[enonce]
La fréquence $f$ (en Hz) d'une note jouée sur une corde de guitare dépend de la longueur vibrante $L$ (en cm) de la corde selon la formule :

On cherche à étudier comment la fréquence varie quand on modifie la longueur de la corde.
[/enonce]

[etape]
Calculer la fréquence produite par une corde vibrante de longueur $60$ cm.
$f(60) = $ [[f60]] Hz
[math id="f60" attendu="80"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f(60) = \dfrac{4800}{60} = 80$ Hz.[/reponse]
[reponse motif="0.0125"]C'est $\dfrac{60}{4800}$ (l'inverse de ce qu'on cherche). La formule est $f(L) = \dfrac{4800}{L}$.[/reponse]
[reponse motif="4740"]On divise $4800$ par $60$, on ne soustrait pas $60$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$f(60) = \dfrac{4800}{60}$. Effectuer la division.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{4800}{60}$ : simplifier par $60$ ou décomposer $4800 = 60 \times ?$[/aide]
[aide essai="3"]$60 \times 80 = 4800$, donc $\dfrac{4800}{60} = 80$.[/aide]
[/math]
[solution]$f(60) = \dfrac{4800}{60} = 80$ Hz.[/solution]
[/etape]

[etape]
Le guitariste appuie sur une frette et raccourcit la corde de $60$ cm à $40$ cm. Sans calculer $f(40)$, la fréquence va-t-elle augmenter ou diminuer ?
[qcm]
[option correct="true"]Augmenter, car si $L$ diminue alors $\dfrac{1}{L}$ augmente[/option]
[option]Diminuer, car la corde est plus courte[/option]
[option]On ne peut pas savoir sans calculer[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f(L) = \dfrac{4800}{L} = 4800 \times \dfrac{1}{L}$. La fonction inverse est décroissante sur $\left]0~;~+\infty\right[$ : quand $L$ diminue, $\dfrac{1}{L}$ augmente, donc $f(L)$ augmente. Une corde plus courte produit un son plus aigu.[/reponse]
[reponse motif="Diminuer, car la corde est plus courte"]L'intuition « plus court = moins » ne s'applique pas ici. $f(L) = \dfrac{4800}{L}$ : quand le dénominateur diminue, la fraction augmente.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas savoir sans calculer"]Les propriétés de la fonction inverse permettent de conclure sans calculer. $f(L) = 4800 \times \dfrac{1}{L}$ et la fonction inverse est décroissante sur les positifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$f(L) = 4800 \times \dfrac{1}{L}$. Quand $L$ diminue ($L$ reste positif), que fait $\dfrac{1}{L}$ ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Comparer $f(40)$ et $f(60)$ sans calculer, en utilisant les propriétés de la fonction inverse.
On a $0 < 40 < 60$, donc $\dfrac{1}{40}$ [[comp]] $\dfrac{1}{60}$.
[select id="comp"]
[option correct="true"]$>$[/option]
[option]$<$[/option]
[option]$=$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$0 < 40 < 60$ et la fonction inverse est décroissante sur $\left]0~;~+\infty\right[$, donc $\dfrac{1}{40} > \dfrac{1}{60}$.
En multipliant par $4800 > 0$ : $f(40) = \dfrac{4800}{40} > \dfrac{4800}{60} = f(60)$.
La corde de $40$ cm produit une fréquence plus élevée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]La fonction inverse est décroissante sur $\left]0~;~+\infty\right[$ : si $a < b$ (avec $a, b > 0$), alors $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$. Ici $40 < 60$, donc...[/reponse]
[aide essai="2"]La fonction inverse renverse l'ordre sur les positifs. $40 < 60$, donc $\dfrac{1}{40}$ est plus grand ou plus petit que $\dfrac{1}{60}$ ?[/aide]
[aide essai="3"]Décroissante signifie : plus $x$ est grand, plus $\dfrac{1}{x}$ est petit. Donc $\dfrac{1}{40} > \dfrac{1}{60}$.[/aide]
[/select]
[/etape]

