[enonce]
On considère l'expression :

On souhaite donner l'écriture scientifique puis l'écriture décimale de $C$.
Suivre les étapes pour y parvenir.
[/enonce]

[etape]
La première étape consiste à séparer les coefficients numériques et les puissances de $10$.

Parmi les regroupements suivants, lequel est correct ?
[qcm]
[option correct="true"]$C = \dfrac{6 \times 5}{3} \times \dfrac{10^{4} \times 10^{-2}}{10^{5}}$[/option]
[option]$C = \dfrac{6 \times 5 \times 3}{10^{4} \times 10^{-2} \times 10^{5}}$[/option]
[option]$C = (6 + 5 - 3) \times 10^{4+(-2)-5}$[/option]
[option]$C = \dfrac{6 \times 5}{3} \times 10^{4 \times (-2) - 5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On regroupe d'un côté les nombres ($6$, $5$ et $3$) et de l'autre les puissances de $10$ ($10^4$, $10^{-2}$ et $10^5$), en conservant leur position au numérateur ou au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$C = \dfrac{6 \times 5 \times 3}{10^{4} \times 10^{-2} \times 10^{5}}$"]Non.
Le $3$ est au dénominateur dans l'expression d'origine, et les puissances de $10$ ne sont pas toutes au dénominateur.
On sépare les coefficients des puissances de $10$, en gardant chaque facteur à sa place (numérateur ou dénominateur).[/reponse]
[reponse motif="$C = (6 + 5 - 3) \times 10^{4+(-2)-5}$"]Non.
Les coefficients se multiplient et se divisent, ils ne s'additionnent pas.
$\dfrac{6 \times 5}{3}$ n'est pas la même chose que $6 + 5 - 3$.[/reponse]
[reponse motif="$C = \dfrac{6 \times 5}{3} \times 10^{4 \times (-2) - 5}$"]Non.
On additionne les exposants (règle du produit), on ne les multiplie pas.
$10^4 \times 10^{-2} = 10^{4+(-2)}$, pas $10^{4 \times (-2)}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On regroupe les nombres d'un côté et les puissances de $10$ de l'autre, en respectant leur place au numérateur ou au dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculons la fraction numérique : $\dfrac{6 \times 5}{3}$.

Simplifier cette fraction et donner le résultat sous forme irréductible : $\dfrac{6 \times 5}{3} = $ [[coef]]
[math id="coef" attendu="10" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$6 \times 5 = 30$, puis $\dfrac{30}{3} = 10$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais il faut simplifier la fraction.
Chercher par quel nombre on peut diviser le numérateur et le dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="30"]Pas tout à fait.
$6 \times 5 = 30$, c'est juste, mais il faut encore diviser par $3$ : $\dfrac{30}{3} = ?$[/reponse]
[reponse motif="11"]Non.
Attention : $\dfrac{6 \times 5}{3}$ est un produit divise par $3$, pas une somme.
$6 \times 5 = 30$, puis $30 \div 3 = ?$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord le numérateur : $6 \times 5 = 30$, puis diviser : $\dfrac{30}{3} = ?$[/reponse]
[aide essai="2"]$6 \times 5 = 30$ et $\dfrac{30}{3} = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{6 \times 5}{3} = \dfrac{30}{3} = 10$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Occupons-nous maintenant des puissances de $10$ : $\dfrac{10^{4} \times 10^{-2}}{10^{5}}$.

Au numérateur, on applique la règle du produit : $10^{4} \times 10^{-2} = 10^{\ldots}$.

Quel est l'exposant ? [[expnum]]
[math id="expnum" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$10^{4} \times 10^{-2} = 10^{4+(-2)} = 10^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="6"]Non.
On additionne les exposants, attention au signe : $4 + (-2) = 4 - 2 = ?$[/reponse]
[reponse motif="-8"]Non.
La règle du produit additionne les exposants : $a^n \times a^m = a^{n+m}$.
Calculer $4 + (-2)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$10^{4} \times 10^{-2} = 10^{4+(-2)}$.
Calculer $4 + (-2) = ?$[/reponse]
[aide essai="2"]$4 + (-2) = 4 - 2 = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$10^{4} \times 10^{-2} = 10^{4+(-2)} = 10^{2}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a maintenant $\dfrac{10^{2}}{10^{5}}$.

On applique la règle du quotient : $\dfrac{10^{2}}{10^{5}} = 10^{\ldots}$.

