QCM : Lieux géométriques et configurations

[enonce]
Ce QCM porte sur l'utilisation des complexes pour caractériser des lieux géométriques et des configurations : médiatrice, cercle, alignement, orthogonalité, distance et nature de triangle. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux points distincts d'affixes $z_{A}$ et $z_{B}$. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - z_{A}| = |z - z_{B}|$ est :
[qcm]
[option]le segment $[AB]$[/option]
[option]le cercle de centre $A$ passant par $B$[/option]
[option correct="true"]la médiatrice du segment $[AB]$[/option]
[option]la droite $(AB)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$|z - z_{A}|$ est la distance $MA$ et $|z - z_{B}|$ est la distance $MB$. La condition $MA = MB$ caractérise les points équidistants de $A$ et $B$, c'est-à-dire la médiatrice de $[AB]$.[/reponse]
[reponse motif="le segment $[AB]$"]Non.
Les points du segment $[AB]$ ne sont en général pas équidistants des extrémités (sauf le milieu). Une condition d'égalité de distances caractérise une perpendiculaire, pas un segment.[/reponse]
[reponse motif="le cercle de centre $A$ passant par $B$"]Non.
Sur ce cercle, on a $MA = AB$, ce qui n'a rien à voir avec $MA = MB$. Une condition $MA = r$ (constant) donne un cercle, $MA = MB$ donne une médiatrice.[/reponse]
[reponse motif="la droite $(AB)$"]Non.
Sur la droite $(AB)$ (en dehors du milieu), un point n'est pas à égale distance de $A$ et $B$. La médiatrice est perpendiculaire à $(AB)$, pas confondue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Interpréter $|z - z_{A}|$ comme la distance entre $M$ (image de $z$) et $A$. Une égalité de distances $MA = MB$ définit un lieu classique de la géométrie.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 2 + i| = 3$ est :
[qcm]
[option correct="true"]le cercle de centre $\Omega(2\,;\, -1)$ et de rayon $3$[/option]
[option]le cercle de centre $\Omega(-2\,;\, 1)$ et de rayon $3$[/option]
[option]le cercle de centre $\Omega(2\,;\, 1)$ et de rayon $3$[/option]
[option]le cercle de centre $\Omega(2\,;\, -1)$ et de rayon $9$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On réécrit $|z - 2 + i| = |z - (2 - i)|$ qui est la distance de $M$ au point $\Omega$ d'affixe $2 - i$, donc de coordonnées $(2\,;\, -1)$.
La condition $\Omega M = 3$ caractérise le cercle de centre $\Omega(2\,;\, -1)$ et de rayon $3$.[/reponse]
[reponse motif="le cercle de centre $\Omega(-2\,;\, 1)$ et de rayon $3$"]Non.
Le centre est l'affixe $a$ telle que $|z - a| = 3$. Ici $z - 2 + i = z - (2 - i)$, donc $a = 2 - i$. Le centre $\Omega$ a pour coordonnées $(2\,;\, -1)$, pas $(-2\,;\, 1)$.[/reponse]
[reponse motif="le cercle de centre $\Omega(2\,;\, 1)$ et de rayon $3$"]Non.
Attention au signe de la partie imaginaire : $|z - 2 + i| = |z - (2 - i)|$, donc l'affixe du centre est $2 - i$, qui correspond au point $\Omega(2\,;\, -1)$ — pas $(2\,;\, 1)$.[/reponse]
[reponse motif="le cercle de centre $\Omega(2\,;\, -1)$ et de rayon $9$"]Non.
Le centre est correct, mais le rayon est $|3| = 3$ et non $3^{2} = 9$. La condition $|z - a| = r$ donne directement le rayon $r$, sans élévation au carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Mettre la condition sous la forme $|z - a| = r$ : ici $a = 2 - i$ et $r = 3$. Le point $\Omega$ d'affixe $a$ est le centre, et $r$ est le rayon.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Trois points distincts $A$, $B$, $C$ d'affixes $z_{A}, z_{B}, z_{C}$ sont alignés si et seulement si :
[qcm]
[option]$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un imaginaire pur[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un réel[/option]
[option]$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = 1$[/option]
[option]$z_{C} - z_{A} = z_{B} - z_{A}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'argument du quotient $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ vaut $(\overrightarrow{AB}\,;\, \overrightarrow{AC})$. L'alignement de $A$, $B$, $C$ équivaut à un angle nul ou $\pi$, c'est-à-dire un argument $0$ ou $\pi$ : le quotient est alors un nombre réel.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un imaginaire pur"]Non.
Un quotient imaginaire pur correspond à un argument $\pm\dfrac{\pi}{2}$, donc à des vecteurs perpendiculaires : c'est la caractérisation de l'orthogonalité, pas de l'alignement.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = 1$"]Non.
Cette condition donne $z_{C} = z_{B}$, donc $B = C$. C'est un cas très particulier, beaucoup trop restrictif pour caractériser tous les alignements.[/reponse]
[reponse motif="$z_{C} - z_{A} = z_{B} - z_{A}$"]Non.
Cette égalité signifie $z_{C} = z_{B}$, donc $B = C$ : ce n'est pas la caractérisation de l'alignement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'argument du quotient $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ donne l'angle $(\overrightarrow{AB}\,;\, \overrightarrow{AC})$. Un angle nul ou plat se traduit par un argument $0$ ou $\pi$, c'est-à-dire un quotient réel.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A$, $B$, $C$ trois points distincts. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si :
