Parcelle triangulaire et réciproque de Pythagore

Un horticulteur possède une parcelle triangulaire $ABC$. Il a relevé les longueurs suivantes :
$AB = 9$ m, $BC = 12$ m et $AC = 15$ m.

Parcelle triangulaire ABC avec AB = 9 m, BC = 12 m et AC = 15 m

Pour installer un système d'arrosage, il a besoin de savoir si l'angle $\widehat{ABC}$ est un angle droit.

Aider l'horticulteur à le déterminer.

Corrigé

Le plus grand côté du triangle $ABC$ est $[AC]$ avec $AC = 15$ m.

On calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres :
$AC^2 = 15^2 = 225$
$AB^2 + BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

On constate que $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle, et l'angle droit est opposé à l'hypoténuse $[AC]$ : c'est l'angle $\widehat{ABC}$.

L'angle $\widehat{ABC}$ est donc bien un angle droit.

Pour réviser : Démontrer qu'un triangle est rectangle.

Vrai/Faux : Réciproque et contraposée

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle est rectangle.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La réciproque s'utilise quand on connaît les trois longueurs et qu'on souhaite démontrer le caractère rectangle du triangle.
Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la réciproque transforme une condition (égalité de Pythagore) en conclusion (triangle rectangle).
Elle est l'outil de démonstration adapté.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La réciproque sert à démontrer qu'un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour appliquer la réciproque, il faut comparer le carré du plus petit côté à la somme des carrés des deux autres.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On compare le carré du plus grand côté (le seul candidat possible pour l'hypoténuse) à la somme des carrés des deux autres.
Le plus petit côté n'a aucun rôle particulier dans la comparaison.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre les rôles. C'est le plus grand côté qu'on isole : c'est lui qui jouerait le rôle d'hypoténuse si le triangle était rectangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit un triangle de côtés $5$ cm, $12$ cm et $13$ cm. Ce triangle est rectangle.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le plus grand côté mesure $13$ cm. On calcule : $13^{2} = 169$ et $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$.
L'égalité est vérifiée : par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Vérifie : $13^{2} = 169$ et $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$.
L'égalité est satisfaite, la réciproque conclut donc que le triangle est rectangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $13^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169$ : par la réciproque, le triangle est rectangle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit un triangle de côtés $4$ cm, $5$ cm et $6$ cm. Ce triangle est rectangle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le plus grand côté mesure $6$ cm. On calcule : $6^{2} = 36$ et $4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$.
$36 \neq 41$, donc par la contraposée, le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Calcule : $6^{2} = 36$ et $4^{2} + 5^{2} = 41$.
L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, la contraposée conclut donc que le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $6^{2} = 36$ et $4^{2} + 5^{2} = 41$ : la contraposée conclut que le triangle n'est pas rectangle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si l'égalité de Pythagore est vérifiée dans un triangle, l'angle droit est au sommet opposé au plus grand côté.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La réciproque conclut que le triangle est rectangle, et l'angle droit est toujours opposé à l'hypoténuse.
Or l'hypoténuse est le plus grand côté : son sommet opposé est donc celui de l'angle droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'hypoténuse (le plus grand côté) est toujours opposée à l'angle droit.
Le sommet du triangle qui n'appartient pas à l'hypoténuse est donc celui de l'angle droit.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'angle droit est toujours opposé à l'hypoténuse, donc au plus grand côté.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit un triangle $ABC$ avec $AB = 8$, $BC = 15$ et $AC = 17$. Ce triangle est rectangle en $A$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le plus grand côté est $[AC]$ ($17$ cm). On vérifie : $17^{2} = 289$ et $8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289$. Le triangle est rectangle.
Mais l'angle droit est opposé à l'hypoténuse $[AC]$, donc en $B$ (et non en $A$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le triangle est rectangle, le calcul confirme l'égalité $17^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 289$.
Mais l'angle droit est en $B$, sommet opposé à l'hypoténuse $[AC]$, et non en $A$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le triangle est bien rectangle, mais l'angle droit est en $B$ (opposé à l'hypoténuse $[AC]$), pas en $A$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Réciproque du théorème de Pythagore

