Deux applications du théorème de Thalès

[enonce]
Dans un triangle $ABC$, on a : $AB = 10$, $AC = 8$ et $BC = 6$.

Le point $M$ est sur le segment $[AB]$ tel que $AM = 4$ et le point $N$ est sur le segment $[AC]$ tel que $(MN) /\!/ (BC)$.

Le point $P$ est sur le segment $[AB]$ tel que $AP = 7{,}5$ et le point $Q$ est sur le segment $[AC]$ tel que $AQ = 6$.

Triangle ABC avec les points M et N sur les côtés (droite MN parallèle à BC en bleu) et les points P et Q (droite PQ en pointillés)

Partie 1 : Calculer $AN$ et $MN$.
Partie 2 : Les droites $(PQ)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Si oui, calculer $PQ$.
[/enonce]

[etape]
On sait que $(MN) /\!/ (BC)$. Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés.

Quelle propriété utiliser pour calculer $AN$ et $MN$ ?

[qcm]
[option]La réciproque du théorème de Thalès[/option]
[option correct="true"]Le théorème de Thalès[/option]
[option]Le théorème de Pythagore[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. On connait le parallélisme $(MN) /\!/ (BC)$ et on veut calculer des longueurs : c'est le théorème de Thalès (partie directe).[/reponse]
[reponse motif="La réciproque du théorème de Thalès"]La réciproque sert à prouver un parallélisme. Ici, on sait déjà que $(MN) /\!/ (BC)$ et on veut calculer des longueurs : c'est la partie directe du théorème.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Il ne s'agit pas d'un triangle rectangle. On connait un parallélisme et on veut calculer des longueurs.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
C'est le théorème de Thalès (partie directe), car $(MN) /\!/ (BC)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $AN$.

$AN = $ [[an]]

[math id="an" attendu="3.2"]
[reponse statut="correct"]Exact. $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, donc $AN = \dfrac{4 \times 8}{10} = 3{,}2$.[/reponse]
[reponse motif="20"]Tu as peut-être inversé le produit en croix. Vérifie quel terme est au numérateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Écris l'égalité de Thalès qui fait intervenir $AN$, puis isole $AN$ par produit en croix.[/reponse]
[aide essai="2"]L'égalité de Thalès donne $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, soit $\dfrac{4}{10} = \dfrac{AN}{8}$.[/aide]
[aide essai="3"]$AN = \dfrac{4 \times 8}{10} = \dfrac{32}{10} = 3{,}2$.[/aide]
[/math]
[solution]
$AN = \dfrac{4 \times 8}{10} = 3{,}2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $MN$.

$MN = $ [[mn]]

[math id="mn" attendu="2.4"]
[reponse statut="correct"]Exact. $MN = BC \times \dfrac{AM}{AB} = 6 \times \dfrac{4}{10} = 2{,}4$.[/reponse]
[reponse motif="15"]Tu as peut-être calculé $\dfrac{AB \times BC}{AM}$. Vérifie l'ordre du produit en croix.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Même méthode : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$, donc $MN = \dfrac{AM \times BC}{AB}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$MN = \dfrac{4 \times 6}{10}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{4 \times 6}{10} = \dfrac{24}{10} = 2{,}4$.[/aide]
[/math]
[solution]
$MN = \dfrac{4 \times 6}{10} = 2{,}4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On passe à la partie 2. On a $AP = 7{,}5$ et $AQ = 6$.

Les droites $(PQ)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Calculer $\dfrac{AP}{AB}$.

$\dfrac{AP}{AB} = $ [[r1]]

[math id="r1" attendu="\frac{3}{4}"]
[reponse statut="correct"]Exact. $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{7{,}5}{10} = \dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Remplace par les valeurs : $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{7{,}5}{10}$. Simplifie cette fraction.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{7{,}5}{10} = \dfrac{75}{100}$. Simplifie par 25.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$.[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{7{,}5}{10} = \dfrac{3}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $\dfrac{AQ}{AC}$.

$\dfrac{AQ}{AC} = $ [[r2]]

[math id="r2" attendu="\frac{3}{4}"]
[reponse statut="correct"]Exact. $\dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Remplace par les valeurs : $\dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{6}{8}$. Simplifie cette fraction.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{6}{8}$ : divise le numérateur et le dénominateur par 2.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On a $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{3}{4}$. Les points $A$, $M$, $P$, $B$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $N$, $Q$, $C$ sont alignés dans cet ordre.

Que peut-on conclure ?

[qcm]
[option]$(PQ)$ n'est pas parallèle à $(BC)$[/option]
[option]On ne peut pas conclure[/option]
[option correct="true"]$(PQ) /\!/ (BC)$ d'après la réciproque du théorème de Thalès[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. Les points sont alignés dans le même ordre et les rapports sont égaux. D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(PQ) /\!/ (BC)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les rapports $\dfrac{AP}{AB}$ et $\dfrac{AQ}{AC}$ sont tous les deux égaux à $\dfrac{3}{4}$, et les points sont alignés dans le même ordre. La réciproque du théorème de Thalès s'applique.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(PQ) /\!/ (BC)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $PQ$.

