Équation cartésienne d’une médiane et test d’alignement

[enonce]
Dans un repère orthonormé, on considère le triangle $ABC$ avec $A(-1\,;\,2)$, $B(3\,;\,4)$ et $C(5\,;\,-2)$. On note $M$ le milieu du segment $[BC]$ et $D$ le point de coordonnées $(7\,;\,3)$.

Triangle ABC avec la médiane issue de A et le point D

On souhaite déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de $A$, puis tester si le point $D$ appartient à cette médiane.
[/enonce]

[etape]
Calculer les coordonnées du point $M$, milieu de $[BC]$.
$x_M = $ [[xm]] et $y_M = $ [[ym]]
[math id="xm" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$x_M = \dfrac{x_B + x_C}{2} = \dfrac{3 + 5}{2} = 4$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Attention : pour le milieu, on calcule la demi-somme des abscisses, pas la demi-différence.[/reponse]
[reponse motif="8"]Il ne faut pas oublier de diviser la somme par $2$.[/reponse]
[reponse motif="2"]Vérifier la formule : l'abscisse du milieu est la moyenne des abscisses des deux extrémités.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'abscisse du milieu de $[BC]$ est la moyenne des abscisses de $B$ et de $C$.[/reponse]
[aide essai="2"]$x_M = \dfrac{x_B + x_C}{2}$ avec $x_B = 3$ et $x_C = 5$.[/aide]
[aide essai="3"]$x_M = \dfrac{3 + 5}{2} = \dfrac{8}{2}$.[/aide]
[/math]
[math id="ym" attendu="1"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$y_M = \dfrac{y_B + y_C}{2} = \dfrac{4 + (-2)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Attention au signe de $y_C = -2$ : on ne l'ajoute pas comme s'il était positif.[/reponse]
[reponse motif="6"]Attention au signe de $y_C$ et au fait que l'on divise par $2$.[/reponse]
[reponse motif="2"]Revoir la somme : $4 + (-2) = 2$, qu'il faut ensuite diviser par $2$.[/reponse]
[reponse motif="-1"]Attention au signe : $4 + (-2) = 2$, pas $-2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'ordonnée du milieu de $[BC]$ est la moyenne des ordonnées de $B$ et de $C$.[/reponse]
[aide essai="2"]$y_M = \dfrac{y_B + y_C}{2}$ avec $y_B = 4$ et $y_C = -2$.[/aide]
[aide essai="3"]$y_M = \dfrac{4 + (-2)}{2} = \dfrac{2}{2}$.[/aide]
[/math]
[solution]$M$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{3+5}{2}\,;\,\dfrac{4+(-2)}{2}\right) = (4\,;\,1)$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$.
$\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $($ [[xam]] $\,;\,$ [[yam]] $)$
[math id="xam" attendu="5"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$x_{\overrightarrow{AM}} = x_M - x_A = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Attention au signe : $4 - (-1)$ n'est pas $4 - 1$.[/reponse]
[reponse motif="-5"]On calcule $x_M - x_A$ (extrémité moins origine), pas l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="-3"]Deux erreurs : sens du vecteur et signe de $x_A$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Pour les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AM}$, on calcule (coordonnées de $M$) moins (coordonnées de $A$).[/reponse]
[aide essai="2"]$x_{\overrightarrow{AM}} = x_M - x_A$, avec $x_M = 4$ et $x_A = -1$.[/aide]
[aide essai="3"]$x_{\overrightarrow{AM}} = 4 - (-1) = 4 + 1$.[/aide]
[/math]
[math id="yam" attendu="-1"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$y_{\overrightarrow{AM}} = y_M - y_A = 1 - 2 = -1$.[/reponse]
[reponse motif="1"]Attention au signe : $1 - 2 = -1$, pas $1$.[/reponse]
[reponse motif="3"]Il ne faut pas ajouter les deux ordonnées, mais soustraire.[/reponse]
[reponse motif="-3"]Vérifier la soustraction : $1 - 2$ donne un nombre négatif, mais lequel ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les coordonnées d'un vecteur s'obtiennent en soustrayant les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité.[/reponse]
