Vrai/Faux : p-listes et k-uplets

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les p-listes (ou k-uplets), indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $E = \{a, b, c, d\}$ un ensemble à $4$ éléments.

Affirmation : Le nombre de $3$-listes (ou triplets) d'éléments de $E$, avec répétitions autorisées, est $4^3 = 64$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une $p$-liste d'un ensemble à $n$ éléments est un $p$-uplet où chaque coordonnée est choisie librement parmi $n$ éléments.
Le nombre total est $n^p = 4^3 = 64$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour une $p$-liste avec répétition, chaque position est choisie indépendamment parmi $n$ valeurs.
On applique le principe multiplicatif : $4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le nombre de $p$-listes d'un ensemble à $n$ éléments est $n^p$, ici $4^3 = 64$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On tire successivement $3$ boules d'une urne contenant $7$ boules numérotées de $1$ à $7$, sans remise.

Affirmation : Le nombre de tirages possibles est $7^3 = 343$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Sans remise, les boules tirées sont distinctes. À chaque tirage le nombre de choix diminue : il y a $7 \times 6 \times 5 = 210$ tirages.
La formule $7^3$ correspond au cas avec remise.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre tirage avec et sans remise. Sans remise, une boule déjà tirée n'est plus disponible.
Le nombre de choix décroît à chaque étape : $7 \times 6 \times 5 = 210$ tirages possibles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Sans remise, on obtient $7 \times 6 \times 5 = 210$ tirages, et non $7^3 = 343$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un mot de passe est composé de $5$ caractères choisis parmi les $26$ lettres de l'alphabet, avec répétitions autorisées et l'ordre comptant.

Affirmation : Le nombre de mots de passe est $26^5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Chaque position est choisie indépendamment parmi $26$ lettres : il s'agit d'une $5$-liste de $\{a,\dots,z\}$.
Par le principe multiplicatif : $26 \times 26 \times 26 \times 26 \times 26 = 26^5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Comme les répétitions sont autorisées, chaque position est libre parmi $26$ valeurs, indépendamment des autres.
Par le principe multiplicatif appliqué $5$ fois : $26^5$ mots de passe.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le nombre de $5$-listes de $\{a,\dots,z\}$ est $26^5$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $E$ un ensemble à $5$ éléments.

Affirmation : Le nombre de couples $(x,y)$ avec $x \in E$, $y \in E$ et $x \neq y$ est $5^2 = 25$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La condition $x \neq y$ exclut les couples diagonaux. Une fois $x$ choisi (5 possibilités), $y$ est choisi parmi les $4$ restants.
On obtient $5 \times 4 = 20$ couples, et non $25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, $5^2 = 25$ compte tous les couples, y compris ceux où $x = y$.
La contrainte $x \neq y$ retire les $5$ couples diagonaux : il reste $5 \times 4 = 20$ couples (équivalent à un tirage ordonné sans remise).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Avec la contrainte $x \neq y$, on obtient $5 \times 4 = 20$ couples.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'ensemble $E = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

Affirmation : Le nombre de $4$-uplets d'éléments de $E$ dont toutes les coordonnées sont distinctes est $9 \times 8 \times 7 \times 6$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Quand les coordonnées doivent être distinctes, le nombre de choix décroît à chaque position.
On obtient $9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3\,024$ uplets.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La condition « coordonnées distinctes » modélise un tirage ordonné sans remise.
À chaque position, le nombre de valeurs possibles diminue de $1$ : $9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3\,024$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour des coordonnées distinctes, on obtient $9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3\,024$ uplets.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Une voiture porte une plaque de la forme LL-NNN-LL, soit deux lettres, trois chiffres puis deux lettres (les répétitions sont autorisées). On dispose de $26$ lettres et de $10$ chiffres.

