Développer puis factoriser

[enonce]
On considère l'expression :

$ C = (3x + 1)^{2} - (x - 5)^{2} $

Développer et réduire $ C $.
Factoriser $ C $ à l'aide d'une identité remarquable.
Résoudre l'équation $ C = 0 $.

[/enonce]

[etape]
Développer $(3x + 1)^{2}$ : [[dev1]]
[math id="dev1" attendu="9x^2 + 6x + 1" format="developpe"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(3x + 1)^{2} = (3x)^{2} + 2 \times 3x \times 1 + 1^{2} = 9x^{2} + 6x + 1$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais l'expression doit être développée et réduite.[/reponse]
[reponse motif="9x^2 + 1"]Non.
Il manque le double produit $2ab$. Ne pas oublier ce terme dans l'identité remarquable.[/reponse]
[reponse motif="3x^2 + 6x + 1"]Non.
Attention : $(3x)^{2} \neq 3x^{2}$. On élève le produit $3x$ au carré, pas seulement le $3$.[/reponse]
[reponse motif="9x^2 - 6x + 1"]Non.
Le signe du double produit est positif dans $(a+b)^{2}$ : c'est $+2ab$, pas $-2ab$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ avec $a = 3x$ et $b = 1$.[/reponse]
[aide essai="2"]$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ avec $a = 3x$ et $b = 1$.
Calculer chaque terme.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer chaque terme : $(3x)^{2} = ?$, $2 \times 3x \times 1 = ?$, $1^{2} = ?$.
Rassembler les trois termes.[/aide]
[/math]
[solution]$(3x+1)^{2} = 9x^{2} + 6x + 1$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Développer $(x - 5)^{2}$ : [[dev2]]
[math id="dev2" attendu="x^2 - 10x + 25" format="developpe"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(x - 5)^{2} = x^{2} - 2 \times x \times 5 + 5^{2} = x^{2} - 10x + 25$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais l'expression doit être développée et réduite.[/reponse]
[reponse motif="x^2 + 10x + 25"]Non.
Le signe du double produit est négatif dans $(a-b)^{2}$ : c'est $-2ab$, pas $+2ab$.[/reponse]
[reponse motif="x^2 - 25"]Non.
C'est le résultat de $(x-5)(x+5)$, pas de $(x-5)^{2}$.
Appliquer $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="x^2 - 10x - 25"]Non.
Le dernier terme $b^{2}$ est toujours positif dans un carré. Vérifier le signe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ avec $a = x$ et $b = 5$.[/reponse]
[aide essai="2"]$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ avec $a = x$ et $b = 5$.
Attention : le dernier terme $b^{2}$ est toujours positif.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer chaque terme : $x^{2}$, $2 \times x \times 5 = ?$ (attention au signe), $5^{2} = ?$.
Rassembler.[/aide]
[/math]
[solution]$(x-5)^{2} = x^{2} - 10x + 25$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la forme développée et réduite de $C$ :

$C = (9x^{2} + 6x + 1) - (x^{2} - 10x + 25)$

Donner le résultat : [[red]]
[math id="red" attendu="8x^2 + 16x - 24" format="developpe"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$C = 9x^{2} + 6x + 1 - x^{2} + 10x - 25 = 8x^{2} + 16x - 24$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais l'expression doit être réduite.[/reponse]
[reponse motif="8x^2 - 4x - 24"]Non.
Attention au signe : $-(- 10x) = +10x$, donc $6x + 10x = 16x$, pas $6x - 10x = -4x$.[/reponse]
[reponse motif="8x^2 + 16x + 24"]Non.
Les constantes donnent $1 - 25 = -24$, pas $+24$.[/reponse]
[reponse motif="8x^2 + 16x - 26"]Non.
Vérifier les constantes : $1 - 25 = -24$, pas $-26$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Distribuer le signe $-$ sur chaque terme du second développement, puis regrouper les termes semblables.[/reponse]
[aide essai="2"]$-(x^{2} - 10x + 25) = -x^{2} + 10x - 25$.
Regrouper : $9x^{2} - x^{2} = ?$, $6x + 10x = ?$, $1 - 25 = ?$[/aide]
[aide essai="3"]On trouve $8$ pour les $x^{2}$, un nombre positif pour les $x$, et un nombre négatif pour les constantes.
Rassembler ces trois termes.[/aide]
[/math]
[solution]$C = 9x^{2} + 6x + 1 - x^{2} + 10x - 25 = 8x^{2} + 16x - 24$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On revient à l'expression initiale $C = (3x+1)^{2} - (x-5)^{2}$.

