[enonce]
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

On cherche à comparer ces deux fonctions et à résoudre l'inéquation $f(x) \geqslant g(x)$.
[/enonce]

[etape]
Déterminer le sens de variation de $f$ et de $g$.
[qcm]
[option]$f$ et $g$ sont toutes les deux croissantes[/option]
[option]$f$ et $g$ sont toutes les deux décroissantes[/option]
[option correct="true"]$f$ est croissante et $g$ est décroissante[/option]
[option]$f$ est décroissante et $g$ est croissante[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le coefficient directeur de $f$ est $2 > 0$, donc $f$ est strictement croissante.
Le coefficient directeur de $g$ est $-1 < 0$, donc $g$ est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse motif="$f$ et $g$ sont toutes les deux croissantes"]Le coefficient directeur de $g$ est $-1$, qui est négatif.
Une fonction affine est croissante si et seulement si son coefficient directeur est positif.[/reponse]
[reponse motif="$f$ et $g$ sont toutes les deux décroissantes"]Le coefficient directeur de $f$ est $2$, qui est positif.
Revoir le lien entre le signe du coefficient directeur et le sens de variation.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est décroissante et $g$ est croissante"]C'est l'inverse.
Le coefficient directeur de $f$ est $2 > 0$ (croissante) et celui de $g$ est $-1 < 0$ (décroissante).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Identifier le coefficient directeur de chaque fonction et examiner son signe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer la racine de $f$ (la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = 0$).
$x = $ [[rf]]
[math id="rf" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$2x - 4 = 0 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2$.
La fonction $f$ s'annule en $x = 2$.[/reponse]
[reponse motif="-2"]Attention au signe.
$2x = 4$, donc $x = \dfrac{4}{2}$, qui est positif.[/reponse]
[reponse motif="4"]$4$ est l'ordonnée à l'origine changée de signe, mais il faut encore diviser par le coefficient directeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Résoudre $2x - 4 = 0$ en isolant $x$.[/reponse]
[aide essai="2"]$2x - 4 = 0 \Leftrightarrow 2x = 4$.[/aide]
[aide essai="3"]$2x = 4$, donc $x = \dfrac{4}{2}$.[/aide]
[/math]
[solution]$2x - 4 = 0 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la racine de $g$.
$x = $ [[rg]]
[math id="rg" attendu="5"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$-x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5$.
La fonction $g$ s'annule en $x = 5$.[/reponse]
[reponse motif="-5"]Attention au signe.
$-x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5$ (positif).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Résoudre $-x + 5 = 0$ en isolant $x$.[/reponse]
[aide essai="2"]$-x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5$.[/aide]
[aide essai="3"]Isoler $x$ : $-x = -5$, donc $x = 5$.[/aide]
[/math]
[solution]$-x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Résoudre $f(x) = g(x)$.
$x = $ [[inter]]
[math id="inter" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$2x - 4 = -x + 5$
$2x + x = 5 + 4$
$3x = 9$
$x = 3$
Les courbes de $f$ et $g$ se coupent au point d'abscisse $3$.[/reponse]
[reponse motif="9"]$9$ est le résultat de $5 + 4$, mais il reste à diviser par $3$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Vérifier : $f(1) = 2 - 4 = -2$ et $g(1) = -1 + 5 = 4$. Comme $-2 \neq 4$, ce n'est pas la solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Résoudre $2x - 4 = -x + 5$ en regroupant les termes en $x$ d'un côté.[/reponse]
[aide essai="2"]$2x - 4 = -x + 5 \Leftrightarrow 2x + x = 5 + 4$.[/aide]
[aide essai="3"]$3x = 9$, donc $x = ?$[/aide]
[/math]
[solution]$2x - 4 = -x + 5 \Leftrightarrow 3x = 9 \Leftrightarrow x = 3$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour $x > 3$, quelle fonction a les plus grandes valeurs ?
La fonction [[plus_grande]] a les plus grandes valeurs pour $x > 3$.
