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QCM : ln — Dérivée et variations

[enonce]
Ce QCM porte sur la dérivée du logarithme népérien et de ses fonctions composées $\ln(u)$, ainsi que sur l'étude du sens de variation qui en découle. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par $f(x) = \ln(x)$ est :
[qcm]
[option correct="true"]$f'(x) = \dfrac{1}{x}$[/option]
[option]$f'(x) = -\dfrac{1}{x}$[/option]
[option]$f'(x) = \dfrac{1}{\ln(x)}$[/option]
[option]$f'(x) = x$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction $\ln$ est dérivable sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$. C'est la dérivée fondamentale à connaître.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = -\dfrac{1}{x}$"]Non.
Erreur de signe : la dérivée de $\ln$ est positive sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, ce qui est cohérent avec le sens de variation de la fonction.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{1}{\ln(x)}$"]Non.
La dérivée n'est pas l'inverse de la fonction elle-même. C'est un résultat de cours à mémoriser, sans passer par $\ln(x)$ au dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = x$"]Non.
Confusion possible avec une primitive ou une autre opération. La dérivée de $\ln$ est une fraction très simple en $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La dérivée de $\ln$ sur son domaine est une formule fondamentale du cours à connaître par cœur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\left]-\dfrac{5}{3}\,;\,+\infty\right[$ par $f(x) = \ln(3x + 5)$ est :
[qcm]
[option]$f'(x) = \dfrac{1}{3x + 5}$[/option]
[option]$f'(x) = \dfrac{1}{3}$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = \dfrac{3}{3x + 5}$[/option]
[option]$f'(x) = \dfrac{3}{x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On utilise la formule $\big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = 3x + 5$ et $u'(x) = 3$, ce qui donne $f'(x) = \dfrac{3}{3x + 5}$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{1}{3x + 5}$"]Non.
Le facteur $u'$ a été oublié au numérateur. La dérivée de $\ln(u)$ ne se réduit pas à $\dfrac{1}{u}$ dès que $u$ n'est pas $x$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{1}{3}$"]Non.
Cette réponse correspond uniquement à la dérivée de l'argument $3x + 5$, pas à la dérivée de la fonction composée. Il faut combiner $u'$ et $\dfrac{1}{u}$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{3}{x}$"]Non.
Le dénominateur reste l'expression $u(x) = 3x + 5$ entière, et non simplement $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la formule de dérivation $\big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u}$ en identifiant correctement $u$ et $u'$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ est :
[qcm]
[option]$f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$[/option]
[option]$f'(x) = \dfrac{1}{2x}$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$[/option]
[option]$f'(x) = 2x$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Avec $u(x) = x^2 + 1$ et $u'(x) = 2x$, la formule $\big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u}$ donne $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$"]Non.
La dérivée $u'$ a été oubliée au numérateur. La formule complète comporte $u'$ en haut, pas seulement $1$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{1}{2x}$"]Non.
On a placé $u'$ au dénominateur au lieu du numérateur. Vérifier soigneusement la position de $u'$ et $u$ dans la formule de dérivation.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 2x$"]Non.
Cette réponse correspond uniquement à la dérivée de $u$, pas à la dérivée de $\ln(u)$. La fonction $\ln$ n'a pas disparu.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier $u$ et $u'$, puis appliquer $\big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur son ensemble de définition $\left]0\,;\,+\infty\right[$, la fonction $\ln$ est :
[qcm]
[option]strictement décroissante[/option]
[option correct="true"]strictement croissante[/option]
[option]ni croissante ni décroissante[/option]
[option]croissante puis décroissante[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La dérivée $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ est strictement positive sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, donc $\ln$ est strictement croissante sur tout son domaine.[/reponse]
[reponse motif="strictement décroissante"]Non.
Erreur de signe sur la dérivée : $\dfrac{1}{x}$ est strictement positive pour $x > 0$, ce qui donne un sens de variation opposé.[/reponse]
[reponse motif="ni croissante ni décroissante"]Non.
Le signe de la dérivée est constant sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, donc la fonction a un sens de variation bien défini sur tout son domaine.[/reponse]
[reponse motif="croissante puis décroissante"]Non.
La dérivée $\dfrac{1}{x}$ ne change pas de signe sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$. Le sens de variation est donc le même sur tout l'intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Étudier le signe de $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ et conclure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ par $f(x) = x \ln(x)$ est :
[qcm]
[option]$f'(x) = \ln(x)$[/option]
[option]$f'(x) = \dfrac{1}{x}$[/option]
[option correct="true"]$f'(x) = \ln(x) + 1$[/option]
[option]$f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On dérive un produit avec $u(x) = x$ et $v(x) = \ln(x)$ : $f'(x) = u'v + uv' = 1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} = \ln(x) + 1$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \ln(x)$"]Non.
On a dérivé seulement le facteur $x$ sans tenir compte du facteur $\ln(x)$. Pour un produit, il faut appliquer la règle $(uv)' = u'v + uv'$.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = \dfrac{1}{x}$"]Non.
On a dérivé seulement $\ln(x)$ sans tenir compte du facteur $x$. La règle du produit demande de combiner les deux dérivations.[/reponse]
[reponse motif="$f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x}$"]Non.
La dérivée du produit $x \cdot \ln(x)$ ne consiste pas à dériver chaque facteur séparément et à additionner. Appliquer correctement la formule $(uv)' = u'v + uv'$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître un produit de deux fonctions et appliquer la règle $(uv)' = u'v + uv'$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur l'intervalle $\left]2\,;\,+\infty\right[$, la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln(x^2 - 4)$ est :
[qcm]
[option]décroissante[/option]
[option]d'abord décroissante puis croissante[/option]
[option correct="true"]croissante[/option]
[option]constante[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On a $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 - 4}$. Sur $\left]2\,;\,+\infty\right[$, on a $2x > 0$ et $x^2 - 4 > 0$, donc $f'(x) > 0$ : la fonction est strictement croissante.[/reponse]
[reponse motif="décroissante"]Non.
Étudier le signe de $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 - 4}$ sur l'intervalle $\left]2\,;\,+\infty\right[$ : numérateur et dénominateur sont tous deux strictement positifs.[/reponse]
[reponse motif="d'abord décroissante puis croissante"]Non.
Le signe de la dérivée ne change pas sur $\left]2\,;\,+\infty\right[$ : $2x$ et $x^2 - 4$ y sont tous deux strictement positifs. Aucun changement de variation n'est possible sur cet intervalle.[/reponse]
[reponse motif="constante"]Non.
La dérivée n'est pas nulle sur $\left]2\,;\,+\infty\right[$, donc la fonction n'est pas constante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $f'$ avec la formule $\big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u}$, puis étudier son signe sur l'intervalle considéré.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Sujet 0 – Logarithme et exponentielle

