Vrai/Faux : Intersections de droites et de plans

[enonce]
L'espace est muni d'un repère $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Pour chaque affirmation suivante sur les intersections et positions relatives, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
On considère les deux droites
$d_1 : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$ et $d_2 : \begin{cases} x = 2 - s \\ y = 1 + s \\ z = s \end{cases}$, $s \in \mathbb{R}$.

Affirmation : Les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes au point $\left(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On résout le système formé par les égalités $x_1 = x_2$, $y_1 = y_2$, $z_1 = z_2$. La troisième équation donne $t = s$, et la première $t + s = 1$, d'où $t = s = \dfrac{1}{2}$. La deuxième équation est bien vérifiée.
On reporte $t = \dfrac{1}{2}$ dans $d_1$ : on obtient le point $\left(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand on cherche l'intersection de deux droites en paramétrique, il faut bien utiliser deux paramètres distincts ($t$ pour $d_1$ et $s$ pour $d_2$), puis résoudre les trois équations obtenues.
Ici, on trouve $t = s = \dfrac{1}{2}$, et le point d'intersection est bien $\left(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le système donne $t = s = \dfrac{1}{2}$, ce qui correspond au point $\left(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère les deux droites
$d_3 : \begin{cases} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 2 - t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$ et $d_4 : \begin{cases} x = 1 + s \\ y = s \\ z = 2s \end{cases}$, $s \in \mathbb{R}$.

Affirmation : Les droites $d_3$ et $d_4$ sont sécantes.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les vecteurs directeurs $(1\,;1\,;-1)$ et $(1\,;1\,;2)$ ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles.
On résout le système : $t = 1 + s$ et $1 + t = s$. En substituant, $1 + (1 + s) = s$ donne $2 = 0$, ce qui est impossible.
Le système est sans solution : les droites n'ont aucun point commun. N'étant pas parallèles, elles sont gauches.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
En dimension 3, deux droites non parallèles ne sont pas forcément sécantes : elles peuvent être gauches.
Ici, le système d'intersection conduit à $2 = 0$, qui est impossible. Comme les vecteurs directeurs $(1\,;1\,;-1)$ et $(1\,;1\,;2)$ ne sont pas colinéaires, les droites sont gauches.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le système d'intersection est incompatible et les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires : les droites $d_3$ et $d_4$ sont gauches.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si deux droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles et incluses respectivement dans deux plans $P_1$ et $P_2$ sécants suivant une droite $\Delta$, alors $\Delta$ est parallèle à $d_1$ et à $d_2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
C'est l'énoncé du théorème du toit, fondamental pour étudier les positions relatives.
Il sert dès qu'on cherche la direction de l'intersection de deux plans contenant chacun une droite parallèle à l'autre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est le théorème du toit. L'image mentale est celle de deux pans de toiture (les plans $P_1$ et $P_2$) qui s'arêtent suivant la ligne de faîte ($\Delta$) ; si chaque pan contient une gouttière parallèle à l'autre, alors la ligne de faîte est aussi parallèle aux gouttières.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est le théorème du toit : la droite d'intersection de deux plans contenant des droites parallèles est elle-même parallèle à ces droites.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux plans distincts et non parallèles de l'espace ont toujours pour intersection une droite.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
En dimension 3, l'intersection de deux plans peut être : vide (plans strictement parallèles), un plan entier (plans confondus) ou une droite (plans sécants).
Si les plans sont distincts (pas confondus) et non parallèles (donc strictement non parallèles), il ne reste que le cas « droite ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : trois cas pour deux plans dans l'espace — strictement parallèles (intersection vide), confondus (intersection = plan), ou sécants (intersection = droite).
« Distincts et non parallèles » exclut les deux premiers cas, il ne reste donc que l'intersection en droite.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Distincts exclut le cas confondus, non parallèles exclut le cas sans intersection : reste l'intersection en une droite.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Trois plans de l'espace deux à deux sécants ont toujours un point commun.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Considérer trois plans formant un prisme triangulaire infini : chaque paire de plans se coupe selon une arête, mais ces trois arêtes sont parallèles entre elles et n'ont aucun point commun aux trois plans.
Trois plans deux à deux sécants peuvent donc avoir une intersection commune réduite à une droite, à un point, ou être vide.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de raisonner par analogie avec deux plans sécants. Avec trois plans, plusieurs configurations existent : un point commun, une droite commune (les trois plans s'arêtent suivant la même droite), ou aucun point commun (configuration en prisme : les trois droites d'intersection sont alors parallèles).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La configuration en prisme triangulaire fournit un contre-exemple : trois plans deux à deux sécants peuvent ne partager aucun point commun.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $P$ le plan passant par $A(1\,;0\,;0)$ et dirigé par $\vec{u}(1\,;1\,;0)$ et $\vec{v}(0\,;1\,;1)$.
Soit $d$ la droite passant par $B(0\,;0\,;0)$ de vecteur directeur $\vec{w}(1\,;2\,;1)$.

Affirmation : La droite $d$ est sécante au plan $P$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On cherche $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$, c'est-à-dire $(1\,;2\,;1) = (a\,;a+b\,;b)$. On obtient $a = 1$, $b = 1$ et $a+b = 2$ : la décomposition fonctionne.
$\vec{w}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, donc $d$ est parallèle à $P$ ou incluse dans $P$.
Test : $B \in P$ équivaut à $\overrightarrow{AB} = (-1\,;0\,;0)$ combinaison de $\vec{u}$, $\vec{v}$. On aurait $a = -1$ et $b = 0$, mais alors $a+b = -1 \neq 0$ : $B \notin P$.
La droite est strictement parallèle au plan, donc pas sécante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Avant de conclure à une intersection, il faut tester si le vecteur directeur de la droite est dans la direction du plan.
Ici $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$, donc $d$ est parallèle au plan. Comme $B \notin P$, la droite n'est pas dans le plan : elle est strictement parallèle, et n'a donc aucun point d'intersection avec $P$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ donne une direction dans $P$, et $B \notin P$ : $d$ est strictement parallèle à $P$, donc sans intersection.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Représentation paramétrique d’une droite

[enonce]
L'espace est muni d'un repère $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Pour chaque affirmation suivante sur la représentation paramétrique d'une droite, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Une droite de l'espace admet une unique représentation paramétrique.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une représentation paramétrique dépend du point de la droite et du vecteur directeur choisis. En changeant l'un ou l'autre, on obtient une autre représentation valide pour la même droite.
Une droite admet donc une infinité de représentations paramétriques.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre « la droite » et « son écriture ». Tout point de la droite peut servir d'origine, et tout vecteur colinéaire au vecteur directeur convient également : cela donne une infinité de représentations paramétriques différentes pour une même droite.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Une droite admet une infinité de représentations paramétriques selon le point et le vecteur directeur choisis.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $d$ la droite passant par $A(1\,;2\,;3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2\,;-1\,;4)$.