[qcm]
[option]$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un réel[/option]
[option]$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = i$[/option]
[option]$|z_{C} - z_{A}| = |z_{B} - z_{A}|$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un imaginaire pur[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'angle $(\overrightarrow{AB}\,;\, \overrightarrow{AC})$ vaut un argument du quotient $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$. Un triangle rectangle en $A$ correspond à un angle $\pm\dfrac{\pi}{2}$, soit un argument $\pm\dfrac{\pi}{2}$ : le quotient est un imaginaire pur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ est un réel"]Non.
Un quotient réel correspond à un argument $0$ ou $\pi$, donc à des vecteurs colinéaires : c'est la caractérisation de l'alignement, pas du triangle rectangle.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = i$"]Non.
La condition $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}} = i$ correspond bien à un triangle rectangle en $A$, mais c'est un cas très particulier (triangle rectangle isocèle en $A$ avec $AC = AB$). Pour un triangle rectangle quelconque en $A$, la condition est plus large : tout imaginaire pur convient.[/reponse]
[reponse motif="$|z_{C} - z_{A}| = |z_{B} - z_{A}|$"]Non.
Cette condition donne $AC = AB$, c'est-à-dire que le triangle est isocèle en $A$, pas rectangle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le triangle est rectangle en $A$ si et seulement si $(\overrightarrow{AB}\,;\, \overrightarrow{AC}) = \pm\dfrac{\pi}{2}$, ce qui correspond à un argument $\pm\dfrac{\pi}{2}$ pour le quotient $\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ — donc un imaginaire pur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes $z_{A} = 1 + 2i$ et $z_{B} = -3 + i$. La distance $AB$ vaut :
[qcm]
[option]$\sqrt{13}$[/option]
[option]$\sqrt{5}$[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{17}$[/option]
[option]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$AB = |z_{B} - z_{A}| = |(-3 + i) - (1 + 2i)| = |-4 - i|$.
Donc $AB = \sqrt{(-4)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{13}$"]Non.
On a additionné les affixes ($z_{A} + z_{B} = -2 + 3i$, module $\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$) au lieu de soustraire. La distance $AB$ correspond au module de la différence des affixes.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{5}$"]Non.
On a oublié d'élever les coordonnées au carré : la formule $|a + ib| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ utilise les carrés, pas les valeurs absolues.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
On a additionné les valeurs absolues des coordonnées ($4 + 1 = 5$) au lieu de calculer le module. Le module est une racine carrée d'une somme de carrés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La distance entre deux points est le module de la différence des affixes : $AB = |z_{B} - z_{A}|$. Calculer cette différence puis appliquer la formule du module.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ non nulle tels que $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$ (modulo $2\pi$) est :
[qcm]
[option]la droite passant par $O$ d'angle $\dfrac{\pi}{4}$[/option]
[option]le cercle de rayon $\dfrac{\pi}{4}$[/option]
[option correct="true"]la demi-droite issue de $O$ (privée de $O$) d'angle $\dfrac{\pi}{4}$[/option]
[option]l'axe des abscisses[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$ signifie que $\overrightarrow{OM}$ fait un angle $\dfrac{\pi}{4}$ avec $\vec{u}$, ce qui décrit une demi-droite partant de $O$ (l'argument est défini modulo $2\pi$, pas modulo $\pi$). On exclut $O$ car le complexe nul n'a pas d'argument.[/reponse]
[reponse motif="la droite passant par $O$ d'angle $\dfrac{\pi}{4}$"]Non.
Une droite contiendrait aussi les points d'argument $\dfrac{\pi}{4} + \pi$ (donc $\dfrac{5\pi}{4}$), qui ne vérifient pas la condition. La demi-droite opposée correspond à un argument différent.[/reponse]
[reponse motif="le cercle de rayon $\dfrac{\pi}{4}$"]Non.
$\dfrac{\pi}{4}$ est ici un angle (l'argument), pas une distance. Une condition de la forme $\arg(z) = $ constante donne un secteur angulaire, pas un cercle.[/reponse]
[reponse motif="l'axe des abscisses"]Non.
L'axe des abscisses correspond à $\arg(z) = 0$ (ou $\pi$), pas $\dfrac{\pi}{4}$. L'angle $\dfrac{\pi}{4}$ est l'angle de la « première bissectrice » à partir de l'axe horizontal.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\arg(z) = \theta_{0}$ caractérise une demi-droite issue de l'origine (privée de $O$), faisant un angle $\theta_{0}$ avec $\vec{u}$. L'argument étant défini modulo $2\pi$, on n'obtient qu'une seule demi-droite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2018