[aide essai="2"]$y_{\overrightarrow{AM}} = y_M - y_A$, avec $y_M = 1$ et $y_A = 2$.[/aide]
[aide essai="3"]$y_{\overrightarrow{AM}} = 1 - 2$.[/aide]
[/math]
[solution]$\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x_M - x_A \\ y_M - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-(-1) \\ 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On cherche une équation cartésienne de $(AM)$ sous la forme $x + by + c = 0$ (avec $a = 1$ imposé). Donner les valeurs de $b$ et $c$.
$b = $ [] et $c = $ [[c]]
[math id="b" attendu="5"]
[reponse statut="correct"][b]Correct !
Pour une équation $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $(-b\,;\,a)$. Avec $a = 1$, ce vecteur est $(-b\,;\,1)$, et il doit être colinéaire à $\overrightarrow{AM}(5\,;\,-1)$. La colinéarité donne $(-b) \times (-1) - 1 \times 5 = 0$, soit $b - 5 = 0$, d'où $b = 5$.[/reponse]
[reponse motif="-5"]Attention au signe. La colinéarité entre $(-b\,;\,1)$ et $\overrightarrow{AM}(5\,;\,-1)$ s'écrit $(-b)(-1) - (1)(5) = 0$, soit $b - 5 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="1"]$1$ est la valeur de $a$, pas de $b$.[/reponse]
[reponse motif="-1"]Ne pas confondre $b$ avec une coordonnée du vecteur directeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser la relation entre un vecteur directeur et les coefficients d'une équation cartésienne.[/reponse]
[aide essai="2"]Pour $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $(-b\,;\,a)$. Avec $a = 1$, ce vecteur est $(-b\,;\,1)$. Il est colinéaire à $\overrightarrow{AM}(5\,;\,-1)$.[/aide]
[aide essai="3"]La colinéarité de $(-b\,;\,1)$ et $(5\,;\,-1)$ donne $(-b) \times (-1) - 1 \times 5 = 0$.[/aide]
[/math]
[math id="c" attendu="-9"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le point $A(-1\,;\,2)$ appartient à $(AM)$ donc $-1 + 5 \times 2 + c = 0$, d'où $9 + c = 0$ et $c = -9$.[/reponse]
[reponse motif="9"]Attention au signe : $-1 + 10 + c = 0$ donne $c = -9$, pas $+9$.[/reponse]
[reponse motif="0"]La droite ne passe pas par l'origine, donc $c \neq 0$. Substituer les coordonnées de $A$ dans l'équation.[/reponse]
[reponse motif="11"]Attention au signe de $x_A = -1$ dans la substitution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Substituer les coordonnées de $A$ (ou de $M$) dans l'équation $x + 5y + c = 0$ et résoudre.[/reponse]
[aide essai="2"]Comme $A(-1\,;\,2)$ est sur la droite, ses coordonnées vérifient $x + 5y + c = 0$.[/aide]
[aide essai="3"]$-1 + 5 \times 2 + c = 0$ donne $9 + c = 0$.[/aide]
[/math]
[solution]Avec $a = 1$ et un vecteur directeur $(-5\,;\,1)$ (colinéaire à $\overrightarrow{AM}$), on a $b = 5$. L'équation est $x + 5y + c = 0$. Comme $A(-1\,;\,2)$ est sur la droite : $-1 + 10 + c = 0$, donc $c = -9$. Une équation cartésienne est $x + 5y - 9 = 0$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour tester si $D(7\,;\,3)$ appartient à $(AM)$, calculer la valeur de $x_D + 5y_D - 9$.
$x_D + 5y_D - 9 = $ [[test]]
[math id="test" attendu="13"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$x_D + 5y_D - 9 = 7 + 5 \times 3 - 9 = 7 + 15 - 9 = 13$.[/reponse]
[reponse motif="0"]Refaire le calcul : $7 + 15 - 9$ n'est pas nul.[/reponse]
[reponse motif="22"]Ne pas oublier de retrancher $9$ à la fin.[/reponse]
[reponse motif="-13"]Attention à l'ordre des opérations et aux signes.[/reponse]
[reponse motif="-5"]Vérifier le calcul de $5 \times 3$ : le produit vaut $15$, pas $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Remplacer $x$ par $7$ et $y$ par $3$ dans l'expression $x + 5y - 9$.[/reponse]
[aide essai="2"]Calculer $7 + 5 \times 3 - 9$ en respectant l'ordre des opérations (multiplication avant addition).[/aide]
[aide essai="3"]$7 + 15 - 9 = 22 - 9$. Terminer le calcul.[/aide]
[/math]
[solution]$x_D + 5y_D - 9 = 7 + 5 \times 3 - 9 = 7 + 15 - 9 = 13$.[/solution]
[/etape]