Factoriser $C$.
$C = $ [[fact]]
[math id="fact" attendu="(4x-4)(2x+6)" format="factorise"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Avec $a = 3x + 1$ et $b = x - 5$ :
$a + b = (3x+1) + (x-5) = 4x - 4$
$a - b = (3x+1) - (x-5) = 2x + 6$
Donc $C = (4x - 4)(2x + 6)$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais il faut donner la forme factorisée.[/reponse]
[reponse motif="(2x+6)(4x-4)"]C'est correct !
L'ordre des facteurs n'a pas d'importance : $(2x+6)(4x-4) = (4x-4)(2x+6)$.[/reponse]
[reponse motif="(4x+4)(2x-6)"]Non.
Vérifier les signes dans $a + b$ et $a - b$.
Recalculer $(3x + 1) + (x - 5)$ et $(3x + 1) - (x - 5)$ séparément.[/reponse]
[reponse motif="(4x-4)(2x-6)"]Non.
Attention au signe dans $a - b$ : distribuer le signe $-$ sur $(x - 5)$.
Que vaut $-(x - 5)$ ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $a + b = (3x+1) + (x-5)$ et $a - b = (3x+1) - (x-5)$ séparément.[/reponse]
[aide essai="2"]$C = (3x+1)^{2} - (x-5)^{2}$ est une différence de deux carrés, de la forme $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$, avec $a = 3x + 1$ et $b = x - 5$.
$a + b = 3x + 1 + x - 5 = ?$
$a - b = 3x + 1 - x + 5 = ?$[/aide]
[aide essai="3"]On a $a + b = 4x - 4$.
Calculer $a - b = (3x + 1) - (x - 5)$, puis écrire $C = (a+b)(a-b)$.[/aide]
[/math]
[solution]$C = (3x+1+x-5)(3x+1-x+5) = (4x-4)(2x+6)$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Résoudre l'équation $C = 0$.
[qcm]
[option]$x = -1$ ou $x = 3$[/option]
[option]$x = 4$ ou $x = -6$[/option]
[option correct="true"]$x = 1$ ou $x = -3$[/option]
[option]$x = -1$ ou $x = -3$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On utilise la forme factorisée : $C = (4x - 4)(2x + 6) = 0$.
$4x - 4 = 0$ donne $x = 1$.
$2x + 6 = 0$ donne $x = -3$.[/reponse]
[reponse motif="$x = -1$ ou $x = 3$"]Non.
Résoudre chaque facteur séparément : $4x - 4 = 0$ et $2x + 6 = 0$.
Attention aux signes dans chaque résolution.[/reponse]
[reponse motif="$x = 4$ ou $x = -6$"]Non.
Attention : il faut diviser par le coefficient de $x$, pas juste prendre la constante.
Résoudre $4x - 4 = 0$ et $2x + 6 = 0$ pas à pas.[/reponse]
[reponse motif="$x = -1$ ou $x = -3$"]Non.
Une des deux solutions est correcte. Vérifier l'autre en résolvant $4x - 4 = 0$ attentivement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la forme factorisée $C = (4x-4)(2x+6)$ et appliquer la propriété du produit nul.[/reponse]
[/qcm]
[solution]On utilise la forme factorisée : $(4x-4)(2x+6) = 0$.
$4x - 4 = 0$ donne $x = 1$ et $2x + 6 = 0$ donne $x = -3$.[/solution]
[/etape]

Développer une expression complexe

[enonce]
On considère l'expression :

$ A = (2x - 3)^{2} + (x + 5)(3x - 2) - 5x^{2} $

Développer et réduire $ A $, puis calculer sa valeur pour deux valeurs de $ x $.
[/enonce]

[etape]
Développer $(2x - 3)^{2}$ : [[dev1]]
[math id="dev1" attendu="4x^2 - 12x + 9" format="developpe"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(2x-3)^{2} = (2x)^{2} - 2 \times 2x \times 3 + 3^{2} = 4x^{2} - 12x + 9$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais l'expression doit être développée et réduite.[/reponse]
[reponse motif="4x^2 + 12x + 9"]Non.
Attention au signe du double produit dans $(a - b)^{2}$ : c'est $-2ab$, pas $+2ab$.[/reponse]
[reponse motif="4x^2 - 9"]Non.
C'est le résultat de $(2x-3)(2x+3)$, pas de $(2x-3)^{2}$.
Il faut appliquer $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="4x^2 - 6x + 9"]Non.
Ne pas oublier le facteur $2$ dans le double produit : c'est $2ab$, pas $ab$.
Recalculer $2 \times 2x \times 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ avec $a = 2x$ et $b = 3$.[/reponse]
[aide essai="2"]Identité remarquable : $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$.
Ici $a = 2x$ et $b = 3$.[/aide]
[aide essai="3"]$(2x)^{2} = 4x^{2}$, $2 \times 2x \times 3 = 12x$ et $3^{2} = 9$.
Rassembler avec le bon signe.[/aide]
[/math]
[solution]$(2x-3)^{2} = 4x^{2} - 12x + 9$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Développer $(x + 5)(3x - 2)$ : [[dev2]]
[math id="dev2" attendu="3x^2 + 13x - 10" format="developpe"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(x+5)(3x-2) = 3x^{2} - 2x + 15x - 10 = 3x^{2} + 13x - 10$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais l'expression doit être développée et réduite.[/reponse]
[reponse motif="3x^2 - 13x - 10"]Non.
Vérifier le signe des termes croisés.
Calculer $5 \times 3x$ : est-ce positif ou négatif ?[/reponse]
[reponse motif="3x^2 + 13x + 10"]Non.
Attention au signe du dernier terme.
Calculer $5 \times (-2)$.[/reponse]
[reponse motif="3x^2 - 10"]Non.
Il manque les termes croisés.
Calculer les quatre produits de la double distributivité, puis regrouper les termes en $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la double distributivité : chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second.[/reponse]
[aide essai="2"]Double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
Calculer les quatre produits puis réduire.[/aide]
[aide essai="3"]$x \times 3x = 3x^{2}$, $x \times (-2) = -2x$, $5 \times 3x = 15x$, $5 \times (-2) = -10$.
Regrouper les termes en $x$ : $-2x + 15x = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$(x+5)(3x-2) = 3x^{2} - 2x + 15x - 10 = 3x^{2} + 13x - 10$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Rassembler les résultats et réduire $A$ :