Le plan est muni d'un repère orthonormé $ (O~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}) $.

Les points A, B et C ont pour affixes respectives $ a = - 4,\: b = 2 $ et $ c = 4 $.

On considère les trois points A$ ^{\prime} $, B$ ^{\prime} $ et C$ ^{\prime} $ d'affixes respectives $ a^{\prime}= ja $, $ b^{\prime}= jb $ et $ c^{\prime}= jc $ où $ j $ est le nombre complexe $ - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
1. Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de $ j $.
  
  En déduire les formes algébriques et exponentielles de $ a^{\prime} $, $ b^{\prime} $ et $ c^{\prime} $.
2. Les points A, B et C ainsi que les cercles de centre O et de rayon 2, 3 et 4 sont représentés sur le graphique fourni en Annexe.
  
  Placer les points A$ ^{\prime} $, B$ ^{\prime} $ et C$ ^{\prime} $ sur ce graphique.
Montrer que les points A$ ^{\prime} $, B$ ^{\prime} $ et C$ ^{\prime} $ sont alignés.
On note M le milieu du segment [A$ ^{\prime} $C], N le milieu du segment [C$ ^{\prime} $C] et P le milieu du segment $ [\text{C}^{\prime}\text{A}] $.

Démontrer que le triangle MNP est isocèle.

ANNEXE

À compléter et à remettre avec la copie

Plan complexe avec les points A, B, C et les cercles de centre O de rayons 2, 3 et 4

Corrigé

1. $ j= - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
  $ \left| j \right| = \sqrt{\left( - \dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1 $
  $ \theta $ est un argument de $ j $ si et seulement si $ \cos \theta = - \dfrac{1}{2} $ et $ \sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $. Donc $ \dfrac{2\pi}{3} $ est un argument de $ j $.
  
  La forme trigonométrique de $ j $ est :
  
  $ j=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + \text{i}\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) $
  
  et sa forme exponentielle :
  
  $ j= \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $.
  
  La forme algébrique de $ a^{\prime} $ est :
  
  $ a^{\prime}=aj= - 4j=2 - 2\text{i}\sqrt{3} $.
  
  Par ailleurs :
  
  $ a^{\prime}= - 4j= - 4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $
  
  Toutefois $ - 4 $ étant négatif, l'écriture ci-dessus n'est pas la forme exponentielle de $ a^{\prime} $.
  
  Pour obtenir la forme exponentielle de $ a^{\prime} $ on utilise le fait que $ - 1=\text{e}^{\text{i}\pi} $ ; par conséquent :
  
  $ a^{\prime}= - 4\left( \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\right) $
  $ \phantom{a^{\prime}}=4 \text{e}^{\text{i}\pi}\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $
  $ \phantom{a^{\prime}}=4\text{e}^{\text{i}\left( \pi+\frac{2\pi}{3}\right) } $.
  