[etape]
D'après le résultat obtenu, les points $A$, $M$ et $D$ sont-ils alignés ?
[qcm]
[option]Oui, car $D$ a des coordonnées entières[/option]
[option]Oui, car le résultat est positif[/option]
[option correct="true"]Non, car le résultat obtenu n'est pas nul[/option]
[option]Impossible de conclure sans tracer la droite[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Un point appartient à la droite $(AM)$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation $x + 5y - 9 = 0$. Ici $x_D + 5y_D - 9 = 13 \neq 0$, donc $D$ n'est pas sur $(AM)$ : $A$, $M$ et $D$ ne sont pas alignés.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car $D$ a des coordonnées entières"]Avoir des coordonnées entières n'a aucun rapport avec l'appartenance à la droite.[/reponse]
[reponse motif="Oui, car le résultat est positif"]Le signe du résultat n'intervient pas : seule importe la valeur zéro.[/reponse]
[reponse motif="Impossible de conclure sans tracer la droite"]Le critère algébrique suffit pour conclure : un point $P(x\,;\,y)$ est sur la droite d'équation $x + 5y - 9 = 0$ si et seulement si la substitution donne $0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM Bilan : Équations de droites

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : positions relatives de deux droites, intersection, alignement et équation cartésienne. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]

Deux droites parallèles tracées dans un repère

La droite $d_1$ passe par $(0~;~1)$ et $(3~;~3)$. La droite $d_2$ passe par $(-2~;~-1)$ et $(1~;~1)$. Quelle est la position relative de $d_1$ et $d_2$ ?
[qcm]
[option correct="true"]Parallèles non confondues[/option]
[option]Sécantes[/option]
[option]Confondues[/option]
[option]Perpendiculaires[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Coefficient directeur de $d_1$ : $\dfrac{3 - 1}{3 - 0} = \dfrac{2}{3}$.
Coefficient directeur de $d_2$ : $\dfrac{1 - (-1)}{1 - (-2)} = \dfrac{2}{3}$.
Les coefficients directeurs sont égaux, donc les droites sont parallèles.
Ord. à l'origine : $p_1 = 1$ et $p_2 = \dfrac{1}{3}$ (en remplaçant un point dans $y = \dfrac{2}{3}x + p$). Comme $p_1 \neq p_2$, les droites ne sont pas confondues.[/reponse]
[reponse motif="Sécantes"]Non.
Deux droites sont sécantes lorsque leurs coefficients directeurs sont différents. Calculer les coefficients directeurs de $d_1$ et $d_2$ pour comparer.[/reponse]
[reponse motif="Confondues"]Non.
Les coefficients directeurs sont effectivement égaux, mais il faut aussi vérifier que les ordonnées à l'origine sont identiques. Visuellement, les deux droites n'ont pas la même intersection avec l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="Perpendiculaires"]Non.
Les deux droites tracées ne se coupent pas à angle droit ; elles sont visuellement parallèles. Vérifier en calculant les coefficients directeurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les coefficients directeurs des deux droites. S'ils sont égaux, vérifier ensuite si les ordonnées à l'origine coïncident.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère les droites $d_1$ d'équation $y = 2x + 1$ et $d_2$ d'équation $y = -x + 4$. Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?
[qcm]
[option]$(3~;~1)$[/option]
[option correct="true"]$(1~;~3)$[/option]
[option]$(-1~;~-1)$[/option]
[option]$(1~;~-3)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Au point d'intersection, $2x + 1 = -x + 4$, donc $3x = 3$ et $x = 1$.
On reporte dans une équation : $y = 2 \times 1 + 1 = 3$.
Le point d'intersection est $(1~;~3)$.[/reponse]
[reponse motif="$(3~;~1)$"]Non.
L'abscisse et l'ordonnée du point d'intersection ont été échangées. L'abscisse $x$ se trouve d'abord en résolvant l'équation, puis $y$ se déduit en remplaçant $x$ dans une des équations.[/reponse]
[reponse motif="$(-1~;~-1)$"]Non.
Erreur dans la résolution de $2x + 1 = -x + 4$. En faisant passer le terme en $x$ d'un côté : $2x + x = 4 - 1$, donc $3x = 3$ et $x = 1$ (positif).[/reponse]
[reponse motif="$(1~;~-3)$"]Non.
L'abscisse $x = 1$ est correcte, mais le calcul de $y$ a un mauvais signe. Reprendre $y = 2 \times 1 + 1 = 3$ (et non $-3$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Égaler les expressions de $y$ : $2x + 1 = -x + 4$. Résoudre pour trouver $x$, puis remplacer dans une équation pour trouver $y$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

Trois points A(1;1), B(3;4) et C(5;7) dans un repère

On considère les points $A(1~;~1)$, $B(3~;~4)$ et $C(5~;~7)$. Que peut-on dire de ces trois points ?
[qcm]
[option correct="true"]Ils sont alignés[/option]
[option]Ils ne sont pas alignés[/option]
[option]Ils forment un triangle équilatéral[/option]
[option]Ils sont confondus[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$.
$\det(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}) = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$.
Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires : les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.[/reponse]
[reponse motif="Ils ne sont pas alignés"]Non.
Calculer le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : s'il est nul, les vecteurs sont colinéaires et les points sont alignés.[/reponse]
[reponse motif="Ils forment un triangle équilatéral"]Non.
Pour former un triangle, les trois points doivent d'abord ne pas être alignés. Calculer le déterminant de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ pour vérifier l'alignement.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont confondus"]Non.
Trois points sont confondus si leurs coordonnées sont identiques, ce n'est pas le cas ici. Examiner plutôt si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis le déterminant $\det(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}) = x_{AB} \times y_{AC} - y_{AB} \times x_{AC}$ : nul signifie alignés.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une équation cartésienne de la droite passant par $A(2~;~1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ ?
[qcm]
[option]$x - 3y - 5 = 0$[/option]
[option correct="true"]$3x - y - 5 = 0$[/option]
[option]$3x + y - 5 = 0$[/option]
[option]$x + 3y - 5 = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour tout point $M(x~;~y)$ de la droite, $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ sont colinéaires :
$\det(\overrightarrow{AM}~;~\vec{u}) = (x-2) \times 3 - (y-1) \times 1 = 0$
$3x - 6 - y + 1 = 0$
$3x - y - 5 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$x - 3y - 5 = 0$"]Non.
Les coefficients devant $x$ et $y$ ont été permutés. Reprendre le développement du déterminant en faisant attention à l'ordre des produits.[/reponse]
[reponse motif="$3x + y - 5 = 0$"]Non.
Erreur de signe sur le terme en $y$. Le déterminant donne $3(x-2) - 1 \times (y-1)$, et le signe « moins » devant le second terme se distribue : $-(y-1) = -y + 1$.[/reponse]
[reponse motif="$x + 3y - 5 = 0$"]Non.
Les coordonnées du vecteur directeur ont été utilisées comme coefficients $a$ et $b$ directement, sans appliquer la formule du déterminant. Reprendre $\det(\overrightarrow{AM}~;~\vec{u}) = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, donc $\det(\overrightarrow{AM}~;~\vec{u}) = 0$, puis développer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère les droites $d : 2x - 3y + 1 = 0$ et $d' : kx + 6y - 5 = 0$, où $k$ est un nombre réel. Pour quelle valeur de $k$ les droites $d$ et $d'$ sont-elles parallèles ?
[qcm]
[option]$k = 4$[/option]
[option]$k = -9$[/option]
[option correct="true"]$k = -4$[/option]
[option]$k = 12$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $d'$ est $\vec{u'}\begin{pmatrix} -6 \\ k \end{pmatrix}$.
Les droites sont parallèles si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{u'}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si $\det(\vec{u}~;~\vec{u'}) = 0$ :
$3 \times k - 2 \times (-6) = 0$
$3k + 12 = 0$
$k = -4$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 4$"]Non.
La valeur absolue est correcte, mais le signe est faux. Reprendre l'équation $3k + 12 = 0$ : on isole $3k = -12$, donc $k$ est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$k = -9$"]Non.
La relation de colinéarité a été mal posée. Pour deux vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ et $\vec{u'}\begin{pmatrix} a' \\ b' \end{pmatrix}$ colinéaires, c'est $a \times b' - b \times a' = 0$ (et non $a \times a' - b \times b'$).[/reponse]
[reponse motif="$k = 12$"]Non.
Erreur de signe lors du calcul du déterminant : $-2 \times (-6) = +12$. L'équation correcte est $3k + 12 = 0$, et non $3k - 12 = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver un vecteur directeur de chaque droite (formule $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$), puis exprimer la condition de colinéarité avec un déterminant nul.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