Affirmation : Le nombre de plaques possibles est $26^4 \times 10^3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Il y a $26$ choix pour chacune des $4$ lettres et $10$ choix pour chacun des $3$ chiffres.
Par le principe multiplicatif : $26^4 \times 10^3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de mélanger les positions. La plaque comporte au total $4$ lettres et $3$ chiffres, indépendamment de leur disposition.
Par le principe multiplicatif : $\underbrace{26 \times 26}_{\text{début}} \times \underbrace{10 \times 10 \times 10}_{\text{milieu}} \times \underbrace{26 \times 26}_{\text{fin}} = 26^4 \times 10^3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On obtient $26^4 \times 10^3$ plaques différentes.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Factorielles et principe multiplicatif

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les factorielles et le principe multiplicatif, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $5! = 120$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On a bien $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la factorielle $n!$ est le produit de tous les entiers de $1$ à $n$.
Ici $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On obtient $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $0! = 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par convention, on pose $0! = 1$. Cette convention assure la cohérence des formules de dénombrement (notamment $\binom{n}{0} = \dfrac{n!}{0! \, n!} = 1$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre $0!$ avec $0 \times \dots$ : $0!$ ne se calcule pas comme un produit débutant par $0$.
Par convention, $0! = 1$, ce qui rend cohérentes les formules de combinaisons et la formule $n! = n \times (n-1)!$ pour $n = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Par convention, $0! = 1$ (et non $0$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Au restaurant, un menu se compose d'une entrée et d'un plat. Trois entrées et quatre plats sont proposés.

Affirmation : Il est possible de composer $12$ menus différents.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
D'après le principe multiplicatif, le nombre de menus est $3 \times 4 = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est d'additionner les choix ($3 + 4 = 7$) au lieu de les multiplier.
Quand un objet se construit en faisant successivement des choix indépendants, on multiplie les nombres de possibilités : $3 \times 4 = 12$ menus.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Par le principe multiplicatif, on obtient $3 \times 4 = 12$ menus.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\dfrac{8!}{6!} = \dfrac{8}{6}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une factorielle ne se simplifie pas comme un nombre.
On a $\dfrac{8!}{6!} = \dfrac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre les notations : $8!$ et $8$ ne sont pas la même chose.
On peut simplifier en factorisant $6!$ au numérateur : $\dfrac{8!}{6!} = \dfrac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. En réalité $\dfrac{8!}{6!} = 8 \times 7 = 56$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On souhaite construire un code formé de $4$ chiffres pris parmi $0,1,2,\dots,9$ (les répétitions sont autorisées).

Affirmation : Le nombre de codes possibles est $10\,000$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Chaque chiffre du code est choisi indépendamment parmi $10$ possibilités.
Par le principe multiplicatif, on obtient $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10\,000$ codes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention, comme les répétitions sont autorisées, chaque position peut accueillir n'importe lequel des $10$ chiffres, indépendamment des autres.
Par le principe multiplicatif appliqué $4$ fois : $10^4 = 10\,000$ codes possibles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On obtient $10^4 = 10\,000$ codes possibles.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $4! + 3! = 7!$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La factorielle n'est pas additive : $4! + 3! = 24 + 6 = 30$, alors que $7! = 5\,040$.
Les deux quantités sont très différentes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège classique est d'additionner les arguments comme dans une exponentielle ou une puissance. Cela ne fonctionne pas avec la factorielle.
On calcule séparément : $4! = 24$ et $3! = 6$, donc $4! + 3! = 30$. Or $7! = 5\,040$, donc l'égalité est fausse.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On a $4! + 3! = 24 + 6 = 30$, très loin de $7! = 5\,040$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Principe multiplicatif et p-listes

