[enonce]
Ce QCM porte sur la reconnaissance des transformations du plan. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]
[etape]
On considère les deux triangles représentés ci-dessous.
Quelle transformation permet de passer du triangle $ABC$ au triangle $A'B'C'$ ?
[qcm]
[option]Homothétie de rapport 2[/option]
[option]Translation[/option]
[option correct="true"]Symétrie axiale[/option]
[option]Rotation de 90°[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les deux triangles sont superposables et disposés de part et d'autre de l'axe $(d)$.
Chaque point et son image sont à égale distance de cet axe : c'est bien une symétrie axiale.[/reponse]
[reponse motif="Homothétie de rapport 2"]Non.
Les deux triangles ont exactement la même taille, ce qui exclut une homothétie de rapport différent de 1.
Observer la position des triangles par rapport à l'axe en pointillés.[/reponse]
[reponse motif="Translation"]Non.
Une translation conserve l'orientation de la figure : les sommets restent dans le même ordre.
Ici, le triangle image est « retourné » par rapport à l'original.[/reponse]
[reponse motif="Rotation de 90°"]Non.
Une rotation de 90° ferait pivoter le triangle d'un quart de tour.
Observer que chaque point est simplement « reflété » de l'autre côté de l'axe en pointillés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les deux triangles ont la même taille et sont disposés de part et d'autre de l'axe $(d)$ : c'est une symétrie axiale.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Sur le quadrillage ci-dessous, $M'$ est l'image de $M$ par une homothétie de centre $O$.
Quel est le rapport $k$ de cette homothétie ?
[qcm]
[option]$k = 2$[/option]
[option correct="true"]$k = -2$[/option]
[option]$k = \dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$k = -\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Sur le quadrillage, $OM = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ et $OM' = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$.
Donc $\dfrac{OM'}{OM} = \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$.
De plus, $M$ et $M'$ sont de part et d'autre de $O$, donc le rapport est négatif : $k = -2$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 2$"]Non.
Le rapport des distances est bien 2, mais attention au signe.
Observer la position de $M$ et $M'$ par rapport au centre $O$ : ils sont de part et d'autre de $O$, ce qui impose un rapport négatif.[/reponse]
[reponse motif="$k = \dfrac{1}{2}$"]Non.
$M'$ est plus éloigné de $O$ que $M$, donc $|k| > 1$.
Compter les carreaux pour déterminer le rapport des distances au centre, puis observer le signe.[/reponse]
[reponse motif="$k = -\dfrac{1}{2}$"]Non.
Le signe négatif est correct (les points sont de part et d'autre de $O$), mais $M'$ est plus loin de $O$ que $M$.
Le rapport des distances vaut $\dfrac{OM'}{OM} = 2$, pas $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$M'$ est deux fois plus loin de $O$ que $M$, et les deux points sont de part et d'autre de $O$.
Le rapport est donc $k = -2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ à un segment $[AB]$. Le segment image $[A'B']$ est plus court que $[AB]$. Laquelle de ces valeurs de $k$ est possible ?
[qcm]
[option]$k = 2$[/option]
[option]$k = -3$[/option]
[option correct="true"]$k = -0{,}5$[/option]
[option]$k = 1{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour que l'image soit plus courte, il faut que $|k| < 1$.
Ici $|k| = |-0{,}5| = 0{,}5 < 1$ : c'est bien une réduction.
Le signe négatif indique seulement que l'image est de l'autre côté du centre.[/reponse]
[reponse motif="$k = 2$"]Non.
$|k| = 2 > 1$, donc les longueurs sont multipliées par $2$ : l'image serait plus grande, pas plus courte.
Chercher une valeur dont la valeur absolue est inférieure à $1$.[/reponse]
[reponse motif="$k = -3$"]Non.
Le signe négatif ne signifie pas que les longueurs diminuent.
$|k| = |-3| = 3 > 1$ : c'est un agrandissement (avec retournement). Les longueurs sont triplées.[/reponse]
[reponse motif="$k = 1{,}5$"]Non.
$|k| = 1{,}5 > 1$, donc les longueurs sont multipliées par $1{,}5$ : l'image serait plus grande.
Pour une réduction, il faut $|k| < 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour que l'image soit plus courte que l'original, il faut $|k| < 1$. Vérifier la valeur absolue de chaque proposition.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -0{,}5$. Le point $M$ a pour image $M'$.
Cette homothétie est-elle un agrandissement ou une réduction ?
