[enonce]
On considère l'expression :

$ B = 4x^{2} + 12x + 9 - (2x + 3)(x - 1) $

Factoriser $ B $, puis résoudre l'équation $ B = 0 $.
[/enonce]

[etape]
Commencer par factoriser le groupe $4x^{2} + 12x + 9$ : [[fact1]]
[math id="fact1" attendu="(2x+3)^2" format="factorise"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$4x^{2} + 12x + 9 = (2x)^{2} + 2 \times 2x \times 3 + 3^{2} = (2x + 3)^{2}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais il faut donner la forme factorisée.[/reponse]
[reponse motif="(2x-3)^2"]Non.
$(2x-3)^{2}$ donnerait un double produit négatif. Or ici le terme en $x$ est $+12x$.
Quel signe faut-il dans l'identité remarquable ?[/reponse]
[reponse motif="(4x+3)^2"]Non.
$(4x+3)^{2} = 16x^{2} + 24x + 9$. Le premier terme est $4x^{2}$, donc $a = 2x$ (pas $4x$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Chercher $a$ et $b$ tels que $a^{2} = 4x^{2}$ et $b^{2} = 9$, puis vérifier que $2ab = 12x$.[/reponse]
[aide essai="2"]$4x^{2} = (2x)^{2}$ et $9 = 3^{2}$ : c'est peut-être un carré parfait.
Vérifier : $2 \times 2x \times 3 = 12x$. C'est bien la forme $a^{2} + 2ab + b^{2}$.[/aide]
[aide essai="3"]$a = 2x$ et $b = 3$. Écrire $(a + b)^{2}$.[/aide]
[/math]
[solution]$4x^{2} + 12x + 9 = (2x + 3)^{2}$, car $(2x)^{2} + 2 \times 2x \times 3 + 3^{2}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
$B$ s'écrit maintenant $(2x + 3)^{2} - (2x + 3)(x - 1)$.

