Dériver un produit de fonctions

[enonce]
Ce QCM porte sur les règles de dérivation d'un produit, d'un quotient et de l'inverse d'une fonction. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x+1)(x^2+3)$. Quelle est l'expression développée de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option]$4x$[/option]
[option]$6x^2 + 6$[/option]
[option correct="true"]$6x^2 + 2x + 6$[/option]
[option]$2x^2 + 2x + 6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On pose $u(x) = 2x+1$ et $v(x) = x^2+3$, donc $u'(x) = 2$ et $v'(x) = 2x$.
D'après $(uv)' = u'v + uv'$ :
$f'(x) = 2(x^2+3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 + 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x + 6.$[/reponse]
[reponse motif="$4x$"]Non.
La formule $(uv)' = u'v'$ est fausse. La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. La bonne formule est $(uv)' = u'v + uv'$.[/reponse]
[reponse motif="$6x^2 + 6$"]Non.
Il semble manquer un terme : le développement de $(2x+1)(2x) = 4x^2 + 2x$ a été amputé de son terme linéaire. Reprendre le calcul en développant entièrement.[/reponse]
[reponse motif="$2x^2 + 2x + 6$"]Non.
Le terme $uv'$ n'a pas été complètement développé : $(2x+1)(2x) = 4x^2 + 2x$, pas juste $2x$. Sommer ensuite avec $u'v = 2(x^2+3) = 2x^2 + 6$ donne $6x^2 + 2x + 6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier $u$, $v$, $u'$, $v'$, puis appliquer la formule $(uv)' = u'v + uv'$ en développant chaque produit soigneusement.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ par $f(x) = \dfrac{3x-2}{x+1}$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option]$3$[/option]
[option]$\dfrac{3}{(x+1)^2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{5}{(x+1)^2}$[/option]
[option]$\dfrac{-5}{(x+1)^2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On pose $u(x) = 3x-2$ et $v(x) = x+1$, donc $u'(x) = 3$ et $v'(x) = 1$.
D'après $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ :
$f'(x) = \dfrac{3(x+1) - (3x-2)}{(x+1)^2} = \dfrac{3x + 3 - 3x + 2}{(x+1)^2} = \dfrac{5}{(x+1)^2}.$[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
La formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v'}$ est fausse. La dérivée d'un quotient n'est pas le quotient des dérivées. La bonne formule est $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{(x+1)^2}$"]Non.
Le numérateur est incorrect. Après application de la formule, il faut développer $3(x+1) - (3x-2) = 3x+3-3x+2 = 5$. Attention au signe lors de la distribution.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-5}{(x+1)^2}$"]Non.
Erreur de signe dans la distribution : $-(3x - 2) = -3x + 2$ (et non $-3x - 2$). Le numérateur vaut $+5$ et non $-5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier $u$, $v$, $u'$, $v'$, puis appliquer la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ en soignant le signe au numérateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2+1)(x-3)$. Quelle est l'expression développée de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option]$2x$[/option]
[option correct="true"]$3x^2 - 6x + 1$[/option]
[option]$3x^2 - 6x$[/option]
[option]$2x^2 - 6x$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On pose $u(x) = x^2+1$ et $v(x) = x-3$, donc $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = 1$.
D'après $(uv)' = u'v + uv'$ :
$f'(x) = 2x(x-3) + (x^2+1) \times 1 = 2x^2 - 6x + x^2 + 1 = 3x^2 - 6x + 1.$[/reponse]
[reponse motif="$2x$"]Non.
La formule $(uv)' = u'v'$ est fausse. La dérivée d'un produit est $(uv)' = u'v + uv'$, elle combine chacun des deux facteurs.[/reponse]
[reponse motif="$3x^2 - 6x$"]Non.
Le terme $uv' = (x^2+1) \times 1 = x^2+1$ a été ajouté en oubliant son $+1$ final. Reprendre la somme $u'v + uv'$.[/reponse]
[reponse motif="$2x^2 - 6x$"]Non.
Seul le terme $u'v = 2x(x-3) = 2x^2 - 6x$ a été calculé. Il manque le terme $uv' = (x^2+1) \times 1 = x^2 + 1$ à ajouter.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Poser $u$ et $v$, calculer $u'$ et $v'$, puis appliquer $(uv)' = u'v + uv'$ en développant toutes les expressions.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$[/option]
