Deux points sur des côtés opposés d’un parallélogramme

$ ABCD $ est un parallélogramme de centre $ O $. On place :

le point $ M $ sur le côté $ [AB] $ avec $ AM = 2 $ cm ;
le point $ N $ sur le côté $ [CD] $ avec $ CN = 2 $ cm.

Parallélogramme ABCD de centre O, avec M sur le côté AB et N sur le côté CD tels que AM=CN

Justifier que les segments $ [AM] $ et $ [CN] $ sont parallèles et de même longueur.
En déduire la nature du quadrilatère $ AMCN $.
Justifier que les diagonales $ [AC] $ et $ [MN] $ du quadrilatère $ AMCN $ se coupent en leur milieu.
En déduire que le segment $ [MN] $ passe par le point $ O $, centre du parallélogramme $ ABCD $.

Corrigé

Le point $ M $ appartient au segment $ [AB] $, donc $ M $ est sur la droite $ (AB) $. De même, $ N $ appartient à $ [CD] $, donc $ N $ est sur la droite $ (CD) $.
$ ABCD $ est un parallélogramme : ses côtés opposés $ [AB] $ et $ [DC] $ sont donc parallèles, autrement dit $ (AB) $ et $ (CD) $ sont parallèles.
Comme $ (AM) \subset (AB) $ et $ (CN) \subset (CD) $, on en déduit que $ (AM) $ et $ (CN) $ sont parallèles.
De plus, par construction, $ AM = CN = 2 $ cm. Les segments $ [AM] $ et $ [CN] $ sont donc parallèles et de même longueur.
Dans le quadrilatère $ AMCN $, les côtés $ [AM] $ et $ [CN] $ sont opposés. On vient de montrer qu'ils sont parallèles et de même longueur.
On applique la propriété de reconnaissance :
« Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme. »
On en déduit que $ AMCN $ est un parallélogramme.
Comme $ AMCN $ est un parallélogramme, ses diagonales $ [AC] $ et $ [MN] $ se coupent en leur milieu (propriété du parallélogramme).
Notons $ O' $ ce milieu commun : $ O' $ est à la fois le milieu de $ [AC] $ et le milieu de $ [MN] $.
Dans le parallélogramme $ ABCD $, les diagonales $ [AC] $ et $ [BD] $ se coupent en leur milieu, qui est par définition le centre $ O $ du parallélogramme. En particulier, $ O $ est le milieu de $ [AC] $.
Or, d'après la question précédente, $ O' $ est aussi le milieu de $ [AC] $. Un segment n'a qu'un seul milieu, donc $ O' = O $.
On en conclut que $ O $ est le milieu de $ [MN] $ : le segment $ [MN] $ passe bien par le centre $ O $ du parallélogramme $ ABCD $.

Conclusion : dès que l'on prend deux points $ M $ et $ N $ sur deux côtés opposés d'un parallélogramme tels que $ AM = CN $, la droite $ (MN) $ passe automatiquement par le centre du parallélogramme. C'est une propriété qui sera revue dans le chapitre sur la symétrie centrale.

Cerf-volant : démontrer un parallélogramme avec les diagonales

Pour fabriquer un cerf-volant, Léo plante deux baguettes rigides $ [VN] $ et $ [ET] $ qui se croisent en un point $ I $. Il prend soin de placer le clou de fixation au point $ I $ de telle sorte que :

$ I $ soit le milieu de $ [VN] $, avec $ VI = IN = 24 $ cm ;
$ I $ soit le milieu de $ [ET] $, avec $ EI = IT = 18 $ cm.

Il tend ensuite la toile en reliant les quatre extrémités pour former le quadrilatère $ VENT $.

Cerf-volant VENT formé par deux baguettes VN et ET se coupant en leur milieu I

Démontrer que le quadrilatère $ VENT $ est un parallélogramme.
En déduire que les côtés $ [VE] $ et $ [TN] $ sont parallèles et de même longueur. Citer une autre paire de côtés ayant la même propriété.
Calculer la longueur totale des deux baguettes utilisées par Léo.

Corrigé

Les deux diagonales du quadrilatère $ VENT $ sont $ [VN] $ et $ [ET] $. D'après l'énoncé, le point $ I $ est à la fois le milieu de $ [VN] $ et le milieu de $ [ET] $.
Les diagonales se coupent donc en leur milieu commun $ I $. On applique la propriété de reconnaissance par les diagonales :
« Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. »
On en déduit que $ VENT $ est un parallélogramme de centre $ I $.
Comme $ VENT $ est un parallélogramme, ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et de même longueur.
- $ [VE] $ et $ [TN] $ sont des côtés opposés : ils sont donc parallèles et de même longueur.
- $ [VT] $ et $ [EN] $ sont également des côtés opposés : ils sont parallèles et de même longueur.
La longueur de la baguette $ [VN] $ est :
$ VN = VI + IN = 24 + 24 = 48 $ cm.

