ordre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le symbole $\in$ est utilisé pour indiquer qu'un nombre fait partie d'un ensemble, comme dans $3 \in \mathbb{N}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$\in$ signifie « appartient à » et relie un nombre à un ensemble ($3 \in \mathbb{N}$). Ne pas confondre avec $\subset$ (« est inclus dans ») qui relie deux ensembles.
[/solution]
[/etape]