$A = (4x^{2} - 12x + 9) + (3x^{2} + 13x - 10) - 5x^{2}$

Donner la forme réduite de $A$ : [[red]]
[math id="red" attendu="2x^2 + x - 1" format="developpe"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$A = 4x^{2} + 3x^{2} - 5x^{2} - 12x + 13x + 9 - 10 = 2x^{2} + x - 1$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais l'expression doit être réduite.[/reponse]
[reponse motif="2x^2 - x - 1"]Non.
Vérifier le signe des termes en $x$ : calculer $-12 + 13$.[/reponse]
[reponse motif="2x^2 + x + 1"]Non.
Vérifier le signe des constantes : calculer $9 + (-10)$.[/reponse]
[reponse motif="12x^2 + x - 1"]Non.
Vérifier les termes en $x^{2}$ : calculer $4 + 3 - 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Regrouper séparément les termes en $x^{2}$, les termes en $x$, puis les constantes.[/reponse]
[aide essai="2"]Termes en $x^{2}$ : $4 + 3 - 5 = ?$
Termes en $x$ : $-12 + 13 = ?$
Constantes : $9 - 10 = ?$[/aide]
[aide essai="3"]On trouve $2$ pour les $x^{2}$, $+1$ pour les $x$, $-1$ pour les constantes.
Rassembler ces trois termes.[/aide]
[/math]
[solution]$A = 4x^{2} + 3x^{2} - 5x^{2} - 12x + 13x + 9 - 10 = 2x^{2} + x - 1$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $A$ pour $x = 3$ : [[val1]]
[math id="val1" attendu="20"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$A = 2 \times 3^{2} + 3 - 1 = 18 + 3 - 1 = 20$.[/reponse]
[reponse motif="22"]Non.
Attention : $3^{2} = 9$, pas $10$.
Recalculer $2 \times 9$, puis ajouter $3$ et retrancher $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $x$ par $3$ dans $2x^{2} + x - 1$ : $2 \times 9 + 3 - 1$.[/reponse]
[aide essai="2"]$A = 2x^{2} + x - 1$. Remplacer $x$ par $3$ :
$2 \times 3^{2} + 3 - 1 = ?$[/aide]
[aide essai="3"]$2 \times 9 = 18$. Puis $18 + 3 - 1 = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$A = 2 \times 9 + 3 - 1 = 18 + 3 - 1 = 20$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $A$ pour $x = \dfrac{1}{2}$ :
$A=$[[val2]]
[math id="val2" attendu="0"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$A = 2 \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - 1 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Non.
Attention : $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \neq \dfrac{1}{2}$.
Calculer d'abord $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}$, puis multiplier par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $x$ par $\dfrac{1}{2}$ dans $2x^{2} + x - 1$ et calculer chaque terme.[/reponse]
[aide essai="2"]$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}$, donc $2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$.
Calculer $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - 1$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$, puis $1 - 1 = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$A = 2 \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - 1 = 0$.[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Calcul littéral

