[enonce]
L'espace est muni d'un repère $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Pour chaque affirmation suivante sur la représentation paramétrique d'une droite, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Une droite de l'espace admet une unique représentation paramétrique.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une représentation paramétrique dépend du point de la droite et du vecteur directeur choisis. En changeant l'un ou l'autre, on obtient une autre représentation valide pour la même droite.
Une droite admet donc une infinité de représentations paramétriques.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre « la droite » et « son écriture ». Tout point de la droite peut servir d'origine, et tout vecteur colinéaire au vecteur directeur convient également : cela donne une infinité de représentations paramétriques différentes pour une même droite.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Une droite admet une infinité de représentations paramétriques selon le point et le vecteur directeur choisis.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $d$ la droite passant par $A(1\,;2\,;3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2\,;-1\,;4)$.

Affirmation : Le système
$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 4t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$
est une représentation paramétrique de $d$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On reconnaît la forme générale : les constantes correspondent aux coordonnées de $A$ et les coefficients du paramètre $t$ aux coordonnées du vecteur directeur $\vec{u}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la représentation paramétrique d'une droite passant par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a\,;b\,;c)$ est $\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases}$.
Ici, on retrouve bien $A(1\,;2\,;3)$ et $\vec{u}(2\,;-1\,;4)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les constantes donnent $A(1\,;2\,;3)$ et les coefficients de $t$ donnent $\vec{u}(2\,;-1\,;4)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $d$ la droite de représentation paramétrique
$\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 3t \\ z = -t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$.

Affirmation : Le point $A(0\,;7\,;-2)$ appartient à $d$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On cherche $t$ tel que $2 - t = 0$, ce qui donne $t = 2$.
On reporte : $y = 1 + 3 \times 2 = 7$ et $z = -2$. Les trois coordonnées sont vérifiées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour tester l'appartenance, on isole $t$ avec une équation, puis on vérifie que cette même valeur fonctionne pour les deux autres équations. Ici, l'équation en $x$ donne $t = 2$, et cette valeur est compatible avec $y$ et $z$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La valeur $t = 2$ donne bien le point $(0\,;7\,;-2)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $d$ la droite de représentation paramétrique
$\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 3t \\ z = -t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$.

Affirmation : Le point $B(3\,;-1\,;1)$ appartient à $d$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On cherche $t$ tel que $2 - t = 3$, ce qui donne $t = -1$.
On reporte alors dans l'équation en $y$ : $1 + 3 \times (-1) = -2$, alors que la coordonnée $y$ de $B$ vaut $-1$.
Les trois équations ne sont pas vérifiées simultanément, donc $B \notin d$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique est de vérifier seulement une ou deux des trois équations. L'équation en $x$ donne $t = -1$, mais la valeur reportée dans $y$ donne $-2$ et non $-1$ : le point ne convient donc pas.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'équation en $x$ impose $t = -1$, mais cette valeur donne $y = -2$, incompatible avec la coordonnée de $B$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $d$ la droite de représentation paramétrique
$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -t \\ z = 2 + t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$.

Affirmation : Le vecteur $\vec{v}(2\,;-2\,;2)$ est un vecteur directeur de $d$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La représentation paramétrique fait apparaître le vecteur directeur $\vec{u}(1\,;-1\,;1)$.
On observe que $\vec{v} = 2\vec{u}$ : les deux vecteurs sont colinéaires. Tout vecteur colinéaire (non nul) à $\vec{u}$ est aussi un vecteur directeur de $d$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : un vecteur directeur d'une droite n'est pas unique. Tout vecteur non nul colinéaire au vecteur directeur lu dans la représentation paramétrique convient également. Ici, $\vec{v} = 2\vec{u}$, donc $\vec{v}$ est aussi un vecteur directeur.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\vec{v}(2\,;-2\,;2) = 2\vec{u}(1\,;-1\,;1)$ est colinéaire au vecteur directeur lu dans la représentation paramétrique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère les deux droites
$d_1 : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$ et $d_2 : \begin{cases} x = 2 + 2s \\ y = -2s \\ z = 5 + 4s \end{cases}$, $s \in \mathbb{R}$.

