PPCM – Circuits d’entraînement sportif – Brevet Centres étrangers 2024

Un entraîneur de sport prépare deux circuits d'entraînement contenant plusieurs exercices de cardio et de renforcement musculaire :

un circuit commence à l'exercice 1 et se termine en revenant à l'exercice 1 ;
le circuit 1 contient cinq exercices. Chaque exercice dure 40 secondes et doit être suivi de 16 secondes de repos permettant de se rendre à l'exercice suivant ;
le circuit 2 contient dix exercices. Chaque exercice dure 30 secondes et doit être suivi de 5 secondes de repos permettant de se rendre à l'exercice suivant.

Deux circuits d'entraînement représentés par des cercles. Circuit 1 : cinq exercices numérotés 1 à 5 disposés en pentagone, départ et arrivée à l'exercice 1. Circuit 2 : dix exercices numérotés 1 à 10 disposés en décagone, départ et arrivée à l'exercice 1.

Montrer que le circuit 1 s'effectue en 280 secondes et que le circuit 2 s'effectue en 350 secondes.
Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 280 et de 350.
Une séance d'entraînement est constituée de plusieurs tours du même circuit.

Au coup de sifflet de l'entraîneur, Camille commence une séance d'entraînement sur le circuit 1 et Dominique sur le circuit 2.
1. Expliquer pourquoi, lorsque 2 800 secondes se sont écoulées à partir du coup de sifflet, Camille se trouve de nouveau au départ du circuit 1.
  
  Préciser où se trouve Dominique sur le circuit 2 lorsque 2 800 secondes se sont écoulées.
2. Après le coup de sifflet, combien de temps faut-il à Camille et Dominique pour se retrouver en même temps pour la première fois au départ de leur circuit ? Exprimer cette durée en minute et seconde.

Corrigé

Circuit 1 : 5 exercices de 40 s chacun, suivis chacun de 16 s de repos (y compris le dernier, pour revenir à l'exercice 1).

$ T_1 = 5 \times 40 + 5 \times 16 = 200 + 80 = 280 $ secondes.

Circuit 2 : 10 exercices de 30 s chacun, suivis chacun de 5 s de repos.

$ T_2 = 10 \times 30 + 10 \times 5 = 300 + 50 = 350 $ secondes.

Le circuit 1 dure bien 280 s et le circuit 2 dure bien 350 s.
On décompose chaque nombre par divisions successives par les nombres premiers.

Pour 280 : $ 280 = 2 \times 140 = 2 \times 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 2 \times 35 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 $.

$ 280 = 2^3 \times 5 \times 7 $

Pour 350 : $ 350 = 2 \times 175 = 2 \times 5 \times 35 = 2 \times 5 \times 5 \times 7 $.

$ 350 = 2 \times 5^2 \times 7 $
1. On effectue la division euclidienne de 2 800 par 280 :
  
  $ 2\,800 = 280 \times 10 $.
  
  Camille a donc parcouru exactement 10 tours complets du circuit 1 : elle se retrouve au départ du circuit 1.
  
  De même, on divise 2 800 par 350 :
  
  $ 2\,800 = 350 \times 8 $.
  
  Dominique a donc parcouru exactement 8 tours complets du circuit 2 : elle se retrouve elle aussi au départ du circuit 2.
2. On cherche le plus petit nombre $ N $ qui soit à la fois un multiple de 280 et de 350 : c'est le PPCM de 280 et 350.
  
  À partir des décompositions précédentes :
  
  $ 280 = 2^3 \times 5 \times 7 $ et $ 350 = 2 \times 5^2 \times 7 $.
  
  Le PPCM s'obtient en prenant chaque facteur premier à la puissance la plus élevée :
  
  $ \text{PPCM}(280\,;\,350) = 2^3 \times 5^2 \times 7 = 8 \times 25 \times 7 = 1\,400 $.
  
  Au bout de 1 400 secondes, Camille et Dominique se retrouveront pour la première fois ensemble au départ de leur circuit.
  
  On convertit 1 400 secondes en minutes et secondes :
  
  $ 1\,400 = 23 \times 60 + 20 $.
  