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : développement, factorisation et identités remarquables. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Développer et réduire $(2x - 3)^{2} - (x + 1)(x - 1)$.
[qcm]
[option]$3x^{2} - 12x + 8$[/option]
[option]$5x^{2} - 12x + 10$[/option]
[option correct="true"]$3x^{2} - 12x + 10$[/option]
[option]$3x^{2} - 12x - 8$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(2x-3)^{2} = 4x^{2} - 12x + 9$ et $(x+1)(x-1) = x^{2} - 1$.
$4x^{2} - 12x + 9 - (x^{2} - 1) = 4x^{2} - 12x + 9 - x^{2} + 1 = 3x^{2} - 12x + 10$.[/reponse]
[reponse motif="$3x^{2} - 12x + 8$"]Non.
Attention au signe : $-(x^{2} - 1) = -x^{2} + 1$, pas $-x^{2} - 1$.
$9 + 1 = 10$, d'où $3x^{2} - 12x + 10$.[/reponse]
[reponse motif="$5x^{2} - 12x + 10$"]Non.
On soustrait $x^{2}$, on ne l'additionne pas : $4x^{2} - x^{2} = 3x^{2}$.
Le résultat est $3x^{2} - 12x + 10$.[/reponse]
[reponse motif="$3x^{2} - 12x - 8$"]Non.
Le terme constant est $9 - (-1) = 9 + 1 = 10$, pas $-8$.
$(2x-3)^{2} - (x+1)(x-1) = 3x^{2} - 12x + 10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(2x-3)^{2} - (x+1)(x-1) = 4x^{2} - 12x + 9 - x^{2} + 1 = 3x^{2} - 12x + 10$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Factoriser $(2x + 1)^{2} - (2x + 1)(x - 4)$.
[qcm]
[option]$(2x + 1)(3x - 3)$[/option]
[option]$(2x + 1)(x - 3)$[/option]
[option correct="true"]$(2x + 1)(x + 5)$[/option]
[option]$(x - 4)(x + 5)$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le facteur commun est $(2x+1)$ :
$(2x+1)\left[(2x+1) - (x-4)\right] = (2x+1)(2x + 1 - x + 4) = (2x+1)(x+5)$.[/reponse]
[reponse motif="$(2x + 1)(3x - 3)$"]Non.
C'est le résultat si on additionne au lieu de soustraire.
On a : $(2x+1) - (x-4) = 2x + 1 - x + 4 = x + 5$.[/reponse]
[reponse motif="$(2x + 1)(x - 3)$"]Non.
Attention à bien distribuer le signe $-$ : $-(x-4) = -x + 4$, pas $-x - 4$.
$(2x+1) - (x-4) = x + 5$, d'où $(2x+1)(x+5)$.[/reponse]
[reponse motif="$(x - 4)(x + 5)$"]Non.
Le facteur commun n'est pas $(x-4)$ mais $(2x+1)$.
$(2x+1)^{2} - (2x+1)(x-4) = (2x+1)(x+5)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le facteur commun est $(2x+1)$ : $(2x+1)\left[(2x+1)-(x-4)\right] = (2x+1)(x+5)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer $998 \times 1002$ sans calculatrice.
[qcm]
[option]$1\,000\,004$[/option]
[option]$1\,000\,000$[/option]
[option]$996\,004$[/option]
[option correct="true"]$999\,996$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$998 \times 1002 = (1000 - 2)(1000 + 2) = 1000^{2} - 2^{2} = 1\,000\,000 - 4 = 999\,996$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,000\,004$"]Non.
La troisième identité remarquable donne $a^{2} - b^{2}$, pas $a^{2} + b^{2}$.
$(1000-2)(1000+2) = 1\,000\,000 - 4 = 999\,996$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,000\,000$"]Non.
Il ne faut pas oublier de soustraire $b^{2} = 4$.
$(1000-2)(1000+2) = 1\,000\,000 - 4 = 999\,996$.[/reponse]
[reponse motif="$996\,004$"]Non.
L'identité remarquable donne $1000^{2} - 2^{2} = 1\,000\,000 - 4$, pas $1000^{2} - 2 \times 1000 \times 2 + 4$.
Le résultat est $999\,996$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$998 \times 1002 = (1000-2)(1000+2) = 1\,000\,000 - 4 = 999\,996$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'expression $4x^{2} - 12x + 9$ est égale à :
[qcm]
[option]$(2x + 3)^{2}$[/option]
[option]$(2x - 3)(2x + 3)$[/option]
[option correct="true"]$(2x - 3)^{2}$[/option]
[option]$(4x - 3)^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$4x^{2} - 12x + 9 = (2x)^{2} - 2 \times 2x \times 3 + 3^{2} = (2x-3)^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$(2x + 3)^{2}$"]Non.
$(2x+3)^{2} = 4x^{2} + 12x + 9$. Le signe du terme en $x$ est $-12x$, c'est donc $(2x-3)^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$(2x - 3)(2x + 3)$"]Non.
$(2x-3)(2x+3) = 4x^{2} - 9$. L'expression a trois termes, c'est un carré parfait, pas une différence de carrés.
$4x^{2} - 12x + 9 = (2x-3)^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$(4x - 3)^{2}$"]Non.
$(4x-3)^{2} = 16x^{2} - 24x + 9 \neq 4x^{2} - 12x + 9$.
$\sqrt{4x^{2}} = 2x$ (pas $4x$), d'où $(2x-3)^{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$4x^{2} - 12x + 9 = (2x)^{2} - 2 \times 2x \times 3 + 3^{2} = (2x-3)^{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre $(x - 5)(2x + 3) = 0$.
[qcm]
[option]$x = -5$ ou $x = \dfrac{3}{2}$[/option]
[option]$x = 5$ ou $x = \dfrac{3}{2}$[/option]
[option]$x = 5$[/option]
[option correct="true"]$x = 5$ ou $x = -\dfrac{3}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$x - 5 = 0$ donne $x = 5$.
$2x + 3 = 0$ donne $x = -\dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$x = -5$ ou $x = \dfrac{3}{2}$"]Non.
$x - 5 = 0$ donne $x = 5$ (pas $-5$), et $2x + 3 = 0$ donne $x = -\dfrac{3}{2}$ (pas $+\dfrac{3}{2}$).
Les solutions sont $x = 5$ ou $x = -\dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 5$ ou $x = \dfrac{3}{2}$"]Non.
$2x + 3 = 0$ donne $2x = -3$, soit $x = -\dfrac{3}{2}$ (pas $+\dfrac{3}{2}$).
Les solutions sont $x = 5$ ou $x = -\dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 5$"]Non.
Un produit nul a autant de solutions que de facteurs. Il ne faut pas oublier la seconde :
$2x + 3 = 0$ donne $x = -\dfrac{3}{2}$.
Les solutions sont $x = 5$ ou $x = -\dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(x-5)(2x+3) = 0$ donne $x = 5$ ou $x = -\dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Laquelle de ces expressions est toujours positive ou nulle ?
[qcm]
[option]$x^{2} - 4$[/option]
[option correct="true"]$x^{2} - 4x + 4$[/option]
[option]$x^{2} - 4x$[/option]
[option]$x^{2} + 4x$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2}$, qui est un carré. Un carré est toujours positif ou nul.[/reponse]
[reponse motif="$x^{2} - 4$"]Non.
Pour $x = 0$ : $0 - 4 = -4 < 0$. Cette expression peut être négative.
L'expression toujours positive ou nulle est $x^{2} - 4x + 4 = (x-2)^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$x^{2} - 4x$"]Non.
Pour $x = 2$ : $4 - 8 = -4 < 0$. Cette expression peut être négative.
L'expression toujours positive ou nulle est $x^{2} - 4x + 4 = (x-2)^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$x^{2} + 4x$"]Non.
Pour $x = -2$ : $4 - 8 = -4 < 0$. Cette expression peut être négative.
L'expression toujours positive ou nulle est $x^{2} - 4x + 4 = (x-2)^{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Seule $x^{2} - 4x + 4 = (x-2)^{2}$ est toujours positive ou nulle, car c'est un carré parfait.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Identités remarquables