Quelle est la bonne factorisation (avant simplification du crochet) ?
[qcm]
[option correct="true"]$(2x + 3)\left[(2x + 3) - (x - 1)\right]$[/option]
[option]$(x - 1)\left[(2x + 3) - (x - 1)\right]$[/option]
[option]$(2x + 3)\left[(2x + 3) + (x - 1)\right]$[/option]
[option]$(2x + 3)\left[(x - 1) - (2x + 3)\right]$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le facteur commun $(2x + 3)$ apparaît dans les deux termes. On le met en facteur et on soustrait le contenu du second terme au premier.[/reponse]
[reponse motif="$(x - 1)\left[(2x + 3) - (x - 1)\right]$"]Non.
$(x - 1)$ n'est pas un facteur commun : il n'apparaît pas dans $(2x+3)^{2}$.
Le facteur commun est $(2x + 3)$.[/reponse]
[reponse motif="$(2x + 3)\left[(2x + 3) + (x - 1)\right]$"]Non.
On a une soustraction entre les deux termes, pas une addition.
$B = (2x+3)^{2} - (2x+3)(x-1)$, le signe est $-$.[/reponse]
[reponse motif="$(2x + 3)\left[(x - 1) - (2x + 3)\right]$"]Non.
L'ordre de la soustraction est inversé. Le premier terme de $B$ est $(2x+3)^{2}$, c'est donc $(2x+3)$ qui apparaît en premier dans le crochet, pas $(x-1)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On écrit $(2x+3)^{2} = (2x+3)(2x+3)$, puis on factorise par $(2x+3)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]$B = (2x+3)(2x+3) - (2x+3)(x-1) = (2x+3)\left[(2x+3) - (x-1)\right]$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Réduire le crochet et donner la forme factorisée simplifiée de $B$ : [[factB]]
[math id="factB" attendu="(2x+3)(x+4)" format="factorise"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(2x + 3) - (x - 1) = 2x + 3 - x + 1 = x + 4$, d'où $B = (2x + 3)(x + 4)$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais il faut donner la forme factorisée.[/reponse]
[reponse motif="(2x+3)(x+2)"]Non.
Attention au signe : $-(x - 1) = -x + 1$, pas $-x - 1$.
Recalculer les constantes dans le crochet.[/reponse]
[reponse motif="(2x+3)(3x+2)"]Non.
On soustrait les termes en $x$ : $2x - x$, pas $2x + x$.
Recalculer $(2x+3) - (x-1)$ en distribuant le signe $-$.[/reponse]
[reponse motif="(2x+3)(x-4)"]Non.
Attention au signe des constantes : $-(- 1) = +1$, pas $-1$.
Recalculer $3 - (-1)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $(2x+3) - (x-1)$ en distribuant le signe $-$, puis écrire le produit.[/reponse]
[aide essai="2"]$-(x - 1) = -x + 1$.
Donc $(2x + 3) + (-x + 1) = ?$
Écrire le résultat sous la forme $(2x+3) \times (\ldots)$.[/aide]
[aide essai="3"]Termes en $x$ : $2x - x = ?$
Constantes : $3 + 1 = ?$
Écrire le produit $(2x+3) \times (\ldots)$.[/aide]
[/math]
[solution]$(2x+3) - (x-1) = 2x + 3 - x + 1 = x + 4$, donc $B = (2x+3)(x+4)$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Résoudre l'équation $B = 0$, c'est-à-dire $(2x + 3)(x + 4) = 0$.
[qcm]
[option]$x = \dfrac{3}{2}$ ou $x = 4$[/option]
[option]$x = -\dfrac{3}{2}$ ou $x = 4$[/option]
[option correct="true"]$x = -\dfrac{3}{2}$ ou $x = -4$[/option]
[option]$x = \dfrac{3}{2}$ ou $x = -4$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$2x + 3 = 0$ donne $x = -\dfrac{3}{2}$.
$x + 4 = 0$ donne $x = -4$.[/reponse]
[reponse motif="$x = \dfrac{3}{2}$ ou $x = 4$"]Non.
Attention aux signes dans chaque résolution.
Résoudre $2x + 3 = 0$ et $x + 4 = 0$ pas à pas.[/reponse]
[reponse motif="$x = -\dfrac{3}{2}$ ou $x = 4$"]Non.
Une des deux solutions est correcte. Vérifier l'autre en résolvant $x + 4 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$x = \dfrac{3}{2}$ ou $x = -4$"]Non.
Une des deux solutions est correcte. Vérifier l'autre en résolvant $2x + 3 = 0$ attentivement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre chaque facteur séparément : $2x + 3 = 0$ et $x + 4 = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]$2x + 3 = 0$ donne $x = -\dfrac{3}{2}$ et $x + 4 = 0$ donne $x = -4$.[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la factorisation (facteur commun et identités remarquables). Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la factorisation la plus complète de $6x^{2} + 15x$ ?
[qcm]
[option]$3(2x^{2} + 5x)$[/option]
[option]$x(6x + 15)$[/option]
[option correct="true"]$3x(2x + 5)$[/option]
[option]$3x(3x + 5)$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le plus grand facteur commun est $3x$ :
$6x^{2} = 3x \times 2x$ et $15x = 3x \times 5$, d'où $3x(2x + 5)$.[/reponse]
[reponse motif="$3(2x^{2} + 5x)$"]C'est une factorisation correcte, mais elle n'est pas complète.
On peut encore factoriser par $x$ à l'intérieur de la parenthèse.
Le plus grand facteur commun est $3x$, ce qui donne $3x(2x + 5)$.[/reponse]
[reponse motif="$x(6x + 15)$"]C'est une factorisation correcte, mais elle n'est pas complète.
Les coefficients $6$ et $15$ ont un facteur commun $3$ que l'on peut encore extraire.
Le plus grand facteur commun est $3x$, ce qui donne $3x(2x + 5)$.[/reponse]
[reponse motif="$3x(3x + 5)$"]Non, cette écriture est incorrecte.