La longueur de la baguette $ [ET] $ est :
$ ET = EI + IT = 18 + 18 = 36 $ cm.

La longueur totale des deux baguettes est donc :
$ VN + ET = 48 + 36 $ = $ 84 $ cm.

Reconnaître la nature d’un quadrilatère codé

Pour chacun des cinq quadrilatères suivants, déterminer sa nature la plus précise (parallélogramme quelconque, rectangle, losange ou carré) en utilisant les codages indiqués sur la figure.

Quatre quadrilatères codés ABCD, EFGH, IJKL et MNPQ avec différentes informations

Pour chaque quadrilatère, donner sa nature la plus précise et justifier brièvement.

Corrigé

(a) Quadrilatère $ ABCD $.
Les codages indiquent que $ AB = DC $ et que $ AD = BC $. Les côtés opposés sont donc deux à deux de même longueur. D'après une propriété de reconnaissance, $ ABCD $ est un parallélogramme. Aucun angle droit n'est marqué et les côtés ne sont pas tous égaux : on ne peut pas conclure davantage.

(b) Quadrilatère $ EFGH $.
Les codages montrent que les quatre côtés ont la même longueur : $ EF = FG = GH = HE $. Par définition, un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur est un losange.

(c) Quadrilatère $ IJKL $.
Les codages indiquent quatre angles droits aux sommets $ I $, $ J $, $ K $ et $ L $. Par définition, un quadrilatère qui a quatre angles droits est un rectangle. Les côtés ne sont pas codés tous égaux, ce n'est donc pas un carré.

(d) Quadrilatère $ MNPQ $.
Les codages montrent que les diagonales $ [MP] $ et $ [NQ] $ se coupent en leur milieu (les deux moitiés de chaque diagonale portent le même symbole). D'après la propriété de reconnaissance par les diagonales, $ MNPQ $ est un parallélogramme. Aucun codage supplémentaire ne permet de préciser davantage.

(e) Quadrilatère $ RSTU $.
Les codages indiquent à la fois quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. Par définition, c'est un carré.

Vrai/Faux : Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

[enonce]
Pour chaque affirmation, on cherche à savoir s'il est possible de démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme à partir des informations données. Indiquer si l'affirmation est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est l'une des trois propriétés réciproques pour reconnaître un parallélogramme : les diagonales qui se coupent en leur milieu suffisent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : c'est même la propriété la plus simple à utiliser. Si les deux diagonales partagent le même milieu, le quadrilatère est un parallélogramme.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est l'une des conditions suffisantes pour qu'un quadrilatère soit un parallélogramme.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un quadrilatère a deux côtés parallèles, alors c'est un parallélogramme.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un quadrilatère qui a seulement une paire de côtés parallèles s'appelle un trapèze. Pour conclure « parallélogramme », il faut deux paires de côtés parallèles, ou bien la même paire parallèle ET de même longueur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au piège : avoir deux côtés parallèles ne suffit pas. Un trapèze convient à cette description sans être un parallélogramme.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Une seule paire de côtés parallèles donne un trapèze, pas nécessairement un parallélogramme.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est l'une des propriétés réciproques du cours : un quadrilatère non croisé avec deux côtés opposés parallèles ET de même longueur est un parallélogramme. La précision « non croisé » est essentielle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : « parallèles ET de même longueur » est une condition forte. Combinée à « non croisé », elle suffit à garantir le parallélogramme.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété « deux côtés opposés parallèles et de même longueur » dans un quadrilatère non croisé.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un quadrilatère a ses côtés opposés deux à deux de même longueur, alors c'est obligatoirement un parallélogramme.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La propriété fonctionne uniquement si le quadrilatère est non croisé. Un quadrilatère croisé peut avoir ses côtés opposés deux à deux égaux sans être un parallélogramme : il forme alors une figure en « papillon ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'oublier la précision « non croisé ». Sans cette condition, la propriété ne suffit pas.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Il faut en plus préciser que le quadrilatère est non croisé : un quadrilatère croisé peut avoir ses côtés opposés deux à deux égaux.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un quadrilatère a deux angles opposés égaux, alors c'est un parallélogramme.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La propriété « angles opposés égaux » est vraie dans un parallélogramme, mais sa réciproque n'est pas au programme et n'est d'ailleurs pas suffisante : il existe des quadrilatères avec deux angles opposés égaux qui ne sont pas des parallélogrammes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à la différence entre une propriété et sa réciproque. Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, n'utilise que les trois conditions suffisantes du cours : diagonales, côtés opposés égaux, ou deux côtés opposés parallèles et égaux.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'égalité de deux angles opposés ne suffit pas, en général, pour conclure « parallélogramme ».
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $ABCD$ est un quadrilatère non croisé avec $AB = 5$ cm, $BC = 3$ cm, $CD = 5$ cm et $DA = 3$ cm. Alors $ABCD$ est un parallélogramme.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$AB$ et $CD$ sont opposés et égaux ($5$ cm), $BC$ et $DA$ aussi ($3$ cm). Le quadrilatère est non croisé et a ses côtés opposés deux à deux de même longueur : c'est un parallélogramme (propriété réciproque du cours).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Identifie d'abord les côtés opposés : $[AB]$ avec $[CD]$, $[BC]$ avec $[DA]$. Les longueurs s'égalisent deux à deux, et le quadrilatère est non croisé. Toutes les conditions sont réunies.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur : c'est un parallélogramme.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Parallélogrammes