  Camille et Dominique se retrouvent au départ pour la première fois après 23 minutes et 20 secondes.

Décomposition en facteurs premiers et partage

Un fleuriste dispose de $ 756 $ roses et de $ 1260 $ tulipes. Il souhaite réaliser des bouquets tous identiques, contenant chacun le même nombre de roses et le même nombre de tulipes, en utilisant toutes les fleurs sans en perdre aucune. Il veut réaliser le plus grand nombre possible de bouquets.

Partie A — Décomposition en facteurs premiers

Décomposer $ 756 $ en produit de facteurs premiers.
Décomposer $ 1260 $ en produit de facteurs premiers.
En déduire le PGCD de $ 756 $ et $ 1260 $.

Partie B — Résolution du problème

Quel est le nombre maximal de bouquets que le fleuriste peut réaliser ? Justifier.
Combien chaque bouquet contiendra-t-il de roses ? De tulipes ?
Le fleuriste reçoit en supplément $ 504 $ marguerites, qu'il veut également répartir équitablement dans ses bouquets (toujours sans en perdre). Est-ce possible ? Justifier en utilisant la décomposition en facteurs premiers de $ 504 $.

Corrigé

Partie A

On décompose $ 756 $ par divisions successives :

$ 756 = 2 \times 378 = 2 \times 2 \times 189 = 2^2 \times 189 $

$ 189 = 3 \times 63 = 3 \times 3 \times 21 = 3 \times 3 \times 3 \times 7 = 3^3 \times 7 $

Donc $\mathbf{756 = 2^2 \times 3^3 \times 7}$.
On décompose $ 1260 $ :

$ 1260 = 2 \times 630 = 2 \times 2 \times 315 = 2^2 \times 315 $

$ 315 = 3 \times 105 = 3 \times 3 \times 35 = 3^2 \times 5 \times 7 $

Donc $\mathbf{1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7}$.
Pour trouver le PGCD, on prend chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant :
- Facteur $ 2 $ : exposant $ \min(2, 2) = 2 $
- Facteur $ 3 $ : exposant $ \min(3, 2) = 2 $
- Facteur $ 5 $ : présent uniquement dans $ 1260 $, on ne le prend pas
- Facteur $ 7 $ : exposant $ \min(1, 1) = 1 $
$ \text{PGCD}(756 ; 1260) = 2^2 \times 3^2 \times 7 = 4 \times 9 \times 7 = \mathbf{252} $

Partie B

Le nombre de bouquets doit diviser à la fois $ 756 $ (nombre de roses) et $ 1260 $ (nombre de tulipes), car chaque bouquet contient le même nombre de fleurs de chaque type.

Le plus grand nombre qui divise les deux est le PGCD.

Le fleuriste peut donc réaliser au maximum $ 252 $ bouquets.
Chaque bouquet contient :
- $ \dfrac{756}{252} = 3 $ roses
- $ \dfrac{1260}{252} = 5 $ tulipes
Chaque bouquet contient $ 3 $ roses et $ 5 $ tulipes.
On décompose $ 504 $ en facteurs premiers :

$ 504 = 2 \times 252 = 2 \times 2^2 \times 3^2 \times 7 = 2^3 \times 3^2 \times 7 $

Donc $\mathbf{504 = 2^3 \times 3^2 \times 7}$.

Pour répartir équitablement les $ 504 $ marguerites dans les $ 252 $ bouquets, il faut que $ 252 $ divise $ 504 $.

On vérifie : $ \dfrac{504}{252} = 2 $.

C'est bien un entier, donc oui, c'est possible : chaque bouquet contiendra $ 2 $ marguerites en plus des $ 3 $ roses et $ 5 $ tulipes.

On peut aussi le vérifier avec les décompositions : $ 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7 $ et $ 504 = 2^3 \times 3^2 \times 7 $. Chaque facteur premier de $ 252 $ apparaît dans $ 504 $ avec un exposant supérieur ou égal, donc $ 252 $ divise bien $ 504 $.