[qcm]
[option correct="true"]Une réduction[/option]
[option]Un agrandissement[/option]
[option]Ni l'un ni l'autre[/option]
[option]On ne peut pas savoir sans connaître $OM$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La valeur absolue du rapport est $|k| = |-0{,}5| = 0{,}5$.
Comme $0{,}5 < 1$, les longueurs sont réduites : c'est une réduction.
Le signe négatif indique seulement que l'image est de l'autre côté du centre.
[/reponse]
[reponse motif="Un agrandissement"]Non.
Attention, le signe négatif n'indique pas un agrandissement.
C'est la valeur absolue $|k| = 0{,}5$ qui détermine la taille : comme $0{,}5 < 1$, c'est une réduction.[/reponse]
[reponse motif="Ni l'un ni l'autre"]Non.
Toute homothétie de rapport $k \neq 1$ et $k \neq -1$ est soit un agrandissement ($|k| > 1$), soit une réduction ($|k| < 1$).
Ici $|k| = 0{,}5 < 1$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas savoir sans connaître $OM$"]Non.
Le rapport $k$ suffit à déterminer s'il s'agit d'un agrandissement ou d'une réduction.
C'est $|k|$ qui décide : si $|k| > 1$ c'est un agrandissement, si $|k| < 1$ c'est une réduction. La distance $OM$ n'a aucune importance.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$|k| = |-0{,}5| = 0{,}5 < 1$, donc c'est une réduction.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -1$. Le point $M$ et son image $M'$ sont représentés ci-dessous.
A quelle transformation usuelle correspond cette homothétie ?
[qcm]
[option]L'identité[/option]
[option]Une symétrie axiale[/option]
[option]Une rotation de 90°[/option]
[option correct="true"]La symétrie centrale de centre $O$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Avec $k = -1$, chaque point $M$ est envoyé de l'autre côté de $O$ à la même distance ($OM' = OM$).
C'est exactement la définition de la symétrie centrale de centre $O$.[/reponse]
[reponse motif="L'identité"]Non.
L'identité correspond à $k = 1$, pas $k = -1$.
Avec $k = -1$, l'image est de l'autre côté du centre, à la même distance.[/reponse]
[reponse motif="Une symétrie axiale"]Non.
La symétrie axiale utilise un axe (une droite), pas un centre.
Ici, $O$ est un point et chaque image est de l'autre côté de $O$ à la même distance : c'est une symétrie centrale.[/reponse]
[reponse motif="Une rotation de 90°"]Non.
Une rotation de 90° ferait tourner la figure d'un quart de tour.
Ici, l'image est diamétralement opposée par rapport à $O$ : c'est un demi-tour, c'est-à-dire une symétrie centrale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$k = -1$ signifie que $O$ est le milieu de $[MM']$ : c'est la symétrie centrale de centre $O$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
On considère deux cercles concentriques de centre $O$, comme représenté ci-dessous. Le petit cercle passant par $A$ est l'image du grand cercle passant par $B$ par une homothétie de centre $O$. On donne $OA = 2$ cm et $OB = 5$ cm.
Quel est le rapport $k$ de cette homothétie ?
[qcm]
[option]$k = 2{,}5$[/option]
[option]$k = -2{,}5$[/option]
[option correct="true"]$k = 0{,}4$[/option]
[option]$k = 3$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'homothétie transforme le grand cercle (rayon $OB = 5$) en le petit cercle (rayon $OA' = 2$).
Le rapport est $k = \dfrac{OA'}{OB} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$.
Comme $A'$ et $B$ sont du même côté de $O$, le rapport est positif.[/reponse]
[reponse motif="$k = 2{,}5$"]Non.
Attention au sens de l'homothétie : c'est le grand cercle qui est transformé en petit cercle.
Le rapport est $k = \dfrac{OA'}{OB} = \dfrac{2}{5}$, pas $\dfrac{5}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$k = -2{,}5$"]Non.
Les points $A'$ et $B$ sont du même côté de $O$, donc le rapport est positif.
De plus, c'est le grand cercle qui est transformé en petit : $k = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 3$"]Non.
Le rapport $k = 3$ correspondrait à la différence $5 - 2 = 3$, mais le rapport d'une homothétie est un quotient, pas une différence.
Calculer $\dfrac{OA'}{OB}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le rapport est $k = \dfrac{OA'}{OB} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$. Les points sont du même côté de $O$, donc $k > 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
