[enonce]
On considère une fonction $f$ définie sur $[-1~;~5]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.

On cherche à exploiter cette courbe pour déterminer des images, des antécédents et résoudre des équations et inéquations.
[/enonce]

[etape]
Par lecture graphique, déterminer $f(3)$.
$f(3) =$ [[f3]]
[math id="f3" attendu="3"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On lit sur la courbe que le point d'abscisse $3$ a pour ordonnée $3$, donc $f(3) = 3$.[/reponse]
[reponse motif="4"]$4$ est le maximum de $f$, pas la valeur de $f(3)$.
Placer le point d'abscisse $3$ sur la courbe et lire son ordonnée.[/reponse]
[reponse motif="-3"]Le signe n'est pas correct.
Se repérer sur l'axe des ordonnées : le point est au-dessus de l'axe des abscisses.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Ce n'est pas la bonne valeur.
Repérer $x = 3$ sur l'axe des abscisses, monter verticalement jusqu'à la courbe, puis lire l'ordonnée correspondante sur l'axe des ordonnées.[/reponse]
[aide essai="2"]Pour lire $f(3)$ : tracer mentalement la droite verticale $x = 3$, repérer son intersection avec $\mathcal{C}_f$, puis lire l'ordonnée de ce point.[/aide]
[aide essai="3"]L'ordonnée du point est un nombre entier. Lire attentivement la graduation sur l'axe des ordonnées.[/aide]
[/math]
[solution]On repère $x = 3$ sur l'axe des abscisses et on lit l'ordonnée du point correspondant sur la courbe : $f(3) = 3$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Déterminer graphiquement les antécédents de $3$ par $f$.
[qcm]
[option]$\{3\}$[/option]
[option correct="true"]$\{1~;~3\}$[/option]
[option]$\{0~;~4\}$[/option]
[option]$\{1\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La droite horizontale $y = 3$ coupe $\mathcal{C}_f$ en deux points d'abscisses $1$ et $3$. L'équation $f(x) = 3$ admet donc deux solutions : $x = 1$ et $x = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$\{3\}$"]Il manque un antécédent.
Tracer la droite $y = 3$ : elle coupe la courbe en deux points, pas un seul.[/reponse]
[reponse motif="$\{0~;~4\}$"]Ce sont les antécédents de $0$, pas de $3$.
Tracer la droite horizontale $y = 3$ (et non $y = 0$) et lire les abscisses des points d'intersection.[/reponse]
[reponse motif="$\{1\}$"]Il manque un antécédent.
La droite $y = 3$ coupe la courbe en deux points : il y a deux antécédents à trouver.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Résoudre graphiquement $f(x) = 0$.
Combien de solutions cette équation admet-elle sur $[-1~;~5]$ ?
Nombre de solutions : [[nb]]
[math id="nb" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La droite $y = 0$ (l'axe des abscisses) coupe $\mathcal{C}_f$ en deux points, d'abscisses $0$ et $4$. L'équation $f(x) = 0$ a donc $2$ solutions.[/reponse]
[reponse motif="1"]La courbe coupe l'axe des abscisses en plus d'un point.
Parcourir toute la courbe et compter chaque intersection avec l'axe des abscisses.[/reponse]
[reponse motif="3"]Vérifier en parcourant la courbe de gauche à droite : chaque passage par l'axe des abscisses correspond à une solution.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Recompter les intersections entre la courbe et l'axe des abscisses sur tout l'intervalle $[-1~;~5]$.[/reponse]
[aide essai="2"]Résoudre $f(x) = 0$ graphiquement revient à chercher les points où la courbe coupe l'axe des abscisses ($y = 0$).[/aide]
[aide essai="3"]La courbe passe par les points $(0~;~0)$ et $(4~;~0)$.[/aide]
[/math]
[solution]La courbe coupe l'axe des abscisses en $x = 0$ et $x = 4$, donc $f(x) = 0$ admet $2$ solutions.[/solution]
[/etape]

[etape]
Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \leqslant 0$ sur $[-1~;~5]$.
