Vrai/Faux : Dérivées des fonctions sinus et cosinus

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les dérivées des fonctions sinus et cosinus, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On a $\sin' = \cos$, et le « duo » est $\cos' = -\sin$ : c'est ce signe « $-$ » qu'il faut bien retenir pour le cosinus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas confondre les deux dérivées : c'est la dérivée du cosinus qui contient un signe « $-$ » ($\cos' = -\sin$), pas celle du sinus.
On a bien $\sin' = \cos$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour mémoire : $\sin' = \cos$ et $\cos' = -\sin$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(2x)$.

Affirmation : $f'(x) = -\sin(2x)$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Avec $u(x) = 2x$ on a $u'(x) = 2$, donc $f'(x) = -u'(x) \sin(u(x)) = -2\sin(2x)$.
Le facteur $2$ a été oublié dans l'affirmation.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur classique est d'oublier le coefficient $u'(x)$ pour les composées.
Pour $\cos(u)$, la dérivée est $-u' \sin(u)$. Avec $u(x) = 2x$, $u'(x) = 2$ : $f'(x) = -2\sin(2x)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La dérivée correcte est $f'(x) = -2\sin(2x)$ : il manque le facteur $u'(x) = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \sin\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

Affirmation : $g'(x) = 3\cos\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tout à fait !
Pour $\sin(ax + b)$, la dérivée est $a\cos(ax + b)$ : ici $a = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le résultat $\sin(ax+b)' = a\cos(ax+b)$ s'applique directement avec $a = 3$.
On a donc $g'(x) = 3\cos\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec la formule $\sin(ax + b)' = a\cos(ax + b)$, on obtient $g'(x) = 3\cos\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = x \sin x$.

Affirmation : $h'(x) = \cos x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien joué !
$h$ est un produit de deux fonctions : $h'(x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, $h$ est un produit $u \cdot v$ avec $u(x) = x$ et $v(x) = \sin x$, et non une simple composée.
La formule du produit donne $h'(x) = u'v + uv' = \sin x + x \cos x$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $h$ est un produit, on applique $(uv)' = u'v + uv'$ : $h'(x) = \sin x + x\cos x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $k$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x) = \sin^2 x$ (c'est-à-dire $(\sin x)^2$).

Affirmation : $k'(x) = 2 \sin x \cos x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Avec $u(x) = \sin x$, $k = u^2$ et $k' = 2 u u' = 2 \sin x \cos x$.
On reconnaît la formule de duplication : $2\sin x \cos x = \sin(2x)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour $u^2$, la dérivée vaut $2 u u'$. Ici $u = \sin x$, $u' = \cos x$, donc $k' = 2\sin x \cos x$.
On peut aussi écrire $k'(x) = \sin(2x)$ grâce à la formule de duplication.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $k(x) = (\sin x)^2$, donc $k'(x) = 2 \sin x \cos x = \sin(2x)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\varphi$ définie par $\varphi(x) = \cos(f(x))$.

Affirmation : $\varphi'(x) = -\sin(f(x))$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La dérivée d'une composée $\cos \circ f$ est $\varphi'(x) = -f'(x) \sin(f(x))$ : il manque le facteur $f'(x)$ dans l'affirmation.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'oublier la dérivation de la fonction intérieure $f$.
La formule complète est $(\cos \circ f)'(x) = -f'(x) \sin(f(x))$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La dérivée correcte est $\varphi'(x) = -f'(x) \sin(f(x))$ : le facteur $f'(x)$ est obligatoire.
[/solution]
[/etape]