[option]$\dfrac{-1}{(x^2+1)^2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}$[/option]
[option]$\dfrac{-1}{2x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On utilise la formule $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u(x) = x^2+1$ et $u'(x) = 2x$ :
$f'(x) = -\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}.$[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$"]Non.
Attention au signe : la formule $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$ fait apparaître un signe moins devant $u'$. Le résultat est donc négatif sur $]0~;~+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-1}{(x^2+1)^2}$"]Non.
Il manque la dérivée $u' = 2x$ au numérateur. La formule complète est $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$, et $u' = (x^2+1)' = 2x$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-1}{2x}$"]Non.
Cette expression ne correspond à aucune formule de dérivation. Revoir la formule de dérivation de $\dfrac{1}{u}$ : $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître la forme $\dfrac{1}{u}$ avec $u = x^2+1$, puis appliquer $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$ en n'oubliant ni le signe ni le carré au dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{5}{x-2}$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{5}{(x-2)^2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{-5}{(x-2)^2}$[/option]
[option]$\dfrac{-1}{(x-2)^2}$[/option]
[option]$\dfrac{-5}{x-2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le numérateur est constant : on écrit $f(x) = 5 \times \dfrac{1}{x-2}$.
Avec $u(x) = x-2$ et $u'(x) = 1$ : $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{1}{(x-2)^2}$.
Puis $f'(x) = 5 \times \left(-\dfrac{1}{(x-2)^2}\right) = -\dfrac{5}{(x-2)^2}.$[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{(x-2)^2}$"]Non.
Attention au signe : la dérivée de $\dfrac{1}{u}$ est négative ($-\dfrac{u'}{u^2}$). Le résultat final doit donc porter un signe moins.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-1}{(x-2)^2}$"]Non.
Le facteur multiplicatif $5$ a été perdu. On a $f(x) = 5 \times \dfrac{1}{x-2}$, donc $f'(x) = 5 \times \left(\dfrac{1}{x-2}\right)'$ : le $5$ est conservé.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-5}{x-2}$"]Non.
Il manque l'exposant $2$ au dénominateur. La formule $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$ fait apparaître $u^2$ au dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire $f$ sous la forme $5 \times \dfrac{1}{u}$ avec $u = x-2$, puis appliquer la formule $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$ sans oublier le facteur $5$ ni le signe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$ par $f(x) = \dfrac{x}{2x+1}$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{(2x+1)^2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2x+1}$[/option]
[option]$\dfrac{-1}{(2x+1)^2}$[/option]
[option]$\dfrac{4x+1}{(2x+1)^2}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On pose $u(x) = x$ et $v(x) = 2x+1$, donc $u'(x) = 1$ et $v'(x) = 2$.
$f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{1 \times (2x+1) - x \times 2}{(2x+1)^2} = \dfrac{2x + 1 - 2x}{(2x+1)^2} = \dfrac{1}{(2x+1)^2}.$[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2x+1}$"]Non.
Il manque le carré au dénominateur. La formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ fait apparaître $v^2$, pas $v$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{-1}{(2x+1)^2}$"]Non.
Erreur de signe au numérateur. Le calcul donne $1 \times (2x+1) - x \times 2 = 2x+1 - 2x = +1$, pas $-1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4x+1}{(2x+1)^2}$"]Non.
Erreur de signe : la formule est $u'v - uv'$, avec un signe moins devant $uv'$. Le résultat $1 \times (2x+1) - x \times 2$ vaut $1$, pas $4x+1$ (ce qui correspondrait à $u'v + uv'$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Poser $u = x$, $v = 2x+1$, calculer $u' = 1$, $v' = 2$, puis appliquer $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ avec son signe moins au numérateur et son carré au dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \backslash \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{x-1}{x-2}$.