Quelle est une équation cartésienne de la droite tracée ?
[qcm]
[option]$3x + 2y - 6 = 0$[/option]
[option correct="true"]$3x - 2y + 6 = 0$[/option]
[option]$2x - 3y + 6 = 0$[/option]
[option]$3x - 2y - 6 = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La droite passe par $(-2~;~0)$ et $(0~;~3)$, donc $m = \dfrac{3 - 0}{0 - (-2)} = \dfrac{3}{2}$ et $p = 3$.
Équation réduite : $y = \dfrac{3}{2}x + 3$.
En multipliant par $2$ : $2y = 3x + 6$, soit $3x - 2y + 6 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$3x + 2y - 6 = 0$"]Non.
Tester un point : avec $(0~;~3)$, on obtient $0 + 6 - 6 = 0$, ce qui marche. Mais avec $(-2~;~0)$ : $-6 + 0 - 6 = -12 \neq 0$. L'équation est donc fausse. Reprendre la conversion de la forme réduite vers la forme cartésienne.[/reponse]
[reponse motif="$2x - 3y + 6 = 0$"]Non.
Les coefficients devant $x$ et $y$ ont été permutés. À partir de $y = \dfrac{3}{2}x + 3$, multiplier par $2$ donne $2y = 3x + 6$, donc le coefficient devant $x$ est $3$.[/reponse]
[reponse motif="$3x - 2y - 6 = 0$"]Non.
Le signe du terme constant est faux. Tester $(0~;~3)$ : $0 - 6 - 6 = -12 \neq 0$. À partir de $2y = 3x + 6$, on obtient $3x - 2y + 6 = 0$ (le $+6$ change de signe en passant à gauche : $-2y + 6 = -3x$, soit $3x - 2y + 6 = 0$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver d'abord l'équation réduite à partir des deux points lus sur la droite, puis la transformer en équation cartésienne en chassant le dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Équation cartésienne et vecteur directeur

[enonce]
Ce QCM porte sur l'équation cartésienne d'une droite, son vecteur directeur et le passage entre formes cartésienne et réduite. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne $3x - 5y + 7 = 0$ ?
[qcm]
[option]$\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\vec{u}\begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$.
Ici $a = 3$ et $b = -5$, donc $\vec{u}\begin{pmatrix} -(-5) \\ 3 \end{pmatrix} = \vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$"]Non.
Les coefficients $a$ et $b$ ne sont pas directement les coordonnées d'un vecteur directeur. Il faut appliquer la formule $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$, en pensant à permuter et à changer le signe.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}\begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix}$"]Non.
La permutation est correcte, mais le signe du premier terme est faux. Avec $b = -5$, on doit avoir $-b = -(-5) = +5$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$"]Non.
La formule prévoit une permutation des coefficients $a$ et $b$ entre les deux coordonnées, ce n'a pas été fait ici. Reprendre $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier les coefficients $a$ et $b$ de l'équation $ax + by + c = 0$, puis appliquer la formule $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ en faisant attention au signe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

