[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul d'images et la recherche d'antécédents. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Quelle est la valeur de $f(-2)$ ?
[qcm]
[option]$-1$[/option]
[option]$3$[/option]
[option]$11$[/option]
[option correct="true"]$15$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
On remplace $x$ par $-2$ :
$f(-2) = 2 \times (-2)^2 - 3 \times (-2) + 1 = 2 \times 4 + 6 + 1 = 15$[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Attention, $(-2)^2 = 4$ et non $-4$. Le carré d'un nombre négatif est toujours positif. Recalculer en remplaçant soigneusement $x$ par $(-2)$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Vérifier le signe de $-3 \times (-2)$ : le produit de deux négatifs donne un résultat positif. Recalculer chaque terme séparément.[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
Ne pas oublier le coefficient $2$ devant $x^2$ : il faut calculer $2 \times (-2)^2$ et non simplement $(-2)^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $x$ par $(-2)$ dans chaque terme, en n'oubliant pas les parenthèses autour du nombre négatif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $g(x) = \dfrac{x + 3}{2x - 1}$. Pour quelle valeur de $x$ la fonction $g$ n'est-elle pas définie ?
[qcm]
[option]$x = -3$[/option]
[option]$x = -\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$x = \dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$x = 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction $g$ n'est pas définie lorsque le dénominateur s'annule :
$2x - 1 = 0$, soit $2x = 1$, d'où $x = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$x = -3$"]Non.
La valeur $x = -3$ annule le numérateur ($x + 3 = 0$), pas le dénominateur. C'est le dénominateur qui ne doit pas être nul.[/reponse]
[reponse motif="$x = -\dfrac{1}{2}$"]Non.
Attention au signe. Résoudre $2x - 1 = 0$ donne $x = \dfrac{1}{2}$, pas $x = -\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 1$"]Non.
Vérifier en remplaçant : $2 \times 1 - 1 = 1 \neq 0$. Résoudre soigneusement $2x - 1 = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une fraction n'est pas définie quand son dénominateur vaut $0$. Résoudre $2x - 1 = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f(x) = 2x + 3$. Quel est l'antécédent de $11$ par $f$ ?
[qcm]
[option]$-4$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$7$[/option]
[option]$25$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On résout $f(x) = 11$ :
$2x + 3 = 11$, soit $2x = 8$, d'où $x = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$-4$"]Non.
Attention au signe : $2x + 3 = 11$ donne $2x = 11 - 3 = 8$, pas $-8$. Vérifier le passage de $+3$ à l'autre membre.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
Attention au sens de l'opération : il faut soustraire $3$ (et non l'ajouter) pour isoler $2x$. Reprendre la résolution de $2x + 3 = 11$.[/reponse]
[reponse motif="$25$"]Non.
La question demande l'antécédent de $11$, c'est-à-dire la valeur de $x$ telle que $f(x) = 11$. Résoudre $2x + 3 = 11$ au lieu de calculer $f(11)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Chercher l'antécédent de $11$, c'est résoudre l'équation $f(x) = 11$, soit $2x + 3 = 11$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $f(3) = 7$. Que peut-on affirmer ?
[qcm]
[option correct="true"]$7$ est l'image de $3$ par $f$[/option]
[option]$3$ est l'image de $7$ par $f$[/option]
[option]$7$ est un antécédent de $3$ par $f$[/option]
[option]Le nombre $3$ n'a pas d'antécédent par $f$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Par définition, $f(3) = 7$ signifie que l'image de $3$ par $f$ est $7$. On dit aussi que $3$ est un antécédent de $7$ par $f$.[/reponse]
[reponse motif="$3$ est l'image de $7$ par $f$"]Non.
L'écriture $f(3) = 7$ se lit « l'image de $3$ est $7$ », pas l'inverse. Ne pas confondre la variable et le résultat.[/reponse]
[reponse motif="$7$ est un antécédent de $3$ par $f$"]Non.
C'est l'inverse : $3$ est un antécédent de $7$ (car $f(3) = 7$). Revoir la définition : l'antécédent est la valeur de départ, l'image est le résultat.[/reponse]
[reponse motif="Le nombre $3$ n'a pas d'antécédent par $f$"]Non.
La question porte sur le vocabulaire image/antécédent. L'écriture $f(3) = 7$ donne une information sur l'image de $3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revoir les définitions : dans $f(3) = 7$, le nombre $3$ est la variable et $7$ est le résultat du calcul.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $h(x) = -x^2 + 4$. Combien le nombre $3$ a-t-il d'antécédents par $h$ ?
[qcm]
[option]Aucun[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On résout $h(x) = 3$ :
$-x^2 + 4 = 3$, soit $x^2 = 1$, d'où $x = 1$ ou $x = -1$.
Le nombre $3$ a bien deux antécédents.[/reponse]
[reponse motif="Aucun"]Non.