$PQ = $ [[pq]]

[math id="pq" attendu="4.5"]
[reponse statut="correct"]Exact. $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{PQ}{BC}$, donc $PQ = BC \times \dfrac{3}{4} = 6 \times \dfrac{3}{4} = 4{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="8"]Tu as peut-être calculé $\dfrac{AB \times BC}{AP}$. Vérifie le sens du produit en croix.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]On a $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{PQ}{BC}$, donc $PQ = \dfrac{AP \times BC}{AB}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$PQ = BC \times \dfrac{AP}{AB} = 6 \times \dfrac{3}{4}$.[/aide]
[aide essai="3"]$6 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{18}{4} = 4{,}5$.[/aide]
[/math]
[solution]
$PQ = 6 \times \dfrac{3}{4} = 4{,}5$.
[/solution]
[/etape]

La voile de bateau

[enonce]
Une voile de bateau a la forme d'un triangle $PMW$. Pour la renforcer, on coud une bande de tissu le long du segment $[CT]$, parallèle à la base $[MW]$.

On donne : $PM = 6$ m, $PW = 4{,}5$ m, $MW = 3{,}6$ m et $PC = 2$ m.

Le point $C$ est sur $[PM]$ et le point $T$ est sur $[PW]$.

Triangle PMW représentant la voile avec la bande CT parallèle à la base MW

Calculer les longueurs $PT$ et $CT$.
[/enonce]

[etape]
Les points $P$, $C$, $M$ sont alignés et les points $P$, $T$, $W$ sont alignés. Les droites $(CT)$ et $(MW)$ sont parallèles.

Quelle propriété permet de calculer les longueurs manquantes ?

[qcm]
[option correct="true"]Le théorème de Thalès[/option]
[option]Le théorème de Pythagore[/option]
[option]La réciproque du théorème de Thalès[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. On a deux droites sécantes en $P$ coupées par deux droites parallèles $(CT)$ et $(MW)$ : c'est une configuration de Thalès.[/reponse]
[reponse motif="La réciproque du théorème de Thalès"]La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles. Ici, on sait déjà que $(CT) /\!/ (MW)$ et on veut calculer des longueurs : c'est le théorème de Thalès (partie directe).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]On connait un parallélisme et des longueurs. Il ne s'agit pas d'un triangle rectangle, donc Pythagore ne s'applique pas ici.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
C'est le théorème de Thalès qui s'applique, car $(CT) /\!/ (MW)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Parmi ces égalités de rapports, laquelle est donnée par le théorème de Thalès ?

[qcm]
[option]$\dfrac{PC}{CM} = \dfrac{PT}{TW} = \dfrac{CT}{MW}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{PT}{PW} = \dfrac{CT}{MW}$[/option]
[option]$\dfrac{PM}{PC} = \dfrac{PT}{PW} = \dfrac{CT}{MW}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. Les rapports partent tous du sommet $P$ (point d'intersection des sécantes).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{PC}{CM} = \dfrac{PT}{TW} = \dfrac{CT}{MW}$"]Attention, les rapports du théorème de Thalès utilisent les longueurs depuis le sommet $P$ : $\dfrac{PC}{PM}$ et $\dfrac{PT}{PW}$, pas les segments partiels $CM$ ou $TW$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les trois rapports doivent être cohérents : numérateur et dénominateur dans le même ordre par rapport au sommet $P$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Le théorème de Thalès donne : $\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{PT}{PW} = \dfrac{CT}{MW}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $PT$.

$PT = $ [[pt]] m

[math id="pt" attendu="1.5"]
[reponse statut="correct"]Exact. $\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{PT}{PW}$, donc $PT = \dfrac{2 \times 4{,}5}{6} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ m.[/reponse]
[reponse motif="13.5"]Tu as peut-être inversé le produit en croix. Vérifie quel terme est au numérateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Identifie le bon rapport de l'étape précédente et isole $PT$ par produit en croix.[/reponse]
[aide essai="2"]L'égalité de Thalès donne $\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{PT}{PW}$, soit $\dfrac{2}{6} = \dfrac{PT}{4{,}5}$.[/aide]
[aide essai="3"]$PT = \dfrac{2 \times 4{,}5}{6} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$.[/aide]
[/math]
[solution]
$PT = \dfrac{2 \times 4{,}5}{6} = 1{,}5$ m.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la longueur $CT$ (longueur de tissu nécessaire).

