Mesure principale
Déterminer la mesure principale des angles ayant pour mesure :
- $ - \pi $
$ 3\pi $
$ \dfrac{13\pi }{3} $
$ \dfrac{230\pi }{7} $
$ - \pi =\pi - 2\pi $
$ \pi \in \left] - \pi ; \pi \right] $
La mesure principale est $ \pi $
$ 3\pi =\pi +2\pi $
$ \pi \in \left] - \pi ; \pi \right] $
La mesure principale est $ \pi $
$ \dfrac{13\pi }{3}=\dfrac{\pi }{3}+\dfrac{12\pi }{3}=\dfrac{\pi }{3}+4\pi $
$ \dfrac{\pi }{3} \in \left] - \pi ; \pi \right] $
La mesure principale est $ \dfrac{\pi }{3} $
Une astuce utile quand on a une mesure du type $ \dfrac{p\pi }{q} $ consiste à effectuer la division euclidienne de $ p $ par $ 2q $ pour faire apparaitre un multiple de $ 2\pi $.
La division de $ 230 $ par $ 14 $ donne un quotient de $ 16 $ et un reste de $ 6 $.
Donc
$ 230=16\times 14+6 $
Ce qui donne :
$ \dfrac{230\pi }{7}=\dfrac{16\times 14\pi +6\pi }{7}=\dfrac{16\times 14\pi }{7}+\dfrac{6\pi }{7}=16\times 2\pi +\dfrac{6\pi }{7} $
$ \dfrac{6\pi }{7} \in \left] - \pi ; \pi \right] $
La mesure principale est $ \dfrac{6\pi }{7} $
Cercle trigonométrique
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) $ et $ I $ est le point de coordonnées $ \left(1 ; 0\right) $;
Placer sur le cercle trigonométrique les points $ A, B, C, D, E $ et $ F $ tels que :
- $ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OA}\right)=2\pi $
$ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OB}\right)=\dfrac{7\pi }{2} $
$ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OC}\right)= - 3\pi $
$ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{13\pi }{3} $
$ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OE}\right)=\dfrac{7\pi }{4} $
$ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OF}\right)=111\pi $
Recopier et compléter le tableau suivant :
| $ x $ |
$ \sin\left(x\right) $ |
$ \cos\left(x\right) $ |
| $ 2\pi $ |
|
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| $ \dfrac{7\pi }{2} $ |
|
|
| $ - 3\pi $ |
|
|
| $ \dfrac{13\pi }{3} $ |
|
|
| $ \dfrac{7\pi }{4} $ |
|
|
| $ 111\pi $ |
|
|
Pour placer chaque point, on cherche la mesure principale de l'angle (celle qui appartient à $\left] - \pi ; \pi \right]$) en retirant un multiple de $2\pi$ : $A$ est en $2\pi$ donc confondu avec $I$ ; $\dfrac{7\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi$ donc $B$ a pour mesure principale $-\dfrac{\pi}{2}$ ; $-3\pi=-\pi-2\pi$ donc $C$ est en $-\pi$ (c'est-à-dire $\pi$) ; $\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+4\pi$ donc $D$ est en $\dfrac{\pi}{3}$ ; $E$ est en $\dfrac{7\pi}{4}$, soit la mesure principale $-\dfrac{\pi}{4}$ ; $111\pi=\pi+110\pi$ donc $F$ est en $\pi$.
On lit alors les valeurs du cosinus (abscisse) et du sinus (ordonnée) de chaque point :
| $ x $ |
$ \sin\left(x\right) $ |
$ \cos\left(x\right) $ |
| $ 2\pi $ |
$ 0 $ |
$ 1 $ |
| $ \dfrac{7\pi }{2} $ |
$ - 1 $ |
$ 0 $ |
| $ - 3\pi $ |
$ 0 $ |
$ - 1 $ |
| $ \dfrac{13\pi }{3} $ |
$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ |
$ \dfrac{1}{2} $ |
| $ \dfrac{7\pi }{4} $ |
$ - \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ |
$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ |
| $ 111\pi $ |
$ 0 $ |
$ - 1 $ |
Pour réviser : Placer le point image d'un réel sur le cercle trigonométrique