[enonce]
Ce QCM porte sur le principe multiplicatif et le dénombrement des p-listes (k-uplets) : tirages avec répétition, codes, applications. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On lance trois dés à six faces, distincts (rouge, bleu, vert). Combien de résultats différents peut-on obtenir (l'ordre des dés est pris en compte) ?
[qcm]
[option]$18$[/option]
[option correct="true"]$216$[/option]
[option]$36$[/option]
[option]$720$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Chaque dé peut donner $6$ résultats indépendamment des autres. Par le principe multiplicatif, on a $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$ résultats possibles.[/reponse]
[reponse motif="$18$"]Non.
$18 = 3 \times 6$ correspond à une somme de possibilités, pas à des choix successifs. Quand plusieurs choix sont indépendants, on multiplie les nombres de possibilités.[/reponse]
[reponse motif="$36$"]Non.
$36 = 6^2$ correspondrait à deux dés seulement. On a oublié un dé.[/reponse]
[reponse motif="$720$"]Non.
$720 = 6!$ correspondrait à des permutations de $6$ objets. Ici, on lance $3$ dés à $6$ faces, pas $6$ objets à ranger.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trois choix indépendants à $6$ possibilités chacun : appliquer le principe multiplicatif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On forme un code à $4$ chiffres, chaque chiffre étant pris dans $\{0, 1, 2, ..., 9\}$ (les répétitions sont autorisées). Combien de codes différents peut-on former ?
[qcm]
[option]$40$[/option]
[option]$5\,040$[/option]
[option correct="true"]$10\,000$[/option]
[option]$24$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Chaque position peut accueillir $10$ chiffres et les répétitions sont autorisées : $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10\,000$ codes possibles.[/reponse]
[reponse motif="$40$"]Non.
$40 = 4 \times 10$ correspond à une addition des possibilités. Quand on enchaîne $4$ choix indépendants, on multiplie les nombres de possibilités.[/reponse]
[reponse motif="$5\,040$"]Non.
$5\,040 = 10 \times 9 \times 8 \times 7$ correspond à des choix sans répétition. Or l'énoncé précise que les répétitions sont autorisées (on peut taper $1111$).[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
$24 = 4!$ : on a confondu le nombre de positions et le nombre de chiffres possibles. Il y a $10$ chiffres pour chaque position.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Code à $4$ positions, $10$ choix indépendants par position avec répétition : $10^4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une plaque d'immatriculation simplifiée est formée de $2$ lettres puis $3$ chiffres ($26$ lettres possibles, $10$ chiffres possibles, répétitions autorisées). Combien de plaques différentes peut-on former ?
[qcm]
[option correct="true"]$676\,000$[/option]
[option]$468\,000$[/option]
[option]$26\,000$[/option]
[option]$1\,676$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On choisit indépendamment $2$ lettres ($26 \times 26 = 676$ possibilités) puis $3$ chiffres ($10 \times 10 \times 10 = 1\,000$ possibilités). On multiplie : $676 \times 1\,000 = 676\,000$.[/reponse]
[reponse motif="$468\,000$"]Non.
$468\,000 = 26 \times 25 \times 10 \times 9 \times 8$ correspond au cas sans répétition. Or l'énoncé autorise les répétitions (la plaque AA-111 est valide).[/reponse]
[reponse motif="$26\,000$"]Non.
$26\,000 = 26 \times 1\,000$ : on n'a compté qu'une seule lettre au lieu de deux. Il manque un facteur $26$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,676$"]Non.
$1\,676 = 26^2 + 10^3$ : on a additionné les deux blocs au lieu de les multiplier. Quand on enchaîne deux blocs, on multiplie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter séparément les lettres ($26^2$) et les chiffres ($10^3$), puis multiplier les deux résultats.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $E = \{a, b, c, d\}$. Combien y a-t-il de $3$-uplets (triplets) d'éléments de $E$ ?
[qcm]
[option]$24$[/option]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$64$[/option]
[option]$7$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un $p$-uplet d'un ensemble à $n$ éléments compte les répétitions et l'ordre. Il y en a $n^p$. Ici $n=4$ et $p=3$, donc $4^3 = 64$.[/reponse]
[reponse motif="$24$"]Non.
$24 = 4!$ correspond au nombre de permutations des $4$ éléments. Or un $3$-uplet n'utilise que $3$ positions et autorise les répétitions.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12 = 4 \times 3 = A_4^2$ correspond à des arrangements de $2$ éléments parmi $4$. Ici on cherche des $3$-uplets avec répétition.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
$7 = 4 + 3$ : on a additionné le nombre d'éléments et la longueur du uplet. Quand on enchaîne $3$ choix indépendants, on multiplie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour chacune des $3$ positions, il y a $4$ choix possibles indépendamment des autres : $4 \times 4 \times 4$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $E = \{1, 2, 3\}$ et $F = \{a, b, c, d, e\}$. Combien d'applications $f$ de $E$ dans $F$ peut-on définir ?
[qcm]
[option]$15$[/option]
[option correct="true"]$125$[/option]
[option]$243$[/option]
[option]$60$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une application associe à chaque élément de $E$ un élément de $F$. Pour chacun des $3$ éléments de $E$, il y a $5$ choix d'image dans $F$, soit $5^3 = 125$ applications.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
$15 = 3 \times 5$ correspondrait à un seul choix global. Or pour chaque élément de $E$, il faut choisir une image dans $F$ : trois choix indépendants à $5$ possibilités.[/reponse]
[reponse motif="$243$"]Non.
$243 = 3^5$ : on a échangé les rôles de $E$ et $F$. C'est bien $|F|^{|E|}$ qu'il faut calculer (chaque élément de $E$ a $|F|$ images possibles), et non l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$60$"]Non.
$60 = A_5^3 = 5 \times 4 \times 3$ correspondrait aux applications injectives (sans répétition d'image). Ici, deux éléments de $E$ peuvent avoir la même image.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Chaque élément de $E$ a $|F|$ images possibles indépendamment des autres. Le résultat est $|F|^{|E|}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien de parties (sous-ensembles) possède un ensemble à $7$ éléments ?
[qcm]
[option]$5\,040$[/option]
[option]$14$[/option]
[option]$49$[/option]
[option correct="true"]$128$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments est $2^n$ (chaque élément est soit dans la partie, soit hors de la partie : $2$ choix indépendants par élément). Ici $2^7 = 128$.[/reponse]
[reponse motif="$5\,040$"]Non.
$5\,040 = 7!$ correspondrait à des permutations. Une partie est un ensemble : l'ordre n'intervient pas et la cardinalité est variable.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
$14 = 2 \times 7$ correspond à une addition de possibilités. Pour chaque élément, il y a $2$ choix indépendants (présent ou absent), donc on multiplie : $2 \times 2 \times \cdots \times 2 = 2^7$.[/reponse]
[reponse motif="$49$"]Non.
$49 = 7^2$. Le nombre de parties n'est pas un carré : c'est $2^n$, pas $n^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Chaque élément est soit dans la partie soit hors de la partie ($2$ choix), pour chacun des $n$ éléments. Total : $2^n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Dénombrement au poker