[enonce]
Ce QCM porte sur la réciproque du théorème de Pythagore : comment démontrer qu'un triangle est rectangle à partir des trois longueurs de ses côtés. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Pour appliquer la réciproque du théorème de Pythagore à un triangle, on doit comparer :
[qcm]
[option]La somme des trois carrés et $0$[/option]
[option correct="true"]Le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres[/option]
[option]Le carré du plus petit côté à la somme des carrés des deux autres[/option]
[option]Le produit des trois côtés au carré du plus grand[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La réciproque s'applique en isolant le plus grand côté : on calcule son carré, puis la somme des carrés des deux autres, et on compare ces deux nombres.
S'ils sont égaux, le triangle est rectangle.[/reponse]
[reponse motif="La somme des trois carrés et $0$"]Non.
La somme des trois carrés n'est jamais nulle pour un vrai triangle (les longueurs sont positives).
La réciproque compare deux quantités spécifiques entre elles.[/reponse]
[reponse motif="Le carré du plus petit côté à la somme des carrés des deux autres"]Non.
On isole le plus grand côté, pas le plus petit.
C'est le plus grand côté qui jouera le rôle d'hypoténuse si le triangle est rectangle.[/reponse]
[reponse motif="Le produit des trois côtés au carré du plus grand"]Non.
La réciproque ne fait pas intervenir le produit des trois côtés.
Elle compare uniquement le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres côtés.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit un triangle $ABC$ tel que $AB = 5$ cm, $BC = 13$ cm et $AC = 12$ cm. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]Le triangle n'est pas rectangle[/option]
[option correct="true"]Le triangle est rectangle en $A$[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $B$[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $C$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le plus grand côté est $[BC]$ ($13$ cm).
$BC^{2} = 169$ et $AB^{2} + AC^{2} = 25 + 144 = 169$.
Comme $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$, le triangle est rectangle. L'angle droit est opposé à l'hypoténuse $[BC]$, donc en $A$.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle n'est pas rectangle"]Non.
Vérifie le calcul : $13^{2} = 169$ et $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$.
L'égalité est satisfaite, la réciproque conclut donc que le triangle est rectangle.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $B$"]Non.
L'angle droit est toujours opposé à l'hypoténuse, qui est le plus grand côté.
Or l'hypoténuse $[BC]$ a pour sommet opposé... à identifier dans la liste $\{A, B, C\}$.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $C$"]Non.
Le sommet opposé au plus grand côté $[BC]$ est celui qui ne figure pas dans $[BC]$.
Cherche le seul sommet absent du segment $[BC]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$13^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169$ : le triangle est rectangle en $A$ (sommet opposé à $[BC]$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit un triangle $RST$ tel que $RS = 8$ cm, $ST = 6$ cm et $RT = 10$ cm. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]Le triangle n'est pas rectangle[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $R$[/option]
[option correct="true"]Le triangle est rectangle en $S$[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $T$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le plus grand côté est $[RT]$ ($10$ cm).
$RT^{2} = 100$ et $RS^{2} + ST^{2} = 64 + 36 = 100$.
Comme $RT^{2} = RS^{2} + ST^{2}$, le triangle est rectangle. L'angle droit est en $S$ (sommet opposé à l'hypoténuse $[RT]$).[/reponse]
[reponse motif="Le triangle n'est pas rectangle"]Non.
Le calcul donne $10^{2} = 100$ et $8^{2} + 6^{2} = 100$ : l'égalité est vraie.
La réciproque conclut donc que le triangle est rectangle.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $R$"]Non.
$R$ est un sommet de l'hypoténuse $[RT]$ : l'angle droit est opposé à l'hypoténuse, donc à un sommet qui ne figure pas dans $[RT]$.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $T$"]Non.
$T$ est un sommet de l'hypoténuse $[RT]$ : l'angle droit est forcément ailleurs.