[enonce]
Ce QCM porte sur le développement avec les identités remarquables. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Développer $(x + 5)^{2}$.
[qcm]
[option]$x^{2} + 25$[/option]
[option]$x^{2} + 5x + 25$[/option]
[option correct="true"]$x^{2} + 10x + 25$[/option]
[option]$x^{2} + 10x + 10$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ avec $a = x$ et $b = 5$ :
$x^{2} + 2 \times x \times 5 + 5^{2} = x^{2} + 10x + 25$.[/reponse]
[reponse motif="$x^{2} + 25$"]Non.
Il manque le double produit $2ab = 2 \times x \times 5 = 10x$.
$(x+5)^{2} \neq x^{2} + 5^{2}$. La bonne formule est $x^{2} + 10x + 25$.[/reponse]
[reponse motif="$x^{2} + 5x + 25$"]Non.
Le terme du milieu est $2ab = 2 \times x \times 5 = 10x$, pas $5x$.
$(x+5)^{2} = x^{2} + 10x + 25$.[/reponse]
[reponse motif="$x^{2} + 10x + 10$"]Non.
Le dernier terme est $b^{2} = 5^{2} = 25$, pas $2 \times 5 = 10$.
$(x+5)^{2} = x^{2} + 10x + 25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(x+5)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 5 + 5^{2} = x^{2} + 10x + 25$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Développer $(3x - 2)^{2}$.
[qcm]
[option]$9x^{2} - 4$[/option]
[option]$3x^{2} - 12x + 4$[/option]
[option]$9x^{2} + 12x + 4$[/option]
[option correct="true"]$9x^{2} - 12x + 4$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ avec $a = 3x$ et $b = 2$ :
$(3x)^{2} - 2 \times 3x \times 2 + 2^{2} = 9x^{2} - 12x + 4$.[/reponse]
[reponse motif="$9x^{2} - 4$"]Non.
C'est la formule de $(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}$, pas $(a-b)^{2}$.
$(3x-2)^{2} = 9x^{2} - 12x + 4$.[/reponse]
[reponse motif="$3x^{2} - 12x + 4$"]Non.
$(3x)^{2} = 9x^{2}$, pas $3x^{2}$. Attention : on élève $3x$ au carré, pas juste $3$.
$(3x-2)^{2} = 9x^{2} - 12x + 4$.[/reponse]
[reponse motif="$9x^{2} + 12x + 4$"]Non.
Le signe du double produit est négatif dans $(a-b)^{2}$ : $-2ab = -12x$, pas $+12x$.
$(3x-2)^{2} = 9x^{2} - 12x + 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(3x-2)^{2} = (3x)^{2} - 2 \times 3x \times 2 + 2^{2} = 9x^{2} - 12x + 4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Développer $(4x + 1)(4x - 1)$.
[qcm]
[option correct="true"]$16x^{2} - 1$[/option]
[option]$16x^{2} + 1$[/option]
[option]$4x^{2} - 1$[/option]
[option]$16x^{2} - 8x + 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(a+b)(a-b) = a^{2} - b^{2}$ avec $a = 4x$ et $b = 1$ :
$(4x)^{2} - 1^{2} = 16x^{2} - 1$.[/reponse]
[reponse motif="$16x^{2} + 1$"]Non.
La troisième identité remarquable donne $a^{2} - b^{2}$, pas $a^{2} + b^{2}$.
$(4x+1)(4x-1) = 16x^{2} - 1$.[/reponse]
[reponse motif="$4x^{2} - 1$"]Non.
$(4x)^{2} = 16x^{2}$, pas $4x^{2}$. On élève $4x$ au carré.
$(4x+1)(4x-1) = 16x^{2} - 1$.[/reponse]
[reponse motif="$16x^{2} - 8x + 1$"]Non.
C'est le développement de $(4x-1)^{2}$, pas de $(4x+1)(4x-1)$.
$(4x+1)(4x-1) = (4x)^{2} - 1^{2} = 16x^{2} - 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(4x+1)(4x-1) = (4x)^{2} - 1^{2} = 16x^{2} - 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Développer $(x - 7)(x + 7)$.
[qcm]
[option]$x^{2} + 49$[/option]
[option]$x^{2} - 14x + 49$[/option]
[option]$x^{2} - 14$[/option]
[option correct="true"]$x^{2} - 49$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}$ avec $a = x$ et $b = 7$ :
$x^{2} - 7^{2} = x^{2} - 49$.[/reponse]
[reponse motif="$x^{2} + 49$"]Non.
Le signe est incorrect : $(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}$, avec un $-$, pas un $+$.
$(x-7)(x+7) = x^{2} - 49$.[/reponse]
[reponse motif="$x^{2} - 14x + 49$"]Non.
C'est le développement de $(x-7)^{2}$, pas de $(x-7)(x+7)$.
$(x-7)(x+7) = x^{2} - 49$.[/reponse]
[reponse motif="$x^{2} - 14$"]Non.
Le dernier terme est $b^{2} = 7^{2} = 49$, pas $2 \times 7 = 14$.
$(x-7)(x+7) = x^{2} - 49$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(x-7)(x+7) = x^{2} - 7^{2} = x^{2} - 49$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Développer $(2x + 3)^{2}$.
[qcm]
[option]$2x^{2} + 12x + 9$[/option]
[option]$4x^{2} + 9$[/option]
[option correct="true"]$4x^{2} + 12x + 9$[/option]
[option]$4x^{2} + 6x + 9$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ avec $a = 2x$ et $b = 3$ :
$(2x)^{2} + 2 \times 2x \times 3 + 3^{2} = 4x^{2} + 12x + 9$.[/reponse]
[reponse motif="$2x^{2} + 12x + 9$"]Non.
$(2x)^{2} = 4x^{2}$, pas $2x^{2}$. On élève le produit $2x$ au carré : $2^{2} \times x^{2} = 4x^{2}$.
$(2x+3)^{2} = 4x^{2} + 12x + 9$.[/reponse]
[reponse motif="$4x^{2} + 9$"]Non.
Il manque le double produit $2ab = 2 \times 2x \times 3 = 12x$.
$(2x+3)^{2} = 4x^{2} + 12x + 9$.[/reponse]
[reponse motif="$4x^{2} + 6x + 9$"]Non.
Le double produit est $2 \times 2x \times 3 = 12x$, pas $2x \times 3 = 6x$. Il ne faut pas oublier le facteur $2$.
$(2x+3)^{2} = 4x^{2} + 12x + 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(2x+3)^{2} = (2x)^{2} + 2 \times 2x \times 3 + 3^{2} = 4x^{2} + 12x + 9$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Développer $(5 - x)^{2}$.
[qcm]
[option]$x^{2} + 10x + 25$[/option]
[option]$25 - x^{2}$[/option]
[option correct="true"]$x^{2} - 10x + 25$[/option]
[option]$-x^{2} + 10x - 25$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ avec $a = 5$ et $b = x$ :
$5^{2} - 2 \times 5 \times x + x^{2} = 25 - 10x + x^{2} = x^{2} - 10x + 25$.[/reponse]
[reponse motif="$x^{2} + 10x + 25$"]Non.
Le signe du double produit est négatif car c'est $(5-x)^{2}$, un carré d'une différence.
$-2 \times 5 \times x = -10x$, d'où $x^{2} - 10x + 25$.[/reponse]
[reponse motif="$25 - x^{2}$"]Non.
C'est le résultat de $(5-x)(5+x)$, pas de $(5-x)^{2}$.
$(5-x)^{2} = x^{2} - 10x + 25$.[/reponse]
[reponse motif="$-x^{2} + 10x - 25$"]Non.
Un carré est toujours positif ou nul. L'expression $(5-x)^{2}$ ne peut pas donner un résultat négatif pour tout $x$.
$(5-x)^{2} = x^{2} - 10x + 25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$(5-x)^{2} = 25 - 10x + x^{2} = x^{2} - 10x + 25$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Calcul numérique et identités remarquables