L'ensemble des solutions est :
[qcm]
[option]$[0~;~4]$[/option]
[option correct="true"]$[-1~;~0] \cup [4~;~5]$[/option]
[option]$[-1~;~5]$[/option]
[option]$\{0~;~4\}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f(x) \leqslant 0$ signifie que la courbe est sur ou sous l'axe des abscisses. C'est le cas sur $[-1~;~0]$ (la courbe monte de $-5$ à $0$) et sur $[4~;~5]$ (la courbe descend de $0$ à $-5$).[/reponse]
[reponse motif="$[0~;~4]$"]C'est l'intervalle où $f(x) \geqslant 0$ (courbe au-dessus de l'axe des abscisses).
Pour $f(x) \leqslant 0$, chercher où la courbe est en dessous de l'axe.[/reponse]
[reponse motif="$[-1~;~5]$"]$f$ n'est pas négative sur tout son domaine.
Repérer les zones où la courbe passe au-dessus de l'axe des abscisses.[/reponse]
[reponse motif="$\{0~;~4\}$"]Ce sont les zéros de $f$ (les valeurs de $x$ où $f(x) = 0$), pas l'ensemble des solutions de l'inéquation.
Chercher les intervalles où la courbe est en dessous de l'axe des abscisses.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Identifier les zones où la courbe est sur ou sous l'axe des abscisses, c'est-à-dire où $y \leqslant 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Déterminer le maximum de $f$ sur $[-1~;~5]$.
Le maximum de $f$ vaut [[max]] et est atteint pour $x =$ [[xmax]].
[math id="max" attendu="4"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le point le plus haut de la courbe a pour ordonnée $4$.[/reponse]
[reponse motif="5"]Le sommet de la courbe n'atteint pas $5$.
Lire précisément l'ordonnée du point le plus haut de $\mathcal{C}_f$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le maximum est l'ordonnée la plus grande atteinte par la courbe. Repérer le sommet de $\mathcal{C}_f$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le maximum d'une fonction sur un intervalle est la plus grande valeur de $f(x)$. Graphiquement, c'est l'ordonnée du point le plus haut de la courbe.[/aide]
[aide essai="3"]Le sommet de la courbe se situe au point $(2~;~4)$.[/aide]
[/math]
[math id="xmax" attendu="2"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le maximum $4$ est atteint pour $x = 2$, c'est-à-dire au sommet de la courbe.[/reponse]
[reponse motif="4"]Attention, $4$ est la valeur du maximum, pas l'abscisse où il est atteint.
Lire l'abscisse du point le plus haut, pas son ordonnée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Lire l'abscisse du point le plus haut de la courbe.[/reponse]
[aide essai="2"]L'abscisse du sommet est la valeur de $x$ pour laquelle $f(x)$ est la plus grande.[/aide]
[aide essai="3"]Le sommet de la courbe est situé à $x = 2$.[/aide]
[/math]
[solution]Le point le plus haut de la courbe est $(2~;~4)$. Le maximum de $f$ sur $[-1~;~5]$ vaut donc $4$, atteint pour $x = 2$.[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : images et antécédents, variations et extremums, parité et résolution graphique. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ définie pour $x \neq 2$. Quelle est la valeur de $f(5)$ ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$\dfrac{25}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{29}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
$f(5) = \dfrac{5^2 - 4}{5 - 2} = \dfrac{25 - 4}{3} = \dfrac{21}{3} = 7$[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Attention au calcul.
Calculer d'abord le numérateur $5^2 - 4 = 21$ et le dénominateur $5 - 2 = 3$. Effectuer ensuite la division.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{25}{3}$"]Il manque un terme.
Ne pas oublier le $-4$ au numérateur : $x^2 - 4 = 25 - 4 = 21$, pas $25$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{29}{3}$"]Le piège est sur le numérateur.
$x^2 - 4$ avec $x = 5$ donne $25 - 4 = 21$, pas $29$. Attention au signe de la soustraction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Reprendre depuis le début.