Cherche le sommet qui n'apparaît pas dans le segment $[RT]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$10^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100$ : le triangle est rectangle en $S$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour démontrer qu'un triangle est rectangle par la réciproque, par quel calcul faut-il commencer ?
[qcm]
[option]Mesurer un angle au rapporteur[/option]
[option correct="true"]Identifier le plus grand côté du triangle[/option]
[option]Calculer la somme des trois longueurs[/option]
[option]Calculer le produit des trois longueurs[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La toute première étape consiste à identifier le plus grand côté : c'est lui qui jouerait le rôle d'hypoténuse.
On calcule ensuite son carré, puis la somme des carrés des deux autres, et on les compare.[/reponse]
[reponse motif="Mesurer un angle au rapporteur"]Non.
Une démonstration utilise des calculs et des propriétés, pas des mesures avec un instrument (qui ne sont jamais parfaitement exactes).[/reponse]
[reponse motif="Calculer la somme des trois longueurs"]Non.
La réciproque ne s'intéresse pas à la somme des longueurs (le périmètre).
Elle compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.[/reponse]
[reponse motif="Calculer le produit des trois longueurs"]Non.
Le produit des longueurs n'a aucun rapport avec le théorème de Pythagore.
La réciproque utilise les carrés et leur somme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La première étape est d'identifier le plus grand côté, puis de comparer son carré à la somme des carrés des deux autres.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit un triangle $XYZ$ tel que $XY = 7$ cm, $YZ = 24$ cm et $XZ = 25$ cm. Lequel des calculs ci-dessous correspond à l'application correcte de la réciproque ?
[qcm]
[option]Comparer $7^{2} + 24^{2} + 25^{2}$ et $0$[/option]
[option]Comparer $25^{2} + 24^{2}$ et $7^{2}$[/option]
[option correct="true"]Comparer $25^{2}$ et $7^{2} + 24^{2}$[/option]
[option]Comparer $7 + 24$ et $25$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On isole le carré du plus grand côté ($XZ = 25$ cm) et on le compare à la somme des carrés des deux autres ($XY$ et $YZ$).
Calcul : $25^{2} = 625$ et $7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625$. Égalité, donc le triangle est rectangle.[/reponse]
[reponse motif="Comparer $7^{2} + 24^{2} + 25^{2}$ et $0$"]Non.
On ne somme pas les trois carrés ensemble : la réciproque sépare le plus grand côté des deux autres.[/reponse]
[reponse motif="Comparer $25^{2} + 24^{2}$ et $7^{2}$"]Non.
On a placé deux des plus grands côtés du même côté de l'égalité.
Il faut isoler le carré du plus grand côté seul, et sommer les deux autres en face.[/reponse]
[reponse motif="Comparer $7 + 24$ et $25$"]Non.
La réciproque utilise les carrés des longueurs, pas les longueurs elles-mêmes.
Comparer $7+24$ et $25$ correspond à l'inégalité triangulaire, pas à Pythagore.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut comparer $25^{2}$ (carré du plus grand côté) à $7^{2} + 24^{2}$ (somme des carrés des deux autres).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle conclusion est correcte si, dans un triangle $UVW$, on calcule $UW^{2} = 41$ et $UV^{2} + VW^{2} = 41$, où $[UW]$ est le plus grand côté ?
[qcm]
[option]Le triangle est rectangle en $U$[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $W$[/option]
[option correct="true"]Le triangle est rectangle en $V$[/option]
[option]On ne peut rien conclure sans plus d'informations[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'égalité $UW^{2} = UV^{2} + VW^{2}$ est satisfaite avec $[UW]$ pour plus grand côté.
D'après la réciproque, le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé à l'hypoténuse $[UW]$, donc en $V$.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $U$"]Non.
$U$ est un sommet de l'hypoténuse $[UW]$. L'angle droit est opposé à l'hypoténuse.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $W$"]Non.
$W$ est aussi un sommet de l'hypoténuse $[UW]$. Cherche le sommet qui n'appartient pas à $[UW]$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien conclure sans plus d'informations"]Non.
L'égalité $UW^{2} = UV^{2} + VW^{2}$ avec $[UW]$ comme plus grand côté suffit à appliquer la réciproque.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'angle droit est opposé à l'hypoténuse $[UW]$, donc le triangle est rectangle en $V$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Contraposée du théorème de Pythagore

