[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle est rectangle.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La réciproque s'utilise quand on connaît les trois longueurs et qu'on souhaite démontrer le caractère rectangle du triangle.
Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la réciproque transforme une condition (égalité de Pythagore) en conclusion (triangle rectangle).
Elle est l'outil de démonstration adapté.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La réciproque sert à démontrer qu'un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour appliquer la réciproque, il faut comparer le carré du plus petit côté à la somme des carrés des deux autres.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On compare le carré du plus grand côté (le seul candidat possible pour l'hypoténuse) à la somme des carrés des deux autres.
Le plus petit côté n'a aucun rôle particulier dans la comparaison.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de confondre les rôles. C'est le plus grand côté qu'on isole : c'est lui qui jouerait le rôle d'hypoténuse si le triangle était rectangle.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Soit un triangle de côtés $5$ cm, $12$ cm et $13$ cm. Ce triangle est rectangle.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le plus grand côté mesure $13$ cm. On calcule : $13^{2} = 169$ et $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$.
L'égalité est vérifiée : par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Vérifie : $13^{2} = 169$ et $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$.
L'égalité est satisfaite, la réciproque conclut donc que le triangle est rectangle.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $13^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169$ : par la réciproque, le triangle est rectangle.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Soit un triangle de côtés $4$ cm, $5$ cm et $6$ cm. Ce triangle est rectangle.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le plus grand côté mesure $6$ cm. On calcule : $6^{2} = 36$ et $4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$.
$36 \neq 41$, donc par la contraposée, le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Calcule : $6^{2} = 36$ et $4^{2} + 5^{2} = 41$.
L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, la contraposée conclut donc que le triangle n'est pas rectangle.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $6^{2} = 36$ et $4^{2} + 5^{2} = 41$ : la contraposée conclut que le triangle n'est pas rectangle.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si l'égalité de Pythagore est vérifiée dans un triangle, l'angle droit est au sommet opposé au plus grand côté.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La réciproque conclut que le triangle est rectangle, et l'angle droit est toujours opposé à l'hypoténuse.
Or l'hypoténuse est le plus grand côté : son sommet opposé est donc celui de l'angle droit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : l'hypoténuse (le plus grand côté) est toujours opposée à l'angle droit.
Le sommet du triangle qui n'appartient pas à l'hypoténuse est donc celui de l'angle droit.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. L'angle droit est toujours opposé à l'hypoténuse, donc au plus grand côté.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Soit un triangle $ABC$ avec $AB = 8$, $BC = 15$ et $AC = 17$. Ce triangle est rectangle en $A$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le plus grand côté est $[AC]$ ($17$ cm). On vérifie : $17^{2} = 289$ et $8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289$. Le triangle est rectangle.
Mais l'angle droit est opposé à l'hypoténuse $[AC]$, donc en $B$ (et non en $A$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le triangle est rectangle, le calcul confirme l'égalité $17^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 289$.
Mais l'angle droit est en $B$, sommet opposé à l'hypoténuse $[AC]$, et non en $A$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le triangle est bien rectangle, mais l'angle droit est en $B$ (opposé à l'hypoténuse $[AC]$), pas en $A$.
[/solution]
[/etape]
