[enonce]
Ce QCM porte sur l'orthogonalité de vecteurs et de droites dans l'espace. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $\vec{u}(3~;~-2~;~1)$ et $\vec{v}(1~;~2~;~k)$. Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?
[qcm]
[option]$k = -1$[/option]
[option correct="true"]$k = 1$[/option]
[option]$k = -7$[/option]
[option]$k = 7$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On écrit la condition d'orthogonalité $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ :
$3 \times 1 + (-2) \times 2 + 1 \times k = 0$
$3 - 4 + k = 0$, soit $k = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$k = -1$"]Non.
Une erreur de signe s'est glissée dans le report : on obtient $-1 + k = 0$, donc $k$ doit compenser le $-1$ pour annuler la somme. Reprendre le passage à $k$ seul.[/reponse]
[reponse motif="$k = -7$"]Non.
Le produit $(-2) \times 2$ vaut $-4$, pas $+4$. Recommencer le calcul de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ en respectant le signe.[/reponse]
[reponse motif="$k = 7$"]Non.
Erreur sur le second produit : $(-2) \times 2 = -4$ et non $+4$. La somme partielle $3 + (-4) = -1$, et non $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire la relation $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ avec les coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, puis isoler $k$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère les points $A(1~;~1~;~1)$, $B(2~;~3~;~2)$, $C(0~;~0~;~0)$ et $D(2~;~-1~;~0)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles orthogonales ?
[qcm]
[option correct="true"]Oui, car le produit scalaire des vecteurs directeurs est nul[/option]
[option]Non, car le produit scalaire des vecteurs directeurs vaut $4$[/option]
[option]Oui, mais uniquement si $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes[/option]
[option]On ne peut pas conclure car les droites ne sont pas dans le même plan[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule les vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}(1~;~2~;~1)$ et $\overrightarrow{CD}(2~;~-1~;~0)$.
Puis $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 1 \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0$.
Les vecteurs directeurs sont orthogonaux, donc les droites sont orthogonales.[/reponse]
[reponse motif="Non, car le produit scalaire des vecteurs directeurs vaut $4$"]Non.
Le calcul du produit scalaire contient une erreur. Reprendre $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$ coordonnée par coordonnée en respectant les signes.[/reponse]
[reponse motif="Oui, mais uniquement si $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes"]Pas tout à fait.
Dans l'espace, deux droites sont orthogonales dès que leurs vecteurs directeurs le sont, qu'elles soient sécantes ou non. La condition « sécantes » concerne la perpendicularité, pas l'orthogonalité.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas conclure car les droites ne sont pas dans le même plan"]Non.
L'orthogonalité de deux droites dans l'espace ne nécessite pas qu'elles soient coplanaires. Il suffit que leurs vecteurs directeurs aient un produit scalaire nul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$, puis leur produit scalaire. Si ce produit est nul, les droites sont orthogonales.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère un cube $ABCDEFGH$. Que peut-on dire des droites $(AB)$ et $(DH)$ ?
[qcm]
[option]Orthogonales et perpendiculaires[/option]
[option correct="true"]Orthogonales mais non perpendiculaires[/option]
[option]Perpendiculaires mais non orthogonales[/option]
[option]Ni orthogonales ni perpendiculaires[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Dans le repère $\left(A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\right)$, on a $\overrightarrow{AB}(1~;~0~;~0)$ et $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}(0~;~0~;~1)$.
Le produit scalaire vaut $0$, donc les droites sont orthogonales.
Cependant, $(AB)$ est dans la face $ABCD$ et $(DH)$ ne rencontre pas cette face : les droites n'ont aucun point commun, elles ne sont pas perpendiculaires (le terme « perpendiculaires » est réservé aux droites sécantes).[/reponse]
[reponse motif="Orthogonales et perpendiculaires"]Non.
Deux droites perpendiculaires sont nécessairement sécantes (donc coplanaires). Vérifier si $(AB)$ et $(DH)$ ont un point commun avant de conclure à la perpendicularité.[/reponse]
[reponse motif="Perpendiculaires mais non orthogonales"]Non.
Cette situation est impossible : la perpendicularité est un cas particulier de l'orthogonalité. Si deux droites sont perpendiculaires, elles sont a fortiori orthogonales.[/reponse]
[reponse motif="Ni orthogonales ni perpendiculaires"]Non.
