[enonce]
Ce QCM porte sur l'étude de fonctions trigonométriques : variations, extrema et tangentes. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Sur l'intervalle $[0\,;\,\pi]$, la fonction sinus est :
[qcm]
[option]croissante[/option]
[option]décroissante[/option]
[option correct="true"]croissante puis décroissante[/option]
[option]décroissante puis croissante[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\sin'(x) = \cos(x)$. Sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\cos(x) \geqslant 0$ donc $\sin$ est croissante. Sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$, $\cos(x) \leqslant 0$ donc $\sin$ est décroissante. Le maximum $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$ est atteint en $\dfrac{\pi}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="croissante"]Non.
$\sin$ ne peut pas être croissante sur tout $[0\,;\,\pi]$ : on a $\sin(0) = 0$ et $\sin(\pi) = 0$, donc une fonction strictement monotone non constante est exclue.[/reponse]
[reponse motif="décroissante"]Non.
La courbe de $\sin$ part de $0$ en $x = 0$ et atteint $1$ en $x = \dfrac{\pi}{2}$ : sur la première moitié, $\sin$ croît, donc elle n'est pas décroissante sur tout $[0\,;\,\pi]$.[/reponse]
[reponse motif="décroissante puis croissante"]Non.
Le sens des variations a été inversé. Étudier le signe de $\sin'(x) = \cos(x)$ sur $[0\,;\,\pi]$ : $\cos$ est positif puis négatif sur cet intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier le signe de $\sin'(x) = \cos(x)$ sur $[0\,;\,\pi]$ : $\cos(x) \geqslant 0$ sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ et $\cos(x) \leqslant 0$ sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x) - x$. Sur $\mathbb{R}$, la fonction $f$ est :
[qcm]
[option]croissante[/option]
[option correct="true"]décroissante[/option]
[option]croissante puis décroissante[/option]
[option]périodique de période $2\pi$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f'(x) = \cos(x) - 1$. Comme $\cos(x) \leqslant 1$ pour tout $x$, on a $f'(x) \leqslant 0$ partout, et $f'(x) = 0$ uniquement aux points $x = 2k\pi$ (qui sont isolés). Donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse motif="croissante"]Non.
Le signe de $f'$ a été pris à l'envers. Calculer $f'(x) = \cos(x) - 1$ et observer que $\cos(x) - 1$ est toujours négatif ou nul.[/reponse]
[reponse motif="croissante puis décroissante"]Non.
Si $f$ avait un extremum local, $f'$ devrait changer de signe. Or $f'(x) = \cos(x) - 1$ ne change jamais de signe : il est toujours $\leqslant 0$.[/reponse]
[reponse motif="périodique de période $2\pi$"]Non.
Le terme $-x$ rend $f$ non périodique : $f(x + 2\pi) = \sin(x) - x - 2\pi \neq f(x)$ en général. La présence de $-x$ casse la périodicité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f'(x) = \cos(x) - 1$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$. Comme $-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1$, on a $\cos(x) - 1 \leqslant 0$ partout.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$, la fonction $f(x) = \cos(x)$ atteint son minimum en :
[qcm]
[option]$x = 0$[/option]
[option]$x = \dfrac{\pi}{2}$[/option]
[option correct="true"]$x = \pi$[/option]
[option]$x = 2\pi$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\cos$ atteint son minimum, $-1$, lorsque le point du cercle est en $(-1\,;\,0)$, c'est-à-dire à l'angle $\pi$. Sur $[0\,;\,2\pi]$, ce minimum est atteint en $x = \pi$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 0$"]Non.
$\cos(0) = 1$ : c'est au contraire le maximum de $\cos$ sur l'intervalle, pas le minimum.[/reponse]
[reponse motif="$x = \dfrac{\pi}{2}$"]Non.
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$, ce qui n'est ni le maximum ($1$) ni le minimum ($-1$) de la fonction.[/reponse]
[reponse motif="$x = 2\pi$"]Non.
$\cos(2\pi) = 1$ par périodicité : c'est de nouveau le maximum, pas le minimum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le minimum de $\cos$ vaut $-1$. Repérer l'angle qui place le point du cercle à l'extrême gauche, en $(-1\,;\,0)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x)\cos(x)$. Une expression simplifiée de $f'(x)$ est :
[qcm]
[option]$f'(x) = \sin(2x)$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = \cos(2x)$[/option]
[option]$f'(x) = -\sin(2x)$[/option]
[option]$f'(x) = 2\cos(x)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Avec la formule du produit : $f'(x) = \cos(x)\cos(x) + \sin(x) \times (-\sin(x)) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$ (formule de duplication).[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \sin(2x)$"]Non.
$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ correspond à la fonction $f$ multipliée par $2$, pas à sa dérivée. Confusion entre $f$ (qui vaut $\dfrac{1}{2}\sin(2x)$) et $f'$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = -\sin(2x)$"]Non.
Erreur de signe et confusion avec la dérivée de $\cos(2x)$. Appliquer correctement la formule $(uv)' = u'v + uv'$ ou réécrire $f(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x)$ avant de dériver.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 2\cos(x)$"]Non.
$f$ est un produit, pas une simple composée. La règle de dérivation d'un produit donne deux termes, pas une simple multiplication par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = \sin$, $v = \cos$, ou bien réécrire $f(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x)$ et dériver.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La courbe de la fonction $f(x) = \cos(x)$ admet en $x = 0$ une tangente d'équation :
[qcm]
[option]$y = x$[/option]
[option]$y = -x$[/option]
[option]$y = x + 1$[/option]
[option correct="true"]$y = 1$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'équation de la tangente en $x = a$ est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Ici $f(0) = \cos(0) = 1$ et $f'(0) = -\sin(0) = 0$, d'où $y = 0 \times (x - 0) + 1 = 1$. La tangente est horizontale.[/reponse]
[reponse motif="$y = x$"]Non.
La pente de la tangente est $f'(0)$, qui doit être calculée. Or $f'(x) = -\sin(x)$, donc $f'(0) = 0$, pas $1$.[/reponse]
[reponse motif="$y = -x$"]Non.
$f'(x) = -\sin(x)$ donne bien un signe $-$, mais $-\sin(0) = 0$, pas $-1$. La pente vaut $0$.[/reponse]
[reponse motif="$y = x + 1$"]Non.
La constante $f(0) = 1$ est correcte, mais la pente n'est pas $1$. Calculer $f'(0)$ pour trouver la pente.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Formule de la tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Calculer $f(0)$ et $f'(0)$, puis substituer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$. La valeur maximale de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{2}$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$f'(x) = \cos(x) - \sin(x)$. $f'(x) = 0$ équivaut à $\cos(x) = \sin(x)$, soit $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$. En $x = \dfrac{\pi}{4}$ : $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. C'est bien le maximum (le minimum, atteint en $\dfrac{5\pi}{4}$, vaut $-\sqrt{2}$).[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1$ est le maximum de $\sin$ seul ou de $\cos$ seul, pas de leur somme. La somme peut atteindre une valeur plus grande lorsque les deux fonctions sont positives simultanément.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$\sin$ et $\cos$ ne peuvent pas atteindre $1$ en même temps : il y a un décalage de $\dfrac{\pi}{2}$ entre leurs maxima. Additionner les bornes individuelles surévalue le maximum réel.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$"]Non.
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est la valeur de $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ ou de $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ pris séparément. La somme des deux donne le double, soit $\sqrt{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier les variations de $f$ : calculer $f'(x) = \cos(x) - \sin(x)$, résoudre $f'(x) = 0$, puis évaluer $f$ aux points critiques.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

