Probabilités : Événements indépendants

Une boite contient un assortiment de chocolats noirs et de chocolats au lait.

Certains chocolats contiennent de l'alcool, d'autres non.

On choisit un chocolat au hasard dans cette boite.

On note :
$ A $: l'événement « le chocolat choisi contient de l'alcool »
$ N $: l'événement « le chocolat choisi est noir »

On sait que $ 90 $% des chocolats noirs contiennent de l'alcool et que $ 90 $% des chocolats contenant de l'alcool sont noirs.

Que peut-on en déduire concernant l'indépendance des événements $ A $ et $ N $ ?
Indication : On pourra rechercher des exemples de compositions vérifiant les conditions de l'énoncé

Corrigé

Les indications de l'énoncé suggèrent que les événements $ A $ et $ N $ sont fortement corrélés et ne sont donc pas indépendants. En fait, il n'en n'est rien : les données de l'énoncé sont insuffisantes pour déterminer si les événements $ A $ et $ N $ sont ou non indépendants.

Prenons un premier exemple pour montrer que $ A $ et $ N $ peuvent être indépendants.

Supposons que la composition de la boite soit la suivante :

	noir	au lait	total
avec alcool	81	9	90
sans alcool	9	1	10
total	90	10	100

Cette boite vérifie bien les conditions de l'énoncé :
$ p_N(A)=\dfrac{81}{90}=90 $%
$ p_A(N)=\dfrac{81}{90}=90 $%
Par ailleurs :

$ p(A \cap N)=\dfrac{81}{100} $

$ p(A)=\dfrac{90}{100}=\dfrac{9}{10} $

$ p(N)=\dfrac{90}{100}=\dfrac{9}{10} $

$ p(A \cap N)=p(A) \times p(N) $

donc pour cet exemple$ A $ et $ N $ sont indépendants.

On peut aussi trouver un exemple pour lequel $ A $ et $ N $ ne sont pas indépendants.

Imaginons la composition suivante :

	noir	au lait	total
avec alcool	81	9	90
sans alcool	9	2	11
total	90	11	101

On a toujours :
$ p_N(A)=\dfrac{81}{90}=90 $%

$ p_A(N)=\dfrac{81}{90}=90 $%

Mais cette fois :

$ p(A \cap N)=\dfrac{81}{101} $

$ p(A)=\dfrac{90}{101} $

$ p(N)=\dfrac{90}{101} $

$ p(A \cap N) \neq p(A) \times p(N) $

donc cette fois $ A $ et $ N $ ne sont pas indépendants.

Avec les seules données de l'énoncé, il est donc impossible d'établir si les événements $ A $ et $ N $ sont indépendants.

Probabilités : événements indépendants – Bac S Centres étrangers 2009

Restitution organisée de connaissances :

Pré-requis : On rappelle que deux événements $ A $ et $ B $ sont indépendants pour la probabilité $ p $ si et seulement si : $ p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right) \times p\left(B\right) $.

Soient $ A $ et $ B $ deux événements associés à une expérience aléatoire
1. Démontrer que $ p\left(B\right)=p\left(B \cap A\right)+ p\left(B \cap \overline{A}\right) $.
2. Démontrer que, si les événements $ A $ et $ B $ sont indépendants pour la probabilité $ p $, alors les événements $ \overline{A} $ et $ B $ le sont également.
Application : Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux événements indépendants :

R : « il n'entend pas son réveil sonner » ;

S : « son scooter, mal entretenu, tombe en panne ».

Il a observé que chaque jour de classe, la probabilité de R est égale à 0,1 et que celle de S est égale à 0,05. Lorsque qu'au moins l'un des deux événements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l'heure.
1. Calculer la probabilité qu'un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne.
2. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l'heure au lycée un jour de classe donné.
3. Au cours d'une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu'il entende son réveil sonner un jour de classe donné n'influe pas sur le fait qu'il l'entende ou non les jours suivants.
  
  Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d'une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale.

Corrigé

1. On a :
  
  $ p(B \cap A) + p(B \cap \overline{A}) = p(B) \times p_B(A) + p(B) \times p_B(\overline{A}) = p(B) \times [p_B(A) + p_B(\overline{A})] $
  
  En remarquant que $ p_B(A) + p_B(\overline{A}) = 1 $, on obtient $ p(B \cap A) + p(B \cap \overline{A}) = p(B) $.
2. Si les événements $ A $ et $ B $ sont indépendants, alors :
  
  $ p(B) = p(B \cap A) + p(B \cap \overline{A}) = p(B) \times p(A) + p(B \cap \overline{A}) $
  
  donc $ p(B \cap \overline{A}) = p(B) - p(B) \times p(A) = p(B) \times [1 - p(A)] = p(B) \times p(\overline{A}) $
  
  ce qui exprime une condition nécessaire et suffisante pour que $ B $ et $ \overline{A} $ soient indépendants.
1. $ R $ et $ S $ sont indépendants donc d'après la question précédente $ \overline{R} $ et $ S $ le sont aussi.
  La probabilité qu'ils surviennent ensemble le même jour est donnée par :
  
  $ p(\overline{R} \cap S) = p(\overline{R}) \times p(S) = (1 - p(R)) \times p(S) = 0{,}9 \times 0{,}05 = 0{,}045 $
2. Pour que Stéphane soit à l'heure un jour de classe donné, il faut qu'il entende son réveil sonner et que son scooter ne tombe pas en panne. Autrement dit, il faut que les événements $ \overline{R} $ et $ \overline{S} $ surviennent ensemble le même jour, ce qui se traduit en terme de probabilité par :
  
  $ p(\overline{R} \cap \overline{S}) = p(\overline{R}) \times p(\overline{S}) = (1 - 0{,}1)(1 - 0{,}05) = 0{,}9 \times 0{,}95 = 0{,}855 $
3. Soit $ X $ la variable aléatoire qui représente le nombre de fois où Stéphane entend le réveil sonner au cours d'une semaine. $ X $ suit la loi binomiale :
  
  $ p(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k} $
  
  avec $ n = 5 $, $ 0 \le k \le 5 $ et $ p = p(\overline{R}) = 0{,}9 $. La probabilité $ P $ que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours de la semaine est égale à la somme de la probabilité qu'il l'entende exactement 4 fois et de celle qu'il l'entende exactement 5 fois. Soit :
  
  $ P = p(X = 4) + p(X = 5) = \binom{5}{4} \times 0{,}9^4 \times 0{,}1^1 + \binom{5}{5} \times 0{,}9^5 \times 0{,}1^0 = 5 \times 0{,}9^4 \times 0{,}1 + 0{,}9^5 $
  
  soit finalement $ P = 0{,}9185 $.

[ROC] Événements indépendants

On suppose connue la formule des probabilités totales.

Montrer que si $ A $ et $ B $ sont deux événements indépendants, alors $ A $ et $ \overline{B} $ sont aussi indépendants.

Corrigé

Si $ A $ et $ B $ sont deux événements indépendants, alors :
$ p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right) $

D'après la formule des probabilités totales :

$ p\left(A\right)=p\left(A\cap B\right)+p\left(A\cap \overline{B}\right) $

Par conséquent :

$ p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right) - p\left(A\cap B\right) =p\left(A\right) - p\left(A\right)\times p\left(B\right) =p\left(A\right)\left(1 - p\left(B\right)\right) $

Or $ 1 - p\left(B\right)=p\left(\overline{B}\right) $ donc $ p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right)\times p\left(\overline{B}\right) $, ce qui prouve que $ A $ et $ \overline{B} $ sont indépendants.

Pour réviser : Appliquer la formule des probabilités totales