Équations cartésiennes – Applications directes

1. Une équation cartésienne de la droite passant par $ A\left(x_{A} ; y_{A}\right) $ et de vecteur directeur $ \vec{u}\left(\alpha ; \beta\right) $ est de la forme $ \beta\left(x - x_{A}\right) - \alpha\left(y - y_{A}\right)=0 $.
   Avec $ A\left(3 ; -2\right) $ et $ \vec{u}\left(4 ; 1\right) $, on obtient :
   $ 1\times\left(x - 3\right) - 4\times\left(y - \left(-2\right)\right)=0 $
   $ x - 3 - 4y - 8=0 $
   Une équation cartésienne de $ d_{1} $ est donc :

   $\mathbf{x - 4y - 11=0}$

2. Les points $ B $ et $ C $ appartiennent à $ d_{2} $, donc $ \overrightarrow{BC} $ est un vecteur directeur de $ d_{2} $. Ses coordonnées sont :
   $ \overrightarrow{BC}\left(x_{C} - x_{B} ; y_{C} - y_{B}\right)=\left(4 ; -3\right) $
   On applique la formule précédente avec $ B\left(-1 ; 5\right) $ et $ \overrightarrow{BC}\left(4 ; -3\right) $ :
   $ -3\times\left(x - \left(-1\right)\right) - 4\times\left(y - 5\right)=0 $
   $ -3x - 3 - 4y+20=0 $
   $ -3x - 4y+17=0 $
   Soit, en multipliant par $ -1 $ :

   $\mathbf{3x+4y - 17=0}$

3. Un vecteur directeur de la droite $ \Delta $ d'équation $ 2x - 3y+7=0 $ est $ \vec{v}\left(-b ; a\right)=\left(3 ; 2\right) $.
   Comme $ d_{3} $ est parallèle à $ \Delta $, ces deux droites ont les mêmes vecteurs directeurs. Le vecteur $ \vec{v}\left(3 ; 2\right) $ est donc aussi un vecteur directeur de $ d_{3} $.
   On applique la formule avec $ D\left(-2 ; 4\right) $ et $ \vec{v}\left(3 ; 2\right) $ :
   $ 2\times\left(x - \left(-2\right)\right) - 3\times\left(y - 4\right)=0 $
   $ 2x+4 - 3y+12=0 $
   Une équation cartésienne de $ d_{3} $ est donc :

   $\mathbf{2x - 3y+16=0}$

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne d'une droite passant par deux points