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : propriétés des parallélogrammes, reconnaître un parallélogramme et parallélogrammes particuliers. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
$ABCD$ est un quadrilatère non croisé tel que $AB = DC = 5$ cm et $AD = BC = 3$ cm. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]$ABCD$ est nécessairement un rectangle.[/option]
[option]On ne peut rien dire : les diagonales ne sont pas mentionnées.[/option]
[option correct="true"]$ABCD$ est un parallélogramme.[/option]
[option]$ABCD$ est un losange.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur ($AB = DC$ et $AD = BC$). Cette propriété caractérise le parallélogramme.[/reponse]
[reponse motif="$ABCD$ est nécessairement un rectangle."]Non.
Pour conclure « rectangle », il faudrait quatre angles droits. Ici, seules les longueurs sont données.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien dire : les diagonales ne sont pas mentionnées."]Non.
Il existe plusieurs façons de reconnaître un parallélogramme. Les côtés opposés deux à deux égaux suffisent (à condition que le quadrilatère soit non croisé).[/reponse]
[reponse motif="$ABCD$ est un losange."]Non.
Un losange a quatre côtés de même longueur. Ici, $AB \neq AD$ ($5 \neq 3$), donc ce n'est pas un losange.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier la bonne propriété : « côtés opposés deux à deux de même longueur dans un quadrilatère non croisé ».[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les diagonales d'un quadrilatère $EFGH$ se coupent en un point $I$. On sait que $I$ est le milieu de $[EG]$ mais que $I$ n'est pas le milieu de $[FH]$. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]$EFGH$ est un parallélogramme.[/option]
[option correct="true"]$EFGH$ n'est pas un parallélogramme.[/option]
[option]$EFGH$ est un losange.[/option]
[option]On ne peut rien conclure.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu commun. Si $I$ n'est pas le milieu de $[FH]$, alors la propriété n'est pas vérifiée : $EFGH$ ne peut pas être un parallélogramme.[/reponse]
[reponse motif="$EFGH$ est un parallélogramme."]Non.
Pour qu'un quadrilatère soit un parallélogramme, il faut que les deux diagonales aient le même milieu. Une seule ne suffit pas.[/reponse]
[reponse motif="$EFGH$ est un losange."]Non.
Un losange est un parallélogramme particulier. Comme la condition de parallélogramme n'est pas satisfaite, le losange est encore moins possible.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien conclure."]Non.
On a au contraire une information très précise : la propriété fondamentale du parallélogramme est mise en défaut.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pense à la propriété : dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu commun.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$ABCD$ est un parallélogramme avec $\widehat{BAD} = 90°$. Quelle est la nature de $ABCD$ ?
[qcm]
[option]Un parallélogramme quelconque.[/option]
[option]Un losange.[/option]
[option correct="true"]Un rectangle.[/option]
[option]Un carré.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Comme $ABCD$ est un parallélogramme, ses angles opposés sont égaux et ses angles consécutifs sont supplémentaires.
Donc $\widehat{BCD} = 90°$ (opposé) et $\widehat{ABC} = \widehat{ADC} = 180° - 90° = 90°$.
Les quatre angles sont droits : $ABCD$ est un rectangle.[/reponse]
[reponse motif="Un parallélogramme quelconque."]Non.
Un angle droit dans un parallélogramme entraîne que les quatre angles sont droits — c'est une figure plus particulière qu'un parallélogramme général.[/reponse]
[reponse motif="Un losange."]Non.
Un losange est caractérisé par l'égalité de ses quatre côtés, pas par un angle droit. L'information donnée est sur un angle, pas sur des longueurs.[/reponse]
[reponse motif="Un carré."]Non.
Un carré nécessite en plus que les côtés soient tous égaux. Ici, rien n'est dit sur les longueurs : on ne peut conclure qu'au rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utilise les propriétés du parallélogramme (angles opposés et angles consécutifs) à partir de l'angle donné, et regarde combien d'angles droits cela impose.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$EFGH$ est un parallélogramme dont les diagonales mesurent $EG = 8$ cm et $FH = 6$ cm. Quelle est la nature précise de $EFGH$ ?