Pour réviser : Calculer le PGCD par décomposition en facteurs premiers

QCM Bilan : Division euclidienne, PGCD et PPCM

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : division euclidienne, décomposition en facteurs premiers, PGCD et PPCM. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est le reste de la division euclidienne de $247$ par $15$ ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$12$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$15 \times 16 = 240$ et $247 - 240 = 7$.
On a donc $247 = 15 \times 16 + 7$, avec $0 \leqslant 7 < 15$ : le reste est bien $7$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Si le reste était $5$, on aurait $247 = 15 \times q + 5$ pour un certain $q$, soit $242 = 15 \times q$.
Or $242 \div 15 = 16{,}13\ldots$ : $q$ n'est pas entier. Le reste est $7$ (car $247 = 15 \times 16 + 7$).[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
L'erreur fréquente est de confondre le quotient et le reste.
$247 = 15 \times 16 + 7$ : le quotient est $16$ et le reste est $7$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$15 \times 16 = 240$ et $247 - 240 = 7$, pas $2$.
Le reste de la division de $247$ par $15$ est $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$15 \times 16 = 240$ et $247 - 240 = 7$.
La division euclidienne s'écrit $247 = 15 \times 16 + 7$ : le reste est $7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Laquelle de ces écritures est la décomposition correcte de $126$ en produit de facteurs premiers ?
[qcm]
[option]$126 = 2 \times 63$[/option]
[option correct="true"]$126 = 2 \times 3^2 \times 7$[/option]
[option]$126 = 2^2 \times 3 \times 7$[/option]
[option]$126 = 2 \times 3 \times 21$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$126 = 2 \times 63 = 2 \times 9 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$.
Vérification : $2 \times 9 \times 7 = 126$ et tous les facteurs ($2$, $3$, $7$) sont bien des nombres premiers.[/reponse]
[reponse motif="$126 = 2 \times 63$"]Non.
$63 = 9 \times 7 = 3^2 \times 7$ n'est pas un nombre premier.
Il faut continuer à décomposer : $126 = 2 \times 63 = 2 \times 3^2 \times 7$.[/reponse]
[reponse motif="$126 = 2^2 \times 3 \times 7$"]Non.
$2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 3 \times 7 = 84 \neq 126$.
La décomposition correcte de $126$ est $2 \times 3^2 \times 7 = 2 \times 9 \times 7 = 126$.[/reponse]
[reponse motif="$126 = 2 \times 3 \times 21$"]Non.
$21 = 3 \times 7$ n'est pas un nombre premier.
La décomposition doit s'arrêter uniquement sur des facteurs premiers : $126 = 2 \times 3^2 \times 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposons $126$ étape par étape : $126 = 2 \times 63 = 2 \times 9 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$.
Tous les facteurs $2$, $3$ et $7$ sont des nombres premiers.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la valeur de $PGCD(180, 108)$ ?
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option]$18$[/option]
[option correct="true"]$36$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ et $108 = 2^2 \times 3^3$.
Les facteurs communs sont $2^2$ et $3^2$, donc $PGCD(180, 108) = 2^2 \times 3^2 = 36$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ divise bien $180$ et $108$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun.
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ et $108 = 2^2 \times 3^3$ : $PGCD(180, 108) = 2^2 \times 3^2 = 36$.[/reponse]
[reponse motif="$18$"]Non.
$18$ est un diviseur commun de $180$ et $108$, mais pas le plus grand.
$PGCD(180, 108) = 36$ : on a $180 \div 36 = 5$ et $108 \div 36 = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ divise bien $180$ et $108$, mais il existe un diviseur commun plus grand.
$PGCD(180, 108) = 36$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ et $108 = 2^2 \times 3^3$.
Les facteurs premiers communs sont $2^2$ et $3^2$, donc $PGCD(180, 108) = 2^2 \times 3^2 = 36$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux équipes médicales interviennent dans un village. La première passe toutes les $14$ jours, la seconde toutes les $21$ jours. Elles interviennent ensemble le $1^{er}$ mars. Au bout de combien de jours interviendront-elles à nouveau ensemble pour la première fois ?
[qcm]
[option]$35$ jours[/option]
[option correct="true"]$42$ jours[/option]