Affirmation : Le système
$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 4t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$
est une représentation paramétrique de $d$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On reconnaît la forme générale : les constantes correspondent aux coordonnées de $A$ et les coefficients du paramètre $t$ aux coordonnées du vecteur directeur $\vec{u}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la représentation paramétrique d'une droite passant par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a\,;b\,;c)$ est $\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases}$.
Ici, on retrouve bien $A(1\,;2\,;3)$ et $\vec{u}(2\,;-1\,;4)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les constantes donnent $A(1\,;2\,;3)$ et les coefficients de $t$ donnent $\vec{u}(2\,;-1\,;4)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $d$ la droite de représentation paramétrique
$\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 3t \\ z = -t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$.

Affirmation : Le point $A(0\,;7\,;-2)$ appartient à $d$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On cherche $t$ tel que $2 - t = 0$, ce qui donne $t = 2$.
On reporte : $y = 1 + 3 \times 2 = 7$ et $z = -2$. Les trois coordonnées sont vérifiées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour tester l'appartenance, on isole $t$ avec une équation, puis on vérifie que cette même valeur fonctionne pour les deux autres équations. Ici, l'équation en $x$ donne $t = 2$, et cette valeur est compatible avec $y$ et $z$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La valeur $t = 2$ donne bien le point $(0\,;7\,;-2)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $d$ la droite de représentation paramétrique
$\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 3t \\ z = -t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$.

Affirmation : Le point $B(3\,;-1\,;1)$ appartient à $d$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On cherche $t$ tel que $2 - t = 3$, ce qui donne $t = -1$.
On reporte alors dans l'équation en $y$ : $1 + 3 \times (-1) = -2$, alors que la coordonnée $y$ de $B$ vaut $-1$.
Les trois équations ne sont pas vérifiées simultanément, donc $B \notin d$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique est de vérifier seulement une ou deux des trois équations. L'équation en $x$ donne $t = -1$, mais la valeur reportée dans $y$ donne $-2$ et non $-1$ : le point ne convient donc pas.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'équation en $x$ impose $t = -1$, mais cette valeur donne $y = -2$, incompatible avec la coordonnée de $B$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $d$ la droite de représentation paramétrique
$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -t \\ z = 2 + t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$.

Affirmation : Le vecteur $\vec{v}(2\,;-2\,;2)$ est un vecteur directeur de $d$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La représentation paramétrique fait apparaître le vecteur directeur $\vec{u}(1\,;-1\,;1)$.
On observe que $\vec{v} = 2\vec{u}$ : les deux vecteurs sont colinéaires. Tout vecteur colinéaire (non nul) à $\vec{u}$ est aussi un vecteur directeur de $d$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : un vecteur directeur d'une droite n'est pas unique. Tout vecteur non nul colinéaire au vecteur directeur lu dans la représentation paramétrique convient également. Ici, $\vec{v} = 2\vec{u}$, donc $\vec{v}$ est aussi un vecteur directeur.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\vec{v}(2\,;-2\,;2) = 2\vec{u}(1\,;-1\,;1)$ est colinéaire au vecteur directeur lu dans la représentation paramétrique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère les deux droites
$d_1 : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$ et $d_2 : \begin{cases} x = 2 + 2s \\ y = -2s \\ z = 5 + 4s \end{cases}$, $s \in \mathbb{R}$.

Affirmation : Les droites $d_1$ et $d_2$ sont confondues.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les vecteurs directeurs $\vec{u_1}(1\,;-1\,;2)$ et $\vec{u_2}(2\,;-2\,;4)$ vérifient $\vec{u_2} = 2\vec{u_1}$ : les droites sont parallèles.
Pour qu'elles soient confondues, il faut qu'un point de $d_1$ appartienne à $d_2$. Testons $(1\,;2\,;3)$ (obtenu pour $t = 0$ sur $d_1$) : $1 = 2 + 2s$ donne $s = -\dfrac{1}{2}$, mais alors $y = -2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 1 \neq 2$.
Le point n'est pas sur $d_2$ : les droites sont strictement parallèles, pas confondues.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Avoir des vecteurs directeurs colinéaires garantit le parallélisme, mais pas la coïncidence. Il faut vérifier en plus qu'un point d'une droite appartient à l'autre.
Ici, le point $(1\,;2\,;3)$ de $d_1$ n'est pas sur $d_2$ : les droites sont parallèles strictes, pas confondues.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les vecteurs directeurs sont colinéaires (parallélisme), mais aucun point commun n'existe : les droites sont strictement parallèles.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Positions relatives dans l’espace