La droite tracée passe par les points $(1~;~1)$ et $(3~;~4)$. Quel est son coefficient directeur ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option]$-\dfrac{3}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Entre $(1~;~1)$ et $(3~;~4)$, $y$ augmente de $3$ quand $x$ augmente de $2$.
$m = \dfrac{4 - 1}{3 - 1} = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Non.
Le numérateur et le dénominateur ont été inversés. La formule est $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ et non $\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{3}{2}$"]Non.
La droite monte de gauche à droite : son coefficient directeur est positif.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
La variation de $y$ a été mal calculée. Vérifier : $4 - 1 = 3$ (et non $1$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ avec les deux points donnés.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une équation cartésienne de la droite passant par $A(1~;~2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ ?
[qcm]
[option]$3x - y - 1 = 0$[/option]
[option correct="true"]$x + 3y - 7 = 0$[/option]
[option]$x + 3y + 7 = 0$[/option]
[option]$-x + 3y - 5 = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour tout point $M(x~;~y)$ de la droite, $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 2 \end{pmatrix}$ est colinéaire à $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$, donc :
$\det(\overrightarrow{AM}~;~\vec{u}) = (x-1)(-1) - (y-2)(3) = 0$
$-x + 1 - 3y + 6 = 0$
$-x - 3y + 7 = 0$
En multipliant par $-1$ : $x + 3y - 7 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$3x - y - 1 = 0$"]Non.
Les coordonnées du vecteur directeur ne sont pas directement les coefficients $a$ et $b$ de l'équation. La formule passe par le déterminant $\det(\overrightarrow{AM}~;~\vec{u}) = 0$, qui permute les coordonnées.[/reponse]
[reponse motif="$x + 3y + 7 = 0$"]Non.
Le signe du terme constant est faux. Vérifier que $A(1~;~2)$ vérifie bien l'équation proposée : on doit obtenir $0$ en remplaçant $x$ et $y$.[/reponse]
[reponse motif="$-x + 3y - 5 = 0$"]Non.
Erreur de signe lors du développement du déterminant. Reprendre $(x-1)(-1) - (y-2)(3) = -x + 1 - 3y + 6$ en faisant attention à chaque produit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, donc $\det(\overrightarrow{AM}~;~\vec{u}) = 0$, puis développer en faisant attention aux signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est l'équation réduite de la droite d'équation cartésienne $4x - 2y + 6 = 0$ ?
[qcm]
[option]$y = -2x + 3$[/option]
[option]$y = 2x - 3$[/option]
[option correct="true"]$y = 2x + 3$[/option]
[option]$y = \dfrac{1}{2}x + 3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On isole $y$ : $4x - 2y + 6 = 0$ donne $2y = 4x + 6$, donc $y = 2x + 3$.[/reponse]
[reponse motif="$y = -2x + 3$"]Non.
Erreur de signe lors du passage à $y$. À partir de $4x - 2y + 6 = 0$, on obtient $-2y = -4x - 6$, puis en divisant par $-2$ : $y = 2x + 3$.[/reponse]
[reponse motif="$y = 2x - 3$"]Non.
Erreur de signe sur le terme constant. Reprendre : $4x + 6 = 2y$, donc $y = 2x + 3$ (pas $-3$).[/reponse]
[reponse motif="$y = \dfrac{1}{2}x + 3$"]Non.
Le coefficient devant $x$ a été mal calculé. Diviser $4x$ par $2$ donne $2x$, pas $\dfrac{x}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour passer de la forme cartésienne à la forme réduite, isoler $y$ en faisant passer les autres termes de l'autre côté du signe « égal », puis diviser par le coefficient devant $y$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]

Quelle est une équation cartésienne de la droite tracée ?
[qcm]
[option correct="true"]$3x + 2y - 6 = 0$[/option]
[option]$3x - 2y + 6 = 0$[/option]
[option]$2x + 3y - 6 = 0$[/option]
[option]$3x + 2y + 6 = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La droite passe par $(0~;~3)$ et $(2~;~0)$, donc $m = \dfrac{0 - 3}{2 - 0} = -\dfrac{3}{2}$ et $p = 3$.
Équation réduite : $y = -\dfrac{3}{2}x + 3$.
En multipliant par $2$ : $2y = -3x + 6$, soit $3x + 2y - 6 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$3x - 2y + 6 = 0$"]Non.
Vérifier que $(0~;~3)$ appartient à l'équation proposée : en remplaçant $x = 0$ et $y = 3$, on obtient $0 - 6 + 6 = 0$, ce qui marche. Mais tester aussi $(2~;~0)$ : $6 - 0 + 6 = 12 \neq 0$. L'équation est donc fausse.[/reponse]
[reponse motif="$2x + 3y - 6 = 0$"]Non.
Les coefficients devant $x$ et $y$ sont inversés. Reprendre la conversion de la forme réduite $y = -\dfrac{3}{2}x + 3$ vers la forme cartésienne en multipliant par le bon dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$3x + 2y + 6 = 0$"]Non.
Le signe du terme constant est faux. Vérifier en testant un point connu : avec $(0~;~3)$, on obtient $0 + 6 + 6 = 12 \neq 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une méthode : trouver d'abord l'équation réduite à partir des deux points, puis la transformer en équation cartésienne en multipliant pour éliminer le dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit la droite $d$ d'équation $y = -2x + 5$. Quel est un vecteur directeur de $d$ ?
[qcm]
[option]$\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\vec{u}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Pour une droite d'équation réduite $y = mx + p$, un vecteur directeur est $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$.
Ici $m = -2$, donc $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ convient.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$"]Non.
Le signe du coefficient directeur a été oublié. Pour $y = mx + p$, la deuxième coordonnée du vecteur directeur est $m$, ici $-2$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Les coordonnées sont inversées. Pour $y = mx + p$, la première coordonnée est $1$ et la seconde est $m$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Les coordonnées sont inversées et le signe est faux. Pour $y = mx + p$, le vecteur directeur est $\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une droite d'équation réduite $y = mx + p$, un vecteur directeur a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Alignement et équations de droites

[enonce]
On considère les points $A(-1\,;\,1)$, $B(2\,;\,3)$, $C(5\,;\,5)$ et $E(2\,;\,0)$ placés dans le repère orthonormé ci-dessous. Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.