  La forme exponentielle de $ a^{\prime} $ est donc :
  
  $ a^{\prime}=4\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{3}} $.
  
  La forme algébrique de $ b^{\prime} $ est :
  
  $ b^{\prime}= bj=2j= - 1+\text{i}\sqrt{3} $
  
  et sa forme exponentielle :
  
  $ b^{\prime}=2j=2\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $.
  
  Enfin, la forme algébrique de $ c^{\prime} $ est :
  
  $ c^{\prime}= cj=4j= - 2+2\text{i}\sqrt{3} $
  
  et sa forme exponentielle :
  
  $ c^{\prime}=4j=4\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} $.
2. Voir figure ci-après.
L'affixe du vecteur $ \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} $ est :

$ b^{\prime} - a^{\prime}=2j - ( - 4j)=6j $.

L'affixe du vecteur $ \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}} $ est :

$ c^{\prime} - b^{\prime}=4j - 2j=2j $.

Par conséquent $ \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} $ =3$ \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}} $.

Les vecteurs $ \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} $ et $ \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}} $ sont colinéaires donc les points $ A^{\prime} $, $ B^{\prime} $ et $ C^{\prime} $ sont alignés.
L'affixe de M est :

$ m=\dfrac{a^{\prime}+c}{2}=3 - \text{i}\sqrt{3} $

L'affixe de N est :

$ n=\dfrac{c^{\prime}+c}{2}=1+\text{i}\sqrt{3} $

L'affixe de P est :

$ p=\dfrac{c^{\prime}+a}{2}= - 3+\text{i}\sqrt{3} $

Montrons que $ MN=PN $
$ MN=\left|m - n \right| = \left|2 - 2\text{i}\sqrt{3} \right| $
$ \phantom{MN}=\sqrt{2^2+\left(2 \sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{4+12}=4 $
$ PN=\left|n - p \right| =\left|4 \right| = 4 $

Le triangle $ MNP $ est donc isocèle en $ N $.

Nombres complexes – Bac S Nouvelle Calédonie 2016

On considère les nombres complexes $ z_n $ définis, pour tout entier naturel $ n $, par

$ z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n. $

On note $ A_n $ le point d'affixe $ z_n $ dans le repère orthonormé $ (O~;~\vec{u},\vec{v}) $ (voir figure en fin de sujet).

L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $ A_n $.

1. Vérifier que $ 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} $.
2. En déduire $ z_1 $ et $ z_2 $ sous forme exponentielle.
1. Montrer que pour tout entier naturel $ n $,
  
  $ z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}. $
2. Pour quelles valeurs de $ n $, les points $ O,~A_0 $ et $ A_n $ sont-ils alignés ?
Pour tout entier naturel $ n $, on pose $ d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right| $.
1. Interpréter géométriquement $ d_n $.
2. Calculer $ d_0 $.
3. Montrer que pour tout entier naturel $ n $ non nul,
  
  $ z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right). $
4. En déduire que la suite $ \left(d_n\right)_{n \geqslant 0} $ est géométrique puis que pour tout entier naturel $ n $,
  
  $ d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n. $
1. Montrer que pour tout entier naturel $ n $,
  
  $ \left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2+d_n^2. $
2. En déduire que, pour tout entier naturel $ n $, le triangle $ OA_nA_{n+1} $ est rectangle en $ A_n $.
3. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $ A_5 $ sur la figure ci-dessous à rendre avec la copie.
4. Justifier cette construction.

Corrigé

1. Soit le nombre complexe $ c = 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} $. Il s'écrit $ c = r\text{e}^{\text{i}\theta} $ sous forme exponentielle, $ r $ étant son module et $ \theta $ son argument.
  On a :
  
  $ r = |c| = \sqrt{1^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \dfrac{3}{9}} = \sqrt{\dfrac{12}{9}} = \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} $
  
  $ \cos\theta = \dfrac{1}{r} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{r} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} $
  
  On en déduit que $ \theta \equiv \dfrac{\pi}{6} \pmod{2\pi} $.
  Alors :
  
  $ c = 1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} $
2. $ z_0 = 1 $ et $ z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n \implies z_1 = c \times z_0 = c $.
  D'où :
  