$CT = $ [[ct]] m

[math id="ct" attendu="1.2"]
[reponse statut="correct"]Exact. $\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{CT}{MW}$, donc $CT = \dfrac{2 \times 3{,}6}{6} = \dfrac{7{,}2}{6} = 1{,}2$ m.[/reponse]
[reponse motif="10.8"]Tu as peut-être inversé le produit en croix. Vérifie quel terme est au numérateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utilise le même rapport de Thalès, mais cette fois avec $CT$ et $MW$.[/reponse]
[aide essai="2"]L'égalité de Thalès donne $\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{CT}{MW}$, soit $\dfrac{2}{6} = \dfrac{CT}{3{,}6}$.[/aide]
[aide essai="3"]$CT = \dfrac{2 \times 3{,}6}{6} = \dfrac{7{,}2}{6} = 1{,}2$.[/aide]
[/math]
[solution]
$CT = \dfrac{2 \times 3{,}6}{6} = 1{,}2$ m.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On place maintenant un point $D$ sur $[PM]$ avec $PD = 4$ m et un point $E$ sur $[PW]$ avec $PE = 3$ m.

Les droites $(DE)$ et $(MW)$ sont-elles parallèles ? Pour le déterminer, calculer $\dfrac{PD}{PM}$.

$\dfrac{PD}{PM} = $ [[r1]]

[math id="r1" attendu="\frac{2}{3}"]
[reponse statut="correct"]Exact. $\dfrac{PD}{PM} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Remplace par les valeurs et simplifie : $\dfrac{PD}{PM} = \dfrac{4}{6}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{4}{6}$ : divise le numérateur et le dénominateur par 2.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{PD}{PM} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On a $\dfrac{PD}{PM} = \dfrac{2}{3}$.

De plus, $\dfrac{PE}{PW} = \dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}$.

Les points $P$, $D$, $M$ et $P$, $E$, $W$ sont alignés dans le même ordre, et les deux rapports sont égaux. Que peut-on conclure ?

[qcm]
[option]On ne peut pas conclure[/option]
[option correct="true"]$(DE) /\!/ (MW)$ d'après la réciproque du théorème de Thalès[/option]
[option]$(DE)$ n'est pas parallèle à $(MW)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact. Les points sont alignés dans le même ordre et $\dfrac{PD}{PM} = \dfrac{PE}{PW} = \dfrac{2}{3}$. D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(DE) /\!/ (MW)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Quand les points sont alignés dans le même ordre et que deux rapports sont égaux, la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure que les droites sont parallèles.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(DE) /\!/ (MW)$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Réciproque du théorème de Thalès

[enonce]
Ce QCM porte sur la réciproque du théorème de Thalès et la détermination du parallélisme de deux droites. Pour chaque question, choisis la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre.
On donne $AB = 4$ cm, $AD = 10$ cm, $AC = 3$ cm et $AE = 7{,}5$ cm.

Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C sur les côtés, D et E en bas

[qcm]
[option correct="true"]Oui, car $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{2}{5}$[/option]
[option]Non, car $\dfrac{4}{10} \neq \dfrac{3}{7{,}5}$[/option]
[option]Oui, car $AB + AC < AD + AE$[/option]
[option]Non, car on ne connaît pas $BC$ et $DE$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule chaque rapport :
$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{3}{7{,}5} = \dfrac{2}{5}$.
Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(BC) \parallel (DE)$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $\dfrac{4}{10} \neq \dfrac{3}{7{,}5}$"]Non.
Ces rapports sont en fait égaux : simplifie-les pour le vérifier.
$\dfrac{4}{10}$ se simplifie et $\dfrac{3}{7{,}5}$ aussi.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $AB + AC < AD + AE$"]Pas tout à fait.
La conclusion est correcte, mais la justification est fausse : le fait que $AB + AC < AD + AE$ ne prouve rien sur le parallélisme.
Il faut comparer les rapports $\dfrac{AB}{AD}$ et $\dfrac{AC}{AE}$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car on ne connaît pas $BC$ et $DE$"]Non.
La réciproque du théorème de Thalès ne nécessite pas de connaître $BC$ et $DE$.
Il suffit de vérifier que $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$ et que les points sont dans le même ordre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule séparément $\dfrac{AB}{AD}$ et $\dfrac{AC}{AE}$, puis compare les deux rapports.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $M$ est le point d'intersection des droites $(AC)$ et $(BD)$. Les points $M$, $A$, $C$ sont alignés dans cet ordre et les points $M$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre.
On donne $MA = 5$ cm, $MC = 4$ cm, $MB = 3$ cm et $MD = 2$ cm.

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?

