[enonce]
Ce QCM porte sur les ensembles de nombres ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$). Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est le plus petit ensemble auquel appartient $\dfrac{15}{3}$ ?
[qcm]
[option]$\mathbb{Z}$[/option]
[option]$\mathbb{D}$[/option]
[option correct="true"]$\mathbb{N}$[/option]
[option]$\mathbb{Q}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
$\dfrac{15}{3} = 5$. Comme $5$ est un entier positif, il appartient à $\mathbb{N}$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{Z}$"]Non.
Ce nombre appartient bien à $\mathbb{Z}$, mais il existe un ensemble encore plus petit. Penser à simplifier la fraction avant de conclure.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{D}$"]Non.
Avant de conclure, il faut simplifier la fraction. Le résultat est-il un nombre à virgule ou un entier ?[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{Q}$"]Non.
Attention à ne pas se fier à l'apparence fractionnaire. Simplifier d'abord $\dfrac{15}{3}$ puis chercher l'ensemble le plus petit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Simplifier la fraction avant de chercher l'ensemble le plus petit.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$\dfrac{15}{3} = 5$. Comme $5$ est un entier positif, le plus petit ensemble est $\mathbb{N}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Lequel de ces nombres est irrationnel ?
[qcm]
[option]$\sqrt{9}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{2}$[/option]
[option]$0{,}75$[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$5$ n'est pas un carré parfait, donc $\sqrt{5}$ ne peut pas s'écrire sous forme de fraction. C'est un nombre irrationnel ($\sqrt{5} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$).[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{9}$"]Non.
Penser à simplifier cette racine carrée : $9$ est un carré parfait.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{2}$"]Non.
$\dfrac{7}{2}$ est un quotient de deux entiers. Un nombre irrationnel ne peut pas s'écrire sous forme de fraction.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}75$"]Non.
$0{,}75$ a un nombre fini de chiffres après la virgule : c'est un nombre décimal. Un nombre irrationnel a un développement décimal infini et non périodique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un nombre irrationnel ne peut s'écrire ni comme fraction ni comme nombre décimal fini. Vérifier chaque proposition.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Seul $\sqrt{5}$ est irrationnel car $5$ n'est pas un carré parfait. Les autres sont rationnels : $\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}$, $\dfrac{7}{2} = 3{,}5 \in \mathbb{D}$, $0{,}75 \in \mathbb{D}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Quelle inclusion est correcte ?
[qcm]
[option]$\mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}$[/option]
[option correct="true"]$\mathbb{N} \subset \mathbb{D}$[/option]
[option]$\mathbb{R} \subset \mathbb{Q}$[/option]
[option]$\mathbb{D} \subset \mathbb{Z}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Tout entier naturel est aussi un nombre décimal (son écriture décimale est finie). On a bien $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}$"]Non.
Trouver un contre-exemple : existe-t-il un nombre rationnel qui n'est pas un entier relatif ? Penser à $\dfrac{1}{3}$ par exemple.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R} \subset \mathbb{Q}$"]Non.
Trouver un contre-exemple : existe-t-il un réel qui n'est pas rationnel ? Penser à $\sqrt{2}$ par exemple.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{D} \subset \mathbb{Z}$"]Non.
Trouver un contre-exemple : existe-t-il un décimal qui n'est pas un entier relatif ? Penser à $1{,}5$ par exemple.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Se rappeler l'ordre d'inclusion des ensembles : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
La bonne inclusion est $\mathbb{N} \subset \mathbb{D}$. L'ordre complet est $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Quel est le plus petit ensemble auquel appartient $-\dfrac{8}{5}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\mathbb{D}$[/option]
[option]$\mathbb{Q}$[/option]
[option]$\mathbb{Z}$[/option]
[option]$\mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$-\dfrac{8}{5} = -1{,}6$. L'écriture décimale est finie, donc c'est un nombre décimal. On peut aussi vérifier que le dénominateur $5$ ne contient que le facteur premier $5$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{Q}$"]Non.
Ce nombre est bien rationnel, mais il existe un ensemble plus petit. Calculer $-\dfrac{8}{5}$ sous forme décimale et vérifier si l'écriture est finie.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{Z}$"]Non.
Effectuer la division $-\dfrac{8}{5}$ : le résultat est-il un entier ?[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}$"]Non.
$-\dfrac{8}{5}$ est une fraction d'entiers, c'est donc au moins un rationnel. Vérifier si on peut trouver un ensemble encore plus petit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $-\dfrac{8}{5}$ sous forme décimale et analyser les facteurs premiers du dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$-\dfrac{8}{5} = -1{,}6$. Le dénominateur $5$ ne contient que le facteur premier $5$, donc l'écriture décimale est finie. Le plus petit ensemble est $\mathbb{D}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Quel est le plus petit ensemble auquel appartient $\dfrac{5}{6}$ ?
[qcm]
[option]$\mathbb{D}$[/option]
[option]$\mathbb{Z}$[/option]
[option correct="true"]$\mathbb{Q}$[/option]
[option]$\mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\dfrac{5}{6}$ est irréductible et le dénominateur $6 = 2 \times 3$ contient le facteur $3$ : ce n'est pas un décimal. Mais c'est bien une fraction d'entiers, donc $\dfrac{5}{6} \in \mathbb{Q}$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{D}$"]Non.
Décomposer le dénominateur en facteurs premiers : $6 = 2 \times 3$. La présence du facteur $3$ empêche-t-elle l'écriture décimale finie ?[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{Z}$"]Non.
$\dfrac{5}{6}$ n'est pas un nombre entier. Vérifier à la calculatrice si besoin.[/reponse]
[reponse motif="$\mathbb{R}$"]Non.