Calculer les vecteurs directeurs des deux droites dans une base bien choisie. Leur produit scalaire renseigne sur l'orthogonalité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer les vecteurs directeurs des deux droites, leur produit scalaire (orthogonalité), puis vérifier si les droites se coupent (perpendicularité).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $ABCDEFGH$ un cube. Dans le repère $\left(A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\right)$, que vaut le produit scalaire $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BD}$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]$-1$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Dans ce repère, $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$, soit $\overrightarrow{AG}(1~;~1~;~1)$.
Et $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$, soit $\overrightarrow{BD}(-1~;~1~;~0)$.
Donc $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BD} = 1 \times (-1) + 1 \times 1 + 1 \times 0 = -1 + 1 + 0 = 0$.
La grande diagonale du cube est orthogonale à la diagonale $(BD)$ de la face $ABCD$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Reprendre le calcul des coordonnées de $\overrightarrow{BD}$ : on a $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$, donc la première coordonnée est $-1$, pas $+1$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Erreur de signe sur la première coordonnée de $\overrightarrow{BD}$. Le calcul $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$ donne une première coordonnée négative.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Une coordonnée a été oubliée dans la somme. Le produit scalaire fait intervenir les trois paires de coordonnées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Exprimer d'abord $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{BD}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$, puis appliquer la formule analytique du produit scalaire.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\vec{u}(3~;~-2~;~1)$ et $\vec{v}(0~;~1~;~2)$. Que peut-on dire de ces deux vecteurs ?
[qcm]
[option correct="true"]Ils sont orthogonaux[/option]
[option]Ils sont colinéaires[/option]
[option]Ils sont ni colinéaires ni orthogonaux[/option]
[option]Ils sont opposés[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
On calcule $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 0 + (-2) \times 1 + 1 \times 2 = 0 - 2 + 2 = 0$.
Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs sont orthogonaux.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont colinéaires"]Non.
Pour être colinéaires, il faudrait que l'un soit multiple de l'autre. Ici, la première coordonnée de $\vec{v}$ est nulle alors que celle de $\vec{u}$ ne l'est pas : aucun coefficient $k$ ne convient.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont ni colinéaires ni orthogonaux"]Non.
Le produit scalaire de ces vecteurs n'est pas non nul. Reprendre le calcul $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 0 + (-2) \times 1 + 1 \times 2$ avec attention.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont opposés"]Non.
Deux vecteurs opposés vérifient $\vec{v} = -\vec{u}$, ce qui imposerait que toutes leurs coordonnées soient opposées. Ce n'est pas le cas ici.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ : un produit scalaire nul signale l'orthogonalité, et la colinéarité se teste par proportionnalité des coordonnées.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $\vec{u}(1~;~0~;~1)$ et $\vec{v}(0~;~1~;~1)$. Lequel des vecteurs suivants est orthogonal à la fois à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$ ?
[qcm]
[option]$\vec{w}(1~;~1~;~0)$[/option]
[option]$\vec{w}(1~;~0~;~-1)$[/option]
[option correct="true"]$\vec{w}(1~;~1~;~-1)$[/option]
[option]$\vec{w}(0~;~1~;~-1)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On vérifie les deux conditions :
$\vec{w} \cdot \vec{u} = 1 \times 1 + 1 \times 0 + (-1) \times 1 = 1 + 0 - 1 = 0$
$\vec{w} \cdot \vec{v} = 1 \times 0 + 1 \times 1 + (-1) \times 1 = 0 + 1 - 1 = 0$
Donc $\vec{w}$ est bien orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{w}(1~;~1~;~0)$"]Non.
Avec ce vecteur, $\vec{w} \cdot \vec{u} = 1 + 0 + 0 = 1 \neq 0$ : il n'est même pas orthogonal à $\vec{u}$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{w}(1~;~0~;~-1)$"]Pas tout à fait.
Ce vecteur est orthogonal à $\vec{u}$ ($1 + 0 - 1 = 0$), mais $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0 + 0 - 1 = -1 \neq 0$ : la deuxième condition n'est pas vérifiée.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{w}(0~;~1~;~-1)$"]Pas tout à fait.
Ce vecteur est orthogonal à $\vec{v}$ ($0 + 1 - 1 = 0$), mais $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0 + 0 - 1 = -1 \neq 0$ : la première condition n'est pas vérifiée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour chaque candidat, vérifier les deux conditions $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0$ et $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0$. Les deux doivent être satisfaites simultanément.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]