Configuration de Thalès en papillon : M au centre, A et B d'un côté, C et D de l'autre

[qcm]
[option]Oui, car $\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MB}{MD}$[/option]
[option]Oui, car $MA \times MD = MB \times MC$[/option]
[option correct="true"]Non, car $\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{5}{4}$ et $\dfrac{MB}{MD} = \dfrac{3}{2}$[/option]
[option]Non, car les points ne sont pas alignés dans le même ordre[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule : $\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{5}{4}$ et $\dfrac{MB}{MD} = \dfrac{3}{2}$.
Ces rapports sont différents ($\dfrac{5}{4} = 1{,}25$ et $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$), donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MB}{MD}$"]Non.
Ces rapports ne sont pas égaux : calcule-les.
$\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{5}{4}$ et $\dfrac{MB}{MD} = \dfrac{3}{2}$. Compare ces deux fractions.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $MA \times MD = MB \times MC$"]Non.
Vérifie ce produit : $MA \times MD = 5 \times 2 = 10$ et $MB \times MC = 3 \times 4 = 12$.
Ces produits ne sont pas égaux.[/reponse]
[reponse motif="Non, car les points ne sont pas alignés dans le même ordre"]Pas tout à fait.
La conclusion est correcte, mais la justification est fausse : les points sont bien alignés dans le même ordre ($M$, $A$, $C$ et $M$, $B$, $D$).
C'est l'inégalité des rapports qui prouve que les droites ne sont pas parallèles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule $\dfrac{MA}{MC}$ et $\dfrac{MB}{MD}$ puis compare les deux rapports.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre.
On donne $AB = 3$ cm, $BD = 2$ cm, $AC = 4$ cm et $CE = 3$ cm.

Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C sur les côtés, D et E en bas, longueurs des sous-segments données

[qcm]
[option]Oui, car $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$[/option]
[option]Non, car $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{AC}{CE} = \dfrac{4}{3}$[/option]
[option]Oui, car $AB \times CE = BD \times AC$[/option]
[option correct="true"]Non, car $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{4}{7}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule d'abord $AD = AB + BD = 3 + 2 = 5$ et $AE = AC + CE = 4 + 3 = 7$.
Puis : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{4}{7}$.
$\dfrac{3}{5} \neq \dfrac{4}{7}$, donc les droites $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$"]Non.
Calcule ces rapports : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{4}{7}$.
Sont-ils vraiment égaux ?[/reponse]
[reponse motif="Non, car $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{AC}{CE} = \dfrac{4}{3}$"]Pas tout à fait.
La conclusion est correcte, mais tu as comparé les mauvais rapports.
Pour appliquer la réciproque de Thalès, il faut comparer $\dfrac{AB}{AD}$ et $\dfrac{AC}{AE}$, pas $\dfrac{AB}{BD}$ et $\dfrac{AC}{CE}$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $AB \times CE = BD \times AC$"]Non.
Vérifie ce produit : $AB \times CE = 3 \times 3 = 9$ et $BD \times AC = 2 \times 4 = 8$.
Ces produits ne sont pas égaux, et ce n'est pas la méthode à utiliser.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule d'abord $AD$ et $AE$, puis compare $\dfrac{AB}{AD}$ et $\dfrac{AC}{AE}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre.
On donne $AB = 6$ cm, $AD = 9$ cm, $AC = 4$ cm et $AE = 6$ cm.

Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?

[qcm]
[option]Non, car $\dfrac{6}{9} \neq \dfrac{4}{6}$[/option]
[option correct="true"]Oui, car $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{2}{3}$[/option]
[option]Oui, car $AB - AC = AD - AE$[/option]
[option]Non, car les rapports ne sont pas égaux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(BC) \parallel (DE)$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $\dfrac{6}{9} \neq \dfrac{4}{6}$"]Non.
Ces fractions sont en fait égales : simplifie-les.
$\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $AB - AC = AD - AE$"]Pas tout à fait.
La conclusion est correcte, mais la justification est fausse : $AB - AC = 6 - 4 = 2$ et $AD - AE = 9 - 6 = 3$, donc ces différences ne sont pas égales.
C'est l'égalité des rapports $\dfrac{AB}{AD}$ et $\dfrac{AC}{AE}$ qui prouve le parallélisme.[/reponse]
[reponse motif="Non, car les rapports ne sont pas égaux"]Non.
Les rapports sont en fait égaux après simplification.
Simplifie $\dfrac{6}{9}$ et $\dfrac{4}{6}$ pour le vérifier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule et simplifie $\dfrac{AB}{AD}$ et $\dfrac{AC}{AE}$ puis compare.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour appliquer la réciproque du théorème de Thalès afin de prouver que deux droites sont parallèles, quelles conditions faut-il vérifier ?

