Tableau croisé : enquête au collège

[enonce]
On interroge 200 élèves d'un collège sur leurs activités extra-scolaires. On note :

$S$ l'événement « l'élève pratique un sport »
$M$ l'événement « l'élève pratique la musique »

On sait que :

120 élèves pratiquent un sport
70 élèves pratiquent la musique
30 élèves pratiquent à la fois un sport et la musique

On choisit un élève au hasard parmi les 200. Calculer la probabilité que cet élève ne pratique ni sport ni musique.

	$M$	$\overline{M}$	Total
$S$	30	?	120
$\overline{S}$	?	?	?
Total	70	?	200

[/enonce]

[etape]
Parmi les 120 élèves qui pratiquent un sport, 30 pratiquent aussi la musique. Combien d'élèves pratiquent un sport mais pas la musique ?

[[sm]]

[math id="sm" attendu="90"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$120 - 30 = 90$ élèves pratiquent un sport sans pratiquer la musique.[/reponse]
[reponse motif="150"]$150 = 120 + 30$ : il ne faut pas additionner mais soustraire les élèves qui font les deux activités.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Parmi les 120 sportifs, 30 font aussi de la musique. Les autres font du sport uniquement.[/reponse]
[aide essai="2"]La ligne $S$ du tableau se décompose en : ceux qui font sport ET musique (30) et ceux qui font sport SANS musique.[/aide]
[aide essai="3"]$120 - 30 = \ldots$[/aide]
[/math]

[solution]
$120 - 30 = 90$ élèves pratiquent un sport mais pas la musique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Compléter le tableau. Combien d'élèves ne pratiquent ni sport ni musique ?

[[ni]]

[math id="ni" attendu="40"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On complète le tableau étape par étape :
Total $\overline{S}$ (élèves sans sport) : $200 - 120 = 80$.
Colonne $M$, élèves sans sport mais avec musique : $70 - 30 = 40$.
Donc les élèves sans sport ni musique : $80 - 40 = 40$.

	$M$	$\overline{M}$	Total
$S$	30	90	120
$\overline{S}$	40	40	80
Total	70	130	200

[/reponse]
[reponse motif="80"]$80 = 200 - 120$ est le nombre total d'élèves ne pratiquant pas de sport. Parmi eux, certains pratiquent la musique. Il faut encore retrancher ceux-là.[/reponse]
[reponse motif="10"]Revoir le calcul. Le nombre d'élèves qui font musique sans sport est $70 - 30 = 40$, pas 70.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Compléter d'abord la colonne des totaux, puis chaque ligne. Le nombre cherché est la case « sans sport et sans musique » du tableau.[/reponse]
[aide essai="2"]D'abord, total des élèves sans sport : $200 - 120 = 80$. Puis, ceux sans sport mais avec musique : $70 - 30 = 40$. Enfin, ceux sans sport ni musique : $80 - 40 = \ldots$[/aide]
[aide essai="3"]$80 - 40 = \ldots$[/aide]
[/math]

[solution]
Total des élèves sans sport : $200 - 120 = 80$. Musique sans sport : $70 - 30 = 40$. Ni l'un ni l'autre : $80 - 40 = 40$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard pratique à la fois un sport et la musique. Donner la fraction irréductible : [[pinter]]

[math id="pinter" attendu="\frac{3}{20}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Exactement !

$p(\text{sport et musique}) = \dfrac{30}{200} = \dfrac{3}{20}$

[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\frac{30}{70}"]Le dénominateur doit être le nombre total d'élèves (200), pas le nombre d'élèves pratiquant la musique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$p(\text{sport et musique}) = \dfrac{\text{nombre d'élèves faisant les deux}}{\text{nombre total d'élèves}}$.[/reponse]
[aide essai="2"]30 élèves pratiquent les deux activités. Le total est 200.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{30}{200}$. Simplifier par 10.[/aide]
[/math]

[solution]
$p(\text{sport et musique}) = \dfrac{30}{200} = \dfrac{3}{20}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Combien d'élèves pratiquent un sport ou la musique (ou les deux) ?