Quel est l'exposant ? [[exptot]]
[math id="exptot" attendu="-3"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\dfrac{10^{2}}{10^{5}} = 10^{2-5} = 10^{-3}$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Non.
Attention au signe : $\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ avec $n = 2$ et $m = 5$.
$2 - 5 = ?$ (pas $5 - 2$)[/reponse]
[reponse motif="7"]Non.
La règle du quotient soustrait les exposants : $\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$.
$2 - 5 = ?$ (on ne les additionne pas)[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\dfrac{10^{2}}{10^{5}} = 10^{2-5}$.
Calculer $2 - 5 = ?$[/reponse]
[aide essai="2"]$2 - 5 = -3$. L'exposant est négatif car le dénominateur est plus grand que le numérateur.[/aide]
[/math]
[solution]$\dfrac{10^{2}}{10^{5}} = 10^{2-5} = 10^{-3}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
En rassemblant les deux parties, on obtient :

$C = 10 \times 10^{-3}$

Ce n'est pas encore l'écriture scientifique, car le coefficient $10$ n'est pas compris entre $1$ et $10$ (au sens strict).

Quelle est l'écriture scientifique de $C$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$1 \times 10^{-2}$[/option]
[option]$10 \times 10^{-3}$[/option]
[option]$0{,}1 \times 10^{-1}$[/option]
[option]$1 \times 10^{-3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$10 = 1 \times 10^{1}$, donc $C = 1 \times 10^{1} \times 10^{-3} = 1 \times 10^{-2}$.
Le coefficient est $a = 1$ et on a bien $1 \leqslant 1 < 10$.[/reponse]
[reponse motif="$10 \times 10^{-3}$"]Non.
$10 \times 10^{-3}$ est égal à $C$, mais ce n'est pas son écriture scientifique.
Dans $a \times 10^n$, on doit avoir $1 \leqslant a < 10$.
Or $10$ n'est pas strictement inférieur à $10$. Il faut écrire $10 = 1 \times 10^1$ et regrouper les puissances de $10$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}1 \times 10^{-1}$"]Non.
$0{,}1$ n'est pas dans l'intervalle $[1 ; 10[$ : il faut $a \geqslant 1$.
Écrire plutôt $10 = 1 \times 10^1$, puis regrouper les puissances de $10$.[/reponse]
[reponse motif="$1 \times 10^{-3}$"]Non.
Attention au calcul des exposants : $10 \times 10^{-3} = 10^1 \times 10^{-3} = 10^{1+(-3)} = 10^{-2}$, pas $10^{-3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réécrire $10$ comme une puissance de $10$, puis appliquer la règle du produit pour regrouper les deux puissances de $10$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On a $C = 1 \times 10^{-2} = 10^{-2}$.

Pour obtenir l'écriture décimale, on sait que $10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100}$.

Quelle est l'écriture décimale de $C$ ? [[decimal]]
[math id="decimal" attendu="0.01"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$C = 10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.
On peut vérifier : l'exposant $-2$ signifie qu'on déplace la virgule de $2$ rangs vers la gauche à partir de $1$.[/reponse]
[reponse motif="100"]Non.
$10^{-2}$ n'est pas $10^2$.
L'exposant négatif signifie qu'on prend l'inverse : $10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100}$.[/reponse]
[reponse motif="0.001"]Non.
$0{,}001 = 10^{-3}$, pas $10^{-2}$.
$10^{-2} = \dfrac{1}{100}$ : on déplace la virgule de $2$ rangs vers la gauche (pas $3$).[/reponse]
[reponse motif="0.1"]Non.
$0{,}1 = 10^{-1}$, pas $10^{-2}$.
$10^{-2} = \dfrac{1}{100}$ : on déplace la virgule de $2$ rangs vers la gauche.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$10^{-2} = \dfrac{1}{100}$.
Écrire cette fraction sous forme décimale.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{1}{100} = ?$ en écriture décimale. Penser à déplacer la virgule de $2$ rangs vers la gauche à partir de $1{,}0$.[/aide]
[/math]
[solution]$C = 10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.[/solution]
[/etape]

La vitesse de la lumière est environ $ c = 3\times 10^{5} $ km/s.
La distance entre la Terre et le Soleil est environ $ d_{S} = 1{,}5 \times 10^{8} $ km.
La distance entre la Terre et l'étoile Proxima du Centaure est environ $ d_{P} = 4 \times 10^{13} $ km.

1. Combien de temps met la lumière du Soleil pour atteindre la Terre ? Donner le résultat en secondes, en écriture scientifique.
2. Convertir ce résultat en minutes. La lumière met-elle plus ou moins de 10 minutes pour nous parvenir du Soleil ?
3. Combien de temps met la lumière de Proxima du Centaure pour atteindre la Terre ? Donner le résultat en secondes, en écriture scientifique.
4. Exprimer ce résultat en années. On prendra $ 1 $ an $ \approx 3{,}15 \times 10^{7} $ secondes. Donner un résultat arrondi à l'unité.