[qcm]
[option]Que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles[/option]
[option correct="true"]Que $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$ et que les points sont dans le même ordre[/option]
[option]Que les trois rapports $\dfrac{AB}{AD}$, $\dfrac{AC}{AE}$ et $\dfrac{BC}{DE}$ sont égaux[/option]
[option]Que $AB = AD$ et $AC = AE$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La réciproque du théorème de Thalès dit : si les points $A$, $B$, $D$ et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans le même ordre et si $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, alors les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.[/reponse]
[reponse motif="Que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles"]Non.
Le parallélisme est ce que l'on veut démontrer, pas une hypothèse.
La réciproque sert précisément à prouver que les droites sont parallèles à partir de l'égalité des rapports.[/reponse]
[reponse motif="Que les trois rapports $\dfrac{AB}{AD}$, $\dfrac{AC}{AE}$ et $\dfrac{BC}{DE}$ sont égaux"]Non.
L'égalité des trois rapports est la conclusion du théorème de Thalès direct (quand on sait déjà que les droites sont parallèles).
Pour la réciproque, il suffit de vérifier l'égalité de deux rapports et l'ordre des points.[/reponse]
[reponse motif="Que $AB = AD$ et $AC = AE$"]Non.
L'égalité des longueurs ($AB = AD$ et $AC = AE$) est un cas très particulier où le rapport vaut $1$.
La réciproque fonctionne pour n'importe quel rapport commun, pas seulement $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La réciproque utilise deux hypothèses : l'alignement dans le même ordre et l'égalité de deux rapports de longueurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$M$ est le point d'intersection des droites $(AC)$ et $(BD)$. Les points $M$, $A$, $C$ et les points $M$, $B$, $D$ sont dans le même ordre.
On donne $MA = 4{,}5$ cm, $MC = 9$ cm, $MB = 3$ cm et $MD = 6$ cm.

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?

[qcm]
[option]Non, car $\dfrac{MA}{MC} \neq \dfrac{MB}{MD}$[/option]
[option]Non, car il faudrait connaître $AB$ et $CD$[/option]
[option]Oui, car $MA + MB = MC$[/option]
[option correct="true"]Oui, car $\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MB}{MD} = \dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule : $\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{4{,}5}{9} = \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{MB}{MD} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(AB) \parallel (CD)$.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $\dfrac{MA}{MC} \neq \dfrac{MB}{MD}$"]Non.
Calcule ces rapports en les simplifiant.
$\dfrac{4{,}5}{9}$ et $\dfrac{3}{6}$ ne sont-ils pas égaux ?[/reponse]
[reponse motif="Non, car il faudrait connaître $AB$ et $CD$"]Non.
La réciproque du théorème de Thalès ne nécessite pas de connaître $AB$ et $CD$.
Il suffit de comparer $\dfrac{MA}{MC}$ et $\dfrac{MB}{MD}$.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $MA + MB = MC$"]Pas tout à fait.
La conclusion est correcte, mais la justification est fausse : $MA + MB = 4{,}5 + 3 = 7{,}5 \neq 9 = MC$.
C'est l'égalité des rapports qui prouve le parallélisme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calcule et simplifie $\dfrac{MA}{MC}$ et $\dfrac{MB}{MD}$ puis compare.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Thalès — situations variées

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Sur un terrain triangulaire $ABC$, le côté $[BC]$ longe une route et mesure $15$ m. On installe une clôture $[MN]$ parallèle à la route, avec $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, telle que $AM = 4$ m et $AB = 12$ m.

Terrain triangulaire ABC avec clôture MN parallèle à BC

Affirmation : La clôture $[MN]$ mesure $5$ m.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, on applique le théorème de Thalès dans le triangle $ABC$ :
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$, soit $\dfrac{4}{12} = \dfrac{MN}{15}$.
On obtient $MN = \dfrac{4 \times 15}{12} = 5$ m.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
$(MN) /\!/ (BC)$, donc le théorème de Thalès s'applique dans le triangle $ABC$.
$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$ donne $\dfrac{4}{12} = \dfrac{MN}{15}$, d'où $MN = 5$ m.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par le théorème de Thalès : $MN = \dfrac{4 \times 15}{12} = 5$ m.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $A$ est le point d'intersection des droites $(BD)$ et $(CE)$.
On donne $AB = 3$ cm, $AD = 4$ cm, $AC = 5$ cm et $AE = 7$ cm.

Configuration de Thalès en papillon : A au centre, rapports inégaux

Affirmation : Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule les rapports : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{5}{7} \approx 0{,}714$.
Les rapports ne sont pas égaux, donc les droites $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Les rapports semblent proches, mais il faut calculer leur valeur exacte.
$\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ et $\dfrac{5}{7} \approx 0{,}714$ : ces valeurs sont différentes, donc les droites ne sont pas parallèles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{3}{4} \neq \dfrac{5}{7}$, donc $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $M$ est le milieu de $[AD]$ et $N$ est le milieu de $[AE]$.