Quelle méthode utiliser ?

[qcm]
[option correct="true"]Compter les élèves qui pratiquent au moins une activité : $120 + 70 - 30 = 160$[/option]
[option]Additionner simplement : $120 + 70 = 190$[/option]
[option]Multiplier : $120 \times 70 = 8\,400$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Si on additionne $120 + 70$, on compte deux fois les 30 élèves qui font les deux. Il faut les retrancher une fois :

$120 + 70 - 30 = 160$

[/reponse]
[reponse motif="Additionner simplement : $120 + 70 = 190$"]En additionnant $120 + 70$, on compte deux fois les 30 élèves qui pratiquent les deux activités. Il faut retrancher ce double comptage.[/reponse]
[reponse motif="Multiplier : $120 \times 70 = 8\,400$"]La multiplication s'utilise pour dénombrer les issues d'expériences successives, pas pour compter des élèves pratiquant l'une ou l'autre activité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les événements $S$ et $M$ ne sont pas incompatibles (30 élèves font les deux). On ne peut pas simplement additionner.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
$120 + 70 - 30 = 160$ élèves pratiquent au moins une activité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
En déduire la probabilité qu'un élève pratique un sport ou la musique (ou les deux). Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[punion]]

[math id="punion" attendu="\frac{4}{5}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bravo !

$p(\text{sport ou musique}) = \dfrac{160}{200} = \dfrac{4}{5}$

[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\frac{19}{20}"]$\dfrac{190}{200}$ : attention, en additionnant $120 + 70 = 190$ on compte deux fois les 30 élèves qui font les deux activités.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]160 élèves pratiquent au moins une activité sur un total de 200. Diviser et simplifier.[/reponse]
[aide essai="2"]$p(\text{sport ou musique}) = \dfrac{160}{200}$. Simplifier cette fraction.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{160}{200} = \dfrac{160 \div 40}{200 \div 40}$.[/aide]
[/math]

[solution]
$p(\text{sport ou musique}) = \dfrac{160}{200} = \dfrac{4}{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ne pratique ni sport ni musique. Donner la fraction irréductible : [[pni]]

[math id="pni" attendu="\frac{1}{5}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
L'événement « ni sport ni musique » est le contraire de « sport ou musique ».

$p(\text{ni sport ni musique}) = 1 - p(\text{sport ou musique}) = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}$

On peut vérifier : $\dfrac{40}{200} = \dfrac{1}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\frac{4}{5}"]$\dfrac{4}{5}$ est la probabilité de pratiquer au moins une activité. Pour « ni l'un ni l'autre », il faut retrancher de 1.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]« Ni sport ni musique » est le contraire de « sport ou musique ». Utiliser la formule de l'événement contraire.[/reponse]
[aide essai="2"]$p(\text{ni sport ni musique}) = 1 - p(\text{sport ou musique})$.[/aide]
[aide essai="3"]$1 - \dfrac{4}{5} = \ldots$[/aide]
[/math]

[solution]
$p(\text{ni sport ni musique}) = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}$.
Il y a une chance sur cinq que l'élève choisi ne pratique ni sport ni musique.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Formule d’équiprobabilité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les probabilités et l'équiprobabilité, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Un sac contient 3 billes rouges et 5 billes bleues, indiscernables au toucher. On tire une bille au hasard.

Affirmation : La probabilité de tirer une bille rouge est $\dfrac{3}{5}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le dénominateur de la fraction doit être le nombre total de billes, pas le nombre de billes bleues.
Il y a $3 + 5 = 8$ billes au total et 3 sont rouges, donc $p(\text{rouge}) = \dfrac{3}{8}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au dénominateur : en situation d'équiprobabilité, on divise le nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues possibles.
Il y a $3 + 5 = 8$ billes au total, donc $p(\text{rouge}) = \dfrac{3}{8}$, pas $\dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il y a 8 billes au total (pas 5), donc $p(\text{rouge}) = \dfrac{3}{8}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé non truqué à six faces.