Points A(-1;1), B(2;3), C(5;5), E(2;0) dans un repère

[/enonce]

[etape]
Affirmation : Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule $\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ et $\overrightarrow{AC}(6\,;\,4)$. Le déterminant vaut $3 \times 4 - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0$ : les vecteurs sont colinéaires, donc les trois points sont alignés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires (déterminant nul).
$\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$, $\overrightarrow{AC}(6\,;\,4)$ et $\det(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC}) = 3 \times 4 - 2 \times 6 = 0$ : $A$, $B$, $C$ sont alignés.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le déterminant de $\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ et $\overrightarrow{AC}(6\,;\,4)$ vaut $0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les points $A$, $B$ et $E$ sont alignés.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
$\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ et $\overrightarrow{AE}(3\,;\,-1)$. Le déterminant vaut $3 \times (-1) - 2 \times 3 = -3 - 6 = -9 \neq 0$. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points ne sont pas alignés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'alignement se vérifie par le calcul du déterminant, pas par l'impression visuelle.
$\overrightarrow{AE}(3\,;\,-1)$ tandis que $\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ : $\det = 3 \times (-1) - 2 \times 3 = -9 \neq 0$. Le point $E$ n'est pas sur la droite $(AB)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le déterminant de $\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ et $\overrightarrow{AE}(3\,;\,-1)$ vaut $-9$, non nul.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $2x - 3y + 5 = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On vérifie avec les deux points. Pour $A(-1\,;\,1)$ : $2 \times (-1) - 3 \times 1 + 5 = -2 - 3 + 5 = 0$. Pour $B(2\,;\,3)$ : $2 \times 2 - 3 \times 3 + 5 = 4 - 9 + 5 = 0$. L'équation convient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour vérifier une équation cartésienne, on teste les coordonnées des deux points de la droite.
Avec $A(-1\,;\,1)$ : $-2 - 3 + 5 = 0$. Avec $B(2\,;\,3)$ : $4 - 9 + 5 = 0$. Les deux points vérifient l'équation.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les points $A(-1\,;\,1)$ et $B(2\,;\,3)$ vérifient $2x - 3y + 5 = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\vec{u}\,(-3\,;\,2)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ est un vecteur directeur de $(AB)$. Pour que $\vec{u}(-3\,;\,2)$ en soit aussi un, il faudrait qu'il soit colinéaire à $\overrightarrow{AB}$. Or $\det(\vec{u}\,;\,\overrightarrow{AB}) = -3 \times 2 - 2 \times 3 = -12 \neq 0$ : pas colinéaires.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de croire qu'on peut changer un seul signe dans un vecteur directeur : il faut que les deux composantes changent de signe simultanément pour obtenir un vecteur colinéaire.
$(-3\,;\,2)$ et $(3\,;\,2)$ ont un déterminant de $-12 \neq 0$, donc ne sont pas colinéaires. Un vecteur opposé acceptable serait $(-3\,;\,-2)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $(-3\,;\,2)$ n'est pas colinéaire à $\overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$ (déterminant $-12$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La droite $(BE)$ a pour équation $y = 2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$B(2\,;\,3)$ et $E(2\,;\,0)$ ont la même abscisse $x = 2$. La droite $(BE)$ est donc verticale, d'équation $x = 2$. L'équation $y = 2$ représente au contraire une droite horizontale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre $x = 2$ (droite verticale) et $y = 2$ (droite horizontale). Quand deux points ont la même abscisse, la droite est verticale.
$B$ et $E$ ont même abscisse $2$ : la droite $(BE)$ est verticale, son équation est $x = 2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $B$ et $E$ ont même abscisse, donc $(BE)$ a pour équation $x = 2$, pas $y = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La droite $(AC)$ admet comme équation réduite $y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{3}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Puisque $A$, $B$, $C$ sont alignés, $(AC) = (AB)$. Le coefficient directeur est $m = \dfrac{5 - 1}{5 - (-1)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. Avec $A(-1\,;\,1)$ : $1 = \dfrac{2}{3} \times (-1) + p$, d'où $p = 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Comme $A$, $B$, $C$ sont alignés, $(AC)$ et $(AB)$ sont la même droite. Il reste à calculer coefficient directeur et ordonnée à l'origine.
$m = \dfrac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ ; avec $A(-1\,;\,1)$ on obtient $p = \dfrac{5}{3}$. Donc $y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $(AC) = (AB)$ car $A$, $B$, $C$ sont alignés, et $y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{3}$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Équation cartésienne et vecteur directeur

[enonce]
On considère la droite $d$ tracée ci-dessous dans un repère orthonormé. Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.