[option]$28$ jours[/option]
[option]$63$ jours[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$14 = 2 \times 7$ et $21 = 3 \times 7$.
$PPCM(14, 21) = 2 \times 3 \times 7 = 42$ jours.
La prochaine coïncidence aura lieu $42$ jours après le $1^{er}$ mars.[/reponse]
[reponse motif="$35$ jours"]Non.
$35 \div 14 = 2{,}5$, qui n'est pas un entier : la première équipe n'intervient pas au bout de $35$ jours.
$PPCM(14, 21) = 42$ jours : c'est la bonne réponse.[/reponse]
[reponse motif="$28$ jours"]Non.
$28 \div 21 = 1{,}33\ldots$, qui n'est pas un entier : la seconde équipe n'intervient pas au bout de $28$ jours.
$PPCM(14, 21) = 42$ jours.[/reponse]
[reponse motif="$63$ jours"]Non.
$63$ est un multiple de $21$ ($63 = 21 \times 3$), mais pas de $14$ : $63 \div 14 = 4{,}5$ n'est pas un entier.
Ce n'est donc pas un multiple commun aux deux. La bonne réponse est $PPCM(14, 21) = 42$ jours.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On cherche $PPCM(14, 21)$.
$14 = 2 \times 7$, $21 = 3 \times 7$ : $PPCM = 2 \times 3 \times 7 = 42$ jours.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fraction $\dfrac{252}{180}$ écrite sous forme irréductible est :
[qcm]
[option]$\dfrac{14}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{63}{45}$[/option]
[option]$\dfrac{21}{15}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{7}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ et $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.
$PGCD(252, 180) = 2^2 \times 3^2 = 36$.
$\dfrac{252}{180} = \dfrac{252 \div 36}{180 \div 36} = \dfrac{7}{5}$ et $PGCD(7, 5) = 1$ : la fraction est irréductible.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{14}{10}$"]Non.
$\dfrac{14}{10}$ s'obtient en divisant par $18$, mais ce n'est pas encore irréductible : $PGCD(14, 10) = 2$.
Il faut diviser par le PGCD en entier : $PGCD(252, 180) = 36$, ce qui donne $\dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{63}{45}$"]Non.
$\dfrac{63}{45}$ s'obtient en divisant par $4$, mais ce n'est pas encore irréductible : $PGCD(63, 45) = 9$.
$PGCD(252, 180) = 36$ : la fraction irréductible est $\dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{21}{15}$"]Non.
$\dfrac{21}{15}$ s'obtient en divisant par $12$, mais $PGCD(21, 15) = 3 \neq 1$ : la fraction n'est pas encore irréductible.
$PGCD(252, 180) = 36$ : la fraction irréductible est $\dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ et $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ : les facteurs communs sont $2^2$ et $3^2$, donc $PGCD(252, 180) = 2^2 \times 3^2 = 36$.
$\dfrac{252}{180} = \dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $a = 2^3 \times 3 \times 5$ et $b = 2^2 \times 3^2 \times 7$. Quelle est la valeur de $PGCD(a, b)$ ?
[qcm]
[option]$2^3 \times 3^2$[/option]
[option correct="true"]$2^2 \times 3$[/option]
[option]$2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$[/option]
[option]$2 \times 3$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour trouver le PGCD, on garde chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant.
$2$ apparaît dans les deux : $\min(3, 2) = 2$, on prend $2^2$.
$3$ apparaît dans les deux : $\min(1, 2) = 1$, on prend $3$.
$5$ et $7$ ne sont pas communs.
Donc $PGCD(a, b) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$2^3 \times 3^2$"]Non.
Pour le PGCD, on prend le plus petit exposant de chaque facteur commun, pas le plus grand.
$\min(3, 2) = 2$ pour le facteur $2$ et $\min(1, 2) = 1$ pour le facteur $3$, donc $PGCD(a, b) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$"]Non.
$2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$ serait le PPCM (on prend le plus grand exposant de chaque facteur), pas le PGCD.
Pour le PGCD, on ne garde que les facteurs communs avec le plus petit exposant : $2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 3$"]Non.
$2 \times 3 = 6$ est bien un diviseur commun, mais ce n'est pas le plus grand.
Il faut prendre l'exposant minimum de chaque facteur commun : $\min(3, 2) = 2$ pour le $2$, donc $PGCD(a, b) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver le PGCD à partir des décompositions, on garde chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant.
$2^{\min(3,2)} \times 3^{\min(1,2)} = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Décomposition en facteurs premiers

