Factoriser chacune des expressions suivantes en cherchant le facteur commun le plus complet possible.

1. $ A = 7x + 7 \times 4 $
2. $ B = 6x + 9 $
3. $ C = 5x^2 + 3x $
4. $ D = 12y - 18 $
5. $ E = 8a^2 - 6a $
6. $ F = (x + 1) \times 5 + (x + 1) \times 7 $

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tout nombre $x$ et tout nombre $y$, $5x + 5y = 5(x + y)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le facteur commun $5$ peut être mis devant la parenthèse : $5x + 5y = 5(x + y)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La distributivité fonctionne dans les deux sens : factoriser revient à appliquer $ka + kb = k(a + b)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $5$ est un facteur commun aux deux termes : $5x + 5y = 5(x + y)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : On peut factoriser $9x - 12$ en mettant $3$ en facteur.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$9 = 3 \times 3$ et $12 = 3 \times 4$, donc $9x - 12 = 3(3x - 4)$. Le facteur $3$ est bien commun aux deux termes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$3$ divise à la fois $9$ et $12$, on peut donc le mettre en facteur : $9x - 12 = 3(3x - 4)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $9 = 3 \times 3$ et $12 = 3 \times 4$, donc $9x - 12 = 3(3x - 4)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout nombre $x$, $4x^{2} + 6x = 2x(2x + 3)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le facteur commun complet est $2x$ : $4x^{2} = 2x \times 2x$ et $6x = 2x \times 3$, d'où $2x(2x + 3)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On peut vérifier en développant : $2x(2x + 3) = 4x^{2} + 6x$. La factorisation est correcte.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $4x^{2} = 2x \times 2x$ et $6x = 2x \times 3$, donc $4x^{2} + 6x = 2x(2x + 3)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout nombre $x$, $7x + 7 = 7x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Quand on met $7$ en facteur du second terme, il reste $7 \div 7 = 1$, pas $0$. La factorisation correcte est $7(x + 1)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le terme $7$ ne disparaît pas lors de la factorisation : il s'écrit $7 \times 1$. Le résultat correct est $7(x + 1)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $7 = 7 \times 1$, donc $7x + 7 = 7(x + 1)$, et non $7x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout nombre $x$, factoriser $5x^{2} - 5x$ donne $5x(x - 1)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le facteur commun complet est $5x$ : $5x^{2} = 5x \times x$ et $5x = 5x \times 1$, d'où $5x(x - 1)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On peut vérifier en développant : $5x(x - 1) = 5x \times x - 5x \times 1 = 5x^{2} - 5x$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $5x$ est le facteur commun complet : $5x^{2} - 5x = 5x \times x - 5x \times 1 = 5x(x - 1)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout nombre $x$, $2(x + 1) + 3(x + 1) = 5(x + 1)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
La parenthèse $(x + 1)$ est un facteur commun aux deux termes : $(x + 1)(2 + 3) = 5(x + 1)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une parenthèse peut servir de facteur commun. En la mettant en facteur, il reste la somme des coefficients : $2 + 3 = 5$, d'où $5(x + 1)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $(x + 1)$ est un facteur commun : $2(x + 1) + 3(x + 1) = (x + 1)(2 + 3) = 5(x + 1)$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la factorisation par un facteur commun. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est le facteur commun de l'expression $6x + 6 \times 5$ ?
[qcm]
[option]$x$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[option]$5$[/option]
[option]$6x$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On lit le facteur $6$ dans les deux termes : $6 \times x$ et $6 \times 5$. Il est donc commun.[/reponse]
[reponse motif="$x$"]Non.
La lettre $x$ n'apparaît que dans le premier terme. Un facteur commun doit être présent dans chaque terme.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5$ n'apparaît pas dans le premier terme. Repérer ce qui est présent dans les deux termes.[/reponse]
[reponse motif="$6x$"]Non.
$6x$ n'est pas un facteur du second terme : il y a $6 \times 5$, pas $6x \times \text{quelque chose}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le $6$ apparaît comme facteur dans les deux termes : $6x = 6 \times x$ et $6 \times 5$. C'est le facteur commun.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Factoriser $A = 4x + 12$.
[qcm]
[option]$4(x + 12)$[/option]
[option correct="true"]$4(x + 3)$[/option]
[option]$4x(1 + 3)$[/option]
[option]$4 + (x + 3)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$12 = 4 \times 3$, donc $A = 4 \times x + 4 \times 3 = 4(x + 3)$.[/reponse]
[reponse motif="$4(x + 12)$"]Non.
Quand on met $4$ en facteur, le second terme devient $12 \div 4 = 3$, pas $12$.[/reponse]
[reponse motif="$4x(1 + 3)$"]Non.
$x$ n'est pas un facteur commun : il n'apparaît pas dans le terme $12$.[/reponse]
[reponse motif="$4 + (x + 3)$"]Non.