$3x \times 3x = 9x^{2} \neq 6x^{2}$. Le premier terme dans la parenthèse est $6x^{2} \div 3x = 2x$.
La bonne factorisation est $3x(2x + 5)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le plus grand facteur commun de $6x^{2}$ et $15x$ est $3x$, d'où $3x(2x + 5)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Factoriser $x^{2} - 25$.
[qcm]
[option]$(x - 5)^{2}$[/option]
[option correct="true"]$(x + 5)(x - 5)$[/option]
[option]$(x + 25)(x - 25)$[/option]
[option]$(x + 5)^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On reconnaît $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$ avec $a = x$ et $b = 5$ (car $25 = 5^{2}$) :
$x^{2} - 25 = (x+5)(x-5)$.[/reponse]
[reponse motif="$(x - 5)^{2}$"]Non.
$(x-5)^{2} = x^{2} - 10x + 25 \neq x^{2} - 25$.
La bonne identité est $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$, qui donne $(x+5)(x-5)$.[/reponse]
[reponse motif="$(x + 25)(x - 25)$"]Non.
Le nombre dont le carré vaut $25$ est $5$, pas $25$.
$x^{2} - 25 = x^{2} - 5^{2} = (x+5)(x-5)$.[/reponse]
[reponse motif="$(x + 5)^{2}$"]Non.
$(x+5)^{2} = x^{2} + 10x + 25 \neq x^{2} - 25$.
La bonne factorisation est $(x+5)(x-5)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$x^{2} - 25 = x^{2} - 5^{2} = (x+5)(x-5)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Factoriser $x^{2} + 8x + 16$.
[qcm]
[option]$(x + 8)^{2}$[/option]
[option]$(x + 4)(x - 4)$[/option]
[option]$(x - 4)^{2}$[/option]
[option correct="true"]$(x + 4)^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On reconnaît $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a+b)^{2}$ avec $a = x$ et $b = 4$ :
$x^{2} + 2 \times x \times 4 + 4^{2} = (x+4)^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$(x + 8)^{2}$"]Non.
$(x+8)^{2} = x^{2} + 16x + 64 \neq x^{2} + 8x + 16$.
Le $b$ vaut $4$ (car $4^{2} = 16$), pas $8$. La bonne factorisation est $(x+4)^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$(x + 4)(x - 4)$"]Non.
$(x+4)(x-4) = x^{2} - 16$, c'est une différence de carrés.
L'expression $x^{2} + 8x + 16$ est un carré parfait : $(x+4)^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$(x - 4)^{2}$"]Non.
$(x-4)^{2} = x^{2} - 8x + 16$. Le signe du double produit est $+8x$, pas $-8x$, donc c'est $(x+4)^{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$x^{2} + 8x + 16 = x^{2} + 2 \times x \times 4 + 4^{2} = (x+4)^{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Factoriser $(x + 3)(2x - 1) - (x + 3)(x + 5)$.
[qcm]
[option]$(x + 3)(3x + 4)$[/option]
[option]$(x + 3)(x + 4)$[/option]
[option correct="true"]$(x + 3)(x - 6)$[/option]
[option]$(2x - 1)(x + 5)$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le facteur commun est $(x+3)$ :
$(x+3)\left[(2x-1) - (x+5)\right] = (x+3)(2x - 1 - x - 5) = (x+3)(x-6)$.[/reponse]
[reponse motif="$(x + 3)(3x + 4)$"]Non.
C'est le résultat si on additionne les deux expressions au lieu de les soustraire.
On a une soustraction : $(2x-1) - (x+5) = 2x - 1 - x - 5 = x - 6$.[/reponse]
[reponse motif="$(x + 3)(x + 4)$"]Non.
Attention à bien distribuer le $-$ sur le $+5$ : $-(x+5) = -x - 5$, pas $-x + 5$.
$(2x-1) - (x+5) = 2x - 1 - x - 5 = x - 6$, d'où $(x+3)(x-6)$.[/reponse]
[reponse motif="$(2x - 1)(x + 5)$"]Non.
$(2x-1)$ et $(x+5)$ ne sont pas des facteurs communs de l'expression.
Le facteur commun est $(x+3)$, ce qui donne $(x+3)(x-6)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le facteur commun est $(x+3)$ : $(x+3)\left[(2x-1)-(x+5)\right] = (x+3)(x-6)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Factoriser $9x^{2} - 4$.
[qcm]
[option]$(9x + 2)(9x - 2)$[/option]
[option]$(3x - 2)^{2}$[/option]
[option correct="true"]$(3x + 2)(3x - 2)$[/option]
[option]$(3x + 4)(3x - 4)$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$9x^{2} - 4 = (3x)^{2} - 2^{2} = (3x+2)(3x-2)$.[/reponse]
[reponse motif="$(9x + 2)(9x - 2)$"]Non.
$\sqrt{9x^{2}} = 3x$ (pas $9x$). On cherche le nombre dont le carré est $9x^{2}$.
$9x^{2} - 4 = (3x)^{2} - 2^{2} = (3x+2)(3x-2)$.[/reponse]
[reponse motif="$(3x - 2)^{2}$"]Non.
$(3x-2)^{2} = 9x^{2} - 12x + 4 \neq 9x^{2} - 4$.
La bonne identité est $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$, qui donne $(3x+2)(3x-2)$.[/reponse]
[reponse motif="$(3x + 4)(3x - 4)$"]Non.
$(3x+4)(3x-4) = 9x^{2} - 16 \neq 9x^{2} - 4$.
Le nombre dont le carré vaut $4$ est $2$ (pas $4$) : $(3x+2)(3x-2)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$9x^{2} - 4 = (3x)^{2} - 2^{2} = (3x+2)(3x-2)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Factoriser $4x^{2} - 20x + 25$.
[qcm]
[option]$(2x + 5)^{2}$[/option]
[option]$(4x - 5)^{2}$[/option]
[option]$(2x - 5)(2x + 5)$[/option]
[option correct="true"]$(2x - 5)^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On reconnaît $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ avec $a = 2x$ et $b = 5$ :
$(2x)^{2} - 2 \times 2x \times 5 + 5^{2} = 4x^{2} - 20x + 25 = (2x-5)^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$(2x + 5)^{2}$"]Non.