[enonce]
Dans ce QCM, chaque question porte sur la décomposition en facteurs premiers. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la décomposition de $180$ en produit de facteurs premiers ?
[qcm]
[option correct="true"]$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$[/option]
[option]$180 = 2 \times 3 \times 30$[/option]
[option]$180 = 2^2 \times 45$[/option]
[option]$180 = 4 \times 9 \times 5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$180 = 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 45 = 2^2 \times 9 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.
Chaque facteur ($2$, $3$, $5$) est bien un nombre premier.[/reponse]
[reponse motif="$180 = 2 \times 3 \times 30$"]Non.
$30$ n'est pas un nombre premier : $30 = 2 \times 3 \times 5$.
Une décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers.[/reponse]
[reponse motif="$180 = 2^2 \times 45$"]Non.
$45$ n'est pas un nombre premier : $45 = 3^2 \times 5$.
Il faut continuer à décomposer jusqu'à n'obtenir que des facteurs premiers.[/reponse]
[reponse motif="$180 = 4 \times 9 \times 5$"]Non.
$4 = 2^2$ et $9 = 3^2$ ne sont pas des nombres premiers.
La décomposition correcte est $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers.
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi ces quatre nombres, lequel est un nombre premier ?
[qcm]
[option]$51$[/option]
[option]$57$[/option]
[option correct="true"]$59$[/option]
[option]$91$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$59$ est premier : il n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$ (et $\sqrt{59} < 8$, donc il suffit de tester jusqu'à $7$).[/reponse]
[reponse motif="$51$"]Non.
$51$ n'est pas premier : $51 = 3 \times 17$.
On peut le vérifier car $5 + 1 = 6$, qui est divisible par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$57$"]Non.
$57$ n'est pas premier : $57 = 3 \times 19$.
On peut le vérifier car $5 + 7 = 12$, qui est divisible par $3$.[/reponse]
[reponse motif="$91$"]Non.
$91$ n'est pas premier : $91 = 7 \times 13$.
Un nombre qui ne semble pas divisible par $2$, $3$ ou $5$ peut quand même ne pas être premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour tester si un nombre $n$ est premier, il faut vérifier qu'aucun entier de $2$ à $\sqrt{n}$ ne le divise.
Le seul nombre premier parmi les quatre propositions est $59$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la décomposition de $360$ en produit de facteurs premiers ?
[qcm]
[option correct="true"]$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$[/option]
[option]$360 = 2^2 \times 3 \times 15$[/option]
[option]$360 = 2^3 \times 45$[/option]
[option]$360 = 2^2 \times 3^2 \times 5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$360 = 2 \times 180 = 2^2 \times 90 = 2^3 \times 45 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.
On peut vérifier : $8 \times 9 \times 5 = 360$.[/reponse]
[reponse motif="$360 = 2^2 \times 3 \times 15$"]Non.
$15 = 3 \times 5$ n'est pas un nombre premier.
Il faut continuer à décomposer : $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.[/reponse]
[reponse motif="$360 = 2^3 \times 45$"]Non.
$45 = 3^2 \times 5$ n'est pas un nombre premier.
Il faut continuer à décomposer : $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.[/reponse]
[reponse motif="$360 = 2^2 \times 3^2 \times 5$"]Non.
$2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180 \neq 360$.
Il manque un facteur $2$ : la décomposition correcte est $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposons étape par étape : $360 = 2 \times 180 = 2^2 \times 90 = 2^3 \times 45 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la décomposition de $420$ en produit de facteurs premiers ?
[qcm]
[option correct="true"]$420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$[/option]
[option]$420 = 2 \times 3 \times 70$[/option]
[option]$420 = 4 \times 105$[/option]