Triangle ADE avec M milieu de AD et N milieu de AE

Affirmation : $(MN) /\!/ (DE)$ et $MN = \dfrac{DE}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Comme $M$ est le milieu de $[AD]$ et $N$ est le milieu de $[AE]$, on a $\dfrac{AM}{AD} = \dfrac{AN}{AE} = \dfrac{1}{2}$.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN) /\!/ (DE)$.
Le théorème de Thalès donne alors $\dfrac{MN}{DE} = \dfrac{1}{2}$, soit $MN = \dfrac{DE}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est un cas particulier du théorème de Thalès appelé « théorème des milieux ».
Les rapports $\dfrac{AM}{AD} = \dfrac{AN}{AE} = \dfrac{1}{2}$ sont égaux, donc $(MN) /\!/ (DE)$ et $MN = \dfrac{DE}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les milieux vérifient $\dfrac{AM}{AD} = \dfrac{AN}{AE} = \dfrac{1}{2}$, donc $(MN) /\!/ (DE)$ et $MN = \dfrac{DE}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
On donne $AB = 2$ cm, $AD = 6$ cm et $BC = 5$ cm.

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C proches de A, D et E en bas

Affirmation : $DE = 10$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}$, soit $\dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{DE}$.
Par produit en croix : $DE = \dfrac{5 \times 6}{2} = 15$ cm, et non $10$ cm.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La valeur $10$ correspond à $\dfrac{5 \times 4}{2}$, c'est-à-dire à l'utilisation de $BD = 4$ au lieu de $AD = 6$ dans le rapport.
Le calcul correct utilise $AD$ : $DE = \dfrac{5 \times 6}{2} = 15$ cm.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{DE}$ donne $DE = 15$ cm, pas $10$ cm.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $(BC) /\!/ (DE)$ dans une configuration de Thalès, alors $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CE}{AE}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$.
En soustrayant chaque membre de $1$ : $1 - \dfrac{AB}{AD} = 1 - \dfrac{AC}{AE}$, soit $\dfrac{AD - AB}{AD} = \dfrac{AE - AC}{AE}$, c'est-à-dire $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CE}{AE}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Ce résultat se déduit du théorème de Thalès par un calcul algébrique.
De $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, on obtient $\dfrac{AD - AB}{AD} = \dfrac{AE - AC}{AE}$, soit $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CE}{AE}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. De $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$, on déduit $\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CE}{AE}$ en soustrayant chaque côté de $1$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Réciproque du théorème de Thalès

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la réciproque du théorème de Thalès, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les points $O$, $A$, $C$ sont alignés dans cet ordre et les points $O$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre.
On donne $OA = 3$ cm, $OC = 6$ cm, $OB = 4$ cm et $OD = 8$ cm.

Configuration de Thalès en triangle : O en haut, A et B sur les côtés, C et D en bas

Affirmation : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On calcule séparément les deux rapports.
$\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{OB}{OD} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.
Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(AB) /\!/ (CD)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour vérifier le parallélisme, il faut calculer les rapports $\dfrac{OA}{OC}$ et $\dfrac{OB}{OD}$ et comparer.
$\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{OB}{OD} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.
Les rapports sont égaux : d'après la réciproque, $(AB) /\!/ (CD)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{1}{2}$, donc $(AB) /\!/ (CD)$ par la réciproque du théorème de Thalès.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre.
On donne $AB = 2$ cm, $AD = 3$ cm, $AC = 3$ cm et $AE = 5$ cm.

Affirmation : Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{3}{5}$.
Or $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{3}{5}$, donc les droites $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, il faut calculer les rapports exactement et ne pas les arrondir.
$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$.
Ces rapports ne sont pas égaux : les droites ne sont pas parallèles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{2}{3} \neq \dfrac{3}{5} = \dfrac{AC}{AE}$, donc $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, $A$ est le point d'intersection des droites $(BD)$ et $(CE)$.
On donne $AB = 2$ cm, $AD = 5$ cm, $AC = 3$ cm et $AE = 7{,}5$ cm.

Configuration de Thalès en papillon : A au centre, B et C en haut, D et E en bas

Affirmation : Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{3}{7{,}5} = \dfrac{3}{\dfrac{15}{2}} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$.
Les rapports sont égaux et les points sont alignés : d'après la réciproque, $(BC) /\!/ (DE)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La réciproque du théorème de Thalès s'applique aussi dans une configuration en papillon.
$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{3}{7{,}5} = \dfrac{2}{5}$.
Les rapports sont égaux, donc $(BC) /\!/ (DE)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{2}{5}$, donc $(BC) /\!/ (DE)$ par la réciproque du théorème de Thalès.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les points $A$, $B$, $D$ sont alignés dans cet ordre et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés dans cet ordre.
On donne $AB = 3$ cm, $BD = 5$ cm, $AC = 2$ cm et $CE = 4$ cm.