Au poker, on utilise un jeu de 52 cartes réparties en quatre « couleurs » (trèfle, carreau, cœur, pique), chaque couleur comportant treize « hauteurs » différentes (as, roi, dame, valet, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2).

Une main est constituée de cinq cartes différentes tirées parmi les 52 cartes du jeu.

Combien de mains différentes peut-on former au poker ?
Combien y a-t-il de mains comportant un carré d'as (c'est à dire les quatre as et une autre carte) ?
Combien y a-t-il de mains comportant un carré (c'est à dire quatre cartes de même hauteur et une autre carte) ?
Un « full » est une main composée de 3 cartes de même hauteur et de 2 autres cartes également de même hauteur (par exemple, 3 valets et 2 as).
Combien y a-t-il de mains formant un full ?

Corrigé

Combien de mains différentes peut-on former au poker ?

Dans une main, l'ordre des cartes n'a pas d'importance et on ne peut pas avoir plusieurs fois la même carte.

On doit donc déterminer le nombre de sous-ensembles à 5 éléments d'un ensemble de 52 éléments.

Ce nombre est donc :

$ N_1 = \begin{pmatrix} 52 \\ 5 \end{pmatrix} = 2\,598\,960. $
Combien y a-t-il de mains comportant un carré d'as (c'est à dire les quatre as et une autre carte) ? Un carré d'as contient les quatre as, ce qui laisse une seule possibilité, et une autre carte, ce qui donne 52 - 4 = 48 possibilité.
Au total on a donc :

$ N_2 = 1 \times 48 = 48 $

mains comportant un carré d'as (d'après le principe multiplicatif).
Combien y a-t-il de mains comportant un carré (c'est à dire quatre cartes de même hauteur et une autre carte) ?

Il y a 13 hauteurs différentes au poker (as, roi, dame, valet, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2).
D'après la question précédente, 48 mains contiennent un carré de cette hauteur.
Au total, le nombre de mains comportant un carré est donc :

$ N_3 = 48 \times 13 = 624. $
Combien y a-t-il de mains formant un full ?

Un full contient trois cartes de même hauteur.
Pour chacune des 13 hauteurs, on choisit donc trois cartes parmi les 4 possibles (trèfle, carreau, cœur, pique) ce qui donne :

$ 13 \times \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = 13 \times 4 = 52 $

possibilités.

Par ailleurs, les deux autres cartes sont également de même hauteur.
Pour chacune des 12 hauteurs restantes, on choisit alors deux cartes parmi les 4 possibles ce qui donne :

$ 12 \times \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 12 \times 6 = 72 $

possibilités.

D'après le principe multiplicatif, le nombre de mains formant un full est :

$ N_4 = 52 \times 72 = 3~744 $