Remplacer $x$ par $5$ dans la formule et calculer le numérateur et le dénominateur séparément.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Quels sont les antécédents de $0$ par $f$ ?
[qcm]
[option]$-2$ et $-4$[/option]
[option]$-2$ et $4$[/option]
[option correct="true"]$2$ et $4$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On résout $f(x) = 0$ par factorisation :
$x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) = 0$
d'où $x = 2$ ou $x = 4$.[/reponse]
[reponse motif="$-2$ et $-4$"]Attention au signe.
Les solutions de $x^2 - 6x + 8 = 0$ sont positives. Vérifier en remplaçant : $f(2) = 4 - 12 + 8 = 0$ et $f(4) = 16 - 24 + 8 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$-2$ et $4$"]Presque.
L'une des deux valeurs a un signe incorrect. Vérifier en remplaçant : $f(-2) = 4 + 12 + 8 = 24 \neq 0$. Recalculer les racines.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Il ne faut pas confondre image et antécédent.
$8 = f(0)$ : c'est l'image de $0$, pas un antécédent de $0$. Résoudre $f(x) = 0$ au lieu de calculer $f(0)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le travail demandé est une résolution.
Factoriser $x^2 - 6x + 8$ : chercher deux nombres dont le produit est $8$ et la somme est $-6$. Ce sont $-2$ et $-4$, donc $(x-2)(x-4) = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$f$ est définie sur $[-4 ; 5]$, décroissante sur $[-4 ; 0]$ de $f(-4) = 6$ à $f(0) = -2$, puis croissante sur $[0 ; 5]$ de $f(0) = -2$ à $f(5) = 7$. Combien de solutions l'équation $f(x) = 3$ a-t-elle sur $[-4 ; 5]$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$0$[/option]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Sur $[-4 ; 0]$ : $f$ décroît de $6$ à $-2$, donc $f$ passe par $3$ (car $-2 < 3 < 6$) exactement une fois.
Sur $[0 ; 5]$ : $f$ croît de $-2$ à $7$, donc $f$ passe par $3$ (car $-2 < 3 < 7$) exactement une fois.
Au total : $2$ solutions.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Pas tout à fait.
$3$ est bien compris entre les valeurs extrêmes de $f$. Sur chaque intervalle de monotonie, vérifier si $3$ est dans l'image.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Il faut regarder les deux intervalles.
Analyser chaque intervalle de monotonie séparément. La valeur $3$ est atteinte sur chacune des deux parties : une fois pendant la décroissance, une fois pendant la croissance.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Trop de solutions.
Sur chaque intervalle où $f$ est monotone, l'équation $f(x) = 3$ a au plus une solution. Vérifier sur combien d'intervalles $3$ est dans l'image.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Procéder intervalle par intervalle.
Étudier séparément chaque intervalle de monotonie et vérifier si $3$ est compris entre les valeurs de $f$ aux bornes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f(x) = 2x^4 - 3x^2 + 1$. Cette fonction est :
[qcm]
[option correct="true"]Paire[/option]
[option]Impaire[/option]
[option]Ni paire ni impaire[/option]
[option]On ne peut pas savoir sans le graphique[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$f(-x) = 2(-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = 2x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)$.
Les puissances paires ($x^4$, $x^2$) et les constantes ne changent pas quand on remplace $x$ par $-x$. La fonction est paire.[/reponse]
[reponse motif="Impaire"]Attention.
Calculer $f(-x)$ : les puissances paires ($x^4$ et $x^2$) donnent le même résultat avec $x$ ou $-x$. Comparer $f(-x)$ avec $f(x)$.[/reponse]
[reponse motif="Ni paire ni impaire"]Le calcul donne autre chose.
Calculer $f(-x) = 2(-x)^4 - 3(-x)^2 + 1$ en utilisant $(-x)^4 = x^4$ et $(-x)^2 = x^2$. Comparer avec $f(x)$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas savoir sans le graphique"]Le graphique n'est pas utile ici.