[select id="plus_grande"]
[option correct="true"]$f$[/option]
[option]$g$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f$ est croissante et $g$ est décroissante. Après leur point d'intersection ($x = 3$), $f$ « monte » tandis que $g$ « descend », donc $f(x) > g(x)$ pour tout $x > 3$.
Vérification : $f(4) = 4$ et $g(4) = 1$, on a bien $f(4) > g(4)$.[/reponse]
[reponse motif="$g$"]Après le point d'intersection, la fonction croissante prend des valeurs de plus en plus grandes tandis que la décroissante diminue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer les sens de variation : après le croisement, la fonction qui « monte » finit par dépasser celle qui « descend ».[/reponse]
[aide essai="2"]Au point d'intersection ($x = 3$), les deux fonctions sont égales. Après ce point, $f$ croît et $g$ décroît.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $f(4)$ et $g(4)$ pour vérifier laquelle est la plus grande.[/aide]
[/select]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le sens de variation et le signe d'une fonction affine. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les fonctions suivantes, laquelle est strictement décroissante ?
[qcm]
[option]$f(x) = 2x - 1$[/option]
[option]$g(x) = -5$[/option]
[option]$h(x) = \dfrac{1}{2}x + 3$[/option]
[option correct="true"]$k(x) = -\dfrac{3}{4}x + 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le coefficient directeur de $k$ est $a = -\dfrac{3}{4} < 0$, donc $k$ est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 2x - 1$"]Non.
Le coefficient directeur de $f$ est $a = 2 > 0$, donc $f$ est strictement croissante. Pour qu'une fonction affine soit décroissante, son coefficient directeur doit être strictement négatif.[/reponse]
[reponse motif="$g(x) = -5$"]Non.
La fonction $g(x) = -5$ est une fonction constante ($a = 0$). Elle n'est ni croissante ni décroissante. Le signe du nombre $-5$ n'est pas le signe du coefficient directeur.[/reponse]
[reponse motif="$h(x) = \dfrac{1}{2}x + 3$"]Non.
Le coefficient directeur de $h$ est $a = \dfrac{1}{2} > 0$, donc $h$ est strictement croissante. Un coefficient directeur positif donne une fonction croissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une fonction affine $f(x) = ax + b$ est strictement décroissante si et seulement si $a < 0$. Identifier le signe du coefficient directeur de chaque fonction.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f(x) = 4x - 12$. Pour quelle valeur de $x$ la fonction $f$ s'annule-t-elle ?
[qcm]
[option correct="true"]$x = 3$[/option]
[option]$x = -3$[/option]
[option]$x = 8$[/option]
[option]$x = 48$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On résout $f(x) = 0$ :
$4x - 12 = 0$
$4x = 12$
$x = \dfrac{12}{4} = 3$[/reponse]
[reponse motif="$x = -3$"]Non.
Tu as un problème de signe. L'équation $4x - 12 = 0$ donne $4x = 12$ (on ajoute $12$), puis $x = 3$. Le résultat est positif.[/reponse]
[reponse motif="$x = 8$"]Non.
Tu as calculé $12 - 4 = 8$ au lieu de diviser. L'équation $4x = 12$ se résout en divisant les deux membres par $4$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 48$"]Non.
Tu as multiplié $12 \times 4 = 48$ au lieu de diviser. L'équation $4x = 12$ se résout en divisant par $4$, pas en multipliant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre l'équation $4x - 12 = 0$ en isolant $x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f(x) = 3x - 6$. Sur quel intervalle $f(x)$ est-elle strictement négative ?
[qcm]
[option]$]2\,;\,+\infty[$[/option]
[option]$]-\infty\,;\,-2[$[/option]
[option correct="true"]$]-\infty\,;\,2[$[/option]
[option]$]-2\,;\,+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La racine de $f$ est $x_0 = \dfrac{6}{3} = 2$.
Comme $a = 3 > 0$, la fonction est croissante : $f(x) < 0$ pour $x < 2$, c'est-à-dire sur $]-\infty\,;\,2[$.[/reponse]
[reponse motif="$]2\,;\,+\infty[$"]Non.