Une factorisation transforme une somme en produit. Le résultat doit avoir un signe $\times$ implicite, pas un signe $+$ entre les facteurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$4x + 12 = 4 \times x + 4 \times 3 = 4(x + 3)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Factoriser $B = 7x - 7$.
[qcm]
[option]$7(x - 7)$[/option]
[option]$7 - 7x$[/option]
[option correct="true"]$7(x - 1)$[/option]
[option]$7x \times (-1)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On peut écrire $7$ comme $7 \times 1$, donc $B = 7 \times x - 7 \times 1 = 7(x - 1)$.[/reponse]
[reponse motif="$7(x - 7)$"]Non.
Quand on met $7$ en facteur du second terme, il reste $7 \div 7 = 1$, pas $7$.[/reponse]
[reponse motif="$7 - 7x$"]Non.
Cette écriture n'est pas une factorisation : il faut un produit, et l'ordre des termes a été inversé.[/reponse]
[reponse motif="$7x \times (-1)$"]Non.
Cette écriture vaut $-7x$, ce qui ne correspond pas à $7x - 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$7 = 7 \times 1$, donc $7x - 7 = 7 \times x - 7 \times 1 = 7(x - 1)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Factoriser $C = 5x + 10x^{2}$.
[qcm]
[option]$5(x + 10x^{2})$[/option]
[option correct="true"]$5x(1 + 2x)$[/option]
[option]$5x(0 + 2x)$[/option]
[option]$x(5 + 2x)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le facteur commun le plus complet est $5x$ : $5x = 5x \times 1$ et $10x^{2} = 5x \times 2x$, d'où $5x(1 + 2x)$.[/reponse]
[reponse motif="$5(x + 10x^{2})$"]Non.
Le facteur $5$ est commun, mais $x$ aussi : il faut chercher le facteur commun le plus complet.[/reponse]
[reponse motif="$5x(0 + 2x)$"]Non.
Quand on met $5x$ en facteur du premier terme $5x$, il reste $1$ (pas $0$). Vérifier : $5x \times 1 = 5x$.[/reponse]
[reponse motif="$x(5 + 2x)$"]Non.
Cette factorisation est partielle : on peut encore factoriser le coefficient $5$ qui est commun aux deux termes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le facteur commun complet est $5x$ : $5x + 10x^{2} = 5x \times 1 + 5x \times 2x = 5x(1 + 2x)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Factoriser $D = 9x^{2} - 6x$.
[qcm]
[option correct="true"]$3x(3x - 2)$[/option]
[option]$3x(3x - 6)$[/option]
[option]$3(3x^{2} - 2x)$[/option]
[option]$x(9x - 6)$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le facteur commun le plus complet est $3x$ : $9x^{2} = 3x \times 3x$ et $6x = 3x \times 2$, d'où $3x(3x - 2)$.[/reponse]
[reponse motif="$3x(3x - 6)$"]Non.
Quand on met $3x$ en facteur de $6x$, il reste $6x \div 3x = 2$ (pas $6$).[/reponse]
[reponse motif="$3(3x^{2} - 2x)$"]Non.
La factorisation est partielle : on a oublié que $x$ est aussi un facteur commun aux deux termes.[/reponse]
[reponse motif="$x(9x - 6)$"]Non.
La factorisation est partielle : on a oublié que $3$ est aussi un facteur commun aux deux coefficients.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le facteur commun complet est $3x$ : $9x^{2} - 6x = 3x \times 3x - 3x \times 2 = 3x(3x - 2)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Factoriser $E = (x + 2) \times 5 + (x + 2) \times 7$.
[qcm]
[option]$12(x + 2)^{2}$[/option]
[option]$(x + 2) \times 35$[/option]
[option correct="true"]$12(x + 2)$[/option]
[option]$5 + 7(x + 2)$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$(x + 2)$ est le facteur commun. En le mettant en facteur, il reste $5 + 7 = 12$, d'où $12(x + 2)$.[/reponse]
[reponse motif="$12(x + 2)^{2}$"]Non.
$(x + 2)$ apparaît une seule fois dans le résultat, pas deux. Quand on factorise $a \times k_{1} + a \times k_{2}$, on obtient $a(k_{1} + k_{2})$.[/reponse]
[reponse motif="$(x + 2) \times 35$"]Non.
Pour additionner les coefficients, on calcule $5 + 7 = 12$, pas $5 \times 7 = 35$.[/reponse]
[reponse motif="$5 + 7(x + 2)$"]Non.
Cette écriture n'est pas une factorisation : la parenthèse $(x + 2)$ doit apparaître en facteur de toute la somme $5 + 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(x + 2)$ est le facteur commun : $(x + 2) \times 5 + (x + 2) \times 7 = (x + 2)(5 + 7) = 12(x + 2)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]