Affirmation : La probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 est $\dfrac{1}{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les nombres supérieurs ou égaux à 5 sur un dé sont 5 et 6, soit 2 issues favorables sur 6 :

$p(\geqslant 5) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut lister les issues favorables : les nombres supérieurs ou égaux à 5 sont 5 et 6, soit 2 issues sur 6.
On obtient bien $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les issues favorables sont 5 et 6, soit $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une roue de loterie est divisée en 10 secteurs identiques numérotés de 1 à 10. On fait tourner la roue.

Affirmation : La probabilité d'obtenir un multiple de 3 est $\dfrac{1}{3}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les multiples de 3 entre 1 et 10 sont : 3, 6 et 9, soit 3 issues favorables sur 10.
La probabilité est $\dfrac{3}{10}$, pas $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « 3 issues favorables » avec « une chance sur 3 ». Le dénominateur est le nombre total de secteurs, qui est 10.
Les multiples de 3 sont 3, 6 et 9, donc $p = \dfrac{3}{10}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il y a 3 multiples de 3 parmi 10 secteurs, donc $p = \dfrac{3}{10} \neq \dfrac{1}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Dans une classe de 30 élèves, il y a 18 filles. On choisit un élève au hasard.

Affirmation : La probabilité de choisir une fille est $\dfrac{3}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Il y a 18 filles parmi 30 élèves :

$p(\text{fille}) = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On est en situation d'équiprobabilité (choix au hasard). Il y a 18 filles parmi 30 élèves, donc $p(\text{fille}) = \dfrac{18}{30}$.
En simplifiant par 6 : $\dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $\dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$ après simplification par 6.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé non truqué à six faces.

Affirmation : Les événements « obtenir un chiffre pair » et « obtenir un multiple de 3 » sont incompatibles.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le chiffre 6 est à la fois pair et multiple de 3 : les deux événements peuvent se réaliser en même temps.
Ils ne sont donc pas incompatibles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Or le chiffre 6 est pair et multiple de 3 : il réalise les deux événements simultanément.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le chiffre 6 est pair et multiple de 3, donc les deux événements ne sont pas incompatibles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.

Affirmation : La probabilité de ne pas tirer une boule blanche est $\dfrac{4}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On utilise l'événement contraire. La probabilité de tirer une boule blanche est $\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$, donc :

$p(\text{pas blanche}) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il y a $2 + 8 = 10$ boules au total. La probabilité de tirer une boule blanche est $\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$.
Par la formule de l'événement contraire : $p(\text{pas blanche}) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $p(\text{blanche}) = \dfrac{1}{5}$, donc $p(\text{pas blanche}) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Formule d’équiprobabilité

[enonce]
Ce QCM porte sur la formule d'équiprobabilité, l'événement contraire et les événements incompatibles. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Une urne contient 3 boules rouges, 5 boules bleues et 4 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ?
[qcm]
[option]$\dfrac{5}{7}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{5}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Il y a $3 + 5 + 4 = 12$ boules au total et 5 sont bleues, donc :

$p(\text{bleue}) = \dfrac{5}{12}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{7}$"]Non.
Le dénominateur de la fraction doit être le nombre total de boules, pas le nombre de boules non bleues. Ici il y a $3 + 5 + 4 = 12$ boules au total.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
Il ne faut pas diviser par le nombre de couleurs. La probabilité se calcule en divisant le nombre de boules bleues par le nombre total de boules.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{12}$"]Non.
Attention, 7 est le nombre de boules qui ne sont pas bleues ($3 + 4 = 7$). Le numérateur doit être le nombre de boules bleues.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On est en situation d'équiprobabilité. Il y a 12 boules au total et 5 sont bleues. Il faut appliquer la formule $p = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On lance un dé non truqué à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{6}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les multiples de 3 parmi $\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$ sont 3 et 6, soit 2 issues favorables sur 6 :