  $ z_1 = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} $
  
  $ z_2 = c \times z_1 = c^2 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}\right)^2 = \dfrac{4}{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} $
1. On peut écrire $ z_1 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^1 \text{e}^{\text{i}1\frac{\pi}{6}} $ et $ z_2 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \text{e}^{\text{i}2\frac{\pi}{6}} $.
  Si la proposition $ z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}} $ est vraie au rang $ n $, elle est aussi vraie pour $ z_{n+1} $ car :
  
  $ z_{n+1} = z_1 \times z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}} = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{n+1} \text{e}^{\text{i}(n+1)\frac{\pi}{6}} $
  
  Par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel $ n $.
2. Les points $ O, A_0 $ et $ A_n $ sont respectivement les points d'affixe $ 0, z_0 $ et $ z_n $. Pour qu'ils soient alignés, il faut que leurs arguments soient égaux à $ k\pi $ près, avec $ k \in \mathbb{Z} $.
  Les arguments de $ O $ (non défini) et $ z_0 $ sont $ 0 $ (argument de $ 1 $).
  Il faut donc que $ \arg(z_n) = n\dfrac{\pi}{6} \equiv 0 \pmod{\pi} $, ce qui donne $ n = 6k $.
1. $ d_n = |z_{n+1} - z_n| $ est le module du complexe $ z_{n+1} - z_n $ dont l'image $ A_d $ dans le repère orthonormé est telle que $ \overrightarrow{OA_d} = \overrightarrow{OA_{n+1}} - \overrightarrow{OA_n} = \overrightarrow{A_n A_{n+1}} $.
  Ceci revient à dire que $ d_n $ est égale à la norme du vecteur $ \overrightarrow{A_n A_{n+1}} $, soit la distance $ A_n A_{n+1} $ :
  
  $ d_n = A_n A_{n+1} = \left\| \overrightarrow{A_n A_{n+1}} \right\| $
2. $ d_0 = |z_1 - z_0| = \left| 1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} - 1 \right| = \left| \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right| = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $.
3. Pour tout entier $ n \geqslant 0 $ :
  
  $ z_{n+2} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n+1} $
  
  $ z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n} $
  
  Par différence, on obtient :
  
  $ z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right) $
4. Le module du produit de deux complexes étant égal au produit de leurs modules, on a :
  
  $ |z_{n+2} - z_{n+1}| = \left|1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right| \times |z_{n+1} - z_n| $
  
  C'est-à-dire $ d_{n+1} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} d_n $.
  La suite $ (d_n)_{n \geqslant 0} $ est une suite géométrique de premier terme $ d_0 = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $ et de raison $ q = \dfrac{2}{\sqrt{3}} $.
  Ainsi, pour tout entier naturel $ n $ :
  
  $ d_n = d_0 q^n = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n $
1. D'après la question 2.a, on a $ |z_n| = \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n $.
  D'où :
  
  $ |z_{n+1}|^2 = \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^{2(n+1)} = \left( \dfrac{4}{3} \right)^{n+1} = \dfrac{4}{3} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n $
  
  D'autre part :
  
  $ |z_n|^2 + d_n^2 = \left( \dfrac{4}{3} \right)^n + \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \left( \dfrac{4}{3} \right)^n + \dfrac{3}{9} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \left( 1 + \dfrac{1}{3} \right) \left( \dfrac{4}{3} \right)^n = \dfrac{4}{3} \left( \dfrac{4}{3} \right)^n $
  
  On a bien $ |z_{n+1}|^2 = |z_n|^2 + d_n^2 $.
2. D'après l'égalité précédente et le théorème de Pythagore, on a $ OA_{n+1}^2 = OA_n^2 + A_n A_{n+1}^2 $.
  Ceci implique que le triangle $ OA_n A_{n+1} $ est rectangle en $ A_n $.
3. Construction : On construit le symétrique $ A'_1 $ de $ A_1 $ par rapport à l'axe des abscisses. On trace les cercles de centre $ O $ de rayon $ OA_1 $ et de centre $ A_0 $ de rayon $ A_0 A_1 $. Ces deux cercles se coupent en $ A_1 $ et $ A'_1 $. On trace la droite $ (OA'_1) $, nommée $ (D) $ (en vert).
  