QCM : Étude de fonctions trigonométriques

[enonce]
Ce QCM porte sur l'étude de fonctions trigonométriques : variations, extrema et tangentes. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Sur l'intervalle $[0\,;\,\pi]$, la fonction sinus est :
[qcm]
[option]croissante[/option]
[option]décroissante[/option]
[option correct="true"]croissante puis décroissante[/option]
[option]décroissante puis croissante[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\sin'(x) = \cos(x)$. Sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\cos(x) \geqslant 0$ donc $\sin$ est croissante. Sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$, $\cos(x) \leqslant 0$ donc $\sin$ est décroissante. Le maximum $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$ est atteint en $\dfrac{\pi}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="croissante"]Non.
$\sin$ ne peut pas être croissante sur tout $[0\,;\,\pi]$ : on a $\sin(0) = 0$ et $\sin(\pi) = 0$, donc une fonction strictement monotone non constante est exclue.[/reponse]
[reponse motif="décroissante"]Non.
La courbe de $\sin$ part de $0$ en $x = 0$ et atteint $1$ en $x = \dfrac{\pi}{2}$ : sur la première moitié, $\sin$ croît, donc elle n'est pas décroissante sur tout $[0\,;\,\pi]$.[/reponse]
[reponse motif="décroissante puis croissante"]Non.
Le sens des variations a été inversé. Étudier le signe de $\sin'(x) = \cos(x)$ sur $[0\,;\,\pi]$ : $\cos$ est positif puis négatif sur cet intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier le signe de $\sin'(x) = \cos(x)$ sur $[0\,;\,\pi]$ : $\cos(x) \geqslant 0$ sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ et $\cos(x) \leqslant 0$ sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x) - x$. Sur $\mathbb{R}$, la fonction $f$ est :
[qcm]
[option]croissante[/option]
[option correct="true"]décroissante[/option]
[option]croissante puis décroissante[/option]
[option]périodique de période $2\pi$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f'(x) = \cos(x) - 1$. Comme $\cos(x) \leqslant 1$ pour tout $x$, on a $f'(x) \leqslant 0$ partout, et $f'(x) = 0$ uniquement aux points $x = 2k\pi$ (qui sont isolés). Donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse motif="croissante"]Non.
Le signe de $f'$ a été pris à l'envers. Calculer $f'(x) = \cos(x) - 1$ et observer que $\cos(x) - 1$ est toujours négatif ou nul.[/reponse]
[reponse motif="croissante puis décroissante"]Non.
Si $f$ avait un extremum local, $f'$ devrait changer de signe. Or $f'(x) = \cos(x) - 1$ ne change jamais de signe : il est toujours $\leqslant 0$.[/reponse]
[reponse motif="périodique de période $2\pi$"]Non.
Le terme $-x$ rend $f$ non périodique : $f(x + 2\pi) = \sin(x) - x - 2\pi \neq f(x)$ en général. La présence de $-x$ casse la périodicité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f'(x) = \cos(x) - 1$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$. Comme $-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1$, on a $\cos(x) - 1 \leqslant 0$ partout.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$, la fonction $f(x) = \cos(x)$ atteint son minimum en :
[qcm]
[option]$x = 0$[/option]
[option]$x = \dfrac{\pi}{2}$[/option]
[option correct="true"]$x = \pi$[/option]
[option]$x = 2\pi$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\cos$ atteint son minimum, $-1$, lorsque le point du cercle est en $(-1\,;\,0)$, c'est-à-dire à l'angle $\pi$. Sur $[0\,;\,2\pi]$, ce minimum est atteint en $x = \pi$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 0$"]Non.
$\cos(0) = 1$ : c'est au contraire le maximum de $\cos$ sur l'intervalle, pas le minimum.[/reponse]
[reponse motif="$x = \dfrac{\pi}{2}$"]Non.
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$, ce qui n'est ni le maximum ($1$) ni le minimum ($-1$) de la fonction.[/reponse]
[reponse motif="$x = 2\pi$"]Non.
$\cos(2\pi) = 1$ par périodicité : c'est de nouveau le maximum, pas le minimum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le minimum de $\cos$ vaut $-1$. Repérer l'angle qui place le point du cercle à l'extrême gauche, en $(-1\,;\,0)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x)\cos(x)$. Une expression simplifiée de $f'(x)$ est :