[qcm]
[option]Un rectangle.[/option]
[option]Un losange.[/option]
[option]Un carré.[/option]
[option correct="true"]Un parallélogramme quelconque (ni rectangle, ni losange, ni carré).[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les diagonales sont de longueurs différentes ($8 \neq 6$) : $EFGH$ n'est donc pas un rectangle (ni carré). Aucune information ne dit qu'elles sont perpendiculaires : ce n'est pas un losange non plus. Il s'agit d'un parallélogramme quelconque.[/reponse]
[reponse motif="Un rectangle."]Non.
Un rectangle a des diagonales de même longueur. Ici, $EG \neq FH$.[/reponse]
[reponse motif="Un losange."]Non.
Un losange est caractérisé par des diagonales perpendiculaires. Or, rien n'indique cette propriété.[/reponse]
[reponse motif="Un carré."]Non.
Un carré a en plus des diagonales égales et perpendiculaires. Aucune des deux conditions n'est vérifiée ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifie ce que les longueurs de diagonales données permettent (ou non) d'affirmer pour chaque type de parallélogramme particulier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$IJKL$ est un quadrilatère non croisé tel que $[IJ]$ est parallèle à $[LK]$ et $IJ = LK = 7$ cm. Quelle conclusion est correcte ?
[qcm]
[option]On ne peut rien dire : il faut connaître les autres côtés.[/option]
[option correct="true"]$IJKL$ est un parallélogramme.[/option]
[option]$IJKL$ est un losange.[/option]
[option]$IJKL$ est un trapèze, mais pas un parallélogramme.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Dans un quadrilatère non croisé, deux côtés opposés parallèles et de même longueur suffisent pour conclure qu'il est un parallélogramme.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut rien dire : il faut connaître les autres côtés."]Non.
La propriété « deux côtés opposés parallèles et de même longueur » suffit, à elle seule, à caractériser un parallélogramme (dans un quadrilatère non croisé).[/reponse]
[reponse motif="$IJKL$ est un losange."]Non.
Pour un losange, il faudrait que les quatre côtés soient égaux. Or, on ne sait rien des deux autres côtés.[/reponse]
[reponse motif="$IJKL$ est un trapèze, mais pas un parallélogramme."]Non.
Un trapèze a une seule paire de côtés parallèles ; ici, l'égalité des longueurs en plus du parallélisme garantit la deuxième paire de côtés parallèles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La règle « non croisé + deux côtés opposés parallèles ET de même longueur $\Rightarrow$ parallélogramme » s'applique directement.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un parallélogramme $ABCD$ vérifie : $AB = BC$ et $\widehat{ABC} = 90°$. Quelle est sa nature précise ?
[qcm]
[option]Un rectangle non carré.[/option]
[option]Un losange non carré.[/option]
[option correct="true"]Un carré.[/option]
[option]Un parallélogramme quelconque.[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$\widehat{ABC} = 90°$ dans un parallélogramme entraîne que les quatre angles sont droits : c'est un rectangle.
$AB = BC$ entraîne que deux côtés consécutifs sont égaux ; comme les côtés opposés sont déjà égaux, les quatre côtés sont égaux : c'est un losange.
Rectangle + losange : c'est un carré.[/reponse]
[reponse motif="Un rectangle non carré."]Non.
L'égalité $AB = BC$ impose que tous les côtés soient égaux (puisqu'on est dans un parallélogramme). Donc ce n'est pas un rectangle non carré.[/reponse]
[reponse motif="Un losange non carré."]Non.
L'angle droit donné fait des quatre angles des angles droits. Or, un losange non carré n'a pas d'angle droit.[/reponse]
[reponse motif="Un parallélogramme quelconque."]Non.
Avec deux conditions supplémentaires (un angle droit ET deux côtés consécutifs égaux), on obtient une figure beaucoup plus particulière qu'un parallélogramme quelconque.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Combine les deux informations : un angle droit dans un parallélogramme $\Rightarrow$ rectangle ; deux côtés consécutifs égaux $\Rightarrow$ losange. Cumule les deux conclusions.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]