Affirmation : La fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]2~;~+\infty\right[$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On pose $u(x) = x-1$ et $v(x) = x-2$, donc $u'(x) = 1$ et $v'(x) = 1$.
$f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{(x-2)-(x-1)}{(x-2)^2} = \dfrac{-1}{(x-2)^2}$
$f'$ est strictement négative sur $\left]2~;~+\infty\right[$, donc $f$ y est strictement décroissante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'appliquer la règle du quotient en inversant les termes : $\dfrac{uv' - u'v}{v^2}$ au lieu de $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, ce qui donnerait un numérateur positif. Le numérateur correct est $(x-2) - (x-1) = -1$.
On calcule $f'(x) = \dfrac{-1}{(x-2)^2} < 0$ sur $\left]2~;~+\infty\right[$. Une dérivée strictement négative implique une fonction strictement décroissante. L'affirmation est vraie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On calcule $f'(x) = \dfrac{-1}{(x-2)^2} < 0$ pour tout $x \neq 2$, donc $f$ est strictement décroissante sur $\left]2~;~+\infty\right[$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $m$ un nombre réel et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x^2+m}{x^2+1}$.

Affirmation : Pour $m < 1$, la fonction $f$ est croissante sur $\left]0~;~+\infty\right[$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On pose $u(x) = x^2+m$ et $v(x) = x^2+1$, donc $u'(x) = v'(x) = 2x$.
$f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{2x(x^2+1) - 2x(x^2+m)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x(1-m)}{(x^2+1)^2}$
Pour $m < 1$ et $x > 0$ : $f'(x) > 0$, donc $f$ est bien croissante sur $\left]0~;~+\infty\right[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas simplifier correctement le numérateur $2x(x^2+1) - 2x(x^2+m) = 2x(1-m)$ après factorisation, et de croire que le signe de $f'$ dépend de $x^2$ plutôt que de $(1-m)$.
On calcule $f'(x) = \dfrac{2x(1-m)}{(x^2+1)^2}$. Pour $m < 1$ et $x > 0$, les deux facteurs du numérateur sont positifs, donc $f'(x) > 0$ : $f$ est bien croissante. L'affirmation est vraie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Après calcul, $f'(x) = \dfrac{2x(1-m)}{(x^2+1)^2}$. Pour $m < 1$ et $x > 0$, on a $f'(x) > 0$, donc $f$ est croissante.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. On pose $g(x) = x^2 \times f(x)$.

Affirmation : $g'(0) = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On pose $u(x) = x^2$ et $v(x) = f(x)$, donc $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = f'(x)$.
$g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x)$
Donc $g'(0) = 2 \times 0 \times f(0) + 0^2 \times f'(0) = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de penser que $g'(0)$ dépend de la valeur de $f'(0)$, qui n'est pas connue, et d'en conclure qu'on ne peut pas déterminer le signe. Or les deux termes de la dérivée du produit contiennent $x$ ou $x^2$, qui s'annulent tous les deux en $0$.
Par la règle du produit : $g'(x) = 2xf(x) + x^2 f'(x)$.
En $x = 0$ : $g'(0) = 0 \cdot f(0) + 0^2 \cdot f'(0) = 0$. L'affirmation est vraie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par la règle du produit : $g'(x) = 2xf(x) + x^2 f'(x)$, et en $x = 0$ les deux termes sont nuls, donc $g'(0) = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \backslash \{1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2+1}{x-1}$.

Affirmation : Pour tout $x \neq 1$ : $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 1}{(x-1)^2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On pose $u(x) = x^2+1$ et $v(x) = x-1$, donc $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = 1$.
$f'(x) = \dfrac{2x(x-1) - (x^2+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$
Le numérateur correct est $x^2 - 2x - 1$ (et non $x^2 - 2x + 1$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'oublier le signe moins devant $v = x-1$ lorsqu'on distribue : $2x(x-1) - (x^2+1) = 2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1$, et non $x^2 - 2x + 1$.
On calcule $f'(x) = \dfrac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$.
Le numérateur est $-1$ et non $+1$ : la formule proposée est incorrecte.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le calcul correct donne $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$ (numérateur en $-1$, non en $+1$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $n$ un entier naturel non nul et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^n+1)(x^n-1)$.

Affirmation : $f'(1) = n^2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On développe à l'aide d'une identité remarquable : $f(x) = (x^n)^2 - 1 = x^{2n} - 1$.
Donc $f'(x) = 2n x^{2n-1}$, d'où $f'(1) = 2n$.
$f'(1) = 2n \neq n^2$ en général (par exemple $n = 3$ donne $6 \neq 9$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'appliquer la règle du produit directement sur $(x^n+1)(x^n-1)$ et d'évaluer en $x=1$ : $(nx^{n-1})(x^n-1) + (x^n+1)(nx^{n-1}) = n(1-1) + n(1+1) = 2n$. On obtient $2n$, pas $n^2$.
En développant : $f(x) = x^{2n} - 1$, donc $f'(x) = 2nx^{2n-1}$ et $f'(1) = 2n$, pas $n^2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En utilisant l'identité remarquable $f(x) = x^{2n} - 1$, on obtient $f'(x) = 2nx^{2n-1}$ et $f'(1) = 2n$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \backslash \{0\}$ par $f(x) = \dfrac{x+1}{x}$.

Affirmation : La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty~;~0\right[$ et sur $\left]0~;~+\infty\right[$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On pose $u(x) = x+1$ et $v(x) = x$, donc $u'(x) = v'(x) = 1$.
$f'(x) = \dfrac{x - (x+1)}{x^2} = \dfrac{-1}{x^2} < 0$ pour tout $x \neq 0$.
$f$ est donc strictement décroissante sur chacun des deux intervalles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de simplifier $f(x) = 1 + \dfrac{1}{x}$ et de raisonner sur le signe de $\dfrac{1}{x}$ plutôt que sur la dérivée, conduisant à penser que $f$ croît ou décroît selon le signe de $x$. Or $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ sur chaque intervalle.
On calcule $f'(x) = \dfrac{-1}{x^2} < 0$ pour tout $x \neq 0$. La dérivée étant strictement négative, $f$ est bien strictement décroissante sur $\left]-\infty~;~0\right[$ et sur $\left]0~;~+\infty\right[$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On calcule $f'(x) = \dfrac{-1}{x^2} < 0$ pour tout $x \neq 0$, donc $f$ est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles.
[/solution]
[/etape]

QCM : Dérivées de produits et quotients

Vrai/Faux : Dérivée — produit et quotient