[qcm]
[option]$f'(x) = \sin(2x)$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = \cos(2x)$[/option]
[option]$f'(x) = -\sin(2x)$[/option]
[option]$f'(x) = 2\cos(x)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Avec la formule du produit : $f'(x) = \cos(x)\cos(x) + \sin(x) \times (-\sin(x)) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$ (formule de duplication).[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \sin(2x)$"]Non.
$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ correspond à la fonction $f$ multipliée par $2$, pas à sa dérivée. Confusion entre $f$ (qui vaut $\dfrac{1}{2}\sin(2x)$) et $f'$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = -\sin(2x)$"]Non.
Erreur de signe et confusion avec la dérivée de $\cos(2x)$. Appliquer correctement la formule $(uv)' = u'v + uv'$ ou réécrire $f(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x)$ avant de dériver.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 2\cos(x)$"]Non.
$f$ est un produit, pas une simple composée. La règle de dérivation d'un produit donne deux termes, pas une simple multiplication par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = \sin$, $v = \cos$, ou bien réécrire $f(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x)$ et dériver.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La courbe de la fonction $f(x) = \cos(x)$ admet en $x = 0$ une tangente d'équation :
[qcm]
[option]$y = x$[/option]
[option]$y = -x$[/option]
[option]$y = x + 1$[/option]
[option correct="true"]$y = 1$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'équation de la tangente en $x = a$ est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Ici $f(0) = \cos(0) = 1$ et $f'(0) = -\sin(0) = 0$, d'où $y = 0 \times (x - 0) + 1 = 1$. La tangente est horizontale.[/reponse]
[reponse motif="$y = x$"]Non.
La pente de la tangente est $f'(0)$, qui doit être calculée. Or $f'(x) = -\sin(x)$, donc $f'(0) = 0$, pas $1$.[/reponse]
[reponse motif="$y = -x$"]Non.
$f'(x) = -\sin(x)$ donne bien un signe $-$, mais $-\sin(0) = 0$, pas $-1$. La pente vaut $0$.[/reponse]
[reponse motif="$y = x + 1$"]Non.
La constante $f(0) = 1$ est correcte, mais la pente n'est pas $1$. Calculer $f'(0)$ pour trouver la pente.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Formule de la tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Calculer $f(0)$ et $f'(0)$, puis substituer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$. La valeur maximale de $f$ sur $\mathbb{R}$ est :
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{2}$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$f'(x) = \cos(x) - \sin(x)$. $f'(x) = 0$ équivaut à $\cos(x) = \sin(x)$, soit $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$. En $x = \dfrac{\pi}{4}$ : $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. C'est bien le maximum (le minimum, atteint en $\dfrac{5\pi}{4}$, vaut $-\sqrt{2}$).[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1$ est le maximum de $\sin$ seul ou de $\cos$ seul, pas de leur somme. La somme peut atteindre une valeur plus grande lorsque les deux fonctions sont positives simultanément.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$\sin$ et $\cos$ ne peuvent pas atteindre $1$ en même temps : il y a un décalage de $\dfrac{\pi}{2}$ entre leurs maxima. Additionner les bornes individuelles surévalue le maximum réel.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$"]Non.
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est la valeur de $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ ou de $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ pris séparément. La somme des deux donne le double, soit $\sqrt{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier les variations de $f$ : calculer $f'(x) = \cos(x) - \sin(x)$, résoudre $f'(x) = 0$, puis évaluer $f$ aux points critiques.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Dérivées de sinus et cosinus