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : On peut calculer $101^2$ en utilisant $(100 + 1)^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(100+1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de croire que $(100+1)^2 = 100^2 + 1^2 = 10\,001$.
Il ne faut pas oublier le double produit : $2 \times 100 \times 1 = 200$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $(100+1)^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201$, c'est une application de $(a+b)^2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $99 \times 101 = 10\,001$

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$99 \times 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1^2 = 10\,000 - 1 = 9\,999$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de calculer $100^2 + 1 = 10\,001$ au lieu d'appliquer $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Le résultat correct est $100^2 - 1 = 9\,999$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $99 \times 101 = (100-1)(100+1) = 10\,000 - 1 = 9\,999$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $52^2 - 48^2 = 400$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On utilise $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ avec $a = 52$ et $b = 48$ :
$(52 + 48)(52 - 48) = 100 \times 4 = 400$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de vouloir calculer chaque carré séparément, ce qui est long et source d'erreurs.
L'astuce est de factoriser : $52^2 - 48^2 = (52+48)(52-48) = 100 \times 4 = 400$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En factorisant : $(52+48)(52-48) = 100 \times 4 = 400$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour $x = -1$, l'expression $(2x + 3)(2x - 3)$ vaut $5$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour $x = -1$ : $(2 \times (-1) + 3)(2 \times (-1) - 3) = (-2 + 3)(-2 - 3) = 1 \times (-5) = -5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'oublier le signe négatif lors du calcul avec $x = -1$.
$(2 \times (-1) + 3)(2 \times (-1) - 3) = (1)(-5) = -5$, pas $5$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Pour $x = -1$ : $(1)(-5) = -5$. L'erreur vient d'un mauvais calcul avec les nombres négatifs.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $997^2 = 994\,009$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$997 = 1\,000 - 3$, donc $997^2 = (1\,000 - 3)^2 = 1\,000\,000 - 6\,000 + 9 = 994\,009$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de calculer $(1\,000 - 3)^2 = 1\,000\,000 - 9 = 999\,991$ en oubliant le double produit.
$(1\,000 - 3)^2 = 1\,000^2 - 2 \times 1\,000 \times 3 + 3^2 = 1\,000\,000 - 6\,000 + 9 = 994\,009$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $(1\,000 - 3)^2 = 1\,000\,000 - 6\,000 + 9 = 994\,009$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $203 \times 197 = 40\,009$

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$203 \times 197 = (200 + 3)(200 - 3) = 200^2 - 3^2 = 40\,000 - 9 = 39\,991$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de calculer $a^2 + b^2$ au lieu de $a^2 - b^2$ dans la troisième identité remarquable.
$(200+3)(200-3) = 200^2 - 3^2 = 40\,000 - 9 = 39\,991$, et non $40\,009$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $203 \times 197 = (200+3)(200-3) = 40\,000 - 9 = 39\,991$. Le piège est de calculer $+9$ au lieu de $-9$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Identités remarquables

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $(x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = x$ et $b = 7$ :
$x^2 + 2 \times x \times 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier le double produit $2ab$.
$(x+7)^2 = x^2 + 2 \times x \times 7 + 49 = x^2 + 14x + 49$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est l'application directe de $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = x$ et $b = 7$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $(x + 3)^2 = x^2 + 9$

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Il manque le double produit $2 \times x \times 3 = 6x$.
Le résultat correct est $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de croire que le carré d'une somme est la somme des carrés : $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$.
Le résultat correct est $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Le terme $6x$ manque.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Le terme $2ab = 6x$ est indispensable : $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $(5x - 2)(5x + 2) = 25x^2 - 4$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On reconnaît $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ avec $a = 5x$ et $b = 2$ :
$(5x)^2 - 2^2 = 25x^2 - 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de mal calculer $(5x)^2$ ou d'ajouter un double produit.
C'est la troisième identité remarquable : $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, donc $(5x)^2 - 2^2 = 25x^2 - 4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On applique $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ avec $a = 5x$ et $b = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $(3x - 1)^2 = 9x^2 - 1$