  On trace ensuite la droite $ (A_1 A_2) $ et le cercle de centre $ A_1 $ de rayon $ R = OA_4 $. Ils se coupent en $ A'_4 $. On trace la droite $ (A'_4 A_4) $, nommée $ (D') $ (en rouge). Le point d'intersection de $ (D) $ et $ (D') $ est $ A_5 $.
4. Justification : L'argument de l'affixe de $ A_5 $ est $ 5\dfrac{\pi}{6} $. L'argument de l'affixe de $ A'_1 $, conjugué de l'affixe de $ A_1 $, vérifie $ \arg(z_{A'_1}) \equiv -\dfrac{\pi}{6} \equiv 11\dfrac{\pi}{6} \equiv \pi + 5\dfrac{\pi}{6} \pmod{2\pi} $. Donc $ A'_1 $ et $ A_5 $ sont alignés avec $ O $ sur la droite $ (D) $.
  
  Les arguments des affixes de $ A_1 $ et $ A_4 $ diffèrent de $ 4\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} $. Donc $ (OA_1) $ et $ (OA_4) $ sont perpendiculaires. Par ailleurs, d'après 4.b, $ (A_1 A_2) $ est perpendiculaire à $ (OA_1) $. Donc $ (A_1 A_2) $ est parallèle à $ (OA_4) $. Par construction, $ A_1 A'_4 = OA_4 $. On en déduit que $ OA_1 A'_4 A_4 $ est un rectangle et que $ (A'_4 A_4) $ est perpendiculaire à $ (OA_4) $.
  
  D'après 4.b, $ A_5 $ doit se trouver sur la droite $ (D') $ perpendiculaire à $ (OA_4) $.
  
  Donc $ A_5 $ se trouve à l'intersection de $ (D) $ et $ (D') $.

QCM Nombres complexes – Bac S Centres étrangers 2009

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, on pourra donner un contre-exemple.

Pour tout complexe $ z $, $ \text{Re}\left(z^{2}\right)=\left(\text{Re}\left(z\right)\right)^{2} $.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $.

Pour tout nombre complexe $ z $ non nul, les points $ M $ d'affixe $ z $, $ N $ d'affixe $ \overline{z} $ et $ P $ d'affixe $ \dfrac{z^{2}}{\overline{z}} $ appartiennent à un même cercle de centre O.
Pour tout nombre complexe $ z $, si $ |1+\text{i}z|=|1 - \text{i}z| $, alors la partie imaginaire de $ z $ est nulle.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $.

Quels que soient les nombres complexes $ z $ et $ z^{\prime} $ non nuls, d'images respectives $ M $ et $ M^{\prime} $ dans le plan complexe, si $ z $ et $ z^{\prime} $ vérifient l'égalité $ |z+z^{\prime}|=|z - z^{\prime}| $, alors les droites $ \left(OM\right) $ et $ \left(OM^{\prime}\right) $ sont perpendiculaires.

Corrigé

Faux.
En effet, si $ z = a + \text{i}b $, on a :

$ z^2 = a^2 - b^2 + 2\text{i}ab $

et donc :

$ \text{Re}(z^2) = a^2 - b^2 $ et $[ \text{Re}(z) ]^2 = a^2 $

Donc la proposition n'est vraie que si la partie imaginaire $ b $ de $ z $ est nulle. Elle est fausse dans tous les autres cas.
Par exemple, si $ z = 3 + 2\text{i} $, alors $ \text{Re}(z^2) = 5 \neq [ \text{Re}(z) ]^2 = 9 $.
Vrai.
Si les points $ M $, $ N $ et $ P $, respectivement d'affixe $ z $, $ \overline{z} $ et $ \dfrac{z^2}{\overline{z}} $, sont sur un même cercle de centre $ O $, alors leurs modules sont égaux.
C'est vrai pour $ z $ et son conjugué $ \overline{z} $.
Par ailleurs, le module du carré d'un nombre complexe est égal au carré de son module et le module du quotient de deux nombres complexes est égal au quotient de leurs modules. Ce qui se traduit par :

$ |z| = |\overline{z}| $ et $ \left| \dfrac{z^2}{\overline{z}} \right| = \dfrac{|z|^2}{|\overline{z}|} = |z| $

La proposition est donc vérifiée.
Vrai.
Soit $ z = a + \text{i}b $, alors $ \text{i}z = -b + \text{i}a $.
$ 1 + \text{i}z = 1 - b + \text{i}a $ et $ 1 - \text{i}z = 1 + b - \text{i}a $.

