Équivalence de deux programmes de calcul
On considère les deux programmes de calcul suivants.
| Programme A |
Programme B |
| Choisir un nombre. |
Choisir un nombre. |
| Le multiplier par 4. |
L'augmenter de 3. |
| Ajouter 6. |
Multiplier le résultat par 2. |
| Soustraire le double du nombre de départ. |
|
- Tester les deux programmes avec le nombre de départ $ 5 $. Que constate-t-on ?
- On note $ x $ le nombre choisi au départ. Exprimer en fonction de $ x $, sous forme réduite, le résultat de chaque programme.
- Démontrer que les deux programmes donnent toujours le même résultat, quel que soit le nombre de départ.
- On modifie le programme A : on remplace la dernière étape par « Soustraire le quadruple du nombre de départ ».
Démontrer que ce nouveau programme donne toujours le même résultat, quel que soit le nombre de départ. Préciser ce résultat.
On suit chaque étape avec le nombre $ 5 $.
Programme A : $ 5 \times 4 = 20 $ ; $ 20 + 6 = 26 $ ; $ 26 - 2 \times 5 = 26 - 10 = 16 $.
Programme B : $ 5 + 3 = 8 $ ; $ 8 \times 2 = 16 $.
Les deux programmes donnent $ 16 $ pour le nombre $ 5 $.
On traduit chaque programme en expression littérale en notant $ x $ le nombre de départ.
Programme A :
$ x \xrightarrow{\times 4} 4x \xrightarrow{+ 6} 4x + 6 \xrightarrow{- 2x} 4x + 6 - 2x $
On réduit : le programme A donne $ 2x + 6 $.
Programme B :
$ x \xrightarrow{+ 3} x + 3 \xrightarrow{\times 2} 2(x + 3) $
On développe : le programme B donne $ 2x + 6 $.
Tester avec un seul nombre ne suffit pas pour démontrer une équivalence. On compare les expressions obtenues à la question 2 :
Programme A : $ 2x + 6 $.
Programme B : $ 2x + 6 $.
Les deux expressions sont identiques. Donc, pour tout nombre $ x $ choisi au départ, les deux programmes donnent le même résultat.
On reprend la traduction du programme A en remplaçant la dernière étape :
$ x \xrightarrow{\times 4} 4x \xrightarrow{+ 6} 4x + 6 \xrightarrow{- 4x} 4x + 6 - 4x $
On réduit : $ 4x - 4x + 6 = 6 $.
L'expression réduite vaut $ 6 $, sans la moindre apparition de $ x $. Quel que soit le nombre choisi au départ, le programme donne toujours $\mathbf{6}$.
Aire d’un jardin agrandi : calcul littéral
Un jardin rectangulaire a pour longueur $ x $ mètres et pour largeur $ 8 $ mètres.
On agrandit le jardin en augmentant sa longueur de $ 5 $ mètres ; la largeur reste inchangée.
- Exprimer en fonction de $ x $, sous la forme d'un produit, l'aire $ \mathcal{A} $ du nouveau jardin (en m²).
- Développer cette expression pour l'écrire sous la forme d'une somme.
- Calculer l'aire du nouveau jardin pour $ x = 12 $ mètres.
- Sami affirme : « L'aire du nouveau jardin est égale à l'aire de l'ancien jardin augmentée de $ 40 $ m². » A-t-il raison ? Justifier.
Le nouveau jardin est un rectangle de longueur $ (x + 5) $ m et de largeur $ 8 $ m. Son aire est égale au produit longueur $\times$ largeur :
$ \mathcal{A} = 8 \times (x + 5) $
D'où $ \mathcal{A} $ = $\mathbf{8(x + 5)}$ m².
On développe en distribuant $ 8 $ :
$ \mathcal{A} = 8 \times x + 8 \times 5 = 8x + 40 $
D'où $ \mathcal{A} $ = $\mathbf{8x + 40}$ m².
On remplace $ x $ par $ 12 $ dans l'expression développée :
$ \mathcal{A} = 8 \times 12 + 40 = 96 + 40 = 136 $
L'aire du nouveau jardin est de $\mathbf{136}$ m².
L'aire de l'ancien jardin est $ x \times 8 = 8x $ m².