On considère les fonctions $ f_k $ définies sur $ \mathbb{R} $ par $ f_k(x) = x + ke^{ - x} $, où $ k $ est un réel strictement positif.

  1. On s’intéresse dans cette question au cas $ k = 0{,}5 $, donc à la fonction $ f_{0{,}5} $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f_{0{,}5}(x) = x + 0{,}5e^{ - x} $.

    1. Montrer que la dérivée de $ f_{0{,}5} $, notée $ f^{\prime}_{0{,}5} $, vérifie $ f^{\prime}_{0{,}5}(x) = 1 - 0{,}5e^{ - x} $.
    2. Montrer que la fonction $ f_{0{,}5} $ admet un minimum en $ \ln(0{,}5) $.

    Soit $ k $ un réel strictement positif. On donne le tableau de variations de la fonction $ f_k $.

    Bac spé sujet 0 tableau de variations

  2. Montrer que pour tout réel positif $ k $, $ f_k(\ln(k)) = \ln(k) + 1 $

    On note $ C_k $ la courbe représentative de la fonction $ f_k $ dans un plan muni d’un repère orthonormé. On note $ A_k $ le point de la courbe $ C_k $ d’abscisse $ \ln(k) $. On a représenté ci-dessous quelques courbes $ C_k $ pour différentes valeurs de $ k $.