[etape]
Les cordes de cette guitare ont une longueur vibrante $L$ comprise entre $40$ cm et $80$ cm.
Encadrer $f(L)$.
$f(L)$ est compris entre [[fmin]] et [[fmax]] Hz.
[math id="fmin" attendu="60"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça ![/reponse]
[reponse motif="120"]C'est la borne supérieure, pas la borne inférieure. La plus grande longueur de corde donne la plus petite fréquence.[/reponse]
[reponse motif="40"]On demande $f(L)$, pas $L$. Calculer $\dfrac{4800}{80}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]La plus grande longueur ($L = 80$) donne la plus petite fréquence (car la fonction inverse est décroissante).[/reponse]
[aide essai="2"]$40 \leqslant L \leqslant 80$. La fonction inverse est décroissante, donc $\dfrac{1}{80} \leqslant \dfrac{1}{L} \leqslant \dfrac{1}{40}$. Multiplier par $4800$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{4800}{80} = 60$.[/aide]
[/math]
[math id="fmax" attendu="120"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$40 \leqslant L \leqslant 80$, donc $\dfrac{1}{80} \leqslant \dfrac{1}{L} \leqslant \dfrac{1}{40}$ (inversion du sens), d'où $60 \leqslant f(L) \leqslant 120$.[/reponse]
[reponse motif="60"]C'est la borne inférieure. La plus petite longueur ($L = 40$) donne la plus grande fréquence.[/reponse]
[reponse motif="80"]Attention, on calcule $\dfrac{4800}{40}$, pas $\dfrac{4800}{60}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]La plus petite longueur ($L = 40$) donne la plus grande fréquence : $\dfrac{4800}{40}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{4800}{L}$ est maximal quand $L$ est minimal, c'est-à-dire $L = 40$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{4800}{40} = 120$.[/aide]
[/math]
[solution]$40 \leqslant L \leqslant 80$ et la fonction inverse est décroissante sur $\left]0~;~+\infty\right[$ :
$\dfrac{1}{80} \leqslant \dfrac{1}{L} \leqslant \dfrac{1}{40}$
$\dfrac{4800}{80} \leqslant f(L) \leqslant \dfrac{4800}{40}$
$60 \leqslant f(L) \leqslant 120$ Hz.[/solution]
[/etape]