[enonce]
Ce QCM porte sur les dérivées de sinus et cosinus et les compositions simples du type $\sin(u)$ et $\cos(u)$. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x)$. La dérivée $f'$ est :
[qcm]
[option]$f'(x) = -\sin(x)$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = \cos(x)$[/option]
[option]$f'(x) = -\cos(x)$[/option]
[option]$f'(x) = x\cos(x)$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La dérivée de $\sin$ est $\cos$ : pour tout réel $x$, $f'(x) = \cos(x)$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = -\sin(x)$"]Non.
$-\sin(x)$ est la dérivée de $\cos(x)$, pas celle de $\sin(x)$. Confusion entre les deux dérivées de base.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = -\cos(x)$"]Non.
La dérivée de $\sin$ est bien $\cos$, sans signe négatif. Le signe $-$ apparaît dans la dérivée de $\cos$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = x\cos(x)$"]Non.
Aucune dérivation par rapport à un produit n'est en jeu ici : $f$ est simplement $\sin$, dont la dérivée est $\cos$ tout court.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
À retenir : $(\sin)' = \cos$ et $(\cos)' = -\sin$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \cos(x)$. La dérivée $g'$ est :
[qcm]
[option]$g'(x) = \cos(x)$[/option]
[option]$g'(x) = \sin(x)$[/option]
[option correct="true"]$g'(x) = -\sin(x)$[/option]
[option]$g'(x) = -\cos(x)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La dérivée de $\cos$ est $-\sin$ : pour tout réel $x$, $g'(x) = -\sin(x)$.[/reponse]
[reponse motif="$g'(x) = \cos(x)$"]Non.
La dérivée de $\cos$ n'est pas $\cos$ elle-même (cette propriété est celle de $\exp$). Penser à la formule $(\cos)' = -\sin$.[/reponse]
[reponse motif="$g'(x) = \sin(x)$"]Non.
Le signe a été oublié. La dérivée de $\cos$ est l'opposé de $\sin$, pas $\sin$.[/reponse]
[reponse motif="$g'(x) = -\cos(x)$"]Non.
La dérivée de $\cos$ fait apparaître $\sin$ (avec un signe $-$), pas $\cos$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
À retenir : $(\sin)' = \cos$ et $(\cos)' = -\sin$. Attention au signe pour cosinus.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(2x)$. La dérivée $f'$ est :
[qcm]
[option]$f'(x) = \cos(2x)$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = 2\cos(2x)$[/option]
[option]$f'(x) = 2\cos(x)$[/option]
[option]$f'(x) = -2\cos(2x)$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour $f(x) = \sin(ax + b)$, on a $f'(x) = a\cos(ax + b)$. Ici $a = 2$ et $b = 0$, d'où $f'(x) = 2\cos(2x)$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \cos(2x)$"]Non.
Le facteur $u' = 2$ a été oublié. Quand on dérive une composée $\sin(u(x))$, il faut multiplier par $u'(x)$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 2\cos(x)$"]Non.
L'argument $2x$ a été remplacé par $x$ à l'intérieur du $\cos$. La règle de dérivation conserve l'argument à l'intérieur, elle ne fait apparaître $u'$ qu'en facteur.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = -2\cos(2x)$"]Non.
Le signe $-$ apparaît seulement en dérivant $\cos(u)$. Ici on dérive $\sin(u)$ : pas de signe négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Formule à appliquer : $\bigl(\sin(u)\bigr)' = u' \cos(u)$. Identifier $u(x) = 2x$, donc $u'(x) = 2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(3x + 1)$. La dérivée $f'$ est :
[qcm]
[option]$f'(x) = 3\sin(3x + 1)$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = -3\sin(3x + 1)$[/option]
[option]$f'(x) = -\sin(3x + 1)$[/option]
[option]$f'(x) = -3\sin(3x)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour $f(x) = \cos(ax + b)$, on a $f'(x) = -a\sin(ax + b)$. Avec $a = 3$ et $b = 1$, $f'(x) = -3\sin(3x + 1)$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 3\sin(3x + 1)$"]Non.
Le signe $-$ provenant de la dérivée de $\cos$ a été oublié. Rappel : $(\cos(u))' = -u'\sin(u)$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = -\sin(3x + 1)$"]Non.
Le facteur $u' = 3$ a été oublié. Pour $u(x) = 3x + 1$, on a $u'(x) = 3$, qui multiplie le résultat.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = -3\sin(3x)$"]Non.
Le « $+ 1$ » a été perdu à l'intérieur du sinus. La règle de dérivation conserve l'argument $u(x)$ tel quel à l'intérieur de $\sin$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Formule à appliquer : $\bigl(\cos(u)\bigr)' = -u' \sin(u)$. L'argument $u$ reste tel quel à l'intérieur du sinus, et $u'$ apparaît en facteur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(x^2)$. La dérivée $f'$ est :
[qcm]
[option]$f'(x) = \cos(x^2)$[/option]
[option]$f'(x) = 2x \sin(x^2)$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = 2x \cos(x^2)$[/option]
[option]$f'(x) = -2x \cos(x^2)$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On applique $\bigl(\sin(u)\bigr)' = u'\cos(u)$ avec $u(x) = x^2$, donc $u'(x) = 2x$. D'où $f'(x) = 2x\cos(x^2)$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \cos(x^2)$"]Non.
Le facteur $u'(x) = 2x$ a été oublié. Pour une composée $\sin(u(x))$, il faut multiplier par la dérivée de $u$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 2x \sin(x^2)$"]Non.
Le facteur $u'$ est correct, mais le sinus n'a pas été remplacé par sa dérivée : la dérivée de $\sin$ est $\cos$, pas $\sin$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = -2x \cos(x^2)$"]Non.
Le signe $-$ apparaît seulement quand on dérive $\cos(u)$. Ici on dérive $\sin(u)$ : pas de signe négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Formule à appliquer : $\bigl(\sin(u)\bigr)' = u'\cos(u)$. Identifier $u(x) = x^2$ et calculer $u'(x)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\sin(x)$. La dérivée $f'$ est :
[qcm]
[option]$f'(x) = \cos(x)$[/option]
[option]$f'(x) = x\cos(x)$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = \sin(x) + x\cos(x)$[/option]
[option]$f'(x) = \sin(x) - x\cos(x)$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$f$ est un produit $u \times v$ avec $u(x) = x$ et $v(x) = \sin(x)$, donc $u'(x) = 1$ et $v'(x) = \cos(x)$. La formule donne $f'(x) = u'v + uv' = \sin(x) + x\cos(x)$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \cos(x)$"]Non.
$f$ a été dérivée comme s'il s'agissait d'une simple composée $\sin(x)$. Ici, $f$ est un produit $x \times \sin(x)$ : la formule de dérivation d'un produit s'applique.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = x\cos(x)$"]Non.
Le terme $u'v = 1 \times \sin(x) = \sin(x)$ a été oublié. Penser à dériver chaque facteur du produit à tour de rôle.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \sin(x) - x\cos(x)$"]Non.
Erreur de signe : la formule $(uv)' = u'v + uv'$ est une somme, pas une différence.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître un produit : $(uv)' = u'v + uv'$. Avec $u(x) = x$ et $v(x) = \sin(x)$, calculer $u'$, $v'$ et appliquer la formule.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Étude de la fonction tangente