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : positions relatives de droites, positions relatives droite/plan et plan/plan, intersections et théorème du toit. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Dans le cube $ABCDEFGH$, les droites $(AB)$ et $(EG)$ sont :
[qcm]
[option]strictement parallèles[/option]
[option]sécantes[/option]
[option correct="true"]non coplanaires[/option]
[option]confondues[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Plaçons-nous dans le repère $(A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE})$ : on a $\overrightarrow{AB}(1~;~0~;~0)$ et $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC} = (1~;~1~;~0)$.
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (les deuxièmes coordonnées diffèrent), donc les droites ne sont pas parallèles.
De plus $E(0~;~0~;~1)$ n'appartient pas au plan $(AB)$-$\overrightarrow{AC}$ (qui a son plan $z = 0$), donc les droites n'ont aucun point commun. Elles sont non coplanaires.[/reponse]
[reponse motif="strictement parallèles"]Non.
Les vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires : les droites ne peuvent pas être parallèles.[/reponse]
[reponse motif="sécantes"]Non.
Pour être sécantes, les droites doivent avoir un point commun. Or $(AB)$ est dans la face inférieure du cube et $(EG)$ dans la face supérieure : aucune intersection possible.[/reponse]
[reponse motif="confondues"]Non.
Deux droites confondues partagent tous leurs points. Ici, $(AB)$ ne contient aucun des points $E$ ou $G$ : ce n'est pas le cas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer d'abord les vecteurs directeurs (colinéaires ou non), puis chercher un point commun éventuel. Si aucune des conditions n'est remplie, les droites sont non coplanaires.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans le cube $ABCDEFGH$, le plan $(ABFE)$ et la droite $(DH)$ sont :
[qcm]
[option correct="true"]strictement parallèles[/option]
[option]la droite est incluse dans le plan[/option]
[option]sécants en un point[/option]
[option]sécants selon une droite[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Plaçons-nous dans le repère $(A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE})$ : le plan $(ABFE)$ est le plan des points de coordonnée $y = 0$.
Or $D(0~;~1~;~0)$ et $H(0~;~1~;~1)$ ont tous deux pour ordonnée $1$ : la droite $(DH)$ ne rencontre jamais $(ABFE)$.
De plus $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$, donc le vecteur directeur appartient bien à la direction du plan : la droite est strictement parallèle au plan.[/reponse]
[reponse motif="la droite est incluse dans le plan"]Non.
Pour qu'une droite soit incluse, il faut au moins un de ses points dans le plan. Or $D$ et $H$ ont une ordonnée $y = 1$, alors que le plan $(ABFE)$ a $y = 0$ : aucun point commun.[/reponse]
[reponse motif="sécants en un point"]Non.
Le vecteur directeur $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$ appartient à la direction du plan $(ABFE)$ : la droite ne peut donc pas couper le plan en un point.[/reponse]
[reponse motif="sécants selon une droite"]Non.
Une intersection « selon une droite » concerne deux plans, jamais une droite et un plan. Vérifier le type d'objets en présence avant de choisir.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester si le vecteur directeur de la droite appartient à la direction du plan ; si oui, vérifier qu'un point de la droite appartient au plan pour distinguer parallélisme strict et inclusion.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\mathscr{D}_1 : \left\{\begin{matrix}x = 1 + t \\ y = -1 + t \\ z = 2 + 2t\end{matrix}\right.$ et $\mathscr{D}_2 : \left\{\begin{matrix}x = 2 - s \\ y = s \\ z = 3 - 2s\end{matrix}\right.$. Quelle est leur position relative ?
[qcm]
[option]strictement parallèles[/option]
[option correct="true"]non coplanaires[/option]
[option]sécantes[/option]
[option]confondues[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
Vecteurs directeurs : $\vec{u_1}(1~;~1~;~2)$ et $\vec{u_2}(-1~;~1~;~-2)$, qui ne sont pas colinéaires.
On cherche un point commun : $1 + t = 2 - s$, $-1 + t = s$ et $2 + 2t = 3 - 2s$. Les deux premières donnent $t + s = 1$ et $t - s = 1$, soit $t = 1$ et $s = 0$. La troisième devient $4 = 3$, ce qui est faux.
Donc les droites n'ont pas de point commun et leurs directions sont distinctes : elles sont non coplanaires.[/reponse]
[reponse motif="strictement parallèles"]Non.
Pour des droites parallèles, les vecteurs directeurs doivent être colinéaires. Or $\vec{u_1}(1~;~1~;~2)$ et $\vec{u_2}(-1~;~1~;~-2)$ ne sont pas multiples l'un de l'autre.[/reponse]
[reponse motif="sécantes"]Non.
Les droites n'ont pas de point commun : la valeur $(t~;~s) = (1~;~0)$ obtenue à partir des deux premières équations rend la troisième fausse. Il n'existe pas de point d'intersection.[/reponse]
[reponse motif="confondues"]Non.
Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires : les droites ne peuvent pas être confondues. Vérifier d'abord la colinéarité avant d'envisager ce cas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester d'abord la colinéarité des vecteurs directeurs. Si elle échoue, chercher un point commun ; si le système est incompatible, les droites sont non coplanaires.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient deux plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sécants. Une droite $\mathscr{D}$ incluse dans $\mathscr{P}_1$ est parallèle à une droite $\mathscr{D}'$ incluse dans $\mathscr{P}_2$. Que peut-on dire de la droite $\Delta$ d'intersection de $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\Delta$ est parallèle à $\mathscr{D}$ et à $\mathscr{D}'$[/option]
[option]$\Delta$ passe par le point d'intersection de $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$[/option]
[option]$\Delta$ est perpendiculaire à $\mathscr{D}$ et à $\mathscr{D}'$[/option]
[option]On ne peut rien dire sans plus d'informations[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
C'est l'énoncé du théorème du toit : si deux plans sécants contiennent chacun une droite et que ces deux droites sont parallèles entre elles, alors la droite d'intersection des deux plans est parallèle à ces deux droites.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta$ passe par le point d'intersection de $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$"]Non.
Comme $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont parallèles, elles n'ont pas de point d'intersection (sauf si elles sont confondues, mais alors elles seraient dans les deux plans). La conclusion porte sur la direction de $\Delta$, pas sur un point particulier.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta$ est perpendiculaire à $\mathscr{D}$ et à $\mathscr{D}'$"]Non.
Aucune perpendicularité n'est imposée par les hypothèses. Le résultat porte sur le parallélisme : il s'agit du théorème du toit.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien dire sans plus d'informations"]Non.
Les hypothèses de la situation correspondent exactement à celles du théorème du toit. Ce théorème permet de conclure sur la direction de $\Delta$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Cette configuration est celle du théorème du toit : deux plans sécants contenant chacun une droite, ces deux droites étant parallèles entre elles. La conclusion porte sur la direction de la droite d'intersection.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La droite $\mathscr{D} : \left\{\begin{matrix}x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = t\end{matrix}\right.$ coupe le plan $(xOy)$ d'équation $z = 0$. Quel est le point d'intersection ?
[qcm]
[option correct="true"]$M(1~;~2~;~0)$[/option]
[option]$M(1~;~2~;~1)$[/option]
[option]La droite est parallèle à $(xOy)$[/option]
[option]$M(0~;~0~;~0)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On cherche la valeur de $t$ qui rend $z = 0$ : la troisième équation donne $t = 0$.
On reporte dans les deux autres : $x = 1 + 0 = 1$ et $y = 2 - 0 = 2$.
Le point d'intersection est donc $M(1~;~2~;~0)$.[/reponse]
[reponse motif="$M(1~;~2~;~1)$"]Non.
La condition $z = 0$ n'a pas été imposée : ces coordonnées correspondent au point obtenu pour $t = 1$, qui n'est pas dans $(xOy)$. Reprendre en posant $z = 0$ dans la troisième équation.[/reponse]
[reponse motif="La droite est parallèle à $(xOy)$"]Non.
Le vecteur directeur de la droite est $(1~;~-1~;~1)$, dont la troisième coordonnée est non nulle : la droite n'est pas parallèle au plan $(xOy)$.[/reponse]
[reponse motif="$M(0~;~0~;~0)$"]Non.
L'origine n'est pas sur la droite $\mathscr{D}$ : pour $t = 0$, on obtient $(1~;~2~;~0)$, pas $(0~;~0~;~0)$. Calculer les coordonnées du point pour la valeur de $t$ qui annule $z$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver l'intersection avec $(xOy)$ : poser $z = 0$ dans la représentation paramétrique pour déterminer $t$, puis calculer $x$ et $y$ avec cette valeur de $t$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\mathscr{P}_1 : \left\{\begin{matrix}x = s + t \\ y = s - t \\ z = 2s\end{matrix}\right.$ et $\mathscr{P}_2 : \left\{\begin{matrix}x = 1 + s' \\ y = 2 + t' \\ z = s' + t'\end{matrix}\right.$. Quelle est leur position relative ?
[qcm]
[option correct="true"]strictement parallèles[/option]
[option]sécants selon une droite[/option]
[option]confondus[/option]
[option]non parallèles, ils se coupent en un point[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Vecteurs directeurs de $\mathscr{P}_1$ : $\vec{u_1}(1~;~1~;~2)$ et $\vec{v_1}(1~;~-1~;~0)$. Vecteurs directeurs de $\mathscr{P}_2$ : $\vec{u_2}(1~;~0~;~1)$ et $\vec{v_2}(0~;~1~;~1)$.
On vérifie que $\vec{u_2} = \dfrac{1}{2}\vec{u_1} + \dfrac{1}{2}\vec{v_1}$ et $\vec{v_2} = \dfrac{1}{2}\vec{u_1} - \dfrac{1}{2}\vec{v_1}$ : les deux paires engendrent la même direction. Les plans sont parallèles ou confondus.
On teste si $B(1~;~2~;~0)$ (point de $\mathscr{P}_2$) appartient à $\mathscr{P}_1$ : le système $s + t = 1$, $s - t = 2$, $2s = 0$ donne $s = 0$ puis $t = 1$ et $t = -2$, ce qui est contradictoire.
$B$ n'appartient pas à $\mathscr{P}_1$ : les plans sont strictement parallèles.[/reponse]
[reponse motif="sécants selon une droite"]Non.
Pour des plans sécants, leurs directions doivent être différentes. Or les vecteurs directeurs de $\mathscr{P}_2$ sont combinaisons linéaires de ceux de $\mathscr{P}_1$ : les deux plans ont la même direction.[/reponse]
[reponse motif="confondus"]Non.
Les directions sont bien identiques, mais il faut encore vérifier qu'un point d'un plan appartient à l'autre. Tester $B(1~;~2~;~0)$ de $\mathscr{P}_2$ dans $\mathscr{P}_1$ : si le système est incompatible, les plans ne sont pas confondus.[/reponse]
[reponse motif="non parallèles, ils se coupent en un point"]Non.
Deux plans ne se coupent jamais en un seul point : leur intersection est soit vide (parallèles stricts), soit une droite, soit le plan entier (confondus). Revoir les positions relatives possibles entre deux plans.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer d'abord les directions : exprimer les vecteurs directeurs d'un plan comme combinaisons linéaires de ceux de l'autre. Tester ensuite si un point d'un plan appartient à l'autre pour distinguer parallèles stricts / confondus.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Représentation paramétrique d’un plan