Sur cet intervalle, $f$ est strictement positive (et non négative). Quand $a > 0$, la fonction est croissante : elle est négative avant la racine et positive après.[/reponse]
[reponse motif="$]-\infty\,;\,-2[$"]Non.
La racine de $f$ est $x_0 = \dfrac{6}{3} = 2$ (et non $-2$). Attention, $x_0 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-6}{3} = 2$.[/reponse]
[reponse motif="$]-2\,;\,+\infty[$"]Non.
Deux erreurs se sont glissées : la racine est $x_0 = 2$ (pas $-2$) et le sens de l'intervalle est inversé. Recalculer la racine et utiliser le signe de $a$ pour conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver d'abord la racine en résolvant $3x - 6 = 0$, puis utiliser le signe du coefficient directeur pour déterminer où $f$ est négative.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f(x) = -2x + 8$. Résoudre $f(x) \geqslant 0$.
[qcm]
[option]$x \geqslant 4$[/option]
[option]$x \leqslant -4$[/option]
[option correct="true"]$x \leqslant 4$[/option]
[option]$x \geqslant -4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f(x) \geqslant 0 \iff -2x + 8 \geqslant 0 \iff -2x \geqslant -8 \iff x \leqslant 4$
On divise par $-2$ en changeant le sens de l'inégalité.
On peut aussi raisonner avec le tableau de signes : $f$ s'annule en $x_0 = 4$ et $a < 0$, donc $f(x) \geqslant 0$ pour $x \leqslant 4$.[/reponse]
[reponse motif="$x \geqslant 4$"]Non.
Tu as oublié de changer le sens de l'inégalité en divisant par $-2$. Quand on divise (ou multiplie) par un nombre négatif, l'inégalité s'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$x \leqslant -4$"]Non.
La racine est $x_0 = \dfrac{8}{2} = 4$ (et non $-4$). Attention au signe : $-2x + 8 = 0$ donne $x = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$x \geqslant -4$"]Non.
Deux erreurs se sont glissées : la racine est $4$ (pas $-4$) et le sens de l'inégalité est inversé. Résoudre d'abord $-2x + 8 = 0$, puis raisonner sur le signe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $-2x + 8 \geqslant 0$ en isolant $x$. Attention : diviser par un nombre négatif inverse l'inégalité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f(x) = -x + 3$ et $g(x) = 2x - 6$. Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $f(x) = g(x)$ ?
[qcm]
[option]$x = 1$[/option]
[option correct="true"]$x = 3$[/option]
[option]$x = -1$[/option]
[option]$x = 9$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On résout $-x + 3 = 2x - 6$ :
$3 + 6 = 2x + x$
$9 = 3x$
$x = 3$
Vérification : $f(3) = -3 + 3 = 0$ et $g(3) = 6 - 6 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 1$"]Non.
Vérifions : $f(1) = -1 + 3 = 2$ et $g(1) = 2 - 6 = -4$. Ces valeurs sont différentes. Reprendre la résolution de $-x + 3 = 2x - 6$.[/reponse]
[reponse motif="$x = -1$"]Non.
Tu as probablement fait une erreur de signe en regroupant les termes en $x$. Dans $-x + 3 = 2x - 6$, on obtient $-x - 2x = -6 - 3$, soit $-3x = -9$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 9$"]Non.
Tu as trouvé $3x = 9$ mais tu as oublié de diviser par $3$. La dernière étape est $x = \dfrac{9}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre l'équation $-x + 3 = 2x - 6$ en regroupant les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f(x) = 2x - 10$ et $g(x) = -x + 5$. Résoudre $f(x) > g(x)$.
[qcm]
[option]$x > -5$[/option]
[option]$x < 5$[/option]
[option correct="true"]$x > 5$[/option]
[option]$x > 15$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$f(x) > g(x) \iff 2x - 10 > -x + 5 \iff 2x + x > 5 + 10 \iff 3x > 15 \iff x > 5$[/reponse]
[reponse motif="$x > -5$"]Non.