    Bac 2024 sujet 0 logarithme exponentielle
  3. Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

    « Pour tout réel $ k $ strictement positif, les points $ A_{0{,}5} $, $ A_1 $ et $ A_k $ sont alignés. »

Corrigé

    1. Calculons la dérivée de $ f_{0{,}5} $ :

      La dérivée de $ x $ est 1, et la dérivée de $ 0{,}5e^{ - x} $ est :

      $ (0{,}5e^{ - x})^{\prime} = 0{,}5 \times ( - e^{ - x}) = - 0{,}5e^{ - x} $

      Donc, la dérivée de $ f_{0{,}5}(x) $ est :

      $ f^{\prime}_{0{,}5}(x) = 1 - 0{,}5e^{ - x} $
    2. Pour déterminer les points où la dérivée s'annule, nous résolvons l'équation $ f^{\prime}_{0{,}5}(x) = 0 $ :

      $ 1 - 0{,}5e^{ - x} = 0 $

      $ 0{,}5e^{ - x} = 1 $

      $ e^{ - x} = 2 $

      $ - x = \ln(2) $

      $ x = - \ln(2) = \ln(0{,}5) $

      Par ailleurs :
    3. Pour $ x < \ln(0{,}5) $, $ e^{ - x} > 2 $ donc $ 1 - 0{,}5e^{ - x} < 0 $.
    4. Pour $ x > \ln(0{,}5) $, $ e^{ - x} < 2 $ donc $ 1 - 0{,}5e^{ - x} > 0 $.

      La dérivée $ f^{\prime}_{0{,}5}(x) $ change de signe de négatif à positif pour $ x = \ln(0{,}5) $, donc $ f_{0{,}5} $ admet un minimum en $ x = \ln(0{,}5) $.
  2. Calculons $ f_k(\ln(k)) $ :

    $ f_k(x) = x + ke^{ - x} $

    Remplaçons $ x $ par $ \ln(k) $ :

    $ f_k(\ln(k)) = \ln(k) + k e^{ - \ln(k)} $

    Nous savons que $ e^{ - \ln(k)} = \dfrac{1}{e^{\ln(k)}} = \dfrac{1}{k} $, donc :

    $ f_k(\ln(k)) = \ln(k) + k \times \dfrac{1}{k} = \ln(k) + 1 $

  3. Considérons les points $ A_{0{,}5} $, $ A_1 $ et $ A_k $ :

    • $ A_{0{,}5} $ a pour coordonnées $ \left(\ln(0{,}5); \ln(0{,}5) + 1 \right) $.
    • $ A_1 $ a pour coordonnées $ \left(\ln(1); \ln(1) + 1 \right) = \left(0, 1 \right) $.
    • $ A_k $ a pour coordonnées $ \left(\ln(k); \ln(k) + 1 \right) $.

    On remarque facilement que les coordonnées de ces trois points vérifient l'équation de la droite $ y = x + 1 $ ; ils sont donc alignés sur la droite d'équation $ y = x + 1 $.

    L'affirmation est donc vraie.

Fonction logarithme – Bac S Pondichéry 2016

Soit $ f $ la fonction définie sur $ ]0~;~14] $ par

$ f(x) = 2 - \ln\left(\dfrac{x}{2}\right). $

La courbe représentative $ \mathscr{C}_f $ de la fonction $ f $ est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous :

Courbe de la fonction f(x)=2-ln(x/2) sur ]0;14] avec le rectangle OPMQ

À tout point $ M $ appartenant à $ \mathscr{C}_f $ on associe le point $ P $ projeté orthogonal de $ M $ sur l'axe des abscisses, et le point $ Q $ projeté orthogonal de $ M $ sur l'axe des ordonnées.

