Similitude par les longueurs et rapport d’aires
[enonce]
On considère deux triangles $PQR$ et $STU$ tels que :
- $PQ = 8$ cm, $QR = 6$ cm et $PR = 4$ cm
- $ST = 12$ cm, $TU = 9$ cm et $SU = 6$ cm
L'aire du triangle $PQR$ est $8$ cm². Démontrer que ces deux triangles sont semblables et calculer l'aire du triangle $STU$.
[/enonce]
[etape]
Pour vérifier que deux triangles sont semblables par les longueurs, quelle est la première étape ?
[qcm]
[option correct="true"]Classer les côtés de chaque triangle par ordre croissant[/option]
[option]Calculer le périmètre de chaque triangle[/option]
[option]Mesurer les angles de chaque triangle[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On doit comparer les rapports entre côtés correspondants. Pour cela, on classe les côtés par ordre croissant :
Triangle $PQR$ : $4$, $6$, $8$
Triangle $STU$ : $6$, $9$, $12$[/reponse]
[reponse motif="Calculer le périmètre de chaque triangle"]Le périmètre ne suffit pas : deux triangles de même périmètre ne sont pas forcément semblables. Il faut comparer les rapports entre côtés.[/reponse]
[reponse motif="Mesurer les angles de chaque triangle"]C'est une autre méthode possible, mais ici on connaît les longueurs et pas les angles. La méthode la plus directe est de comparer les rapports entre côtés classés par ordre croissant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Pour utiliser le 2e cas de similitude, on compare les rapports entre côtés correspondants. Encore faut-il les associer correctement.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Les côtés classés par ordre croissant sont :
- Triangle $PQR$ : $4$, $6$, $8$
- Triangle $STU$ : $6$, $9$, $12$
Les triangles $PQR$ et $STU$ sont-ils semblables ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui, car les rapports entre côtés homologues sont tous égaux[/option]
[option]Non, car les côtés n'ont pas les mêmes longueurs[/option]
[option]On ne peut pas conclure sans connaître les angles[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$
Les trois rapports sont égaux, donc les triangles $PQR$ et $STU$ sont semblables.[/reponse]
[reponse motif="Non, car les côtés n'ont pas les mêmes longueurs"]Des triangles semblables n'ont pas forcément les mêmes longueurs de côtés. Ce qui compte, c'est que les rapports entre côtés homologues soient égaux.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure sans connaître les angles"]On connaît les trois côtés de chaque triangle : on peut utiliser le 2e cas de similitude en comparant les rapports entre côtés homologues.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Calculer le coefficient de similitude $k$ du triangle $PQR$ vers le triangle $STU$, sous forme de fraction irréductible : [[k]]
[math id="k" attendu="\dfrac{3}{2}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Du triangle $PQR$ vers le triangle $STU$ :
$k = \dfrac{ST}{PQ} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{2}{3}"]Attention au sens : on passe de $PQR$ à $STU$, donc on divise un côté de $STU$ par le côté homologue de $PQR$, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]On passe de $PQR$ à $STU$ : diviser un côté de $STU$ par le côté homologue de $PQR$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le coefficient de similitude de $PQR$ vers $STU$ se calcule en divisant un côté de $STU$ par le côté homologue de $PQR$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = \dfrac{ST}{PQ} = \dfrac{12}{8}$. Simplifier cette fraction.[/aide]
[/math]
[solution]
$k = \dfrac{ST}{PQ} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
En passant du triangle $PQR$ au triangle $STU$, s'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ?
[[transfo]]
[select id="transfo"]
[option correct="true"]Un agrandissement[/option]
[option]Une réduction[/option]
[option]Ni l'un ni l'autre (triangles isométriques)[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le coefficient $k = \dfrac{3}{2} > 1$, donc le triangle $STU$ est un agrandissement du triangle $PQR$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer $k$ à $1$ : si $k > 1$, c'est un agrandissement ; si $k < 1$, une réduction ; si $k = 1$, les triangles sont isométriques.[/reponse]
[aide essai="2"]Le coefficient de similitude est $k = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$. Comparer cette valeur à $1$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = 1{,}5 > 1$, donc chaque côté du triangle image est plus grand que le côté correspondant du triangle initial.[/aide]
[/select]
[/etape]
[etape]
Calculer le rapport des aires $\dfrac{\text{Aire}(STU)}{\text{Aire}(PQR)}$. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible : [[raire]]
[math id="raire" attendu="\dfrac{9}{4}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le rapport des aires de deux triangles semblables est égal au carré du coefficient de similitude :
[/reponse]
[reponse statut="format"]Le calcul est juste, mais la fraction doit être irréductible.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{3}{2}"]Le rapport des aires n'est pas $k$ mais $k^2$. Il faut mettre $\dfrac{3}{2}$ au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le rapport des aires est le carré du coefficient de similitude : $k^2$.[/reponse]
[aide essai="2"]Pour deux triangles semblables de coefficient $k$, le rapport des aires vaut $k^2$.[/aide]
[aide essai="3"]$k = \dfrac{3}{2}$, donc $k^2 = \dfrac{3^2}{2^2} = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$\dfrac{\text{Aire}(STU)}{\text{Aire}(PQR)} = k^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
L'aire du triangle $PQR$ est $8$ cm². En déduire l'aire du triangle $STU$ : [[aire]] cm²
[math id="aire" attendu="18"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
[/reponse]
[reponse motif="12"]$12 = \dfrac{3}{2} \times 8$ : attention, il faut multiplier par $k^2$, pas par $k$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Utiliser le rapport des aires calculé à l'étape précédente et multiplier par l'aire de $PQR$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\text{Aire}(STU) = k^2 \times \text{Aire}(PQR)$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{9}{4} \times 8 = \dfrac{9 \times 8}{4} = \dfrac{72}{4} = \ldots$[/aide]
[/math]
[solution]
$\text{Aire}(STU) = \dfrac{9}{4} \times 8 = 18$ cm².
[/solution]
[/etape]