La parité se détermine par le calcul : calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$ et $-f(x)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Repartir du calcul de $f(-x)$.
Remplacer $x$ par $-x$ dans chaque terme, puis comparer avec $f(x)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$f$ est strictement décroissante sur $[-2 ; 3]$ avec $f(-2) = 8$ et $f(3) = -1$. L'inéquation $f(x) \leqslant 5$ a pour ensemble de solutions sur $[-2 ; 3]$ :
[qcm]
[option]$[-2 ; a]$ où $a$ est l'antécédent de $5$[/option]
[option]L'ensemble vide[/option]
[option correct="true"]$[a ; 3]$ où $a$ est l'antécédent de $5$[/option]
[option]$[-2 ; 3]$ tout entier[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$5$ est compris entre $-1$ et $8$, donc $f$ admet un unique antécédent $a$ de $5$ avec $-2 < a < 3$.
$f$ est décroissante : $f(x) \leqslant 5$ quand $x \geqslant a$. Les solutions forment l'intervalle $[a ; 3]$.[/reponse]
[reponse motif="$[-2 ; a]$ où $a$ est l'antécédent de $5$"]Le sens de variation est inversé.
$f$ est décroissante : plus $x$ augmente, plus $f(x)$ diminue. L'inéquation $f(x) \leqslant 5$ est vérifiée pour les grandes valeurs de $x$, pas les petites.[/reponse]
[reponse motif="L'ensemble vide"]Il y a bien des solutions.
$5$ est compris entre $f(3) = -1$ et $f(-2) = 8$, donc l'équation $f(x) = 5$ a une solution. L'inéquation $f(x) \leqslant 5$ a donc des solutions.[/reponse]
[reponse motif="$[-2 ; 3]$ tout entier"]Pas tout l'intervalle.
Vérifier : $f(-2) = 8 > 5$, donc $x = -2$ ne vérifie pas $f(x) \leqslant 5$. Les solutions ne couvrent pas tout l'intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Commencer par l'antécédent de $5$.
Trouver d'abord l'antécédent $a$ de $5$, puis utiliser la décroissance pour déterminer sur quelle portion $f(x) \leqslant 5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f(x) = -3x + 2$. L'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}$, et $f(-x) = 3x + 2$. Cette fonction est :
[qcm]
[option]Paire car $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$[/option]
[option]Impaire car c'est une fonction affine[/option]
[option]Impaire car elle est décroissante[/option]
[option correct="true"]Ni paire ni impaire[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$f(-x) = 3x + 2$ et $f(x) = -3x + 2$, donc $f(-x) \neq f(x)$ : $f$ n'est pas paire.
$-f(x) = 3x - 2$ et $f(-x) = 3x + 2$, donc $f(-x) \neq -f(x)$ : $f$ n'est pas impaire.
$f$ n'est ni paire ni impaire (la constante $+2$ empêche toute parité).[/reponse]
[reponse motif="Paire car $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$"]Condition insuffisante.
La symétrie de l'ensemble de définition est une condition nécessaire, mais pas suffisante. Il faut aussi que $f(-x) = f(x)$, ce qui n'est pas le cas ici.[/reponse]
[reponse motif="Impaire car c'est une fonction affine"]Le terme constant change tout.
Seules les fonctions linéaires ($f(x) = ax$, sans terme constant) sont impaires. Ici, le terme constant $+2$ empêche la fonction d'être impaire.[/reponse]
[reponse motif="Impaire car elle est décroissante"]Le sens de variation n'a rien à voir.
La décroissance n'a aucun lien avec la parité. Par exemple, $f(x) = -x$ est impaire et décroissante, mais $f(x) = -x + 1$ est décroissante sans être impaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer les trois expressions.
Comparer $f(-x) = 3x + 2$ avec $f(x) = -3x + 2$ et avec $-f(x) = 3x - 2$. Si aucune égalité n'est vérifiée, la fonction n'est ni paire ni impaire.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]