Droite d passant par (-3;0), (0;2) et (3;4)

[/enonce]

[etape]
Affirmation : Une équation cartésienne de la droite $d$ est $2x - 3y + 6 = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On vérifie avec deux points : pour $(0\,;\,2)$, $2 \times 0 - 3 \times 2 + 6 = -6 + 6 = 0$. Pour $(3\,;\,4)$, $2 \times 3 - 3 \times 4 + 6 = 6 - 12 + 6 = 0$. Les deux points vérifient l'équation, donc elle convient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : pour vérifier qu'une équation cartésienne convient, on teste les coordonnées de deux points de la droite.
Avec $(0\,;\,2)$ : $2 \times 0 - 3 \times 2 + 6 = 0$. Avec $(3\,;\,4)$ : $2 \times 3 - 3 \times 4 + 6 = 0$. L'équation est bien une équation cartésienne de $d$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les points $(0\,;\,2)$ et $(3\,;\,4)$ vérifient $2x - 3y + 6 = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}\,(2\,;\,-3)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $(-b\,;\,a)$ et non $(a\,;\,b)$. Ici $a = 2$ et $b = -3$, donc un vecteur directeur est $(3\,;\,2)$, pas $(2\,;\,-3)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique est de prendre $(a\,;\,b)$ comme vecteur directeur. En réalité, pour $ax + by + c = 0$, la formule correcte est $\vec{u}(-b\,;\,a)$.
Avec $a = 2$ et $b = -3$ : $\vec{u}(3\,;\,2)$, ce qui correspond à un déplacement de $3$ vers la droite et $2$ vers le haut, cohérent avec le tracé.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Un vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;\,a) = (3\,;\,2)$, pas $(2\,;\,-3)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à $-\dfrac{2}{3}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
La droite $d$ monte de gauche à droite : son coefficient directeur est positif. Entre $(0\,;\,2)$ et $(3\,;\,4)$, on monte de $2$ pour $3$ vers la droite, donc $m = \dfrac{2}{3}$, pas $-\dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au signe : une droite qui monte a un coefficient directeur positif.
Entre les points $(0\,;\,2)$ et $(3\,;\,4)$, $m = \dfrac{4 - 2}{3 - 0} = \dfrac{2}{3}$. Le signe négatif vient probablement d'une erreur de calcul sur $-\dfrac{a}{b} = -\dfrac{2}{-3} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La droite monte, donc $m = \dfrac{2}{3}$, pas $-\dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La droite $d$ passe par le point $A(-3\,;\,0)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On remplace dans $2x - 3y + 6 = 0$ : $2 \times (-3) - 3 \times 0 + 6 = -6 + 6 = 0$. Le point $A$ vérifie l'équation, il est donc sur $d$ (ce qui se voit aussi sur le graphique).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Un point appartient à une droite si ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne.
$2 \times (-3) - 3 \times 0 + 6 = -6 + 0 + 6 = 0$ : les coordonnées vérifient bien l'équation, et le point est visible sur le graphique à l'intersection avec l'axe $(Ox)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En remplaçant dans $2x - 3y + 6 = 0$ : $-6 + 0 + 6 = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La droite $d$ est parallèle à la droite d'équation $4x - 6y - 1 = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
En divisant $4x - 6y - 1 = 0$ par $2$, on obtient $2x - 3y - \dfrac{1}{2} = 0$. Les coefficients de $x$ et $y$ sont proportionnels à ceux de $d$, donc les vecteurs directeurs sont colinéaires : les droites sont parallèles. La constante différente ($6$ et $-\dfrac{1}{2}$) assure qu'elles ne sont pas confondues.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : deux droites $ax + by + c = 0$ et $a^{\prime}x + b^{\prime}y + c^{\prime} = 0$ sont parallèles si les couples $(a\,;\,b)$ et $(a^{\prime}\,;\,b^{\prime})$ sont proportionnels.
Ici $(4\,;\,-6) = 2 \times (2\,;\,-3)$ : les coefficients sont proportionnels, donc les droites sont parallèles.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $(4\,;\,-6) = 2 \times (2\,;\,-3)$ : les vecteurs directeurs sont colinéaires.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La droite $d$ est parallèle à la droite d'équation $3x + 2y - 5 = 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Un vecteur directeur de la droite $3x + 2y - 5 = 0$ est $(-2\,;\,3)$. Pour $d$, c'est $(3\,;\,2)$. On calcule le déterminant : $3 \times 3 - 2 \times (-2) = 9 + 4 = 13 \neq 0$. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, les droites ne sont pas parallèles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre la ressemblance apparente des coefficients $(2\,;\,-3)$ et $(3\,;\,2)$ avec la proportionnalité.
Les vecteurs directeurs sont $(3\,;\,2)$ et $(-2\,;\,3)$ ; leur déterminant vaut $3 \times 3 - 2 \times (-2) = 13 \neq 0$ : ils ne sont pas colinéaires, donc les droites sont sécantes.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Les vecteurs directeurs $(3\,;\,2)$ et $(-2\,;\,3)$ ont pour déterminant $13 \neq 0$.
[/solution]
[/etape]

Équation de droite et alignement de trois points

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(-3~;~1) $, $ B(3~;~5) $, $ C(12~;~11) $ et $ D(6~;~8) $.

Déterminer l'équation réduite de la droite $ (AB) $.
Le point $ C $ appartient-il à la droite $ (AB) $ ? En déduire que les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés.
Vérifier ce résultat à l'aide du déterminant des vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $.
Le point $ D $ est-il aligné avec $ A $ et $ B $ ? Justifier.
Déterminer une équation cartésienne de la droite $ (AB) $.