[option]$420 = 2^2 \times 3^2 \times 5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$420 = 2 \times 210 = 2^2 \times 105 = 2^2 \times 3 \times 35 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$.
On peut vérifier : $4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$.[/reponse]
[reponse motif="$420 = 2 \times 3 \times 70$"]Non.
$70 = 2 \times 5 \times 7$ n'est pas un nombre premier.
Il faut continuer à décomposer : $420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$.[/reponse]
[reponse motif="$420 = 4 \times 105$"]Non.
$4 = 2^2$ et $105 = 3 \times 5 \times 7$ ne sont pas des nombres premiers.
La décomposition correcte est $420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$.[/reponse]
[reponse motif="$420 = 2^2 \times 3^2 \times 5$"]Non.
$2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180 \neq 420$.
La décomposition correcte de $420$ est $2^2 \times 3 \times 5 \times 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposons étape par étape : $420 = 2 \times 210 = 2^2 \times 105 = 2^2 \times 3 \times 35 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le plus grand diviseur premier de $315$ ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$9$[/option]
[option]$63$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$315 = 3^2 \times 5 \times 7$.
Les diviseurs premiers de $315$ sont $3$, $5$ et $7$. Le plus grand est $7$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
$5$ est bien un diviseur premier de $315$, mais ce n'est pas le plus grand.
$315 = 3^2 \times 5 \times 7$ : le plus grand diviseur premier est $7$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9 = 3^2$ n'est pas un nombre premier.
Les diviseurs premiers sont ceux qui sont à la fois diviseurs et nombres premiers : ici $3$, $5$ et $7$.[/reponse]
[reponse motif="$63$"]Non.
$63 = 9 \times 7 = 3^2 \times 7$ n'est pas un nombre premier.
Un diviseur premier doit être à la fois diviseur de $315$ et nombre premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La décomposition de $315$ est $3^2 \times 5 \times 7$.
Les diviseurs premiers sont $3$, $5$ et $7$ : le plus grand est $7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7$. Laquelle de ces affirmations est fausse ?
[qcm]
[option]$630$ est divisible par $18$[/option]
[option correct="true"]$630$ est divisible par $4$[/option]
[option]$630$ est divisible par $21$[/option]
[option]$630$ est divisible par $35$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$4 = 2^2$, or dans $630 = 2^1 \times 3^2 \times 5 \times 7$, le facteur $2$ n'apparaît qu'avec l'exposant $1$.
Donc $2^2$ ne divise pas $630$ : $630 \div 4 = 157{,}5$, qui n'est pas un entier.[/reponse]
[reponse motif="$630$ est divisible par $18$"]Non, cette affirmation est vraie.
$18 = 2 \times 3^2$ : les facteurs $2^1$ et $3^2$ sont tous les deux présents dans $630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7$.
Donc $630 \div 18 = 35$, qui est bien un entier.[/reponse]
[reponse motif="$630$ est divisible par $21$"]Non, cette affirmation est vraie.
$21 = 3 \times 7$ : les facteurs $3^1$ et $7^1$ sont bien présents dans $630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7$.
Donc $630 \div 21 = 30$, qui est bien un entier.[/reponse]
[reponse motif="$630$ est divisible par $35$"]Non, cette affirmation est vraie.
$35 = 5 \times 7$ : les facteurs $5$ et $7$ sont bien présents dans $630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7$.
Donc $630 \div 35 = 18$, qui est bien un entier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour qu'un nombre divise $630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7$, chaque facteur premier de sa décomposition doit apparaître avec un exposant inférieur ou égal à celui de $630$.
Ici, $4 = 2^2$ demande deux fois le facteur $2$, mais $630$ ne contient $2$ qu'une seule fois.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Diviseurs et décomposition en facteurs premiers