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Il manque le double produit.
$(3x-1)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre $(a-b)^2$ et $a^2 - b^2$. Ce sont deux identités différentes.
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, donc $(3x-1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $(3x-1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$. L'expression $9x^2 - 1$ correspondrait à $(3x-1)(3x+1)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On applique $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = x$ et $b = 4$ :
$x^2 - 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de se tromper sur le signe du double produit dans $(a-b)^2$.
$(x-4)^2 = x^2 - 2 \times x \times 4 + 16 = x^2 - 8x + 16$. Le dernier terme est bien positif.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ donne $x^2 - 8x + 16$. Attention : le dernier terme $b^2$ est toujours positif.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $(2x + 3)^2 = 2x^2 + 12x + 9$

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'erreur est sur le premier terme : $(2x)^2 = 4x^2$, pas $2x^2$.
Le résultat correct est $(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de calculer $(2x)^2 = 2x^2$ au lieu de $(2x)^2 = 4x^2$.
Le résultat correct est $(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$. Le piège est que $(2x)^2 = 4x^2$ et non $2x^2$.
[/solution]
[/etape]

Aire d’un terrain

ABCD est un terrain rectangulaire de longueur $ AB = (3x + 4) $ mètres et de largeur $ AD = (3x - 4) $ mètres, où $ x $ est un nombre supérieur à $ 2 $.

On aménage une terrasse carrée de côté $ 3 $ mètres dans le coin D du terrain (zone grisée sur la figure).

Terrain rectangulaire ABCD avec une terrasse carrée de côté 3 m dans le coin D

Exprimer l'aire $ \mathcal{A}_{1} $ du terrain ABCD en fonction de $ x $, à l'aide d'une identité remarquable.
Exprimer l'aire $ \mathcal{A}_{2} $ de la partie restante du terrain (hors terrasse) en fonction de $ x $.
Factoriser l'expression de $ \mathcal{A}_{2} $.
Pour quelle valeur de $ x $ l'aire de la partie restante vaut-elle $ 200 $ m$ ^{2} $ ?

Corrigé

L'aire du terrain est le produit de la longueur par la largeur :
$ \mathcal{A}_{1} = (3x + 4)(3x - 4) $

On reconnaît la troisième identité remarquable $ (a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2} $ avec $ a = 3x $ et $ b = 4 $ :
$ \mathcal{A}_{1} = (3x)^{2} - 4^{2} $
$ \mathcal{A}_{1} = 9x^{2} - 16 $ m$ ^{2} $
L'aire de la terrasse carrée est $ 3^{2} = 9 $ m$ ^{2} $. L'aire restante est :
$ \mathcal{A}_{2} = \mathcal{A}_{1} - 9 $
$ \mathcal{A}_{2} = 9x^{2} - 16 - 9 $
$ \mathcal{A}_{2} = 9x^{2} - 25 $ m$ ^{2} $
On reconnaît une différence de deux carrés : $ (3x)^{2} - 5^{2} $.
On utilise $ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $ avec $ a = 3x $ et $ b = 5 $ :
$ \mathcal{A}_{2} = (3x + 5)(3x - 5) $ m$ ^{2} $
On cherche $ x $ tel que $ \mathcal{A}_{2} = 200 $ :
$ 9x^{2} - 25 = 200 $
$ 9x^{2} = 225 $
$ x^{2} = 25 $
$ x = 5 $ (car $ x > 2 $)

Vérification : pour $ x = 5 $, le terrain mesure $ 19 \times 11 = 209 $ m$ ^{2} $, la terrasse $ 9 $ m$ ^{2} $, et $ 209 - 9 = 200 $ m$ ^{2} $.

Factoriser pour résoudre une équation

On considère l'expression :

$ E = (2x - 1)^{2} - (x + 3)^{2} $

Développer et réduire $ E $.
Factoriser $ E $ à l'aide d'une identité remarquable.
Résoudre l'équation $ (2x - 1)^{2} - (x + 3)^{2} = 0 $.
Calculer $ E $ pour $ x = 10 $, en choisissant la forme la plus adaptée.

Corrigé

On développe chaque carré à l'aide des identités remarquables :
$ (2x - 1)^{2} = (2x)^{2} - 2 \times 2x \times 1 + 1^{2} = 4x^{2} - 4x + 1 $
$ (x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 3 + 3^{2} = x^{2} + 6x + 9 $

On calcule la différence :
$ E = 4x^{2} - 4x + 1 - (x^{2} + 6x + 9) $
$ E = 4x^{2} - 4x + 1 - x^{2} - 6x - 9 $
$ E = 3x^{2} - 10x - 8 $
L'expression $ E = (2x - 1)^{2} - (x + 3)^{2} $ est une différence de deux carrés.
On utilise $ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $ avec $ a = 2x - 1 $ et $ b = x + 3 $ :
$ E = \left[(2x - 1) + (x + 3)\right]\left[(2x - 1) - (x + 3)\right] $
$ E = (2x - 1 + x + 3)(2x - 1 - x - 3) $
$ E = (3x + 2)(x - 4) $
L'équation $ E = 0 $ s'écrit, sous forme factorisée :
$ (3x + 2)(x - 4) = 0 $

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :
$ 3x + 2 = 0 $ ou $ x - 4 = 0 $
$ x = -\dfrac{2}{3} $ ou $ x = 4 $

L'équation admet deux solutions : $\mathbf{x = -\dfrac{2}{3}}$ et $\mathbf{x = 4}$.
La forme factorisée est la plus pratique pour calculer :
$ E = (3 \times 10 + 2)(10 - 4) $
$ E = 32 \times 6 $
$ E = 192 $

Développement et preuve de parité

On considère les deux expressions :

$ A = (x + 5)^{2} - (x + 3)(x - 3) $

$ B = (2x - 1)^{2} - 4(x + 2)(x - 2) $

Développer et réduire $ A $.
Développer et réduire $ B $.
Montrer que pour tout nombre entier $ x $, la somme $ A + B $ est un nombre impair.