[enonce]
Ce QCM porte sur la représentation paramétrique d'un plan dans l'espace et les positions relatives associées. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Le plan $\mathscr{P}$ passe par $A(1~;~0~;~-1)$ et a pour vecteurs directeurs $\vec{u}(1~;~1~;~0)$ et $\vec{v}(0~;~1~;~1)$. Quelle est une représentation paramétrique de $\mathscr{P}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\left\{\begin{matrix}x = 1 + s \\ y = s + t \\ z = -1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = s \\ y = s + t \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 1 + s \\ y = 1 + s + t \\ z = -1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 1 + s + t \\ y = s \\ z = -1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On applique la formule générale $x = x_A + as + a't$, $y = y_A + bs + b't$, $z = z_A + cs + c't$, où $\vec{u}(a~;~b~;~c)$ et $\vec{v}(a'~;~b'~;~c')$.
Avec $A(1~;~0~;~-1)$, $\vec{u}(1~;~1~;~0)$ et $\vec{v}(0~;~1~;~1)$, on obtient $x = 1 + s + 0t$, $y = 0 + s + t$, $z = -1 + 0s + t$.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = s \\ y = s + t \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$"]Non.
Les coordonnées du point $A$ ont été oubliées : cette représentation est celle du plan vectoriel parallèle, passant par l'origine. Ajouter les coordonnées de $A$ comme termes constants.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 1 + s \\ y = 1 + s + t \\ z = -1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$"]Non.
La deuxième coordonnée du point $A$ est $0$, pas $1$. Le terme constant de la deuxième équation doit donc être $0$, pas $1$.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 1 + s + t \\ y = s \\ z = -1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$"]Non.
La répartition des coefficients de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne correspond pas aux coordonnées des deux vecteurs : la première coordonnée de $\vec{v}$ est $0$, donc $t$ ne doit pas apparaître dans l'équation en $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $x = x_A + a s + a' t$, $y = y_A + b s + b' t$, $z = z_A + c s + c' t$, en respectant l'ordre des coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ pour chaque équation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le point $B(3~;~5~;~1)$ appartient-il au plan de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 1 + s + t \\ y = 2 + s - t \\ z = -1 + s + 2t\end{matrix}\right.$ ?
[qcm]
[option]Oui, pour $s = \dfrac{5}{2}$ et $t = -\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]Non, le système n'a pas de solution[/option]
[option]Oui, le système est compatible[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître les vecteurs directeurs[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On résout le système $1 + s + t = 3$, $2 + s - t = 5$, $-1 + s + 2t = 1$, soit $s + t = 2$, $s - t = 3$, $s + 2t = 2$.
Les deux premières équations donnent $s = \dfrac{5}{2}$ et $t = -\dfrac{1}{2}$.
On vérifie la troisième : $\dfrac{5}{2} + 2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{2} \neq 2$.
Le système est incompatible : $B$ n'appartient pas au plan.[/reponse]
[reponse motif="Oui, pour $s = \dfrac{5}{2}$ et $t = -\dfrac{1}{2}$"]Non.
Ce couple est obtenu à partir des deux premières équations, mais il faut absolument vérifier la troisième. Substituer $s$ et $t$ dans la troisième équation pour voir si elle est satisfaite.[/reponse]
[reponse motif="Oui, le système est compatible"]Non.
Le système n'est pas compatible : la valeur de $(s~;~t)$ obtenue à partir des deux premières équations ne vérifie pas la troisième. Effectuer la vérification numérique avant de conclure.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître les vecteurs directeurs"]Non.
Les vecteurs directeurs sont lisibles directement dans la représentation paramétrique : ce sont les coefficients de $s$ et de $t$. Mais ici, il suffit de tester l'existence d'un couple $(s~;~t)$ qui rende les trois équations vraies.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour tester l'appartenance de $B$ au plan, écrire les trois équations avec ses coordonnées et vérifier l'existence d'un couple $(s~;~t)$ qui les satisfait toutes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quels sont des vecteurs directeurs du plan de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 2 + s - t \\ y = 1 + 2s \\ z = 3 - s + t\end{matrix}\right.$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\vec{u}(1~;~2~;~-1)$ et $\vec{v}(-1~;~0~;~1)$[/option]
[option]$\vec{u}(2~;~1~;~3)$ et $\vec{v}(1~;~-1~;~1)$[/option]
[option]$\vec{u}(1~;~2~;~-1)$ et $\vec{v}(1~;~0~;~1)$[/option]
[option]$\vec{u}(s~;~2s~;~-s)$ et $\vec{v}(-t~;~0~;~t)$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les vecteurs directeurs sont les coefficients de $s$ et de $t$ dans la représentation paramétrique.
Pour $s$ : on lit $1$ (en $x$), $2$ (en $y$), $-1$ (en $z$), donc $\vec{u}(1~;~2~;~-1)$.
Pour $t$ : on lit $-1$ (en $x$), $0$ (en $y$), $1$ (en $z$), donc $\vec{v}(-1~;~0~;~1)$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}(2~;~1~;~3)$ et $\vec{v}(1~;~-1~;~1)$"]Non.
Le premier vecteur correspond au point particulier (termes constants), pas à un vecteur directeur. Lire les coefficients de $s$ et de $t$ pour obtenir les vecteurs directeurs.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}(1~;~2~;~-1)$ et $\vec{v}(1~;~0~;~1)$"]Non.
Le signe de la première coordonnée du second vecteur est incorrect : le coefficient de $t$ dans la première équation est $-1$, pas $+1$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}(s~;~2s~;~-s)$ et $\vec{v}(-t~;~0~;~t)$"]Non.