[enonce]
Dans cet exercice, on explore la structure des diviseurs d'un nombre à partir de sa décomposition en facteurs premiers.
[/enonce]

[etape]
Quels sont les diviseurs de $2^4 = 16$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$[/option]
[option]$1$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$ ; $12$ ; $16$[/option]
[option]$2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$[/option]
[option]$1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $8$ ; $16$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les diviseurs de $2^4$ sont les puissances de $2$ d'exposant inférieur ou égal à $4$ : $2^0 = 1$, $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$ et $2^4 = 16$.[/reponse]
[reponse motif="$1$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$ ; $12$ ; $16$"]Non.
$6 = 2 \times 3$ et $12 = 2^2 \times 3$ font intervenir le facteur $3$, qui est absent de la décomposition de $16 = 2^4$.
Un diviseur de $16$ ne peut contenir que des puissances de $2$.[/reponse]
[reponse motif="$2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$"]Non.
$1$ est toujours un diviseur de tout entier ($1 = 2^0$).
Ne pas oublier de commencer la liste à $2^0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $8$ ; $16$"]Non.
$3$ n'est pas un facteur premier de $16 = 2^4$, donc $16 \div 3$ n'est pas un entier.
Les diviseurs de $16$ ne peuvent contenir que le facteur premier $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les diviseurs de $2^4$ sont les puissances de $2$ d'exposant compris entre $0$ et $4$.
Lister toutes ces puissances.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$3^5 = 243$ possède [[nb1]] diviseurs.
[input id="nb1" attendu="6"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les diviseurs de $3^5$ sont les puissances de $3$ de $3^0$ à $3^5$ : $1$, $3$, $9$, $27$, $81$ et $243$.
Cela fait bien $6$ diviseurs.[/reponse]
[reponse motif="5"]Non.
Attention à ne pas oublier $1 = 3^0$ dans la liste : $3^0 = 1$ est toujours un diviseur.
Recommencez en listant $3^0$, $3^1$, $3^2$, $3^3$, $3^4$, $3^5$.[/reponse]
[reponse motif="7"]Non.
Les diviseurs de $3^5$ sont uniquement les puissances de $3$ d'exposant compris entre $0$ et $5$.
Listez-les méthodiquement depuis $3^0$ jusqu'à $3^5$ et comptez.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Listez méthodiquement les puissances de $3$ depuis $3^0$ jusqu'à $3^5$ et comptez-les.[/reponse]
[aide essai="2"]Les diviseurs de $3^5$ sont $3^0$, $3^1$, $3^2$, $3^3$, $3^4$ et $3^5$. Combien cela fait-il ?[/aide]
[/input]
[solution]$3^5$ possède $6$ diviseurs : $1$, $3$, $9$, $27$, $81$ et $243$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Parmi les listes suivantes, laquelle est la liste complète des diviseurs de $15 = 3 \times 5$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$1$ ; $3$ ; $5$ ; $15$[/option]
[option]$1$ ; $5$ ; $15$[/option]
[option]$3$ ; $5$ ; $15$[/option]
[option]$1$ ; $3$ ; $5$ ; $9$ ; $15$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les diviseurs de $15 = 3 \times 5$ sont les nombres obtenus en choisissant pour chaque facteur premier ($3$ et $5$) un exposant de $0$ ou $1$ : c'est-à-dire $1$, $3$, $5$ et $15$.
Vérification : $15 \div 1 = 15$, $15 \div 3 = 5$, $15 \div 5 = 3$, $15 \div 15 = 1$, ce sont bien des entiers[/reponse]
[reponse motif="$1$ ; $5$ ; $15$"]Non.
Il manque un diviseur. Vérifier si les facteurs premiers de $15$ divisent bien $15$ individuellement.[/reponse]
[reponse motif="$3$ ; $5$ ; $15$"]Non.
$1$ est toujours un diviseur de tout entier. Ne pas l'oublier dans la liste.[/reponse]
[reponse motif="$1$ ; $3$ ; $5$ ; $9$ ; $15$"]Non.
$9 = 3^2$ n'est pas un diviseur de $15$ : $15 \div 9$ n'est pas un entier.
Dans $15 = 3 \times 5$, le facteur $3$ n'apparaît qu'avec l'exposant $1$, donc $3^2$ ne peut pas diviser $15$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour chaque facteur premier de $15 = 3 \times 5$, l'exposant est $0$ ou $1$.