Tu as soustrait les constantes au lieu de les additionner en transposant : le $-10$ passe à droite en $+10$, donc on obtient $3x > 5 + 10 = 15$, et non $5 - 10 = -5$.[/reponse]
[reponse motif="$x < 5$"]Non.
La valeur $5$ est correcte, mais le sens de l'inégalité est inversé. Ici on ne divise pas par un nombre négatif ($3 > 0$), donc l'inégalité est conservée : $3x > 15$ donne $x > 5$.[/reponse]
[reponse motif="$x > 15$"]Non.
Tu as trouvé $3x > 15$ mais tu as oublié de diviser par $3$. La dernière étape est $x > \dfrac{15}{3} = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre l'inéquation $2x - 10 > -x + 5$ en regroupant les termes en $x$ à gauche et les constantes à droite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les variations et le signe des fonctions affines, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La fonction $f(x) = -3x + 9$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le coefficient directeur est $a = -3 < 0$, donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. La valeur de $b = 9$ n'influence pas le sens de variation.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le sens de variation ne dépend que du signe du coefficient directeur $a$. Ici $a = -3 < 0$, donc $f$ est strictement décroissante, indépendamment de la valeur de $b = 9$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $a = -3 < 0$, la fonction est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction $g(x) = 4 - 2x$ est croissante car $4 > 0$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
En réécrivant $g(x) = -2x + 4$, on lit $a = -2 < 0$ : la fonction est décroissante. Le nombre $4$ est l'ordonnée à l'origine, pas le coefficient directeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre l'ordonnée à l'origine avec le coefficient directeur. En écrivant $g(x) = -2x + 4$, on identifie $a = -2$ et $b = 4$. Le sens de variation dépend du signe de $a = -2 < 0$ : la fonction est décroissante.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le coefficient directeur est $a = -2 < 0$, donc $g$ est décroissante. Le $4$ est l'ordonnée à l'origine.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction $f(x) = 3x - 6$ est négative pour $x < -2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La racine de $f$ est $x = \dfrac{6}{3} = 2$ (et non $-2$). Comme $a = 3 > 0$, $f(x) < 0$ pour $x < 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au calcul de la racine. On résout $3x - 6 = 0$, soit $x = \dfrac{6}{3} = 2$. La valeur $-2$ est une erreur de signe. Comme $a > 0$, $f(x) < 0$ pour $x < 2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La racine est $x = 2$ (pas $-2$), et $f$ est négative pour $x < 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction $h(x) = -x + 4$ s'annule pour $x = 4$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On résout $-x + 4 = 0$, soit $x = 4$. On vérifie : $h(4) = -4 + 4 = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
En résolvant $-x + 4 = 0$, on obtient $x = 4$. On peut aussi appliquer la formule $x_0 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{-1} = 4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $h(4) = -4 + 4 = 0$, donc $h$ s'annule bien pour $x = 4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $f(x) = -2x + 6$, alors $f(x) > 0$ pour tout $x > 0$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La racine de $f$ est $x = 3$. Comme $a = -2 < 0$, $f$ est décroissante : $f(x) > 0$ pour $x < 3$ et $f(x) < 0$ pour $x > 3$. Par exemple $f(4) = -2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'ordonnée à l'origine positive ($b = 6$) ne garantit pas que $f$ reste positive pour tout $x > 0$. La racine est $x = 3$, et comme $a < 0$, $f$ devient négative pour $x > 3$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction s'annule en $x = 3$ et devient négative après : $f(4) = -2 < 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $a < 0$, la fonction $f(x) = ax + b$ est négative pour $x > -\dfrac{b}{a}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Quand $a < 0$, $f$ est décroissante. Elle s'annule en $x_0 = -\dfrac{b}{a}$, donc elle est positive avant $x_0$ et négative après.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : quand $a < 0$, la fonction est décroissante. Elle passe de valeurs positives à des valeurs négatives en traversant sa racine $x_0 = -\dfrac{b}{a}$. Pour $x > x_0$, on a $f(x) < 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Quand $a < 0$, $f$ est décroissante et $f(x) < 0$ pour $x > -\dfrac{b}{a}$.
[/solution]
[/etape]