$(2x+5)^{2} = 4x^{2} + 20x + 25$. Le signe du terme en $x$ est $-20x$, donc c'est $(2x-5)^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$(4x - 5)^{2}$"]Non.
$(4x-5)^{2} = 16x^{2} - 40x + 25 \neq 4x^{2} - 20x + 25$.
$\sqrt{4x^{2}} = 2x$ (pas $4x$), d'où $(2x-5)^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$(2x - 5)(2x + 5)$"]Non.
$(2x-5)(2x+5) = 4x^{2} - 25$, c'est une différence de carrés.
L'expression $4x^{2} - 20x + 25$ a trois termes, c'est un carré parfait : $(2x-5)^{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$4x^{2} - 20x + 25 = (2x)^{2} - 2 \times 2x \times 5 + 5^{2} = (2x-5)^{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : L'expression $(n + 1)^2 - (n - 1)^2$ est toujours un multiple de $4$ lorsque $n$ est un nombre entier.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On factorise avec $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ :
$\left[(n+1) + (n-1)\right]\left[(n+1) - (n-1)\right] = 2n \times 2 = 4n$.
Le résultat est $4n$, qui est bien un multiple de $4$ pour tout entier $n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de développer sans simplifier et de ne pas voir la structure.
En factorisant : $(n+1)^2 - (n-1)^2 = [(n+1)+(n-1)][(n+1)-(n-1)] = 2n \times 2 = 4n$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $(n+1)^2 - (n-1)^2 = 4n$, qui est un multiple de $4$ pour tout entier.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'expression $x^2 + 2x + 1$ peut prendre des valeurs négatives.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$, c'est un carré.
Un carré est toujours positif ou nul, il ne peut jamais être négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de ne pas reconnaître que cette expression est un carré parfait.
$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \geqslant 0$ pour tout nombre $x$. Un carré n'est jamais négatif.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$, qui est toujours positif ou nul.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $(3x + 5)(x - 2) = 0$, alors $x = 2$ ou $x = -\dfrac{5}{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$3x + 5 = 0$ donne $x = -\dfrac{5}{3}$, et $x - 2 = 0$ donne $x = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de se tromper dans la résolution de $3x + 5 = 0$.
$3x = -5$, donc $x = -\dfrac{5}{3}$ (et non $+\dfrac{5}{3}$). L'autre solution est bien $x = 2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par la règle du produit nul : $3x+5 = 0$ donne $x = -\dfrac{5}{3}$, et $x-2 = 0$ donne $x = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'expression $x^2 - 6x + 9$ est nulle pour $x = -3$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$. Cette expression est nulle pour $x = 3$, pas pour $x = -3$.
Pour $x = -3$ : $(-3-3)^2 = (-6)^2 = 36 \neq 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre le signe dans $(x-3)^2 = 0$, qui donne $x = 3$ et non $x = -3$.
On vérifie : pour $x = -3$, on obtient $9 + 18 + 9 = 36$, ce qui n'est pas nul.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$, qui s'annule pour $x = 3$ (pas $-3$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 = -9$ admet deux solutions : $x = 3$ et $x = -3$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un carré est toujours positif ou nul : $x^2 \geqslant 0$ pour tout nombre $x$.
L'équation $x^2 = -9$ n'admet donc aucune solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre $x^2 = 9$ (qui admet $3$ et $-3$) avec $x^2 = -9$.
Un carré ne peut jamais être négatif, donc $x^2 = -9$ n'a aucune solution.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $x^2 \geqslant 0$ pour tout $x$, donc $x^2 = -9$ n'a aucune solution. Le piège est de confondre avec $x^2 = 9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $x^2 = x$, alors la seule solution est $x = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$x^2 - x = 0$, soit $x(x - 1) = 0$.
Donc $x = 0$ ou $x = 1$ : il y a deux solutions, pas une seule.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de diviser les deux membres par $x$, ce qui fait perdre la solution $x = 0$.
On factorise : $x^2 - x = x(x-1) = 0$, d'où $x = 0$ ou $x = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $x^2 = x$ donne $x(x-1) = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 1$. On ne divise jamais par $x$ sans vérifier que $x \neq 0$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On reconnaît $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ avec $a = x$ et $b = 3$ :
$x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas reconnaître que $9 = 3^2$.
C'est la troisième identité remarquable : $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est une application directe de $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ avec $a = x$ et $b = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $x^2 + 16 = (x + 4)(x - 4)$