Les coordonnées d'un vecteur sont des nombres, pas des expressions contenant les paramètres. Lire les coefficients de $s$ et de $t$ sans les paramètres eux-mêmes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les vecteurs directeurs ont pour coordonnées les coefficients (signes inclus) de $s$ et de $t$ dans les trois équations de la représentation paramétrique.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère $A(1~;~0~;~0)$, $B(0~;~1~;~0)$ et $C(0~;~0~;~1)$. Quelle est une représentation paramétrique du plan $(ABC)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\left\{\begin{matrix}x = 1 - s - t \\ y = s \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = s \\ y = s + t \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 1 + s + t \\ y = s \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = s + t \\ y = 1 + s \\ z = 1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
On choisit $A(1~;~0~;~0)$ comme point et $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ comme vecteurs directeurs :
$\overrightarrow{AB}(-1~;~1~;~0)$ et $\overrightarrow{AC}(-1~;~0~;~1)$.
La représentation paramétrique est donc $x = 1 - s - t$, $y = s$, $z = t$.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = s \\ y = s + t \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$"]Non.
Cette représentation passe par l'origine, qui n'est pas dans le plan $(ABC)$ : par exemple pour $s = 0$ et $t = 0$, on trouve $(0~;~0~;~0)$. Reprendre avec un point du plan, comme $A(1~;~0~;~0)$.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 1 + s + t \\ y = s \\ z = t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$"]Non.
Le signe des coefficients de $s$ et de $t$ dans la première équation est incorrect. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont une première coordonnée négative ($-1$).[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = s + t \\ y = 1 + s \\ z = 1 + t\end{matrix}\right.$, $(s~;~t) \in \mathbb{R}^2$"]Non.
Les rôles des coordonnées du point ont été permutés : avec $A(1~;~0~;~0)$, le terme constant doit apparaître dans l'équation en $x$, pas en $y$ ou en $z$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Choisir un point du plan (par exemple $A$), calculer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis appliquer la formule $x = x_A + a s + a' t$, etc.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $\mathscr{D}$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = t\end{matrix}\right.$ et $\mathscr{P}$ le plan passant par $O(0~;~0~;~0)$ avec vecteurs directeurs $\vec{u}(1~;~0~;~0)$ et $\vec{v}(0~;~1~;~0)$. Quelle est leur position relative ?
[qcm]
[option]strictement parallèles[/option]
[option correct="true"]sécants en $M(1~;~0~;~0)$[/option]
[option]la droite est incluse dans le plan[/option]
[option]sécants en $O(0~;~0~;~0)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{u_D}(1~;~2~;~1)$. Sa troisième coordonnée vaut $1$, alors que celles de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont nulles : $\vec{u_D}$ ne peut pas être combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, donc $\mathscr{D}$ n'est pas parallèle à $\mathscr{P}$.
On cherche le point d'intersection en imposant $z = 0$ dans la droite : $t = 0$, ce qui donne $M(1~;~0~;~0)$. Ce point est bien dans $\mathscr{P}$ car $\overrightarrow{OM} = \vec{u}$.[/reponse]
[reponse motif="strictement parallèles"]Non.
Pour que $\mathscr{D}$ soit parallèle à $\mathscr{P}$, son vecteur directeur doit être combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Or la troisième coordonnée de $\vec{u_D}$ est $1$ alors que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont des troisièmes coordonnées nulles : impossible.[/reponse]
[reponse motif="la droite est incluse dans le plan"]Non.
Pour que la droite soit incluse, il faudrait à la fois $\vec{u_D}$ combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, et un point de la droite dans le plan. La première condition n'est pas vérifiée.[/reponse]
[reponse motif="sécants en $O(0~;~0~;~0)$"]Non.
Le point $O$ n'est pas sur la droite : pour $t = 0$ on obtient $(1~;~0~;~0)$, pas $(0~;~0~;~0)$. Trouver la valeur de $t$ qui rend la troisième coordonnée nulle (le plan a $z = 0$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester d'abord si le vecteur directeur de la droite est combinaison linéaire des vecteurs directeurs du plan. Si non, la droite est sécante : trouver le point d'intersection en cherchant un point de la droite qui appartienne au plan.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\mathscr{P}_1 : \left\{\begin{matrix}x = s \\ y = t \\ z = 0\end{matrix}\right.$ et $\mathscr{P}_2 : \left\{\begin{matrix}x = 1 + s \\ y = t \\ z = 2\end{matrix}\right.$. Quelle est la position relative de ces deux plans ?
[qcm]
[option correct="true"]strictement parallèles[/option]
[option]sécants selon une droite[/option]
[option]confondus[/option]
[option]on ne peut pas savoir car les vecteurs directeurs sont différents[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les deux plans ont les mêmes vecteurs directeurs $\vec{u}(1~;~0~;~0)$ et $\vec{v}(0~;~1~;~0)$ : ils sont parallèles ou confondus.
$\mathscr{P}_1$ contient les points de cote $z = 0$ et $\mathscr{P}_2$ ceux de cote $z = 2$ : aucun point n'est commun aux deux plans.
Ils sont donc strictement parallèles.[/reponse]
[reponse motif="sécants selon une droite"]Non.
Pour que les plans soient sécants, leurs vecteurs directeurs ne doivent pas pouvoir engendrer le même plan vectoriel. Or ici, les deux paires de vecteurs directeurs sont identiques : les plans ne sont pas sécants.[/reponse]
[reponse motif="confondus"]Non.
Les vecteurs directeurs sont bien identiques, mais il faut encore vérifier qu'un point de $\mathscr{P}_1$ appartient à $\mathscr{P}_2$. Or aucun point de $\mathscr{P}_1$ n'a une cote $z = 2$ : les plans ne sont pas confondus.[/reponse]
[reponse motif="on ne peut pas savoir car les vecteurs directeurs sont différents"]Non.
Les vecteurs directeurs sont en fait identiques dans les deux représentations : $\vec{u}(1~;~0~;~0)$ et $\vec{v}(0~;~1~;~0)$. La conclusion est donc accessible.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer les vecteurs directeurs des deux plans : s'ils engendrent la même direction, les plans sont parallèles ou confondus. Tester ensuite si un point d'un plan est dans l'autre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Représentation paramétrique d’une droite

