[enonce]
Ce QCM porte sur le nuage de points et le point moyen d'une série statistique à deux variables. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On considère la série statistique à deux variables :

Quelles sont les coordonnées du point moyen $G$ de cette série ?
[qcm]
[option]$(14\,;7)$[/option]
[option correct="true"]$(14\,;8)$[/option]
[option]$(8\,;14)$[/option]
[option]$(70\,;40)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On calcule séparément les deux moyennes :
$\bar{x}=\dfrac{10+12+14+16+18}{5}=\dfrac{70}{5}=14$
$\bar{y}=\dfrac{5+6+8+9+12}{5}=\dfrac{40}{5}=8$
Donc $G(14\,;8)$.[/reponse]
[reponse motif="$(14\,;7)$"]Non.
La première coordonnée est correcte, mais $\bar{y}$ a été mal calculée. Recompter les cinq valeurs de $y$ et vérifier la somme avant de diviser.[/reponse]
[reponse motif="$(8\,;14)$"]Non.
Les coordonnées ont été inversées. Par convention, l'abscisse de $G$ est $\bar{x}$ (moyenne des $x_i$) et l'ordonnée est $\bar{y}$ (moyenne des $y_i$).[/reponse]
[reponse motif="$(70\,;40)$"]Non.
Il manque l'étape de division par l'effectif. Une moyenne s'obtient en divisant la somme par $n$, ici $n=5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément $\bar{x}$ comme moyenne des $x_i$ et $\bar{y}$ comme moyenne des $y_i$, puis former le couple $G(\bar{x}\,;\bar{y})$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle affirmation caractérise correctement le point moyen $G$ d'un nuage de points ?
[qcm]
[option]$G$ est toujours l'un des points du nuage.[/option]
[option]$G$ a pour coordonnées les médianes des $x_i$ et des $y_i$.[/option]
[option correct="true"]$G$ a pour coordonnées les moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$ des deux variables.[/option]
[option]$G$ minimise la somme des distances aux points du nuage.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par définition, $G(\bar{x}\,;\bar{y})$ où $\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i$ et $\bar{y}=\dfrac{1}{n}\sum y_i$.[/reponse]
[reponse motif="$G$ est toujours l'un des points du nuage."]Non.
Ce n'est pas une caractéristique du point moyen : en général, $G$ n'est pas un point du nuage. Il peut très bien tomber entre les points.[/reponse]
[reponse motif="$G$ a pour coordonnées les médianes des $x_i$ et des $y_i$."]Non.
Il ne faut pas confondre moyenne et médiane. Le point moyen utilise les moyennes des deux variables.[/reponse]
[reponse motif="$G$ minimise la somme des distances aux points du nuage."]Non.
Cette propriété concerne la droite des moindres carrés (qui minimise une somme de carrés d'écarts), pas le point moyen.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revenir à la définition : $G$ a pour coordonnées les moyennes des deux séries, et non un autre indicateur statistique.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère le nuage de quatre points ci-dessous.

Quelles sont les coordonnées du point moyen $G$ ?
[qcm]
[option]$(2{,}5\,;3{,}5)$[/option]
[option]$(3\,;4)$[/option]
[option correct="true"]$(2{,}5\,;4)$[/option]
[option]$(2\,;5)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On lit les coordonnées des quatre points puis on moyenne :
$\bar{x}=\dfrac{1+2+3+4}{4}=\dfrac{10}{4}=2{,}5$
$\bar{y}=\dfrac{2+5+3+6}{4}=\dfrac{16}{4}=4$
Donc $G(2{,}5\,;4)$.[/reponse]
[reponse motif="$(2{,}5\,;3{,}5)$"]Non.
$\bar{x}$ est correct, mais $\bar{y}$ semble être la médiane des $y_i$ (entre $3$ et $5$ après tri) plutôt que leur moyenne. Reprendre la somme des quatre ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="$(3\,;4)$"]Non.
$3$ correspond à la médiane des $x_i$ (valeur centrale après tri), pas à leur moyenne. Recalculer $\bar{x}$ comme somme divisée par $4$.[/reponse]
[reponse motif="$(2\,;5)$"]Non.