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(x+4)(x-4) = x^2 - 16$, pas $x^2 + 16$.
Une somme de deux carrés ne se factorise pas avec les identités remarquables.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre $a^2 - b^2$ (qui se factorise) et $a^2 + b^2$ (qui ne se factorise pas).
$(x+4)(x-4) = x^2 - 16 \neq x^2 + 16$. Le signe $+$ empêche la factorisation.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $(x+4)(x-4) = x^2 - 16$. L'expression $x^2 + 16$ est une somme de deux carrés, elle ne se factorise pas.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $12x^3 - 8x^2 = 4x^2(3x - 2)$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le facteur commun est $4x^2$ :
$12x^3 = 4x^2 \times 3x$ et $8x^2 = 4x^2 \times 2$, d'où $4x^2(3x - 2)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas prendre le plus grand facteur commun.
$12x^3 = 4x^2 \times 3x$ et $8x^2 = 4x^2 \times 2$, donc $12x^3 - 8x^2 = 4x^2(3x-2)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le plus grand facteur commun de $12x^3$ et $8x^2$ est $4x^2$, ce qui donne $4x^2(3x - 2)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $4x^2 - 12x + 9 = (4x - 3)^2$

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(4x-3)^2 = 16x^2 - 24x + 9$, ce qui ne correspond pas.
La bonne factorisation est $(2x-3)^2$ car $4x^2 = (2x)^2$ et $9 = 3^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de croire que $4x^2 = (4x)^2$, alors que $4x^2 = (2x)^2$.
On vérifie : $(2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$.
Donc $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $4x^2 - 12x + 9 = (2x-3)^2$, car $4x^2 = (2x)^2$, pas $(4x)^2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $(x + 5)^2 - (x + 5)(2x - 3) = (x + 5)(-x + 8)$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le facteur commun est $(x+5)$ :
$(x+5)\left[(x+5) - (2x-3)\right] = (x+5)(x + 5 - 2x + 3) = (x+5)(-x+8)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas voir le facteur commun $(x+5)$ quand l'un des termes est un carré.
On écrit $(x+5)^2 = (x+5)(x+5)$, puis on factorise :
$(x+5)\left[(x+5) - (2x-3)\right] = (x+5)(-x+8)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On écrit $(x+5)^2 = (x+5)(x+5)$, le facteur commun est $(x+5)$, et on obtient $(x+5)(-x+8)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)(x - 3)$

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(x+3)(x-3) = x^2 - 9$, ce n'est pas la même expression.
$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$ (carré d'une somme).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre la différence de deux carrés et le carré d'une somme.
$x^2 + 6x + 9$ a trois termes, c'est un carré parfait : $x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = (x+3)^2$.
La factorisation $(x+3)(x-3)$ donnerait $x^2 - 9$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$. L'expression $(x+3)(x-3)$ vaut $x^2 - 9$, c'est une erreur d'identité remarquable.
[/solution]
[/etape]

Factoriser les expressions suivantes :

1. $ A = (x + 3)^{2} - 16 $
2. $ B = 4x^{2} - (x - 1)^{2} $
3. $ C = (3x + 2)^{2} - (3x + 2)(x - 5) $
4. $ D = 9x^{2} + 12x + 4 - (3x + 2)(x - 1) $