Corrigé

On développe chaque partie de $ A $ à l'aide des identités remarquables :
$ (x + 5)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 5 + 5^{2} = x^{2} + 10x + 25 $
$ (x + 3)(x - 3) = x^{2} - 3^{2} = x^{2} - 9 $

On calcule la différence :
$ A = x^{2} + 10x + 25 - (x^{2} - 9) $
$ A = x^{2} + 10x + 25 - x^{2} + 9 $
$ A = 10x + 34 $
On développe chaque partie de $ B $ :
$ (2x - 1)^{2} = (2x)^{2} - 2 \times 2x \times 1 + 1^{2} = 4x^{2} - 4x + 1 $
$ 4(x + 2)(x - 2) = 4(x^{2} - 2^{2}) = 4(x^{2} - 4) = 4x^{2} - 16 $

On calcule la différence :
$ B = 4x^{2} - 4x + 1 - (4x^{2} - 16) $
$ B = 4x^{2} - 4x + 1 - 4x^{2} + 16 $
$ B = -4x + 17 $
On calcule $ A + B $ :
$ A + B = (10x + 34) + (-4x + 17) $
$ A + B = 6x + 51 $

On peut écrire :
$ A + B = 6x + 50 + 1 = 2(3x + 25) + 1 $

Le nombre $ 2(3x + 25) $ est pair (car c'est un multiple de $ 2 $). Donc $ 2(3x + 25) + 1 $ est impair.

Ainsi, pour tout nombre entier $ x $, la somme $ A + B $ est un nombre impair.

Vrai/Faux : Développer et réduire

[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Soit $A = x(x+5) - (x+1)(x-2)$.
La forme développée et réduite de $A$ est $A = 4x-2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En développant : $A = x^2+5x-(x^2-x-2) = x^2+5x-x^2+x+2 = 6x+2$, et non $4x-2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de mal distribuer le signe moins devant $(x+1)(x-2)$ : il faut d'abord développer le produit, puis changer tous les signes.
En développant : $A = x^2+5x-(x^2-x-2) = 6x+2 \neq 4x-2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. En développant correctement : $A = x^2+5x-(x^2-x-2) = x^2+5x-x^2+x+2 = 6x+2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $a(b+1) - b(a+1) = a-b$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En développant : $a(b+1)-b(a+1) = ab+a-ab-b = a-b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier de développer l'un des deux produits avant de réduire les termes semblables.
En développant : $ab+a-ab-b = a-b$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En développant : $a(b+1) - b(a+1) = ab+a-ab-b = a-b$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $A = (x+2)^2 - 1$.
La forme développée de $A$ est $(x+1)(x+3)$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(x+1)(x+3)$ est la forme factorisée de $A$, pas sa forme développée. La forme développée est $x^2+4x+3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre forme développée et forme factorisée : $(x+1)(x+3)$ est bien une écriture de $A$, mais c'est sa forme factorisée, pas développée.
La forme développée est $(x+2)^2-1 = x^2+4x+4-1 = x^2+4x+3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $(x+1)(x+3)$ est la forme factorisée de $A$, pas développée. La forme développée est $A = x^2+4x+3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $A = (x-4)^2 + (x+4)^2$.
La forme développée est $A = 2x^2+16x$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(x-4)^2 = x^2-8x+16$ et $(x+4)^2 = x^2+8x+16$, donc $A = 2x^2+32 \neq 2x^2+16x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'additionner les termes $-8x$ et $+8x$ en croyant obtenir $16x$, alors qu'ils s'annulent mutuellement.
$(x-4)^2+(x+4)^2 = x^2-8x+16+x^2+8x+16 = 2x^2+32$, les termes en $x$ s'annulent.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $(x-4)^2 + (x+4)^2 = (x^2-8x+16)+(x^2+8x+16) = 2x^2+32$. Les termes en $x$ s'annulent, il n'y a pas de terme en $x$ dans le résultat.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $A = (x+5)(x-5) + 2x(x-1)$.
La forme développée et réduite est $A = 3x^2-2x-25$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(x+5)(x-5) = x^2-25$ et $2x(x-1) = 2x^2-2x$, donc $A = 3x^2-2x-25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de mal appliquer l'identité remarquable $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ pour le premier produit.
$(x+5)(x-5) = x^2-25$ et $2x(x-1) = 2x^2-2x$, donc $A = x^2-25+2x^2-2x = 3x^2-2x-25$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $(x+5)(x-5) = x^2-25$ (identité remarquable) et $2x(x-1) = 2x^2-2x$, donc $A = 3x^2-2x-25$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $C = (x-1)(x^2+x+1)$.
La forme développée et réduite de $C$ est $C = x^3-1$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
En développant : $C = x^3+x^2+x-x^2-x-1 = x^3-1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas distribuer correctement chaque terme de $(x-1)$ sur les trois termes du trinôme.
En développant : $(x-1)(x^2+x+1) = x^3+x^2+x-x^2-x-1 = x^3-1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En développant : $(x-1)(x^2+x+1) = x^3+x^2+x-x^2-x-1 = x^3-1$. On le vérifie en distribuant chaque terme de $(x-1)$ sur les trois termes du trinôme.
[/solution]
[/etape]