On définit la fonction tangente ($ \tan $) par :

$ \tan\left(x\right)=\dfrac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)} $

Sur quel ensemble $ D $ la fonction tangente est elle définie ?
Montrer que la fonction tangente est périodique de période $ \pi $.

Par la suite on étudiera la fonction tangente sur l'intervalle $ I=\left] - \dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi }{2}\right[ $.
Montrer que la fonction tangente est dérivable sur $ I $ et que pour tout $ x \in I $ :

$ \tan^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{\cos^{2}\left(x\right)}=1+\tan^{2}\left(x\right) $
Calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow - \pi /2+}\tan\left(x\right) $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow \pi /2 - }\tan\left(x\right) $.

(On rappelle que la notation « $ x\rightarrow - \pi /2+ $ » signifie : « $ x\rightarrow - \pi /2 $ et $ x > - \pi /2 $ »

et « $ x\rightarrow \pi /2 - $ » signifie : « $ x\rightarrow \pi /2 $ et $ x < \pi /2 $ »)
Tracer le tableau de variation de la fonction tangente sur l'intervalle $ I $.
Tracer la courbe de la fonction tangente sur l'intervalle $ I $.
A partir de cette courbe, comment obtiendrait-on la courbe complète de la fonction tangente sur $ \mathbb{R} $?

Corrigé

La fonction tangente est définie par $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
Elle est définie dès que son dénominateur est non nul, c'est-à-dire quand $\cos(x) \neq 0$.
On sait que $\cos(x) = 0$ pour $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, soit $x = (2k+1)\dfrac{\pi}{2}$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
L'ensemble de définition est donc :

$ D = \mathbb{R} - \left\{ (2k+1)\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} $
Pour tout $x \in D$, $(x+\pi) \in D$ et :

$ \tan(x+\pi) = \dfrac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \dfrac{-\sin(x)}{-\cos(x)} = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x) $

La fonction tangente est donc périodique de période $\pi$.
Sur l'intervalle $I = \left] -\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right[$, les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont dérivables et $\cos(x) \neq 0$. Par quotient, la fonction tangente est dérivable sur $I$.

En posant $u(x) = \sin(x)$ et $v(x) = \cos(x)$, on a $u'(x) = \cos(x)$ et $v'(x) = -\sin(x)$.