$ |1 + \text{i}z| = \sqrt{(1-b)^2 + a^2} = \sqrt{1 - 2b + b^2 + a^2} $

$ |1 - \text{i}z| = \sqrt{(1+b)^2 + a^2} = \sqrt{1 + 2b + b^2 + a^2} $

Si $ |1 + \text{i}z| = |1 - \text{i}z| $, alors :

$ \sqrt{1 - 2b + b^2 + a^2} = \sqrt{1 + 2b + b^2 + a^2} $

et $ 1 - 2b + b^2 + a^2 = 1 + 2b + b^2 + a^2 \Rightarrow -2b = 2b \Rightarrow b = 0 $.
La proposition est vérifiée.
Vrai.
Posons $ z = a + \text{i}b $ et $ z' = a' + \text{i}b' $, affixes respectives de $ M $ et $ M' $.
Les droites $ (OM) $ et $ (OM') $ sont perpendiculaires si et seulement si $ \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{OM'} = 0 $, soit $ aa' + bb' = 0 $.
Par ailleurs :
$ z + z' = (a + a') + \text{i}(b + b') $ et $ z - z' = (a - a') + \text{i}(b - b') $

$ |z + z'| = \sqrt{(a + a')^2 + (b + b')^2} = \sqrt{a^2 + 2aa' + a'^2 + b^2 + 2bb' + b'^2} = \sqrt{(a^2 + a'^2 + b^2 + b'^2) + 2(aa' + bb')} $

$ |z - z'| = \sqrt{(a - a')^2 + (b - b')^2} = \sqrt{a^2 - 2aa' + a'^2 + b^2 - 2bb' + b'^2} = \sqrt{(a^2 + a'^2 + b^2 + b'^2) - 2(aa' + bb')} $

$ |z + z'| = |z - z'| \Leftrightarrow aa' + bb' = 0 $.
La proposition est vérifiée.

Nombres complexes – Lieux géométriques – 2

Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble $ \left(E\right) $ des points $ M $ d'affixe $ z $ tels que $ \dfrac{ z+1 - i }{ z - i } $ soit un nombre imaginaire pur.

Corrigé

Indications

L'idée est d'appliquer la formule sur les angles et arguments $ \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)= \text{arg}\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) $ mais il faut aussi bien traiter les cas «limites» pour lesquels le numérateur ou le dénominateur s'annule.

Tout d'abord, notons que le rapport $ \dfrac{ z+1 - i }{ z - i } $ n'est pas défini pour $ z=i $ donc le point $ A $ d'affixe $ i $ n'appartient pas à l'ensemble $ \left(E\right) $.

Ensuite pour $ z= - 1+i $, $ \dfrac{ z+1 - i }{ z - i }=0 $ qui est bien un imaginaire pur ($ 0=0i $) donc le point $ B $ d'affixe $ - 1+i $ appartient à l'ensemble $ \left(E\right) $.

Enfin, si $ z\neq i $ et $ z\neq - 1+i $, le rapport $ \dfrac{ z+1 - i }{ z - i } $ peut s'écrire $ \dfrac{z - z_{B}}{z - z_{A}} $ où $ A $ et $ B $ sont les points d'affixes respectives $ i $ et $ - 1+i $.

Le nombre non nul $ \dfrac{ z+1 - i }{ z - i } $ est un imaginaire pur si et seulement si son argument vaut $ \dfrac{\pi }{2} $ ou $ - \dfrac{\pi }{2} $ (modulo $ 2\pi $).

Or d'après le cours $ \text{arg}\left(\dfrac{z - z_{B}}{z - z_{A}}\right)=\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) $.

Remarque

Cette propriété ne s'applique que si $ A\neq M $ et $ B\neq M $ (sinon l'angle $ \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) $ n'existe pas !).

C'est pourquoi on a traité les cas «limites» $ z=i $ et $ z= - 1+i $ séparément.

Conclusion

Le nombre $ \dfrac{ z+1 - i }{ z - i } $ est donc un imaginaire pur si et seulement si l'angle $ \widehat{AMB} $ est un angle droit.

Or on sait que l'angle $ \widehat{AMB} $ est un angle droit si et seulement si $ M $ appartient au cercle de diamètre $ \left[AB\right] $.

L'ensemble $ \left(E\right) $ est donc le cercle de diamètre $ \left[AB\right] $ privé du point $ A $ (mais on conserve le point $ B $).