L'aire du nouveau jardin est $ 8x + 40 $ m².
La différence entre les deux aires est :
$ (8x + 40) - 8x = 40 $
L'aire du nouveau jardin est donc bien égale à l'aire de l'ancien jardin plus $ 40 $ m² : Sami a raison.
Vrai/Faux : Distributivité et signes
[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : $4(x + 3) = 4x + 12$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On distribue le $4$ : $4 \times x + 4 \times 3 = 4x + 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Par distributivité : $4 \times x + 4 \times 3 = 4x + 12$. Le facteur $4$ multiplie chacun des termes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Par distributivité, $4(x + 3) = 4x + 12$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour tout nombre $x$, $-(x - 5) = -x + 5$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le signe $-$ devant la parenthèse change le signe de chaque terme : $-x + 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Distribuer un $-$ revient à changer le signe de chaque terme : $-(x - 5) = -x + 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $-(x - 5) = -1 \times x - 1 \times (-5) = -x + 5$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $-3(2x + 4) = -6x + 12$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$-3 \times 4 = -12$ (pas $+12$). Le résultat correct est $-6x - 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est sur le signe : $(-3) \times (+4) = -12$. Le résultat correct est $-3(2x + 4) = -6x - 12$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $-3 \times 4 = -12$, donc $-3(2x + 4) = -6x - 12$ (et non $-6x + 12$).
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour tout nombre $x$, $x(x + 7) = x^{2} + 7$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Il faut distribuer $x$ sur les deux termes : $x \times x + x \times 7 = x^{2} + 7x$. Le résultat correct contient $7x$, pas $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le facteur $x$ doit aussi multiplier le second terme : $x \times 7 = 7x$, pas $7$. Le résultat correct est $x^{2} + 7x$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $x(x + 7) = x \times x + x \times 7 = x^{2} + 7x$ (le second terme est $7x$, et non $7$).
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour tout nombre $x$, $5(2x - 1) - 3x = 7x - 5$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On développe : $5(2x - 1) = 10x - 5$, puis on regroupe : $10x - 5 - 3x = 7x - 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$5(2x - 1) = 10x - 5$, puis $10x - 3x = 7x$. La constante $-5$ reste seule.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $5(2x - 1) - 3x = 10x - 5 - 3x = 7x - 5$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour tout nombre $x$, $2(x + 3) + 4(x - 1) = 6x + 2$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On développe : $2x + 6 + 4x - 4$, puis on réduit : $6x + 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Après développement : $2x + 6 + 4x - 4$. Termes en $x$ : $2x + 4x = 6x$. Constantes : $6 - 4 = 2$. D'où $6x + 2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $2(x + 3) + 4(x - 1) = 2x + 6 + 4x - 4 = 6x + 2$.
[/solution]
[/etape]
QCM : Développer avec la distributivité
[enonce]
Ce QCM porte sur la distributivité simple et le développement d'expressions. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]
[etape]
Développer $5(x + 4)$.
[qcm]
[option correct="true"]$5x + 20$[/option]
[option]$5x + 4$[/option]
[option]$x + 20$[/option]
[option]$5x + 9$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On distribue le $5$ sur chaque terme : $5 \times x + 5 \times 4 = 5x + 20$.[/reponse]
[reponse motif="$5x + 4$"]Non.
Le facteur $5$ doit être multiplié à chacun des termes de la parenthèse, y compris le second.[/reponse]
[reponse motif="$x + 20$"]Non.
Le facteur $5$ doit aussi multiplier le premier terme de la parenthèse.[/reponse]
[reponse motif="$5x + 9$"]Non.
$5 \times 4$ est une multiplication, pas une addition. Vérifier le calcul $5 \times 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$5(x + 4) = 5 \times x + 5 \times 4 = 5x + 20$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Développer $7(2x - 3)$.
[qcm]
[option]$14x - 3$[/option]
[option]$9x - 10$[/option]
[option correct="true"]$14x - 21$[/option]
[option]$14x + 21$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$7 \times 2x = 14x$ et $7 \times (-3) = -21$, d'où $14x - 21$.[/reponse]
[reponse motif="$14x - 3$"]Non.