Affirmation : Les droites $d_1$ et $d_2$ sont confondues.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les vecteurs directeurs $\vec{u_1}(1\,;-1\,;2)$ et $\vec{u_2}(2\,;-2\,;4)$ vérifient $\vec{u_2} = 2\vec{u_1}$ : les droites sont parallèles.
Pour qu'elles soient confondues, il faut qu'un point de $d_1$ appartienne à $d_2$. Testons $(1\,;2\,;3)$ (obtenu pour $t = 0$ sur $d_1$) : $1 = 2 + 2s$ donne $s = -\dfrac{1}{2}$, mais alors $y = -2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 1 \neq 2$.
Le point n'est pas sur $d_2$ : les droites sont strictement parallèles, pas confondues.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Avoir des vecteurs directeurs colinéaires garantit le parallélisme, mais pas la coïncidence. Il faut vérifier en plus qu'un point d'une droite appartient à l'autre.
Ici, le point $(1\,;2\,;3)$ de $d_1$ n'est pas sur $d_2$ : les droites sont parallèles strictes, pas confondues.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les vecteurs directeurs sont colinéaires (parallélisme), mais aucun point commun n'existe : les droites sont strictement parallèles.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la représentation paramétrique d'une droite dans l'espace. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
La droite $\mathscr{D}$ passe par $A(1~;~2~;~-3)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(2~;~-1~;~4)$. Quelle est sa représentation paramétrique ?
[qcm]
[option correct="true"]$\left\{\begin{matrix}x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = -3 + 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 4 - 3t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 1 - 2t \\ y = 2 + t \\ z = -3 - 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 2t \\ y = -t \\ z = 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ est de la forme $x = x_A + at$, $y = y_A + bt$, $z = z_A + ct$ où $(a~;~b~;~c)$ sont les coordonnées de $\vec{u}$.
On obtient donc $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = -3 + 4t$.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 4 - 3t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$"]Non.
Les rôles du point et du vecteur ont été inversés : les termes constants doivent venir des coordonnées du point $A$, et les coefficients de $t$ des coordonnées de $\vec{u}$.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 1 - 2t \\ y = 2 + t \\ z = -3 - 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$"]Non.
Tous les coefficients de $t$ ont leur signe inversé. Reprendre la formule $x = x_A + at$ en respectant le signe de chaque coordonnée du vecteur directeur.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 2t \\ y = -t \\ z = 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$"]Non.
Cette représentation correspond à la droite passant par l'origine avec la même direction que $\mathscr{D}$. Le point $A$ a été oublié : il faut ajouter ses coordonnées comme termes constants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ est $x = x_A + at$, $y = y_A + bt$, $z = z_A + ct$ : combiner les coordonnées du point comme termes constants et celles du vecteur directeur comme coefficients de $t$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le point $A(3~;~5~;~-1)$ appartient-il à la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = 2 - 3t\end{matrix}\right.$ ?
[qcm]
[option]Oui, on trouve $t = 2$ partout[/option]
[option correct="true"]Non, les deux premières équations donnent $t = 2$ mais la troisième donne $z = -4$[/option]
[option]Oui, le système est compatible[/option]
[option]On ne peut pas le déterminer sans connaître le vecteur directeur[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On résout le système : $1 + t = 3$ donne $t = 2$, et $3 + t = 5$ donne aussi $t = 2$.
Avec $t = 2$, la troisième équation donne $z = 2 - 3 \times 2 = -4$, alors que l'on cherche $z = -1$.
Le système est incompatible : $A$ n'appartient pas à la droite.[/reponse]
[reponse motif="Oui, on trouve $t = 2$ partout"]Non.
La valeur $t = 2$ ne convient que pour les deux premières équations. Pour la troisième : $z = 2 - 3 \times 2 = -4$, qui diffère du $-1$ recherché. Il faut tester chaque équation jusqu'à la fin.[/reponse]