$p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{6}$"]Non.
Le chiffre 3 n'est pas le seul multiple de 3 sur un dé. Un multiple de 3 est un nombre qui apparaît dans la table de 3 : il faut aussi compter 6.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Il faut lister les multiples de 3 parmi $\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$. Un multiple de 3 est un nombre divisible par 3, donc qui figure dans la table de 3.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Attention, $\dfrac{2}{3}$ correspond à la probabilité de l'événement contraire, c'est-à-dire « ne pas obtenir un multiple de 3 ». Ici on cherche la probabilité d'obtenir un multiple de 3.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les multiples de 3 parmi les faces du dé sont 3 et 6, soit 2 issues favorables sur 6 au total.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une roue de loterie est divisée en 8 secteurs identiques numérotés de 1 à 8. On fait tourner la roue. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 5 ?
[qcm]
[option]$\dfrac{5}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{8}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les nombres strictement supérieurs à 5 sont 6, 7 et 8, soit 3 issues favorables sur 8 :

$p = \dfrac{3}{8}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{8}$"]Non.
$\dfrac{5}{8}$ correspond à la probabilité d'obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 (5 issues sur 8). C'est l'événement contraire de celui demandé.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Attention, « strictement supérieur à 5 » signifie « plus grand que 5 », donc le 5 n'est pas inclus. Les issues favorables sont uniquement 6, 7 et 8.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{5}$"]Non.
Le dénominateur doit être le nombre total de secteurs (8), pas la valeur du seuil (5). Il faut appliquer la formule d'équiprobabilité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
« Strictement supérieur à 5 » signifie 6, 7 ou 8, soit 3 issues favorables. Le nombre total de secteurs est 8.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une urne contient 7 boules rouges, 5 boules bleues et 3 boules jaunes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule jaune ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{4}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{15}$[/option]
[option]$\dfrac{13}{15}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'événement contraire de « ne pas tirer une jaune » est « tirer une jaune ». On a $p(\text{jaune}) = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$, donc :

$p(\text{pas jaune}) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{5}$"]Non.
$\dfrac{1}{5}$ est la probabilité de tirer une boule jaune, pas de ne pas en tirer une. Pour obtenir la probabilité de l'événement contraire, il faut retrancher de 1.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{15}$"]Non.
Il ne faut pas compter uniquement les boules rouges. « Ne pas tirer une jaune » signifie tirer une boule rouge ou bleue, soit $7 + 5 = 12$ boules favorables sur 15.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{13}{15}$"]Non.
Attention au dénombrement. Il y a 3 boules jaunes parmi 15, donc 12 boules non jaunes : $\dfrac{12}{15}$. Ce résultat se simplifie, mais ne vaut pas $\dfrac{13}{15}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il y a $7 + 5 + 3 = 15$ boules. L'événement « ne pas tirer une jaune » est le contraire de « tirer une jaune ». On utilise la formule $p(\overline{A}) = 1 - p(A)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un sac contient 12 billes numérotées de 1 à 12. On tire une bille au hasard. On note $A$ l'événement « obtenir un multiple de 4 » et $B$ l'événement « obtenir un multiple de 6 ». Quelle est la probabilité de l'événement « $A$ ou $B$ » ?
[qcm]
[option]$\dfrac{5}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{24}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les multiples de 4 sont $\{4 ; 8 ; 12\}$ et les multiples de 6 sont $\{6 ; 12\}$. Le nombre 12 est commun aux deux : les événements ne sont pas incompatibles.
L'ensemble des issues réalisant « $A$ ou $B$ » est $\{4 ; 6 ; 8 ; 12\}$, soit 4 issues :