On définit la fonction tangente ($ \tan $) par :

1. Sur quel ensemble $ D $ la fonction tangente est elle définie ?
2. Montrer que la fonction tangente est périodique de période $ \pi $.
   
   Par la suite on étudiera la fonction tangente sur l'intervalle $ I=\left] - \dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi }{2}\right[ $.

3. Montrer que la fonction tangente est dérivable sur $ I $ et que pour tout $ x \in I $ :

   $ \tan^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{\cos^{2}\left(x\right)}=1+\tan^{2}\left(x\right) $
4. Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow - \pi /2+}\tan\left(x\right) $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow \pi /2 - }\tan\left(x\right) $.
   
   (On rappelle que la notation « $ x\rightarrow - \pi /2+ $ » signifie : « $ x\rightarrow - \pi /2 $ et $ x > - \pi /2 $ »
   
   et « $ x\rightarrow \pi /2 - $ » signifie : « $ x\rightarrow \pi /2 $ et $ x < \pi /2 $ »)
5. Tracer le tableau de variation de la fonction tangente sur l'intervalle $ I $.
6. Tracer la courbe de la fonction tangente sur l'intervalle $ I $.
   A partir de cette courbe, comment obtiendrait-on la courbe complète de la fonction tangente sur $ \mathbb{R} $?

Soit la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ I = \left[0 ; \pi \right] $ par :

1. Calculer $ f^{\prime}\left(x\right) $
2. Tracer le tableau de variation de $ f $ sur l'intervalle $ I = \left[0 ; \pi \right] $
3. Montrer que l'équation $ f\left(x\right)= - 1 $ possède une unique solution sur $ I $.

(d'après Bac S Nouvelle Calédonie 2005 - Sujet modifié pour être conforme au programme actuel)

Un lapin désire traverser une route de $ 4 $ mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de $ 60 $ km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n'est plus qu'à $ 7 $ mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu'il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c'est à dire à ... $ 30 $ km/h !

L'avant du camion est représenté par le segment $ \left[CC^{\prime}\right] $ sur le schéma ci-dessous.

Le lapin part du point $ A $ en direction de $ D $.

Cette direction est repérée par l'angle $ \theta =\widehat{BAD} $ avec $ 0 \leqslant \theta < \dfrac{\pi }{2} $(en radians).

1. Déterminer les distances $ AD $ et $ CD $ en fonction de $ \theta $ et les temps $ t_{1} $ et $ t_{2} $ mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances $ AD $ et $ CD $.
2. On pose $ f\left(\theta \right)=\dfrac{7}{2}+\dfrac{2 \sin \theta - 4}{\cos \theta } $.
   
   Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $ f\left(\theta \right) > 0 $.
3. Étudier la fonction $ f $ sur l'intervalle $ \left[0 ; \dfrac{\pi }{2}\right[ $.
   
   Conclure.