$\dfrac{5}{6}$ est un quotient d'entiers. Il existe un ensemble plus petit que $\mathbb{R}$ auquel ce nombre appartient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Analyser les facteurs premiers du dénominateur pour distinguer $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$\dfrac{5}{6}$ est irréductible. Le dénominateur $6 = 2 \times 3$ contient le facteur $3$, donc $\dfrac{5}{6} = 0{,}8333...$ n'est pas un décimal. C'est un rationnel : le plus petit ensemble est $\mathbb{Q}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Parmi ces nombres, lequel n'appartient pas à $\mathbb{D}$ ?
[qcm]
[option]$1{,}5$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option]$-3$[/option]
[option]$\dfrac{3}{4}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\dfrac{2}{3} = 0{,}666...$ a un développement décimal infini. Le dénominateur $3$ n'est ni $2$ ni $5$, donc ce n'est pas un nombre décimal.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$"]Non.
$1{,}5$ a un nombre fini de chiffres après la virgule. Chercher la fraction dont le dénominateur contient un facteur premier autre que $2$ ou $5$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
$-3$ est un entier relatif, et tout entier est aussi un décimal (on peut écrire $-3 = -3{,}0$).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{4}$"]Non.
Le dénominateur $4 = 2^2$ ne contient que le facteur $2$ : l'écriture décimale est finie. Chercher la fraction dont le dénominateur contient un autre facteur premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier pour chaque nombre si son écriture décimale est finie ou infinie.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$\dfrac{2}{3} = 0{,}666...$ est le seul nombre dont le développement décimal est infini. Le dénominateur $3$ n'est ni $2$ ni $5$, donc $\dfrac{2}{3} \notin \mathbb{D}$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les ensembles de nombres, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{9} \in \mathbb{N}$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\sqrt{9} = 3$ et $3 \in \mathbb{N}$, donc $\sqrt{9}$ appartient bien à $\mathbb{N}$. Il ne faut pas confondre l'écriture avec un radical et la nature du nombre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention, un nombre écrit sous la forme $\sqrt{\phantom{0}}$ n'est pas forcément irrationnel. Il faut d'abord simplifier : $\sqrt{9} = 3$, qui est un entier naturel.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\sqrt{9} = 3$ et $3 \in \mathbb{N}$. L'écriture avec un radical ne signifie pas que le nombre est irrationnel.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $-5 \in \mathbb{N}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\mathbb{N}$ est l'ensemble des entiers naturels : $\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots\}$. Les nombres négatifs n'en font pas partie. $-5 \in \mathbb{Z}$ mais $-5 \notin \mathbb{N}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
$\mathbb{N}$ ne contient que les entiers positifs ou nuls. Les nombres négatifs comme $-5$ appartiennent à $\mathbb{Z}$ (entiers relatifs), mais pas à $\mathbb{N}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\mathbb{N} = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots\}$ ne contient que les entiers positifs ou nuls. $-5$ est négatif, donc $-5 \notin \mathbb{N}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{7}{3} \in \mathbb{D}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\dfrac{7}{3} = 2{,}333\ldots$ : le développement décimal est infini et périodique. Ce n'est pas un nombre décimal. $\dfrac{7}{3} \in \mathbb{Q}$ mais $\dfrac{7}{3} \notin \mathbb{D}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre nombre rationnel et nombre décimal. Un nombre décimal a un développement décimal fini, ou peut s'écrire avec une puissance de $10$ au dénominateur.
$\dfrac{7}{3} = 2{,}333\ldots$ a un développement infini : c'est un rationnel, mais pas un décimal.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{7}{3} = 2{,}333\ldots$ a un développement décimal illimité. C'est un nombre rationnel ($\in \mathbb{Q}$) mais pas décimal ($\notin \mathbb{D}$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\pi \in \mathbb{Q}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\pi$ est un nombre irrationnel : il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction d'entiers. Son développement décimal est infini et non périodique ($3{,}14159\ldots$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le fait que $\pi$ soit un nombre « connu » ne signifie pas qu'il est rationnel. Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$.
$\pi$ n'admet pas une telle écriture : c'est un nombre irrationnel.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\pi$ est un nombre irrationnel. Il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction d'entiers relatifs, donc $\pi \notin \mathbb{Q}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $0{,}75 \in \mathbb{D}$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$0{,}75 = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$ : le dénominateur $100 = 10^2$ est une puissance de $10$. Le développement décimal est fini (deux chiffres après la virgule), donc $0{,}75 \in \mathbb{D}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Un nombre décimal est un nombre dont le développement décimal est fini, ou qui peut s'écrire avec une puissance de $10$ au dénominateur.
$0{,}75 = \dfrac{75}{100}$ : le développement est fini et le dénominateur est $10^2$, donc $0{,}75 \in \mathbb{D}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $0{,}75 = \dfrac{75}{100}$ a un développement décimal fini et peut s'écrire avec une puissance de $10$ au dénominateur. C'est bien un nombre décimal.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{5} \in \mathbb{Q}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\sqrt{5}$ est un nombre irrationnel. $5$ n'est pas un carré parfait, donc $\sqrt{5}$ ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction d'entiers. $\sqrt{5} \approx 2{,}236\ldots$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Toutes les racines carrées ne sont pas rationnelles. $\sqrt{5}$ est irrationnel car $5$ n'est pas un carré parfait (les carrés parfaits sont $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$).
Seuls les $\sqrt{n}$ avec $n$ carré parfait donnent un nombre rationnel.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\sqrt{5}$ est irrationnel car $5$ n'est pas un carré parfait. $\sqrt{5} \notin \mathbb{Q}$, mais $\sqrt{5} \in \mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