[etape]
Le La du diapason vibre à $110$ Hz. Peut-on jouer cette note sur cette guitare ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui, car $60 \leqslant 110 \leqslant 120$[/option]
[option]Non, car $110 > 80$[/option]
[option]On ne peut pas conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$110$ appartient à l'intervalle $[60~;~120]$, qui est l'ensemble des fréquences atteignables. Il existe donc une longueur de corde $L$ telle que $f(L) = 110$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $110 > 80$"]$80$ est la longueur maximale de la corde, pas la fréquence maximale. Les fréquences atteignables sont entre $60$ et $120$ Hz.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure"]L'encadrement trouvé à l'étape précédente donne exactement les fréquences possibles. Vérifier si $110$ est dans cet intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer $110$ aux bornes de l'encadrement de $f(L)$ trouvé à l'étape précédente.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Déterminer la longueur de corde $L$ exacte pour obtenir la note La à $110$ Hz.
$L = $ [[long]]
[math id="long" attendu="\dfrac{480}{11}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f(L) = 110$ donne $\dfrac{4800}{L} = 110$, soit $L = \dfrac{4800}{110} = \dfrac{480}{11}$ cm (environ $43{,}6$ cm).[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction n'est pas sous forme irréductible. Simplifier par le PGCD du numérateur et du dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="43.6"]On demande la valeur exacte, pas une valeur approchée. Exprimer $L$ sous forme de fraction irréductible.[/reponse]
[reponse motif="110"]C'est la fréquence, pas la longueur. On cherche $L$ tel que $\dfrac{4800}{L} = 110$, donc $L = \dfrac{4800}{110}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$\dfrac{4800}{L} = 110$ donne $L = \dfrac{4800}{110}$. Simplifier cette fraction.[/reponse]
[aide essai="2"]$L = \dfrac{4800}{110}$. Chercher un diviseur commun à $4800$ et $110$.[/aide]
[aide essai="3"]$4800 = 10 \times 480$ et $110 = 10 \times 11$. Donc $\dfrac{4800}{110} = \dfrac{480}{11}$.[/aide]
[/math]
[solution]$f(L) = 110 \Leftrightarrow \dfrac{4800}{L} = 110 \Leftrightarrow L = \dfrac{4800}{110}$.
$\text{PGCD}(4800~;~110) = 10$, donc $L = \dfrac{480}{11}$ cm $\approx 43{,}6$ cm.[/solution]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la fonction inverse, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $3 \leqslant x \leqslant 7$, alors $\dfrac{1}{7} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$3$ et $7$ sont strictement positifs, donc on peut appliquer la fonction inverse en inversant les inégalités : $\dfrac{1}{7} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Les bornes $3$ et $7$ sont strictement positives. La fonction inverse est décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$, donc elle inverse les inégalités : $3 \leqslant x \leqslant 7$ devient $\dfrac{1}{7} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les bornes sont positives, la fonction inverse est décroissante, donc les inégalités sont inversées.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous réels $a$ et $b$ non nuls, si $a < b$ alors $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Cette règle n'est valable que si $a$ et $b$ sont de même signe. Contre-exemple : $-1 < 2$ mais $\dfrac{1}{-1} = -1 < \dfrac{1}{2}$. L'inégalité n'est pas inversée ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'oublier la condition de même signe. Prenons $a = -1$ et $b = 2$ : on a bien $-1 < 2$, mais $\dfrac{1}{-1} = -1$ et $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$, donc $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$.
La décroissance de la fonction inverse ne s'applique que sur un intervalle où les nombres sont de même signe.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La règle d'inversion des inégalités ne s'applique que si $a$ et $b$ sont de même signe. Contre-exemple : $-1 < 2$ mais $\dfrac{1}{-1} < \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{1}{-3} > \dfrac{1}{2}$ car $-3 < 2$ et la fonction inverse est décroissante.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On ne peut pas utiliser la décroissance de la fonction inverse ici car $-3$ et $2$ ne sont pas de même signe. En fait, $\dfrac{1}{-3} < 0 < \dfrac{1}{2}$, donc $\dfrac{1}{-3} < \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La décroissance de la fonction inverse ne peut être utilisée que si les deux nombres sont de même signe ($-3$ et $2$ ne le sont pas).
Ici, la comparaison est directe : $\dfrac{1}{-3}$ est négatif et $\dfrac{1}{2}$ est positif, donc $\dfrac{1}{-3} < \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $-3$ et $2$ ne sont pas de même signe, la décroissance ne s'applique pas. On compare directement : $\dfrac{1}{-3} < 0 < \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{1}{\sqrt{2}} > \dfrac{1}{\sqrt{5}}$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\sqrt{2}$ et $\sqrt{5}$ sont strictement positifs et $\sqrt{2} < \sqrt{5}$. La fonction inverse est décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$, donc $\dfrac{1}{\sqrt{2}} > \dfrac{1}{\sqrt{5}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $\sqrt{2}$ et $\sqrt{5}$ sont tous les deux positifs, on peut donc appliquer la décroissance de la fonction inverse.
$\sqrt{2} < \sqrt{5}$, et la fonction inverse inverse les inégalités sur $\left]0 ; +\infty\right[$ : $\dfrac{1}{\sqrt{2}} > \dfrac{1}{\sqrt{5}}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $0 < \sqrt{2} < \sqrt{5}$, et la fonction inverse est décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$, d'où $\dfrac{1}{\sqrt{2}} > \dfrac{1}{\sqrt{5}}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}^*$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La fonction inverse est décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$ et sur $\left]-\infty ; 0\right[$, mais pas sur $\mathbb{R}^*$ tout entier. Par exemple, $-2 < 3$ et $\dfrac{1}{-2} < \dfrac{1}{3}$ : l'ordre n'est pas inversé.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « décroissante sur chaque intervalle » et « décroissante sur l'ensemble de définition ». La fonction inverse est décroissante sur $\left]-\infty ; 0\right[$ et sur $\left]0 ; +\infty\right[$ séparément, mais pas sur $\mathbb{R}^*$ tout entier.
Contre-exemple : $-2 < 3$ mais $\dfrac{1}{-2} = -0{,}5 < \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction inverse est décroissante sur chacun des intervalles $\left]-\infty ; 0\right[$ et $\left]0 ; +\infty\right[$, mais pas sur $\mathbb{R}^*$ entier.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $-5 \leqslant x \leqslant -2$, alors $-\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$-5$ et $-2$ sont de même signe (négatifs). La fonction inverse est décroissante sur $\left]-\infty ; 0\right[$, donc elle inverse les inégalités : $\dfrac{1}{-2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{-5}$, soit $-\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Les bornes $-5$ et $-2$ sont toutes deux négatives (même signe). On peut donc appliquer la décroissance de la fonction inverse sur $\left]-\infty ; 0\right[$.
$-5 \leqslant x \leqslant -2$ donne, en inversant : $\dfrac{1}{-2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{-5}$, c'est-à-dire $-\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{5}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les bornes sont de même signe (négatif), la fonction inverse est décroissante sur $\left]-\infty ; 0\right[$, donc les inégalités sont bien inversées.
[/solution]
[/etape]