  • L'aire du rectangle $ OPMQ $ est-elle constante quelle que soit la position du point $ M $ sur $ \mathscr{C}_f $ ?
  • L'aire du rectangle $ OPMQ $ peut-elle être maximale ?

    Si oui, préciser les coordonnées du point $ M $ correspondant.

Justifier les réponses.

Corrigé

Notons $ x $ l'abscisse du point $ M $.$ x $ est positif donc $ OP=x $.

Le point $ M $ appartient à la courbe $ \mathscr C_f $; son ordonnée est donc $ f(x) $. Comme $ f $ est positive sur $ ]0~;~14] $, $ OQ=f(x) $.

L'aire du rectangle $ OPMQ $ est donc :

$ \mathscr A(x)=OP \times OQ =x \times f(x) = 2x - x\ln \left(\dfrac{x}{2}\right) $

Cette aire n'est pas constante.

La fonction $ \mathscr A $ est dérivable sur $ ]0~;~14] $ :

$ \left(\ln \left(\dfrac{x}{2}\right) \right) ^{\prime} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1}{x} $

$ \left(x\ln \left(\dfrac{x}{2}\right) \right) ^{\prime} = \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) + x \times \dfrac{1}{x} = 1 + \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) $

$ \mathscr A^{\prime}(x)=2 - \left[1 + \ln \left(\dfrac{x}{2}\right)\right]=1 - \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) $

Etudions le signe de $ \mathscr A^{\prime}(x) $ :

$ \mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ \Leftrightarrow \ 1 - \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) > 0 $

$ \phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ \ln \left(\dfrac{x}{2}\right) < 1 $

$ \phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ \dfrac{x}{2} < e $ (par croissance de la fonction exponentielle)

$ \phantom{\mathscr A^{\prime}(x) > 0 \ }\Leftrightarrow \ x < 2e $

On démontre de même que $ \mathscr A^{\prime}(x) < 0 \ \Leftrightarrow \ x > 2e $ et $ \mathscr A^{\prime}(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 2e $.

Par ailleurs :

$ f(2e)=2 - \ln\left(\dfrac{2e}{2}\right)=2 - \ln(e)=2 - 1=1 $

et $ \mathscr A(2e)=2e \times f(2e)=2e $

On obtient le tableau de variations suivant :

Tableau de variations de A(x) sur ]0;14] avec maximum en 2e

D'après ce tableau, l'aire du rectangle $ OPMQ $ est maximale au point $ M $ de coordonnées $ (2e~;~f(2e)) $ c'est à dire $ M(2e~;~1) $.

Positions relatives – Bac ES/L Métropole 2015

On considère la fonction $ f $ définie sur $ ]0~;~ +\infty[ $ par

$ f(x) = 3x - 3x\ln (x). $

On note $ \mathcal{C}_f $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé et $ T $ la tangente à $ \mathcal{C}_f $ au point d'abscisse $ 1 $.

Quelle est la position relative de $ \mathcal{C}_f $ par rapport à $ T $ ?

Corrigé

Infos

Étudier les positions relatives de deux courbes, c'est trouver les points d'intersection des deux courbes et indiquer quelle courbe est au dessus de l'autre, en découpant, si nécessaire, l'ensemble d'étude en plusieurs sous-intervalles.

L'équation réduite de la tangente $ T $ à la courbe $ \mathcal{C}_f $ au point d'abscisse $ 1 $ est :

$ y=f^{\prime}(1)(x - 1)+f(1) $

Pour dériver $ 3x\ln(x) $ on utilise la formule $ (uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} $ :

$ f^{\prime}(x)=3 - \left(3\ln(x)+3x \times \dfrac{1}{x}\right)= - 3\ln(x) $

Par conséquent :

$ f^{\prime}(1)= - 3\ln(1)=0 $

Par ailleurs :

$ f(1)=3 - 3\ln(1)=3 $

L'équation de la droite $ T $ est donc $ y=3 $.

A ce stade, il peut être utile de représenter la fonction $ f $ et la droite $ T $ à la calculatrice.