Ces coordonnées correspondent à un point du nuage, pas au point moyen. Le point moyen est calculé à partir de l'ensemble des quatre points, pas lu directement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lire les coordonnées des quatre points sur le graphique, puis calculer la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées séparément.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On dispose d'une série de $4$ couples dont le point moyen est $G(10\,;20)$. On ajoute un cinquième couple $(20\,;30)$ à la série. Quelle est la nouvelle valeur de $\bar{x}$ ?
[qcm]
[option]$10$[/option]
[option correct="true"]$12$[/option]
[option]$15$[/option]
[option]$30$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La somme des quatre premiers $x_i$ vaut $4\times 10=40$. En ajoutant $20$, la nouvelle somme est $60$, et la nouvelle moyenne est $\dfrac{60}{5}=12$.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
La moyenne change forcément lorsqu'on ajoute une valeur différente de la moyenne actuelle. Reprendre la somme totale et la diviser par le nouvel effectif.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15=\dfrac{10+20}{2}$ : il s'agit de la moyenne entre l'ancienne moyenne et la valeur ajoutée. Cette opération ne tient pas compte des effectifs ($4$ valeurs d'un côté, $1$ de l'autre).[/reponse]
[reponse motif="$30$"]Non.
$30$ est la nouvelle valeur de $\bar{y}$ erronée (l'ordonnée du couple ajouté). On cherche ici $\bar{x}$, et il faut faire intervenir les quatre $x_i$ initiaux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconstruire la somme totale des $x_i$ (à partir de l'ancienne moyenne et de l'effectif), ajouter la nouvelle valeur, puis diviser par le nouvel effectif $5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La droite des moindres carrés $\mathcal{D}$ d'un nuage de points passe nécessairement :
[qcm]
[option]par tous les points du nuage[/option]
[option]par l'origine du repère[/option]
[option correct="true"]par le point moyen $G(\bar{x}\,;\bar{y})$[/option]
[option]par le point $(\bar{x}\,;0)$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
C'est une propriété fondamentale : la droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen $G(\bar{x}\,;\bar{y})$ du nuage.[/reponse]
[reponse motif="par tous les points du nuage"]Non.
La droite des moindres carrés ne passe pas par tous les points du nuage : elle minimise seulement la somme des carrés des écarts verticaux. Si elle passait par tous les points, le nuage serait parfaitement aligné.[/reponse]
[reponse motif="par l'origine du repère"]Non.
La droite ne passe par l'origine que dans des cas particuliers ($b=0$). En général, son ordonnée à l'origine $b$ n'est pas nulle.[/reponse]
[reponse motif="par le point $(\bar{x}\,;0)$"]Non.
Ce point a pour ordonnée $0$, ce qui n'a pas de raison d'être vérifié. Le point spécial du nuage par lequel passe $\mathcal{D}$ a deux coordonnées moyennes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser au point spécial du nuage qui résume à la fois les abscisses et les ordonnées : c'est par lui que passe la droite des moindres carrés.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La droite des moindres carrés d'un nuage a pour équation $y=2x+5$, et la moyenne des abscisses vaut $\bar{x}=4$. Quelle est la valeur de $\bar{y}$ ?
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option]$5$[/option]
[option]$8$[/option]
[option correct="true"]$13$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
La droite des moindres carrés passe par $G(\bar{x}\,;\bar{y})$, donc les coordonnées de $G$ vérifient $\bar{y}=2\bar{x}+5$. Ainsi :
$\bar{y}=2\times 4+5=13$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$\bar{x}$ et $\bar{y}$ ne sont pas a priori égales : ce sont les moyennes de deux séries différentes. Utiliser l'équation de la droite et le fait qu'elle passe par $G$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5$ est l'ordonnée à l'origine de la droite, c'est-à-dire la valeur de $y$ pour $x=0$, pas pour $x=\bar{x}=4$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8=2\times 4$ : seule la pente a été utilisée. Ne pas oublier d'ajouter l'ordonnée à l'origine $b$ dans l'équation $y=ax+b$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La droite des moindres carrés passe par le point moyen $G$. Substituer $\bar{x}$ dans l'équation pour obtenir $\bar{y}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]