[enonce]
Ce QCM porte sur la représentation paramétrique d'une droite dans l'espace. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
La droite $\mathscr{D}$ passe par $A(1~;~2~;~-3)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(2~;~-1~;~4)$. Quelle est sa représentation paramétrique ?
[qcm]
[option correct="true"]$\left\{\begin{matrix}x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = -3 + 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 4 - 3t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 1 - 2t \\ y = 2 + t \\ z = -3 - 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 2t \\ y = -t \\ z = 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ est de la forme $x = x_A + at$, $y = y_A + bt$, $z = z_A + ct$ où $(a~;~b~;~c)$ sont les coordonnées de $\vec{u}$.
On obtient donc $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = -3 + 4t$.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 4 - 3t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$"]Non.
Les rôles du point et du vecteur ont été inversés : les termes constants doivent venir des coordonnées du point $A$, et les coefficients de $t$ des coordonnées de $\vec{u}$.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 1 - 2t \\ y = 2 + t \\ z = -3 - 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$"]Non.
Tous les coefficients de $t$ ont leur signe inversé. Reprendre la formule $x = x_A + at$ en respectant le signe de chaque coordonnée du vecteur directeur.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 2t \\ y = -t \\ z = 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$"]Non.
Cette représentation correspond à la droite passant par l'origine avec la même direction que $\mathscr{D}$. Le point $A$ a été oublié : il faut ajouter ses coordonnées comme termes constants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ est $x = x_A + at$, $y = y_A + bt$, $z = z_A + ct$ : combiner les coordonnées du point comme termes constants et celles du vecteur directeur comme coefficients de $t$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le point $A(3~;~5~;~-1)$ appartient-il à la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = 2 - 3t\end{matrix}\right.$ ?
[qcm]
[option]Oui, on trouve $t = 2$ partout[/option]
[option correct="true"]Non, les deux premières équations donnent $t = 2$ mais la troisième donne $z = -4$[/option]
[option]Oui, le système est compatible[/option]
[option]On ne peut pas le déterminer sans connaître le vecteur directeur[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On résout le système : $1 + t = 3$ donne $t = 2$, et $3 + t = 5$ donne aussi $t = 2$.
Avec $t = 2$, la troisième équation donne $z = 2 - 3 \times 2 = -4$, alors que l'on cherche $z = -1$.
Le système est incompatible : $A$ n'appartient pas à la droite.[/reponse]
[reponse motif="Oui, on trouve $t = 2$ partout"]Non.
La valeur $t = 2$ ne convient que pour les deux premières équations. Pour la troisième : $z = 2 - 3 \times 2 = -4$, qui diffère du $-1$ recherché. Il faut tester chaque équation jusqu'à la fin.[/reponse]
[reponse motif="Oui, le système est compatible"]Non.
Le système n'est pas compatible. Une fois $t$ déterminé par les deux premières équations, la troisième doit aussi être satisfaite : la vérifier complètement.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas le déterminer sans connaître le vecteur directeur"]Non.
Le vecteur directeur se lit directement sur la représentation paramétrique : ce sont les coefficients de $t$. Mais ici, il suffit de tester si les coordonnées de $A$ correspondent à une même valeur de $t$ dans les trois équations.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour tester l'appartenance, écrire les trois équations avec les coordonnées de $A$ et chercher s'il existe une valeur unique de $t$ qui vérifie les trois.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelles sont les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{matrix}x = 2 - 3t \\ y = 1 + 5t \\ z = -4 + t\end{matrix}\right.$ ?
[qcm]
[option]$\vec{u}(2~;~1~;~-4)$[/option]
[option correct="true"]$\vec{u}(-3~;~5~;~1)$[/option]
[option]$\vec{u}(3~;~5~;~-1)$[/option]
[option]$\vec{u}(-3~;~5~;~-4)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un vecteur directeur de la droite a pour coordonnées les coefficients de $t$ dans la représentation paramétrique : $\vec{u}(-3~;~5~;~1)$.
Les termes constants $(2~;~1~;~-4)$ donnent un point particulier de la droite, pas un vecteur directeur.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}(2~;~1~;~-4)$"]Non.
Ces coordonnées correspondent à un point de la droite (obtenu pour $t = 0$), pas à un vecteur directeur. Le vecteur directeur se lit dans les coefficients de $t$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}(3~;~5~;~-1)$"]Non.
Les signes de la première et de la troisième coordonnée sont inversés. Lire directement les coefficients de $t$ avec leur signe : $-3$, $+5$, $+1$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}(-3~;~5~;~-4)$"]Non.
La troisième coordonnée du vecteur directeur n'est pas le terme constant $-4$ mais le coefficient de $t$ dans la troisième équation, c'est-à-dire $+1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un vecteur directeur a pour coordonnées les coefficients de $t$ dans les trois équations de la représentation paramétrique, en respectant les signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La droite $\mathscr{D}$ passe par $A(1~;~1~;~1)$ et $B(3~;~-1~;~5)$. Quelle est une représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ ?
[qcm]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 1 + 3t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 5t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 2 + t \\ y = -2 + t \\ z = 4 + t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[option correct="true"]$\left\{\begin{matrix}x = 1 + 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 + 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[option]$\left\{\begin{matrix}x = 2t \\ y = -2t \\ z = 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On choisit $\overrightarrow{AB}$ comme vecteur directeur : $\overrightarrow{AB}(3-1~;~-1-1~;~5-1) = \overrightarrow{AB}(2~;~-2~;~4)$.
On utilise le point $A(1~;~1~;~1)$ comme point de la droite : $x = 1 + 2t$, $y = 1 - 2t$, $z = 1 + 4t$.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 1 + 3t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 5t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$"]Non.
Les coefficients de $t$ devraient être les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$, pas celles du point $B$. Recalculer $\overrightarrow{AB}$ comme différence des coordonnées.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 2 + t \\ y = -2 + t \\ z = 4 + t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$"]Non.
Les rôles du point et du vecteur sont inversés : les termes constants devraient être ceux d'un point de la droite, et les coefficients de $t$ ceux du vecteur directeur.[/reponse]
[reponse motif="$\left\{\begin{matrix}x = 2t \\ y = -2t \\ z = 4t\end{matrix}\right.$, $t \in \mathbb{R}$"]Non.
Le point de la droite a été oublié : cette représentation passe par l'origine, pas par $A$. Ajouter les coordonnées de $A$ comme termes constants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\overrightarrow{AB}$ (différence des coordonnées) pour le vecteur directeur, puis utiliser $A$ comme point particulier dans la formule $x = x_A + at$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quelle valeur du paramètre $t$ le point $M$ de la droite $\left\{\begin{matrix}x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3 - t\end{matrix}\right.$ a-t-il pour ordonnée $5$ ?
[qcm]
[option]$t = 6$[/option]
[option correct="true"]$t = 3$[/option]
[option]$t = 2$[/option]
[option]$t = -3$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On résout l'équation $-1 + 2t = 5$ : on ajoute $1$ aux deux membres pour obtenir $2t = 6$, puis on divise par $2$, ce qui donne $t = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$t = 6$"]Non.
La division par $2$ a été oubliée : $-1 + 2t = 5$ donne $2t = 6$, et il faut diviser par $2$ avant de conclure sur la valeur de $t$.[/reponse]
[reponse motif="$t = 2$"]Non.
La valeur obtenue ne vérifie pas l'équation : $-1 + 2 \times 2 = 3 \neq 5$. Reprendre en ajoutant $1$ aux deux membres puis en divisant par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$t = -3$"]Non.
Une erreur de signe dans la division : $2t = 6$ donne $t = 3$, pas $t = -3$. Le signe est positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Isoler $t$ dans l'équation $-1 + 2t = 5$ : ajouter $1$ aux deux membres puis diviser par $2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les droites de représentations paramétriques $\mathscr{D}_1 : \left\{\begin{matrix}x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t\end{matrix}\right.$ et $\mathscr{D}_2 : \left\{\begin{matrix}x = 2 + 2s \\ y = 1 - 2s \\ z = 4s\end{matrix}\right.$ sont :
[qcm]
[option]confondues[/option]
[option correct="true"]strictement parallèles[/option]
[option]sécantes[/option]
[option]non coplanaires[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les vecteurs directeurs sont $\vec{u_1}(1~;~-1~;~2)$ et $\vec{u_2}(2~;~-2~;~4) = 2\vec{u_1}$, donc colinéaires : les droites sont parallèles ou confondues.
On teste si le point $A_1(1~;~2~;~3)$ de $\mathscr{D}_1$ appartient à $\mathscr{D}_2$ : $1 = 2 + 2s$ donne $s = -\dfrac{1}{2}$, alors $z = 4 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -2 \neq 3$.
Les droites ne se rencontrent pas : elles sont strictement parallèles.[/reponse]
[reponse motif="confondues"]Non.
Les vecteurs directeurs sont bien colinéaires, mais il faut encore vérifier si un point d'une droite appartient à l'autre. Tester $A_1(1~;~2~;~3)$ dans $\mathscr{D}_2$ : si le système est incompatible, les droites ne sont pas confondues.[/reponse]
[reponse motif="sécantes"]Non.
Pour des droites sécantes, les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Or ici, $\vec{u_2} = 2\vec{u_1}$ : ces droites ne peuvent pas être sécantes.[/reponse]
[reponse motif="non coplanaires"]Non.
Deux droites parallèles sont toujours coplanaires : elles sont contenues dans un même plan. Comparer d'abord les vecteurs directeurs avant d'envisager le cas non coplanaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer d'abord les vecteurs directeurs (colinéaires ou non), puis tester si un point d'une droite appartient à l'autre pour distinguer les cas confondues / strictement parallèles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Position de droites et de plans dans l’espace