[enonce]
Ce QCM porte sur la contraposée du théorème de Pythagore : comment démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
La contraposée du théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle :
[qcm]
[option]est rectangle[/option]
[option correct="true"]n'est pas rectangle[/option]
[option]est isocèle[/option]
[option]est équilatéral[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La contraposée est utilisée pour démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle. Si l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, alors le triangle ne peut pas être rectangle.[/reponse]
[reponse motif="est rectangle"]Non.
C'est la réciproque qui sert à démontrer qu'un triangle est rectangle.
La contraposée permet la conclusion inverse.[/reponse]
[reponse motif="est isocèle"]Non.
Le théorème de Pythagore (et sa contraposée) ne dit rien sur les triangles isocèles : il s'intéresse uniquement à l'aspect rectangle.[/reponse]
[reponse motif="est équilatéral"]Non.
Pythagore ne permet pas de conclure sur le caractère équilatéral d'un triangle.
La contraposée concerne le caractère rectangle (ou non).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La contraposée sert à démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit un triangle $ABC$ tel que $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm et $AC = 9$ cm. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option correct="true"]Le triangle n'est pas rectangle[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $B$[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $A$[/option]
[option]On ne peut pas conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le plus grand côté est $[AC]$ ($9$ cm).
$AC^{2} = 81$ et $AB^{2} + BC^{2} = 25 + 49 = 74$.
Comme $81 \neq 74$, l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée. D'après la contraposée, le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $B$"]Non.
Vérifie le calcul : $9^{2} = 81$ et $5^{2} + 7^{2} = 74$.
$81 \neq 74$, l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $A$"]Non.
La comparaison $81 \neq 74$ montre que l'égalité de Pythagore n'est pas satisfaite.
Aucun angle droit n'est possible dans ce triangle.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure"]Non.
Quand l'égalité $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ est fausse, la contraposée permet bien de conclure que le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$9^{2} = 81$ et $5^{2} + 7^{2} = 74$ : $81 \neq 74$, donc le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit un triangle $RST$ tel que $RS = 9$ cm, $ST = 12$ cm et $RT = 14$ cm. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]Le triangle est rectangle en $S$[/option]
[option correct="true"]Le triangle n'est pas rectangle[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $R$[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $T$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le plus grand côté est $[RT]$ ($14$ cm).
$RT^{2} = 196$ et $RS^{2} + ST^{2} = 81 + 144 = 225$.
Comme $196 \neq 225$, l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée : le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $S$"]Non.
Pour que le triangle soit rectangle en $S$, il faudrait $RT^{2} = RS^{2} + ST^{2}$.
Or $14^{2} = 196$ et $9^{2} + 12^{2} = 225$ : ce n'est pas égal.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $R$"]Non.
Le calcul $14^{2} = 196$ et $9^{2} + 12^{2} = 225$ montre que les deux nombres ne sont pas égaux.
La contraposée s'applique alors.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $T$"]Non.
Aucun angle droit n'est possible : la comparaison $196 \neq 225$ ferme cette possibilité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$14^{2} = 196$ et $9^{2} + 12^{2} = 225$ : la contraposée permet de conclure que le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour appliquer la contraposée, il faut comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. Si ces deux nombres sont différents, on conclut :