Corrigé

Le coefficient directeur de la droite $ (AB) $ est :
$ m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{5 - 1}{3 - (-3)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} $

L'équation réduite est de la forme $ y = \dfrac{2}{3}x + p $.
Le point $ A(-3~;~1) $ appartient à $ (AB) $ :
$ 1 = \dfrac{2}{3} \times (-3) + p = -2 + p $
$ p = 3 $

L'équation réduite de la droite $ (AB) $ est $\mathbf{y = \dfrac{2}{3}x + 3}$.
On vérifie si les coordonnées de $ C(12~;~11) $ satisfont l'équation :
$ \dfrac{2}{3} \times 12 + 3 = 8 + 3 = 11 $

On obtient bien $ y_C = 11 $, donc $ C $ appartient à la droite $ (AB) $.

Puisque $ A $, $ B $ et $ C $ appartiennent tous les trois à la même droite, les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés.
Calculons les coordonnées des vecteurs :
$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 - (-3) \\ 5 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} $

$ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 12 - (-3) \\ 11 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 10 \end{pmatrix} $

Le déterminant vaut :
$ \det(\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}) = 6 \times 10 - 4 \times 15 = 60 - 60 = 0 $

Le déterminant est nul, donc $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ sont colinéaires. Cela confirme que les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés.
On vérifie si les coordonnées de $ D(6~;~8) $ satisfont l'équation $ y = \dfrac{2}{3}x + 3 $ :
$ \dfrac{2}{3} \times 6 + 3 = 4 + 3 = 7 $

On obtient $ 7 \neq 8 $, donc $ D $ n'appartient pas à la droite $ (AB) $. Le point $ D $ n'est pas aligné avec $ A $ et $ B $.
On utilise la condition de colinéarité : $ \det(\overrightarrow{AM},~\overrightarrow{AB}) = 0 $ avec $ M(x~;~y) $.
$ \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x + 3 \\ y - 1 \end{pmatrix} $ et $ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} $

$ (x + 3) \times 4 - (y - 1) \times 6 = 0 $
$ 4x + 12 - 6y + 6 = 0 $
$ 4x - 6y + 18 = 0 $

En divisant par $ 2 $ :

Une équation cartésienne de la droite $ (AB) $ est $\mathbf{2x - 3y + 9 = 0}$.

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne d'une droite

Équation cartésienne et vecteur directeur

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},~\vec{j}) $. On considère les points $ A(-1~;~2) $ et $ B(3~;~-2) $.

Calculer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $.
Déterminer une équation cartésienne de la droite $ (AB) $ en utilisant la colinéarité des vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AB} $.
En déduire l'équation réduite de la droite $ (AB) $.
Le point $ C(5~;~-4) $ appartient-il à la droite $ (AB) $ ? Justifier.
Donner un vecteur directeur de la droite $ (AB) $ à partir de son équation cartésienne. Vérifier qu'il est colinéaire à $ \overrightarrow{AB} $.

Corrigé

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ sont :
$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ -2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \end{pmatrix} $

Le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ a pour coordonnées $\mathbf{(4~;~-4)}$.
Soit $ M(x~;~y) $ un point quelconque du plan. Le point $ M $ appartient à la droite $ (AB) $ si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AB} $ sont colinéaires.

Les coordonnées de $ \overrightarrow{AM} $ sont :
$ \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x - (-1) \\ y - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y - 2 \end{pmatrix} $

La condition de colinéarité s'écrit : $ \det(\overrightarrow{AM},~\overrightarrow{AB}) = 0 $, soit :
$ (x + 1) \times (-4) - (y - 2) \times 4 = 0 $
$ -4x - 4 - 4y + 8 = 0 $
$ -4x - 4y + 4 = 0 $

En divisant par $ -4 $ :

Une équation cartésienne de la droite $ (AB) $ est $\mathbf{x + y - 1 = 0}$.
On isole $ y $ dans l'équation cartésienne :
$ x + y - 1 = 0 $
$ y = -x + 1 $

L'équation réduite de la droite $ (AB) $ est $\mathbf{y = -x + 1}$.
Le coefficient directeur est $ m = -1 $ et l'ordonnée à l'origine est $ p = 1 $.
On vérifie si les coordonnées de $ C(5~;~-4) $ satisfont l'équation $ x + y - 1 = 0 $ :
$ 5 + (-4) - 1 = 0 $

L'égalité est vérifiée, donc le point $ C $ appartient à la droite $ (AB) $.
L'équation cartésienne est de la forme $ ax + by + c = 0 $ avec $ a = 1 $ et $ b = 1 $. Un vecteur directeur de la droite est $ \vec{u}(-b~;~a) = \vec{u}(-1~;~1) $.

Vérifions que $ \vec{u}(-1~;~1) $ est colinéaire à $ \overrightarrow{AB}(4~;~-4) $ :
$ \det(\vec{u},~\overrightarrow{AB}) = (-1) \times (-4) - 1 \times 4 = 4 - 4 = 0 $

Le déterminant est nul, donc $ \vec{u} $ et $ \overrightarrow{AB} $ sont bien colinéaires. On peut d'ailleurs vérifier que $ \overrightarrow{AB} = -4\vec{u} $.

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne d'une droite