Courbe de f(x)=3x-3xln(x) et sa tangente T en x=1

On voit sur cette figure que la courbe $ \mathcal{C}_f $ est située au dessous de la tangente $ T $.

Pour prouver ce résultat, on va étudier les variations de la fonction $ f $. On a déjà calculé $ f^{\prime}(x) $; étudions le signe de cette dérivée :

$ f^{\prime}(x) > 0 \Leftrightarrow - 3\ln(x) > 0 $

$ \phantom{f^{\prime}(x) > 0 }\Leftrightarrow 3\ln(x) < 0 $

$ \phantom{f^{\prime}(x) > 0 }\Leftrightarrow \ln(x) < 0 $

$ \phantom{f^{\prime}(x) > 0 }\Leftrightarrow x < e^0 $ (car la fonction exponentielle est croissante)

$ \phantom{f^{\prime}(x) > 0 }\Leftrightarrow x < 1 $

On démontre de même que $ f^{\prime}(x) < 0 \Leftrightarrow x > 1 $

On obtient donc le tableau de variations suivant :

Tableau de variations de f sur ]0;+infini[

Ce tableau montre que la fonction $ f $ admet un maximum égal à $ 3 $, donc sur l'intervalle $ ]0;+\infty[ $ la courbe $ \mathcal{C}_f $ est située au-dessous de la tangente $ T $.

Étude de fonction et équations – Bac S Amérique du Nord 2008

(6 points) Commun à tous les candidats Soit $ f $ la fonction définie sur l'intervalle $ \left]1; +\infty \right[ $ par $ f\left(x\right)=\ln x - \dfrac{1}{\ln x} $.

On nomme $ \left(C\right) $ la courbe représentative de $ f $ et $ \Gamma $ la courbe d'équation $ y=\ln x $ dans un repère orthogonal $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $.

  1. Étudier les variations de la fonction $ f $ et préciser les limites en $ 1 $ et en $ +\infty $.
    1. Déterminer $ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty }\left[f\left(x\right) - \ln x\right] $. Interpréter graphiquement cette limite.
    2. Préciser les positions relatives de $ \left(C\right) $ et de $ \Gamma $.

  3. On se propose de chercher les tangentes à la courbes $ \left(C\right) $ passant par le point $ O $.

    1. Soit $ a $ un réel appartenant à l'intervalle $ \left]1; +\infty \right[ $.

      Démontrer que la tangente $ T_{a} $ à $ \left(C\right) $ au point d'abscisse a passe par l'origine du repère si et seulement si $ f\left(a\right) - a f^{\prime}\left(a\right)=0 $.

      Soit $ g $ la fonction définie sur l'intervalle $ \left]1; +\infty \right[ $ par $ g\left(x\right)=f\left(x\right) - x f^{\prime} \left(x\right) $.
    2. Montrer que sur $ \left]1; +\infty \right[ $, les équations $ g\left(x\right)=0 $ et $ \left(\ln x\right)^{3} - \left(\ln x\right)^{2} - \ln x - 1=0 $ ont les mêmes solutions.
    3. Après avoir étudié les variations de la fonction $ u $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ u\left(t\right)=t^{3} - t^{2} - t - 1 $, montrer que la fonction $ u $ s'annule une fois et une seule sur $ \mathbb{R} $.

    4. En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe $ \left(C\right) $ passant par le point $ O $.

      La courbe $ \left(C\right) $ et la courbe $ \Gamma $ sont données en annexe ci-dessous.

      Représentations graphiques obtenues à l'aide d'un tableur :

      Courbes Γ (ln x) et C (f = ln x − 1/ln x) — Bac S Amérique du Nord 2008

      Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.

  4. On considère un réel $ m $ et l'équation $ f\left(x\right)=mx $ d'inconnue $ x $.

    Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel $ m $, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle $ \left]1 ; 10\right] $.