[qcm]
[option]que les calculs sont faux[/option]
[option]que le triangle est rectangle[/option]
[option correct="true"]que le triangle n'est pas rectangle[/option]
[option]que le triangle est isocèle[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Si l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée (les deux nombres sont différents), le triangle ne peut pas être rectangle.
C'est ce que dit la contraposée.[/reponse]
[reponse motif="que les calculs sont faux"]Non.
Une différence ne signifie pas que les calculs sont faux : c'est une information mathématique valide.
Cette différence permet justement d'appliquer la contraposée.[/reponse]
[reponse motif="que le triangle est rectangle"]Non.
C'est la conclusion inverse : si l'égalité était vérifiée, on conclurait que le triangle est rectangle (réciproque).
Ici, elle n'est pas vérifiée.[/reponse]
[reponse motif="que le triangle est isocèle"]Non.
La contraposée de Pythagore ne dit rien sur le caractère isocèle d'un triangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Si les deux nombres sont différents, la contraposée conclut que le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit un triangle $MNP$ tel que $MN = 8$ cm, $NP = 15$ cm et $MP = 16$ cm. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]Le triangle est rectangle en $N$[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $M$[/option]
[option correct="true"]Le triangle n'est pas rectangle[/option]
[option]Le triangle est rectangle en $P$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le plus grand côté est $[MP]$ ($16$ cm).
$MP^{2} = 256$ et $MN^{2} + NP^{2} = 64 + 225 = 289$.
Comme $256 \neq 289$, l'égalité n'est pas satisfaite : le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $N$"]Non.
Pour cela, il faudrait $MP^{2} = MN^{2} + NP^{2}$.
Or $16^{2} = 256$ et $8^{2} + 15^{2} = 289$ : pas d'égalité.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $M$"]Non.
$M$ est un sommet de l'hypoténuse potentielle $[MP]$ : l'angle droit ne pourrait être qu'opposé à $[MP]$.
De plus, l'égalité de Pythagore est ici fausse.[/reponse]
[reponse motif="Le triangle est rectangle en $P$"]Non.
$P$ est un sommet du plus grand côté.
Et le calcul $256 \neq 289$ exclut tout caractère rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$16^{2} = 256 \neq 8^{2} + 15^{2} = 289$ : le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit un triangle $UVW$ tel que $UV = 10$ cm, $VW = 24$ cm et $UW = 26$ cm. La contraposée s'applique-t-elle ?
[qcm]
[option]Oui, le triangle n'est pas rectangle[/option]
[option correct="true"]Non, l'égalité est vraie : la réciproque s'applique et conclut que le triangle est rectangle[/option]
[option]On ne peut rien dire[/option]
[option]La contraposée s'applique uniquement aux triangles isocèles[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le plus grand côté est $[UW]$ ($26$ cm).
$UW^{2} = 676$ et $UV^{2} + VW^{2} = 100 + 576 = 676$.
L'égalité de Pythagore est vérifiée : la contraposée ne s'applique pas, mais la réciproque conclut que le triangle est rectangle (en $V$).[/reponse]
[reponse motif="Oui, le triangle n'est pas rectangle"]Non.
Vérifie le calcul : $26^{2} = 676$ et $10^{2} + 24^{2} = 676$.
L'égalité est vérifiée, la contraposée ne peut donc pas conclure que le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien dire"]Non.
Le calcul est complet : il donne une égalité.
On peut donc conclure, mais avec la réciproque, pas avec la contraposée.[/reponse]
[reponse motif="La contraposée s'applique uniquement aux triangles isocèles"]Non.
La contraposée s'applique à n'importe quel triangle dont on connaît les trois côtés, pas seulement aux isocèles.
Ici, elle ne s'applique simplement pas car l'égalité est vérifiée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$26^{2} = 10^{2} + 24^{2} = 676$ : l'égalité est vérifiée, c'est la réciproque qui s'applique (triangle rectangle en $V$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]