[reponse motif="Oui, le système est compatible"]Non.
Le système n'est pas compatible. Une fois $t$ déterminé par les deux premières équations, la troisième doit aussi être satisfaite : la vérifier complètement.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas le déterminer sans connaître le vecteur directeur"]Non.
Le vecteur directeur se lit directement sur la représentation paramétrique : ce sont les coefficients de $t$. Mais ici, il suffit de tester si les coordonnées de $A$ correspondent à une même valeur de $t$ dans les trois équations.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour tester l'appartenance, écrire les trois équations avec les coordonnées de $A$ et chercher s'il existe une valeur unique de $t$ qui vérifie les trois.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelles sont les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 2 - 3t \\ y = 1 + 5t \\ z = -4 + t\end{matrix}\right.$ ?
[qcm]
[option]$\vec{u}(2~;~1~;~-4)$[/option]
[option correct="true"]$\vec{u}(-3~;~5~;~1)$[/option]
[option]$\vec{u}(3~;~5~;~-1)$[/option]
[option]$\vec{u}(-3~;~5~;~-4)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un vecteur directeur de la droite a pour coordonnées les coefficients de $t$ dans la représentation paramétrique : $\vec{u}(-3~;~5~;~1)$.
Les termes constants $(2~;~1~;~-4)$ donnent un point particulier de la droite, pas un vecteur directeur.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}(2~;~1~;~-4)$"]Non.
Ces coordonnées correspondent à un point de la droite (obtenu pour $t = 0$), pas à un vecteur directeur. Le vecteur directeur se lit dans les coefficients de $t$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}(3~;~5~;~-1)$"]Non.
Les signes de la première et de la troisième coordonnée sont inversés. Lire directement les coefficients de $t$ avec leur signe : $-3$, $+5$, $+1$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}(-3~;~5~;~-4)$"]Non.
La troisième coordonnée du vecteur directeur n'est pas le terme constant $-4$ mais le coefficient de $t$ dans la troisième équation, c'est-à-dire $+1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un vecteur directeur a pour coordonnées les coefficients de $t$ dans les trois équations de la représentation paramétrique, en respectant les signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La droite $\mathscr{D}$ passe par $A(1~;~1~;~1)$ et $B(3~;~-1~;~5)$. Quelle est une représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ ?
[qcm]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 1 + 3t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 5t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 2 + t \\ y = -2 + t \\ z = 4 + t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[option correct="true"]$\left\{\begin{matrix}x = 1 + 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 + 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 2t \\ y = -2t \\ z = 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On choisit $\overrightarrow{AB}$ comme vecteur directeur : $\overrightarrow{AB}(3-1~;~-1-1~;~5-1) = \overrightarrow{AB}(2~;~-2~;~4)$.
On utilise le point $A(1~;~1~;~1)$ comme point de la droite : $x = 1 + 2t$, $y = 1 - 2t$, $z = 1 + 4t$.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 1 + 3t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 5t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$"]Non.
Les coefficients de $t$ devraient être les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$, pas celles du point $B$. Recalculer $\overrightarrow{AB}$ comme différence des coordonnées.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 2 + t \\ y = -2 + t \\ z = 4 + t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$"]Non.
Les rôles du point et du vecteur sont inversés : les termes constants devraient être ceux d'un point de la droite, et les coefficients de $t$ ceux du vecteur directeur.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 2t \\ y = -2t \\ z = 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$"]Non.