$ \tan'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \dfrac{\cos^2(x) - \sin(x)(-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $

On en déduit les deux expressions de la dérivée :
Comme $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, alors $ \tan'(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)} $.
Comme $\dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} + \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$, alors $ \tan'(x) = 1 + \tan^2(x) $.
On a $\lim\limits_{x\rightarrow -\pi/2^+} \sin(x) = -1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow -\pi/2^+} \cos(x) = 0^+$ (car sur $I$, $\cos(x) > 0$).
Par quotient, $\mathbf{\lim\limits_{x\rightarrow -\pi/2^+} \tan(x) = -\infty}$.
De même, $\lim\limits_{x\rightarrow \pi/2^-} \sin(x) = 1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow \pi/2^-} \cos(x) = 0^+$.
Par quotient, $\mathbf{\lim\limits_{x\rightarrow \pi/2^-} \tan(x) = +\infty}$.
Comme $\tan'(x) = 1 + \tan^2(x)$, on a $\tan'(x) \geqslant 1$ pour tout $x \in I$. La dérivée est donc strictement positive.

On en déduit le tableau de variations de la fonction tangente sur $I$ :
Courbe représentative de la fonction tangente sur $I$ :

Comme la fonction est périodique de période $\pi$, on obtient la courbe complète sur $\mathbb{R}$ par des translations successives de vecteur $k\pi \vec{i}$ avec $k \in \mathbb{Z}$ de la portion de courbe obtenue sur $I$.

Étude d’une fonction trigonométrique

Soit la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ I = \left[0 ; \pi \right] $ par :

$ f\left(x\right)=x\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right) $

Calculer $ f^{\prime}\left(x\right) $
Tracer le tableau de variation de $ f $ sur l'intervalle $ I = \left[0 ; \pi \right] $
Montrer que l'équation $ f\left(x\right)= - 1 $ possède une unique solution sur $ I $.

Corrigé

La dérivée de la fonction $ f $ est donnée par :

$ f'(x) = 1 \times \cos(x) + x \times (-\sin(x)) - \cos(x) $

$ f'(x) = \cos(x) - x \sin(x) - \cos(x) = -x \sin(x) $
On remarque que $ f(\pi) = \pi\cos(\pi) - \sin(\pi) = \pi \times (-1) - 0 = -\pi $.
Sur l'intervalle $ [0 ; \pi] $, $ -x \le 0 $ et $ \sin(x) \ge 0 $, donc $ f'(x) \le 0 $.
On peut dresser le tableau de variations de $ f $ sur $ I $ :
Le tableau ci-dessus montre que $ f $ est monotone décroissante sur $ I $ et varie de $ 0 $ à $ -\pi $ sur cet intervalle.
En observant que $ -\pi < -1 < 0 $, on conclut d'après le théorème des valeurs intermédiaires que l'équation $ f(x) = -1 $ possède une unique solution sur l'intervalle $ I $.

Remarque : La solution dans $ I $ de l'équation $ f(x) = -1 $ est $ x = \dfrac{\pi}{2} $.

[Bac] Étude d’une fonction trigonométrique

(d'après Bac S Nouvelle Calédonie 2005 - Sujet modifié pour être conforme au programme actuel)

Un lapin désire traverser une route de $ 4 $ mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de $ 60 $ km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n'est plus qu'à $ 7 $ mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu'il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c'est à dire à ... $ 30 $ km/h !

L'avant du camion est représenté par le segment $ \left[CC^{\prime}\right] $ sur le schéma ci-dessous.

Le lapin part du point $ A $ en direction de $ D $.

Cette direction est repérée par l'angle $ \theta =\widehat{BAD} $ avec $ 0 \leqslant \theta < \dfrac{\pi }{2} $(en radians).

Déterminer les distances $ AD $ et $ CD $ en fonction de $ \theta $ et les temps $ t_{1} $ et $ t_{2} $ mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances $ AD $ et $ CD $.
On pose $ f\left(\theta \right)=\dfrac{7}{2}+\dfrac{2 \sin \theta - 4}{\cos \theta } $.

Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $ f\left(\theta \right) > 0 $.
Étudier la fonction $ f $ sur l'intervalle $ \left[0 ; \dfrac{\pi }{2}\right[ $.