Configuration de Thalès en triangle : A en haut, B et C sur les côtés, D et E en bas, avec longueurs intermédiaires

Affirmation : Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Il faut d'abord calculer $AD = AB + BD = 3 + 5 = 8$ et $AE = AC + CE = 2 + 4 = 6$.
Puis : $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
Or $\dfrac{3}{8} \neq \dfrac{1}{3}$, donc les droites ne sont pas parallèles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'oublier de calculer les longueurs totales $AD$ et $AE$ avant de former les rapports.
$AD = 3 + 5 = 8$ et $AE = 2 + 4 = 6$.
$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ : les rapports sont différents, donc $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3}{8} \neq \dfrac{1}{3} = \dfrac{AC}{AE}$, donc $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $\dfrac{AB}{AD} \neq \dfrac{AC}{AE}$ dans une configuration où les points $A$, $B$, $D$ et les points $A$, $C$, $E$ sont alignés, alors les droites $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Si les droites $(BC)$ et $(DE)$ étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$.
Comme ce n'est pas le cas, les droites ne sont pas parallèles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Ce résultat est une conséquence directe du théorème de Thalès : si les droites étaient parallèles, les rapports seraient nécessairement égaux.
Des rapports différents garantissent donc que les droites ne sont pas parallèles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la contraposée du théorème de Thalès : si les rapports ne sont pas égaux, les droites ne peuvent pas être parallèles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Sur la figure ci-dessous, les droites $(UV)$ et $(ST)$ sont parallèles.
On donne $RU = 3$ cm et $US = 2$ cm.

Triangle RST avec U sur RS et V sur RT, droites UV et ST parallèles

Affirmation : $\dfrac{RV}{VT} = \dfrac{3}{5}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{RU}{RS} = \dfrac{RV}{RT} = \dfrac{3}{5}$, donc $\dfrac{RV}{RT} = \dfrac{3}{5}$.
Mais la question porte sur $\dfrac{RV}{VT}$, pas sur $\dfrac{RV}{RT}$.
Comme $\dfrac{RV}{RT} = \dfrac{3}{5}$, on a $\dfrac{VT}{RT} = \dfrac{2}{5}$, d'où $\dfrac{RV}{VT} = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à bien lire le rapport demandé : $\dfrac{RV}{VT}$ n'est pas la même chose que $\dfrac{RV}{RT}$.
Le théorème de Thalès donne $\dfrac{RV}{RT} = \dfrac{3}{5}$, donc $VT = RT - RV$ et $\dfrac{RV}{VT} = \dfrac{3}{2}$, pas $\dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le théorème de Thalès donne $\dfrac{RV}{RT} = \dfrac{3}{5}$, mais $\dfrac{RV}{VT} = \dfrac{3}{2}$.
[/solution]
[/etape]

Théorème de Thalès et projections orthogonales

$ \mathscr{D} $ et $ \mathscr{D^{\prime}} $ sont deux droites sécantes en $ O $.
$ I $ est un point quelconque de $ \mathscr{D} $ et $ J $ un point quelconque de $ \mathscr{D^{\prime}}. $

$ K $ est la projection orthogonale de $ I $ sur $ \mathscr{D^{\prime}} $
(cela signifie que $ K \in \mathscr{D^{\prime}} $ et que les droites $ \left( IK \right) $ et $ \mathscr{D^{\prime}} $ sont perpendiculaires.)
$ L $ est la projection orthogonale de $ K $ sur $ \mathscr{D} $
$ M $ est la projection orthogonale de $ J $ sur $ \mathscr{D} $
$ N $ est la projection orthogonale de $ M $ sur $ \mathscr{D^{\prime}}. $

Démontrer que les droites $ \left( IJ \right) $ et $ \left( LN \right) $ sont parallèles.

Corrigé

Les droites $ \left( JM \right) $ et $ \left( KL \right) $ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $ \mathscr{D} $, donc, elles sont parallèles entre elles.

Par ailleurs, les points $ O, N, K $ sont alignés ainsi que les points $ O, L, M $ ;
par conséquent, d'après le théorème de Thalès :

$ \dfrac{ OJ }{ OK } = \dfrac{ OM }{ OL } = \dfrac{ JM }{ KL } $

L'égalité $ \dfrac{ OJ }{ OK } = \dfrac{ OM }{ OL } $ est équivalente à :

$ OM \times OK = OJ \times OL \quad \textbf{(1)} $

De même, les droites $ \left( IK \right) $ et $ \left( NM \right) $ sont parallèles puisqu'elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $ \mathscr{D^{\prime}} $.