Le point de la droite a été oublié : cette représentation passe par l'origine, pas par $A$. Ajouter les coordonnées de $A$ comme termes constants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\overrightarrow{AB}$ (différence des coordonnées) pour le vecteur directeur, puis utiliser $A$ comme point particulier dans la formule $x = x_A + at$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quelle valeur du paramètre $t$ le point $M$ de la droite $\left\{\begin{matrix}x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3 - t\end{matrix}\right.$ a-t-il pour ordonnée $5$ ?
[qcm]
[option]$t = 6$[/option]
[option correct="true"]$t = 3$[/option]
[option]$t = 2$[/option]
[option]$t = -3$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout l'équation $-1 + 2t = 5$ : on ajoute $1$ aux deux membres pour obtenir $2t = 6$, puis on divise par $2$, ce qui donne $t = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$t = 6$"]Non.
La division par $2$ a été oubliée : $-1 + 2t = 5$ donne $2t = 6$, et il faut diviser par $2$ avant de conclure sur la valeur de $t$.[/reponse]
[reponse motif="$t = 2$"]Non.
La valeur obtenue ne vérifie pas l'équation : $-1 + 2 \times 2 = 3 \neq 5$. Reprendre en ajoutant $1$ aux deux membres puis en divisant par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$t = -3$"]Non.
Une erreur de signe dans la division : $2t = 6$ donne $t = 3$, pas $t = -3$. Le signe est positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Isoler $t$ dans l'équation $-1 + 2t = 5$ : ajouter $1$ aux deux membres puis diviser par $2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les droites de représentations paramétriques $\mathscr{D}_1 : \left\{\begin{matrix}x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t\end{matrix}\right.$ et $\mathscr{D}_2 : \left\{\begin{matrix}x = 2 + 2s \\ y = 1 - 2s \\ z = 4s\end{matrix}\right.$ sont :
[qcm]
[option]confondues[/option]
[option correct="true"]strictement parallèles[/option]
[option]sécantes[/option]
[option]non coplanaires[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les vecteurs directeurs sont $\vec{u_1}(1~;~-1~;~2)$ et $\vec{u_2}(2~;~-2~;~4) = 2\vec{u_1}$, donc colinéaires : les droites sont parallèles ou confondues.
On teste si le point $A_1(1~;~2~;~3)$ de $\mathscr{D}_1$ appartient à $\mathscr{D}_2$ : $1 = 2 + 2s$ donne $s = -\dfrac{1}{2}$, alors $z = 4 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -2 \neq 3$.
Les droites ne se rencontrent pas : elles sont strictement parallèles.[/reponse]
[reponse motif="confondues"]Non.
Les vecteurs directeurs sont bien colinéaires, mais il faut encore vérifier si un point d'une droite appartient à l'autre. Tester $A_1(1~;~2~;~3)$ dans $\mathscr{D}_2$ : si le système est incompatible, les droites ne sont pas confondues.[/reponse]
[reponse motif="sécantes"]Non.
Pour des droites sécantes, les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Or ici, $\vec{u_2} = 2\vec{u_1}$ : ces droites ne peuvent pas être sécantes.[/reponse]
[reponse motif="non coplanaires"]Non.
Deux droites parallèles sont toujours coplanaires : elles sont contenues dans un même plan. Comparer d'abord les vecteurs directeurs avant d'envisager le cas non coplanaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer d'abord les vecteurs directeurs (colinéaires ou non), puis tester si un point d'une droite appartient à l'autre pour distinguer les cas confondues / strictement parallèles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

$ ABCDEFGH $ est un cube. $ I $ et $ J $ sont les deux points définis par :

• $ \overrightarrow{HI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HE} $
• $ \overrightarrow{HJ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HG} $

1. On se place dans le repère $ \left(D; \overrightarrow{DA}; \overrightarrow{DC}; \overrightarrow{DH}\right) $.
   
   Préciser les coordonnées des points $ A, B, C, D, E, F, G, H, I, J $ dans ce repère. Aucune justification n'est demandée pour les coordonnées des sommets du cube.
2. Donner une représentation paramétrique de la droite $ \left(AI\right) $ et de la droite $ \left(CJ\right) $
3. Montrer que les droites $ \left(AI\right) $ et $ \left(CJ\right) $ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.