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
$ABCD$ est un tétraèdre. $I$ est le milieu de $[AD]$ et $J$ le milieu de $[BC]$.

Affirmation : Les droites $(IJ)$ et $(AB)$ sont sécantes.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$A$, $B$ et $I$ appartiennent à la face $ABD$ du tétraèdre, mais $J$ (milieu de $[BC]$) n'y appartient pas.
Les points $A$, $B$, $I$, $J$ ne sont pas coplanaires, donc $(IJ)$ et $(AB)$ ne peuvent pas être sécantes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : en dimension 3, deux droites ne sont pas nécessairement sécantes ou parallèles. Il existe un troisième cas : les droites gauches (non coplanaires).
$J$ n'appartient pas au plan $ABD$, donc $A$, $B$, $I$, $J$ ne sont pas coplanaires : $(IJ)$ et $(AB)$ sont des droites gauches (ni parallèles ni sécantes).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$J$ n'est pas dans le plan $ABD$ : les droites sont gauches (ni sécantes ni parallèles).
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABCDE$ est une pyramide à base carrée $ABCD$. $I$ est le milieu de $[BC]$.

Affirmation : Les droites $(AI)$ et $(DC)$ sont sécantes.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(AI)$ et $(DC)$ sont toutes deux incluses dans le plan $ABCD$ : elles sont coplanaires.
La parallèle à $(DC)$ passant par $A$ est $(AB)$, mais $I$ n'appartient pas à $(AB)$.
Donc $(AI)$ et $(DC)$ ne sont pas parallèles, et étant coplanaires, elles sont sécantes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de chercher des droites gauches alors que $(AI)$ et $(DC)$ sont toutes deux dans le plan de la base $ABCD$ : deux droites coplanaires non parallèles sont forcément sécantes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$(AI)$ et $(DC)$ sont toutes deux dans le plan $ABCD$, non parallèles, donc sécantes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[HG]$.

Affirmation : Les droites $(AH)$ et $(IJ)$ sont parallèles.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$[AI]$ et $[HJ]$ sont parallèles et de même longueur (moitiés d'arêtes parallèles du cube).
Donc $AIJH$ est un parallélogramme, et $(AH) /\!/ (IJ)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas oublier que $AIJH$ forme un parallélogramme (car $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{HJ}$ dans le cube), ce qui implique $(AH) /\!/ (IJ)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
$AIJH$ est un parallélogramme, donc $(AH) /\!/ (IJ)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABCDE$ est une pyramide à base carrée $ABCD$. $I$ est le milieu de $[AE]$ et $J$ le milieu de $[EC]$.