Compléter chacune des lignes ci-dessous à l'aide d'un des symboles $ \in $, $ \subset $, $ \notin $ ou $ \cancel{\subset} $ :

1. $ \quad \pi \; \ldots \; \mathbb{Q} $
2. $ \quad \mathbb{Z} \; \ldots \; \mathbb{Q} $
3. $ \quad \mathbb{R} \; \ldots \; \mathbb{Z} $
4. $ \quad - \dfrac{6}{12} \; \ldots \; \mathbb{D} $
5. $ \quad - \dfrac{12}{6} \; \ldots \; \mathbb{Z} $
6. $ \quad \left\{\sqrt{3}\right\} \; \ldots \; \mathbb{R} $
7. $ \quad \left\{ - 1~;~0~;~1\right\} \; \ldots \; \mathbb{N} $
8. $ \quad \mathbb{R}^\star \; \ldots \; \mathbb{R} $

Compléter le tableau ci-dessous avec les symboles $ \in $ ou $ \notin $ :

	$ \mathbb{N} $	$ \mathbb{Z} $	$ \mathbb{D} $	$ \mathbb{Q} $	$ \mathbb{R} $
$ - 2 $	$ \notin $	$ \in $
$ \dfrac{6}{3} $
$ \sqrt{3} $
$ - \dfrac{3}{5} $
$ \dfrac{5}{7} $
$ \left(\sqrt{2} - 1\right)^2 $
$ \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) $

Par exemple : $ - 2 \notin \mathbb{N} $ et $ - 2 \in \mathbb{Z}. $