[enonce]
Ce QCM porte sur la factorisation d'un trinôme du second degré et sur l'étude de son signe. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la forme factorisée du trinôme $f(x) = 2x^2 - 10x + 12$ ?
[qcm]
[option]$(x - 3)(x - 2)$[/option]
[option]$2(x + 3)(x + 2)$[/option]
[option correct="true"]$2(x - 3)(x - 2)$[/option]
[option]$2(x - 5)(x - 3)$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\Delta = (-10)^2 - 4 \times 2 \times 12 = 100 - 96 = 4$, donc $\sqrt{\Delta} = 2$.
Les racines sont $x_1 = \dfrac{10 - 2}{4} = 2$ et $x_2 = \dfrac{10 + 2}{4} = 3$.
La forme factorisée est donc $a(x - x_1)(x - x_2) = 2(x - 3)(x - 2)$.[/reponse]
[reponse motif="$(x - 3)(x - 2)$"]Non.
Le coefficient dominant $a = 2$ a été oublié. La formule est $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ : il faut conserver le facteur $a$ devant le produit.[/reponse]
[reponse motif="$2(x + 3)(x + 2)$"]Non.
Dans la forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$, le signe « moins » apparaît dans chaque parenthèse. Les racines $x_1 = 2$ et $x_2 = 3$ étant positives, les parenthèses sont $(x - 2)$ et $(x - 3)$.[/reponse]
[reponse motif="$2(x - 5)(x - 3)$"]Non.
Une des racines utilisées est fausse. Reprendre le calcul du discriminant et des racines avec la formule $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $\Delta$ pour trouver les deux racines $x_1$ et $x_2$, puis appliquer la formule $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ sans oublier le coefficient $a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la forme factorisée du trinôme $f(x) = x^2 + 2x - 8$ ?
[qcm]
[option]$(x + 2)(x - 4)$[/option]
[option correct="true"]$(x - 2)(x + 4)$[/option]
[option]$(x - 2)(x - 4)$[/option]
[option]$(x - 8)(x + 1)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-8) = 4 + 32 = 36$, donc $\sqrt{\Delta} = 6$.
Les racines sont $x_1 = \dfrac{-2 - 6}{2} = -4$ et $x_2 = \dfrac{-2 + 6}{2} = 2$.
La forme factorisée est $(x - 2)(x - (-4)) = (x - 2)(x + 4)$.[/reponse]
[reponse motif="$(x + 2)(x - 4)$"]Non.
Les signes des racines ont été inversés. Avec $b = 2$ et $c = -8$, le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a} = -8$ et la somme vaut $-\dfrac{b}{a} = -2$. Une racine est positive, l'autre négative ; vérifier laquelle.[/reponse]
[reponse motif="$(x - 2)(x - 4)$"]Non.
Les deux racines ne peuvent pas être toutes deux positives : leur produit vaudrait $c/a = -8$, qui est négatif. Un des signes est donc à changer.[/reponse]
[reponse motif="$(x - 8)(x + 1)$"]Non.
On ne lit pas les racines directement sur la constante $c$. Il faut passer par le discriminant, ou bien vérifier que somme $= -b/a$ et produit $= c/a$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer le discriminant, trouver les deux racines, puis écrire la forme factorisée $(x - x_1)(x - x_2)$ en faisant attention aux signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ le trinôme défini sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2 + 4x - 3$. Quel est le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]1~;~3[$ ?
[qcm]
[option]strictement négatif[/option]
[option correct="true"]strictement positif[/option]
[option]nul[/option]
[option]change de signe sur cet intervalle[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule $\Delta = 16 - 12 = 4$, donc les racines sont $x_1 = 1$ et $x_2 = 3$.
Règle : un trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines.
Ici $a = -1 < 0$, donc entre $1$ et $3$, le trinôme est du signe opposé à $a$ : positif.[/reponse]
[reponse motif="strictement négatif"]Non.
Entre les racines, le trinôme est du signe opposé à celui de $a$, et non du même signe. Comme $a = -1 < 0$, entre les racines $f(x)$ est positif.[/reponse]
[reponse motif="nul"]Non.
$f$ s'annule uniquement en $x = 1$ et $x = 3$ (les racines). Entre ces deux valeurs, $f(x) \neq 0$.[/reponse]
[reponse motif="change de signe sur cet intervalle"]Non.
Un trinôme ne change pas de signe entre deux racines consécutives : il garde un signe constant sur chaque intervalle délimité par ses racines.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les racines, puis appliquer la règle : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ le trinôme défini sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 6x + 9$. Que peut-on dire du signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$ ?