Conclure.

Corrigé

Le triangle $ ABC $ étant rectangle en $ B $ :

$ \cos \theta =\dfrac{AB}{AD} $ donc $ AD=\dfrac{AB}{\cos \theta }=\dfrac{4}{\cos \theta } $

$ \sin \theta =\dfrac{BD}{AD} $ donc $ BD=AD \sin \theta = \dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta } $

$ CD=CB+BD=7+\dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta } $

$ 60 $km/h=$ 1 000 $m/minute et $ 30 $km/h=$ 500 $m/minute

Le temps, en minutes, mis par le lapin pour parcourir $ AD $ est donc :

$ t_{1}=\dfrac{1}{500}\left(\dfrac{4}{\cos \theta }\right) $

Le temps, en minutes, mis par le camion pour parcourir $ CD $ :

$ t_{2}= \dfrac{1}{1000}\left(7+\dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta }\right) $
Le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $ t_{2} > t_{1} $, c'est à dire $ t_{2} - t_{1} > 0 $. Or :

$ t_{2} - t_{1}=\dfrac{1}{1000}\left(7+\dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta }\right) - \dfrac{1}{500}\left(\dfrac{4}{\cos \theta }\right) $

$ t_{2} - t_{1}=\dfrac{1}{500}\left(\dfrac{1}{2}\left(7+\dfrac{4 \sin \theta }{\cos \theta }\right) - \dfrac{4}{\cos \theta }\right) $

$ t_{2} - t_{1}=\dfrac{1}{500}\left(\dfrac{7}{2}+\dfrac{2 \sin \theta }{\cos \theta } - \dfrac{4}{\cos \theta }\right) $

$ t_{2} - t_{1}=\dfrac{1}{500}f\left(\theta \right) $

Donc le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $ f\left(\theta \right) > 0 $.
On pose $ u\left(\theta \right)=2\sin \theta - 4 $ et $ v\left(\theta \right)=\cos\left(\theta \right) $

$ f^{\prime}\left(\theta \right)=\dfrac{u^{\prime}\left(\theta \right)v\left(\theta \right) - u\left(\theta \right)v^{\prime}\left(\theta \right)}{v\left(\theta \right)^{2}}=\dfrac{2\cos^{2}\theta - \left(2\sin \theta - 4\right)\times - \sin \theta }{\cos^{2}\theta } $

$ f^{\prime}\left(\theta \right)=\dfrac{2\left(\cos^{2}\theta +\sin^{2}\theta \right) - 4\sin \theta }{\cos^{2}\theta }=\dfrac{2 - 4\sin \theta }{\cos^{2}\theta }=\dfrac{2\left(1 - 2\sin \theta \right)}{\cos^{2}\theta } $

$ f^{\prime}\left(\theta \right) > 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin \theta > 0 \Leftrightarrow - 2\sin \theta > - 1 \Leftrightarrow \sin \theta < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \theta < \sin \dfrac{\pi }{6} $

Or la fonction sinus étant strictement croissante sur l'intervalle $ \left[0 ; \dfrac{\pi }{2}\right[ $, $ \sin \theta < \sin \dfrac{\pi }{6} \Leftrightarrow \theta < \dfrac{\pi }{6} $

$ f\left(0\right)=\dfrac{7}{2} - 4= - \dfrac{1}{2} $

Lorsque $ \theta $ tend vers $ \dfrac{\pi }{2} $ en restant inférieur à $ \dfrac{\pi }{2} $, $ \cos \theta $ tend vers zéro en restant positif et $ 2 \sin \theta - 4 $ est négatif donc, par quotient :

$ \lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{\pi }{2}^ - }\dfrac{2 \sin \theta - 4}{\cos \theta }= - \infty $

et par somme :

$ \lim\limits_{\theta \rightarrow \frac{\pi }{2}^ - }f\left(\theta\right)= - \infty $

On en déduit le tableau de variation de la fonction $ f $ :

et sa courbe représentative :

A la calculatrice on trouve : $ f\left(\dfrac{\pi }{6}\right)\approx 0.04 > 0 $

Le lapin peut donc être sauvé si l'angle $ \theta $ est proche de $ \dfrac{\pi }{6} $