L'équation $-x^2 + 4 = 3$ admet des solutions. Résoudre en isolant $x^2$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Ne pas oublier que l'équation $x^2 = k$ (avec $k > 0$) a toujours deux solutions : une positive et une négative.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Ne pas confondre la valeur cherchée ($3$) avec le nombre de solutions. Résoudre $-x^2 + 4 = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $h(x) = 3$, c'est-à-dire $-x^2 + 4 = 3$, puis compter le nombre de solutions.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f(x) = x^2 + 1$. Quelle est l'image de $-3$ par $f$ ?
[qcm]
[option]$-10$[/option]
[option]$-8$[/option]
[option correct="true"]$10$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$f(-3) = (-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10$[/reponse]
[reponse motif="$-10$"]Non.
Le signe négatif de $-3$ disparaît lors de la mise au carré : $(-3)^2 = 9$, pas $-9$. L'image ne peut pas être négative avec cette fonction.[/reponse]
[reponse motif="$-8$"]Non.
Attention, $(-3)^2 = 9$ et non $-9$. Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Calculer $f(-3)$ en remplaçant $x$ par $(-3)$ dans $x^2 + 1$. Ne pas confondre avec $(-3 + 1)^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $x$ par $(-3)$ : $f(-3) = (-3)^2 + 1$. Calculer le carré avant d'additionner.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les images, antécédents et ensembles de définition, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 3x + 2$.
Affirmation : L'image de $-1$ par $f$ est $-2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule $f(-1) = (-1)^2 - 3 \times (-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6$. L'image de $-1$ est $6$, pas $-2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention aux parenthèses quand on remplace $x$ par un nombre négatif : $(-1)^2 = 1$ (et non $-1$), et $-3 \times (-1) = +3$ (et non $-3$).
On obtient $f(-1) = 1 + 3 + 2 = 6$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6$, et non $-2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$.
Affirmation : La valeur $3$ n'appartient pas à l'ensemble de définition de $g$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour $x = 3$, le dénominateur vaut $3 - 3 = 0$ : la division par zéro est impossible, donc $g(3)$ n'existe pas. La valeur $3$ est bien exclue de l'ensemble de définition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre « $g(3)$ existe » avec « $g(x) = 3$ a une solution ». Pour calculer $g(3)$, on remplace $x$ par $3$ dans la formule : le dénominateur vaut $3 - 3 = 0$, ce qui est impossible.
La valeur $3$ n'appartient donc pas à l'ensemble de définition de $g$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le dénominateur $x - 3$ s'annule pour $x = 3$, ce qui rend $g(3)$ indéfini. Donc $3 \notin \mathscr{D}_g$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 4$.
Affirmation : Le nombre $5$ a un seul antécédent par $f$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On résout $x^2 - 4 = 5$, soit $x^2 = 9$. Cette équation admet deux solutions : $x = 3$ et $x = -3$. Le nombre $5$ a donc deux antécédents, pas un seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : l'équation $x^2 = a$ (avec $a > 0$) admet toujours deux solutions, l'une positive et l'autre négative.
Ici $x^2 = 9$ donne $x = 3$ et $x = -3$ : le nombre $5$ possède deux antécédents.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $f(x) = 5$ donne $x^2 = 9$, soit $x = 3$ ou $x = -3$ : il y a deux antécédents.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $h$ définie par $h(x) = \dfrac{1}{x + 2}$.
Affirmation : L'image de $-1$ par $h$ est $1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$h(-1) = \dfrac{1}{-1 + 2} = \dfrac{1}{1} = 1$. L'image de $-1$ est bien $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention à ne pas confondre $h(-1)$ avec $h(1)$. En remplaçant $x$ par $-1$ : $h(-1) = \dfrac{1}{-1+2} = \dfrac{1}{1} = 1$.
Le calcul donne bien $1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $h(-1) = \dfrac{1}{-1+2} = \dfrac{1}{1} = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x^2 - 8$.
Affirmation : L'équation $f(x) = 0$ admet une seule solution.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$2x^2 - 8 = 0$ donne $2x^2 = 8$, soit $x^2 = 4$. On obtient $x = 2$ et $x = -2$ : il y a deux solutions, pas une seule.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de s'arrêter à $x = 2$ en oubliant que $x^2 = 4$ possède aussi la solution négative $x = -2$.
On a bien $f(2) = 0$ et $f(-2) = 0$ : l'équation admet deux solutions.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $2x^2 - 8 = 0$ donne $x^2 = 4$, soit $x = 2$ ou $x = -2$ : deux solutions.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 + 1$.
Affirmation : Le nombre $0$ n'a aucun antécédent par $g$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On résout $x^2 + 1 = 0$, soit $x^2 = -1$. Or un carré est toujours positif ou nul : cette équation n'a aucune solution dans $\mathbb{R}$. Le nombre $0$ n'a donc aucun antécédent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention : $g(x) = 0$ revient à $x^2 = -1$. Or un carré ne peut jamais être négatif, donc cette équation n'a pas de solution.
Le nombre $0$ n'a effectivement aucun antécédent par $g$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. L'équation $x^2 + 1 = 0$ donne $x^2 = -1$, impossible dans $\mathbb{R}$. Le nombre $0$ n'a aucun antécédent.
[/solution]
[/etape]