$p(A \text{ ou } B) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{12}$"]Non.
Attention, on ne peut pas simplement additionner $p(A) + p(B) = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12}$ car les événements $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles : le nombre 12 est à la fois multiple de 4 et de 6. En additionnant, on le compte deux fois.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
$\dfrac{1}{4}$ est la probabilité de $A$ seul (les multiples de 4). Mais l'événement « $A$ ou $B$ » inclut aussi les multiples de 6 qui ne sont pas multiples de 4.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{24}$"]Non.
Il ne faut pas multiplier les probabilités. La multiplication s'utilise pour des événements successifs (chemins dans un arbre), pas pour « $A$ ou $B$ ». Il faut compter les issues qui réalisent $A$ ou $B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut lister les issues de « $A$ ou $B$ » sans doublon. Les multiples de 4 sont $\{4 ; 8 ; 12\}$ et les multiples de 6 sont $\{6 ; 12\}$, ce qui donne $\{4 ; 6 ; 8 ; 12\}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un dé à six faces a été truqué. Les probabilités de chaque face sont données dans le tableau suivant :

Chiffre	1	2	3	4	5	6
Probabilité	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}5$

Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre pair ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}7$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$0{,}3$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
Les chiffres pairs sont 2, 4 et 6. On additionne leurs probabilités :

$p(\text{pair}) = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}5 = 0{,}7$

[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ est la probabilité d'obtenir le chiffre 6 uniquement. Il y a d'autres chiffres pairs sur le dé : 2 et 4. Il faut additionner les probabilités de tous les chiffres pairs.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}3$"]Non.
$0{,}3$ est la probabilité d'obtenir un chiffre impair ($0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}1$). C'est l'événement contraire de celui demandé.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
On ne peut pas appliquer la formule $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ car le dé est truqué : les faces n'ont pas toutes la même probabilité. Il faut lire les probabilités dans le tableau et les additionner.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le dé étant truqué, il faut additionner les probabilités des faces paires données dans le tableau : $p(2) + p(4) + p(6)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Événements incompatibles et lancer de dé

On lance un dé non truqué à six faces.

On considère les événements suivants :

$A$ : « obtenir un nombre pair »
$B$ : « obtenir un multiple de 3 »
$C$ : « obtenir le nombre 5 »

Lister les issues de chacun des événements $A$, $B$ et $C$.
Les événements $A$ et $C$ sont-ils incompatibles ? Justifier, puis calculer $p(A \text{ ou } C)$.
Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? Justifier.
Calculer $p(A \text{ ou } B)$ en listant toutes les issues favorables.

Corrigé

Les issues de chaque événement sont :
- $A$ (nombre pair) : $\{2 ; 4 ; 6\}$
- $B$ (multiple de 3) : $\{3 ; 6\}$
- $C$ (le nombre 5) : $\{5\}$
Un nombre ne peut pas être à la fois pair et égal à 5 (car 5 est impair). Les événements $A$ et $C$ n'ont aucune issue commune, ils sont donc incompatibles.

On peut alors additionner leurs probabilités :
$ p(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $ et $ p(C) = \dfrac{1}{6} $
$ p(A \text{ ou } C) = p(A) + p(C) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{6} = $$\mathbf{\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}}$
L'issue $6$ est à la fois un nombre pair (événement $A$) et un multiple de 3 (événement $B$). Les événements $A$ et $B$ ont une issue commune, ils ne sont donc pas incompatibles.

On ne peut pas appliquer la formule $p(A \text{ ou } B) = p(A) + p(B)$.
L'événement « $A$ ou $B$ » regroupe toutes les issues qui réalisent au moins l'un des deux événements : $\{2 ; 3 ; 4 ; 6\}$, soit 4 issues sur 6.

$ p(A \text{ ou } B) = \dfrac{4}{6} = $$\mathbf{\dfrac{2}{3}}$

On peut vérifier : $p(A) + p(B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$, ce qui est différent de $\dfrac{2}{3}$. Cela confirme que l'on ne peut pas additionner les probabilités quand les événements ne sont pas incompatibles.

Pour réviser : Déterminer si deux événements sont incompatibles