Il faut aussi multiplier le facteur $7$ par le terme $-3$.[/reponse]
[reponse motif="$9x - 10$"]Non.
Le facteur $7$ se distribue par multiplication, pas par addition. $7 \times 2x = 14x$, pas $7 + 2x$.[/reponse]
[reponse motif="$14x + 21$"]Non.
Attention au signe : $7 \times (-3) = -21$, pas $+21$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$7(2x - 3) = 7 \times 2x + 7 \times (-3) = 14x - 21$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Développer $-3(x + 5)$.
[qcm]
[option]$-3x + 5$[/option]
[option]$-3x + 15$[/option]
[option correct="true"]$-3x - 15$[/option]
[option]$3x - 15$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le facteur $-3$ s'applique à chaque terme : $-3 \times x = -3x$ et $-3 \times 5 = -15$.[/reponse]
[reponse motif="$-3x + 5$"]Non.
Il faut bien distribuer le facteur $-3$ aux deux termes, y compris au $+5$.[/reponse]
[reponse motif="$-3x + 15$"]Non.
Attention à la règle des signes : $-3 \times (+5) = -15$, et non $+15$.[/reponse]
[reponse motif="$3x - 15$"]Non.
Le coefficient du premier terme est négatif : $-3 \times x = -3x$, pas $+3x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$-3(x + 5) = -3 \times x + (-3) \times 5 = -3x - 15$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Développer $-2(3x - 4)$.
[qcm]
[option]$-6x - 8$[/option]
[option correct="true"]$-6x + 8$[/option]
[option]$-6x - 4$[/option]
[option]$6x - 8$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$-2 \times 3x = -6x$ et $-2 \times (-4) = +8$ (le produit de deux nombres négatifs est positif).[/reponse]
[reponse motif="$-6x - 8$"]Non.
$-2 \times (-4)$ est le produit de deux nombres négatifs : son signe est positif.[/reponse]
[reponse motif="$-6x - 4$"]Non.
Il manque la multiplication par $-2$ sur le second terme : $-2 \times (-4) \neq -4$.[/reponse]
[reponse motif="$6x - 8$"]Non.
Le signe du premier terme est mauvais : $-2 \times 3x = -6x$, pas $+6x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$-2(3x - 4) = -2 \times 3x + (-2) \times (-4) = -6x + 8$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Développer $x(x - 6)$.
[qcm]
[option]$x - 6x$[/option]
[option]$x^{2} - 6$[/option]
[option correct="true"]$x^{2} - 6x$[/option]
[option]$2x - 6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On distribue $x$ : $x \times x = x^{2}$ et $x \times (-6) = -6x$.[/reponse]
[reponse motif="$x - 6x$"]Non.
$x \times x$ donne $x^{2}$ (et non $x$), car $x$ se multiplie par lui-même.[/reponse]
[reponse motif="$x^{2} - 6$"]Non.
Le facteur $x$ doit aussi être multiplié au second terme : $x \times 6 = 6x$, pas $6$.[/reponse]
[reponse motif="$2x - 6$"]Non.
$x \times x$ donne $x^{2}$, pas $2x$. L'exposant ne s'écrit pas comme un coefficient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$x(x - 6) = x \times x + x \times (-6) = x^{2} - 6x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Développer et réduire $E = 4(x + 2) + 3x$.
[qcm]
[option]$7x + 2$[/option]
[option correct="true"]$7x + 8$[/option]
[option]$4x + 8 + 3x$[/option]
[option]$12x + 8$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
$4(x + 2) = 4x + 8$, puis on ajoute $3x$ : $4x + 8 + 3x = 7x + 8$.[/reponse]
[reponse motif="$7x + 2$"]Non.
$4 \times 2 = 8$, pas $2$. Le second terme du développement vaut $8$.[/reponse]
[reponse motif="$4x + 8 + 3x$"]Non.
Le développement est correct, mais l'expression n'a pas été réduite. On peut encore regrouper $4x$ et $3x$.[/reponse]
[reponse motif="$12x + 8$"]Non.
Les coefficients en $x$ s'additionnent : $4x + 3x = 7x$, pas $12x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$4(x + 2) + 3x = 4x + 8 + 3x = 7x + 8$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