Les points $ O, I, M $ sont alignés sur $ \mathscr{D} $ et les points $ O, K, N $ sont alignés sur $ \mathscr{D^{\prime}} $ ;

donc, d'après le théorème de Thalès :

$ \dfrac{ OK }{ ON } = \dfrac{ OI }{ OM } = \dfrac{ IK }{ NM } $

L'égalité $ \dfrac{ OK }{ ON } = \dfrac{ OI }{ OM } $ est équivalente à :

$ OM \times OK = OI \times ON \quad \textbf{(2)} $

Des égalités (1) et (2) on en déduit que :

$ OJ \times OL = OI \times ON $

En divisant chaque membre de l'égalité par $ OL \times ON $ on en déduit que :

$ \dfrac{ OJ \times OL }{ OL \times ON } = \dfrac{ OI \times ON }{ OL \times ON } $

$ \dfrac{ OJ }{ ON } = \dfrac{ OI }{ OL } $

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $ \left( NL \right) $ et $ \left( IJ \right) $ sont parallèles.

Pour réviser : Déterminer si deux droites sont parallèles (Thalès)

Théorème de Thalès et cercles

Dans la figure ci-dessous, les points $ A, O, D $ sont alignés ainsi que les points $ B, O, C $.

$ B $ appartient au cercle de diamètre $ [AO] $ et $ C $ appartient au cercle de diamètre $ [DO] $.

Théorème de Thalès et cercles : deux cercles de diamètres AO et OD, avec B sur le premier et C sur le second

On donne :

$ AO=8 $cm

$ OD=5 $cm

$ DC=3 $cm.

Montrer que le triangle $ ABO $ est rectangle en $ B $ et que le triangle $ OCD $ est rectangle en $ C $.
Justifier que les droites $ (AB) $ et $ (CD) $ sont parallèles.
Calculer la longueur $ AB $.

Corrigé

On utilise la propriété suivante :

Rappel

Si $ [BC] $ est un diamètre d'un cercle et $ A $ un point de ce cercle (distinct de $ B $ et de $ C $), alors le triangle $ ABC $ est rectangle en $ A $.

Le côté $ [AO] $ est un diamètre du cercle circonscrit au triangle $ ABO $, donc le triangle $ ABO $ est rectangle en $ B $.

De même, le côté $ [DO] $ est un diamètre du cercle circonscrit au triangle $ OCD $, donc le triangle $ OCD $ est rectangle en $ C $.
D'après la question précédente, les droites $ (AB) $ et $ (CD) $ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $ (BC) $ ; elles sont donc parallèles entre elles.
Les droites $ (AB) $ et $ (CD) $ sont parallèles et les points $ A, O, D $ sont alignés de même que les points $ B, O, C $ ; les triangles $ ABO $ et $ OCD $ forment alors une configuration de Thalès.

On a donc, d'après le théorème de Thalès :

$ \dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AO}{OD} $

$ \dfrac{AB}{3}=\dfrac{8}{5} $

Par conséquent :

$ AB=\dfrac{3 \times 8}{5}=4{,}8. $

Le côté $ AB $ mesure $ 4{,}8 $cm.

Pour réviser : Déterminer si deux droites sont parallèles (Thalès)

Réciproque du théorème de Thalès (Brevet 2013)

(D'après Brevet Pondichéry 2013)

On considère la figure ci-dessous :

Figure pour la réciproque du théorème de Thalès : points A, B sur une droite horizontale en haut, D, C sur une droite horizontale en bas, O point d'intersection des diagonales AC et BD

On donne :

$ OA=2{,}8 $cm
$ OB=2 $cm
$ OC=5 $cm
$ OD=3{,}5 $cm.

Les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont-elles parallèles ?
On donne :

$ OA=4 $cm
$ OB=2{,}8 $cm
$ OC=6 $cm
$ OD=4{,}2 $cm.

Les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont-elles parallèles ?

Corrigé

Méthode

Pour savoir si les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont parallèles, on calcule séparément les rapports $ \dfrac{OA}{OC} $ et $ \dfrac{OB}{OD} $.

Si ces deux rapports sont égaux, les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès. Sinon, les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ ne sont pas parallèles.

Pour la question 1. :

$ \dfrac{OA}{OC}=\dfrac{2{,}8}{5}=0{,}56 $

$ \dfrac{OB}{OD}=\dfrac{2}{3{,}5}=\dfrac{4}{7} \approx 0{,}571 $

$ \dfrac{OA}{OC} \neq \dfrac{OB}{OD} $ donc les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ ne sont pas parallèles.
Pour la question 2. :

$ \dfrac{OA}{OC}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} $

$ \dfrac{OB}{OD}=\dfrac{2{,}8}{4{,}2}=\dfrac{28}{42}=\dfrac{2}{3} $

$ \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} $ donc les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.

Pour réviser : Déterminer si deux droites sont parallèles (Thalès)

Attention

Ne pas calculer de valeur approchée (par exemple $ 0{,}67 $) pour cette question ! On veut montrer que les rapports sont exactement égaux (et pas seulement qu'ils sont à peu près égaux).