Affirmation : La droite $(IJ)$ est parallèle au plan $ABCD$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Dans le triangle $ACE$, $I$ est le milieu de $[AE]$ et $J$ le milieu de $[CE]$.
Par le théorème des milieux, $(IJ) /\!/ (AC)$.
Comme $(AC)$ est incluse dans $ABCD$, la droite $(IJ)$ est parallèle au plan $ABCD$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : dans le triangle $ACE$, $I$ et $J$ sont les milieux de deux côtés, donc par le théorème des milieux, $(IJ) /\!/ (AC)$.
Comme $(AC) \subset ABCD$, on en déduit $(IJ) /\!/ ABCD$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie.
Théorème des milieux dans $\triangle ACE$ : $(IJ) /\!/ (AC) \subset ABCD$, donc $(IJ) /\!/ ABCD$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le milieu de $[AB]$.

Affirmation : Les droites $(FI)$ et $(HD)$ sont sécantes.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(FI)$ est incluse dans le plan $ABFE$ et $(HD)$ dans le plan $DCGH$.
Ces deux plans sont parallèles (faces opposées du cube).
Deux droites contenues dans des plans parallèles distincts ne peuvent pas être sécantes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
$(FI)$ et $(HD)$ appartiennent à deux faces opposées du cube ($ABFE$ et $DCGH$), qui sont des plans parallèles.
Deux droites contenues dans des plans parallèles distincts ne peuvent jamais être sécantes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$(FI)$ et $(HD)$ sont dans deux faces opposées parallèles du cube : elles ne peuvent pas se couper.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$ABCDEFGH$ est un cube. $J$ est le milieu de $[AB]$, $K$ le milieu de $[BC]$ et $L$ le milieu de $[HG]$.

Affirmation : Les droites $(JK)$ et $(CL)$ sont sécantes.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$J$, $K$ et $C$ appartiennent à la face $ABCD$, mais $L$ (milieu de $[HG]$) n'y appartient pas.
Les points $J$, $K$, $C$, $L$ ne sont pas coplanaires, donc $(JK)$ et $(CL)$ sont des droites gauches.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Avant de conclure, il faut vérifier si les quatre points sont coplanaires : $L$ (milieu de $[HG]$) n'est pas dans le plan de la base $ABCD$.
Les points $J$, $K$, $C$, $L$ ne sont pas coplanaires, donc les droites sont gauches.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse.
$L$ n'est pas dans le plan $ABCD$ : les droites sont gauches.
[/solution]
[/etape]

Coordonnées et représentations paramétriques

$ ABCDEFGH $ est un cube. $ I $ et $ J $ sont les deux points définis par :

$ \overrightarrow{HI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HE} $
$ \overrightarrow{HJ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HG} $

On se place dans le repère $ \left(D; \overrightarrow{DA}; \overrightarrow{DC}; \overrightarrow{DH}\right) $.

Préciser les coordonnées des points $ A, B, C, D, E, F, G, H, I, J $ dans ce repère. Aucune justification n'est demandée pour les coordonnées des sommets du cube.
Donner une représentation paramétrique de la droite $ \left(AI\right) $ et de la droite $ \left(CJ\right) $
Montrer que les droites $ \left(AI\right) $ et $ \left(CJ\right) $ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

Corrigé

$ A\left(1 ; 0 ; 0\right) $

$ B\left(1 ; 1 ; 0\right) $

$ C\left(0 ; 1 ; 0\right) $

$ D\left(0 ; 0 ; 0\right) $

$ E\left(1 ; 0 ; 1\right) $

$ F\left(1 ; 1 ; 1\right) $

$ G\left(0 ; 1 ; 1\right) $

$ H\left(0 ; 0 ; 1\right) $

$ \overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{DH}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HE} $

Les coordonnées de $ \overrightarrow{DH} $ et $ \overrightarrow{HE} $ sont $ \overrightarrow{DH} \left(0 ; 0 ; 1\right) $ et $ \overrightarrow{HE} \left(1 ; 0 ; 0\right) $

Les coordonnées de $ \overrightarrow{DI} $ et du point $ I $ sont donc $ I \left(\dfrac{1}{3} ; 0 ; 1\right) $

Avec un calcul similaire on trouve $ J \left(0 ; \dfrac{1}{3} ; 1\right) $
La droite $ \left(AI\right) $ passe par le point $ A\left(1 ; 0 ; 0\right) $ et est dirigée par le vecteur $ \overrightarrow{AI}\left( - \dfrac{2}{3} ; 0 ; 1\right) $. Pour éviter l'emploi de fraction, on peut dire que le vecteur $ 3\overrightarrow{AI}\left( - 2 ; 0 ; 3\right) $ est également un vecteur directeur de $ \left(AI\right) $.

Une représentation paramétrique de la droite $ \left(AI\right) $ est donc :

$ \left\{ \begin{matrix} x=1 - 2t \\ y=0 \\ z=3t \end{matrix}\right. $

avec

$ t \in \mathbb{R} $

Remarque :Cette représentation n'est pas unique. Le système :

$ \left\{ \begin{matrix} x=1 - \dfrac{2}{3}t \\ y=0 \\ z=t \end{matrix}\right. $

avec

$ t \in \mathbb{R} $

par exemple, est lui aussi correct.

Avec un raisonnement identique on montre que le système :

$ \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=1 - 2t \\ z=3t \end{matrix}\right. $

avec

$ t \in \mathbb{R} $

est une représentation paramétrique de la droite $ \left(CJ\right) $
Les droites $ \left(AI\right) $ et $ \left(CJ\right) $ sont sécantes en un point $ M\left(x ; y ; z\right) $ s'il existe deux réels $ t $ et $ t^{\prime} $ tels que simultanément :

$ \left\{ \begin{matrix} x=1 - 2t \\ y=0 \\ z=3t \end{matrix}\right. \qquad $

et

$ \qquad \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=1 - 2t^{\prime} \\ z=3t^{\prime} \end{matrix}\right. $

Remarque : Attention à remplacer $ t $ par $ t^{\prime} $ dans le second système car les paramètres ne sont pas nécessairement égaux dans les deux représentations paramétriques.

Cela entraine :

$ \left\{ \begin{matrix} 1 - 2t=0 \\ 0=1 - 2t^{\prime} \\ 3t=3t^{\prime} \end{matrix}\right. $

Ce système admet une solution : $ t=\dfrac{1}{2} $, $ t^{\prime}=\dfrac{1}{2} $ et on obtient alors :

$ \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=0 \\ z=\dfrac{3}{2} \end{matrix}\right. $

Les droites $ \left(AI\right) $ et $ \left(CJ\right) $ sont donc sécantes en un point $ M\left(0 ; 0 ; \dfrac{3}{2}\right) $

Pour réviser : Déterminer une représentation paramétrique d'une droite