Corrigé

Bac S Amérique du Nord 2008 corrigé 1
Bac S Amérique du Nord 2008 corrigé 2
Bac S Amérique du Nord 2008 corrigé 3

[Bac] Étude d’une fonction avec logarithme (2)

Extrait d'un exercice du Bac S Métropole 2012.

Le sujet complet nécessite l'étude des chapitres Suites et Primitives/intégrales.

On désigne par $ f $ la fonction définie sur l'intervalle $ \left[1 ; +\infty \right[ $ par

$ f\left(x\right) = \dfrac{1}{x+1} + \ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right). $

  1. Déterminer la limite de la fonction $ f $ en $ + \infty $.
  2. Démontrer que pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ \left[1 ; +\infty \right[ $, $ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)^{2}} $.

    Dresser le tableau de variation de la fonction $ f $.
  3. En déduire le signe de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ \left[1 ; +\infty \right[ $.

Corrigé

  1. On remarque que $ \lim\limits_{x\to+\infty} \left(\dfrac{1}{x+1}\right) = 0 $ et $ \lim\limits_{x\to+\infty} \ln \left(\dfrac{x}{x+1}\right) = \ln(1) = 0 $.

    On en déduit que :

    $ \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 0 $

  2. Pour tout réel de $ I $, on a :

    $ f'(x) = \left(\dfrac{1}{u}\right)' + [\ln(v)]' = -\dfrac{u'}{u^2} + \dfrac{v'}{v} $

    avec $ u = x+1 $ et $ u' = 1 $, d'où $-\dfrac{u'}{u^2} = -\dfrac{1}{(x+1)^2}$

    et $ v = \dfrac{x}{x+1} $ et $ v' = \dfrac{1}{(x+1)^2} $, d'où $\dfrac{v'}{v} = \dfrac{1}{(x+1)^2} \times \dfrac{x+1}{x} = \dfrac{1}{x(x+1)}$.

    Donc :

    $ f'(x) = -\dfrac{1}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{x(x+1)} = \dfrac{-x + x+1}{x(x+1)^2} = \dfrac{1}{x(x+1)^2} $

    Ceci montre que $ f'(x) $ a le même signe que $ x $, c'est-à-dire que $ f' $ est strictement positive sur $ I $.

    En remarquant que $ f(1) = \dfrac{1}{2} + \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2} - \ln(2) \approx -0{,}193 $ à $ 10^{-3} $ près, on peut dresser le tableau de variation de $ f $ :

    Tableau de variations
  3. On en déduit que $ f(x) < 0 $ sur $ I $.

[Bac] Étude d’une fonction avec logarithme (1)

Extrait d'un exercice du Bac S Amérique du Nord 2013.

Le sujet complet nécessite l'étude du chapitre Primitives/intégrales.

Soit $ f $ la fonction définie sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $ par

$ f\left(x\right)=\dfrac{1+\ln \left(x\right)}{x^{2}} $

et soit $ \mathscr C $ la courbe représentative de la fonction $ f $ dans un repère du plan. La courbe $ \mathscr C $ est donnée ci-dessous :

fonction avec logarithme
    1. Étudier la limite de $ f $ en $ 0 $.
    2. Que vaut $ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty } \dfrac{\ln \left(x\right)}{x} $ ?

      En déduire la limite de la fonction $ f $ en $ + \infty $.
    3. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $ \mathscr C $.
    1. On note $ f^{\prime} $ la fonction dérivée de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $.

      Démontrer que, pour tout réel $ x $ appartenant à l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $,

      $ f^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{ - 1 - 2\ln \left(x\right)}{x^{3}}. $
    2. Résoudre sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $ l'inéquation $ - 1 - 2\ln\left(x\right) > 0 $.

      En déduire le signe de $ f^{\prime}\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $.
    3. Dresser le tableau des variations de la fonction $ f $.
    1. Démontrer que la courbe $ \mathscr C $ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
    2. En déduire le signe de $ f\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left]0 ;+\infty \right[ $.

Corrigé

fonction avec logarithme - corrigé-1
fonction avec logarithme - corrigé-2