[qcm]
[option]$f(x)$ est strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$[/option]
[option correct="true"]$f(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, avec égalité en $x = 3$[/option]
[option]$f(x)$ est négatif en $x = 3$ et positif ailleurs[/option]
[option]$f(x)$ change de signe en $x = 3$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\Delta = 36 - 36 = 0$, donc $f$ admet une racine double $x_0 = -\dfrac{-6}{2} = 3$.
Règle : quand $\Delta = 0$, le trinôme est toujours du signe de $a$, sauf à la racine où il s'annule.
Comme $a = 1 > 0$, on a $f(x) \geqslant 0$ pour tout $x$, avec égalité uniquement en $x = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x)$ est strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$"]Non.
Il y a une valeur où $f$ s'annule : c'est la racine double du trinôme. Calculer $\Delta$ pour la trouver.[/reponse]
[reponse motif="$f(x)$ est négatif en $x = 3$ et positif ailleurs"]Non.
Quand $\Delta = 0$, le trinôme ne change pas de signe : il touche l'axe des abscisses sans le traverser. Il reste donc du signe de $a$, en s'annulant en la racine.[/reponse]
[reponse motif="$f(x)$ change de signe en $x = 3$"]Non.
Avec $\Delta = 0$, la parabole touche l'axe des abscisses tangentiellement et reste du même côté. Il n'y a pas de changement de signe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\Delta$. S'il est nul, le trinôme est du signe de $a$ partout, sauf à la racine double où il s'annule.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $(x - 1)(x + 2) \leqslant 0$ ?
[qcm]
[option]$]{-}\infty~;~-2] \cup [1~;~+\infty[$[/option]
[option]$[1~;~2]$[/option]
[option]$]{-}2~;~1[$[/option]
[option correct="true"]$[-2~;~1]$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le trinôme $(x - 1)(x + 2)$ est déjà factorisé : ses racines sont $1$ et $-2$, et son coefficient dominant est $1 > 0$.
Il est donc négatif entre les racines et positif à l'extérieur.
Comme l'inéquation est large ($\leqslant 0$), les bornes $-2$ et $1$ sont incluses : $S = [-2~;~1]$.[/reponse]
[reponse motif="$]{-}\infty~;~-2] \cup [1~;~+\infty[$"]Non.
C'est l'ensemble où le trinôme est positif (à l'extérieur des racines). On cherche ici l'ensemble où il est négatif ou nul, qui est à l'intérieur.[/reponse]
[reponse motif="$[1~;~2]$"]Non.
Les racines sont $1$ et $-2$ (le facteur $(x + 2)$ s'annule en $x = -2$, pas en $x = 2$). Reprendre la lecture des racines.[/reponse]
[reponse motif="$]{-}2~;~1[$"]Non.
L'inéquation est large ($\leqslant$), donc les bornes doivent être incluses : utiliser des crochets fermés, pas des crochets ouverts.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Repérer les racines du produit factorisé. Entre elles, le trinôme est du signe opposé à $a$ ; à l'extérieur, il est du signe de $a$. Adapter ensuite les bornes selon l'inégalité (stricte ou large).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ le trinôme défini sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 + x + 3$. Quel est le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$f(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$[/option]
[option]$f(x) < 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$[/option]
[option]$f(x)$ s'annule une seule fois[/option]
[option]$f(x)$ change de signe deux fois[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$\Delta = 1^2 - 4 \times 2 \times 3 = 1 - 24 = -23$, donc $\Delta < 0$.
Le trinôme n'a pas de racine réelle : il ne s'annule jamais et garde le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$.
Comme $a = 2 > 0$, on a $f(x) > 0$ pour tout $x$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) < 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$"]Non.
Le signe d'un trinôme sans racine réelle est celui de son coefficient dominant $a$. Ici $a = 2 > 0$, donc le signe est positif.[/reponse]
[reponse motif="$f(x)$ s'annule une seule fois"]Non.
Une annulation unique correspond au cas $\Delta = 0$. Calculer le discriminant et vérifier son signe avant de conclure.[/reponse]
[reponse motif="$f(x)$ change de signe deux fois"]Non.
Un changement de signe nécessite l'existence de racines réelles, donc $\Delta \geqslant 0$. Vérifier le signe du discriminant ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer le discriminant. Si $\Delta < 0$, le trinôme garde partout le signe de son coefficient dominant $a$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]