Lister tous les produits possibles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $60 = 2^2 \times 3 \times 5$. $60$ possède [[nb2]] diviseurs.
[input id="nb2" attendu="12"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les diviseurs de $60$ sont : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $10$, $12$, $15$, $20$, $30$, $60$.
Pour les trouver, on choisit pour $2$ un exposant parmi $0$, $1$ ou $2$, pour $3$ un exposant parmi $0$ ou $1$, et pour $5$ un exposant parmi $0$ ou $1$ : cela donne $3 \times 2 \times 2 = 12$ diviseurs.[/reponse]
[reponse motif="8"]Non.
Des diviseurs sont manquants dans votre liste.
Essayez de les trouver en testant $60 \div 1$, $60 \div 2$, $60 \div 3$, $60 \div 4$, etc., jusqu'à $60$.[/reponse]
[reponse motif="10"]Non.
Il manque des diviseurs dans votre compte.
Pensez aux diviseurs supérieurs à $10$ : vérifiez par exemple $60 \div 12$, $60 \div 15$, $60 \div 20$…[/reponse]
[reponse motif="16"]Non.
$60$ possède moins de diviseurs que vous ne le pensez.
Vérifiez chaque candidat : par exemple, $60 \div 8$ n'est pas un entier, donc $8$ n'est pas un diviseur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Listez méthodiquement les diviseurs de $60$ en testant chaque entier de $1$ à $60$.
N'oubliez pas que si $d$ divise $60$, alors $60 \div d$ aussi.[/reponse]
[aide essai="2"]Les diviseurs de $60$ vont par paires : $1 \times 60$, $2 \times 30$, $3 \times 20$, $4 \times 15$, $5 \times 12$, $6 \times 10$. Combien de diviseurs cela fait-il au total ?[/aide]
[/input]
[solution]$60$ possède $12$ diviseurs : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $10$, $12$, $15$, $20$, $30$, $60$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Lequel de ces nombres possède exactement $3$ diviseurs ?
[qcm]
[option]$6$[/option]
[option]$10$[/option]
[option correct="true"]$25$[/option]
[option]$21$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$25 = 5^2$ possède exactement $3$ diviseurs : $1$, $5$ et $25$.
Les trois autres sont des produits de deux nombres premiers distincts, qui ont tous $4$ diviseurs : $6 = 2 \times 3$, $10 = 2 \times 5$, $21 = 3 \times 7$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6 = 2 \times 3$ possède $4$ diviseurs : $1$, $2$, $3$ et $6$.
Cherchez un nombre dont la décomposition a une structure différente.[/reponse]
[reponse motif="$10$"]Non.
$10 = 2 \times 5$ possède $4$ diviseurs (le lister pour vérifier).
Chercher un nombre dont la décomposition a une structure différente : un carré de nombre premier.[/reponse]
[reponse motif="$21$"]Non.
$21 = 3 \times 7$ possède $4$ diviseurs (le vérifier).
Chercher parmi les propositions un nombre qui est le carré d'un nombre premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer chaque nombre en facteurs premiers et compter ses diviseurs.
Un nombre de la forme $p^2$ (carré d'un premier) possède exactement $3$ diviseurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $588 = 2^2 \times 3 \times 7^2$. Parmi les nombres suivants, lequel n'est pas un diviseur de $588$ ?
[qcm]
[option]$28$[/option]
[option]$42$[/option]
[option correct="true"]$63$[/option]
[option]$84$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$63 = 3^2 \times 7$.
Or dans $588 = 2^2 \times 3 \times 7^2$, le facteur $3$ n'apparaît qu'avec l'exposant $1$.
Donc $3^2 = 9$ ne peut pas diviser $588$ : $588 \div 63 = 9{,}33\ldots$ n'est pas un entier.[/reponse]
[reponse motif="$28$"]Non.
$28 = 2^2 \times 7$ : les facteurs $2^2$ et $7^1$ sont bien présents dans $588 = 2^2 \times 3 \times 7^2$.
Donc $28$ divise bien $588$ : $588 \div 28 = 21$.[/reponse]
[reponse motif="$42$"]Non.
$42 = 2 \times 3 \times 7$ : les facteurs $2$, $3$ et $7$ sont bien présents dans $588 = 2^2 \times 3 \times 7^2$.
Donc $42$ divise bien $588$ : $588 \div 42 = 14$.[/reponse]
[reponse motif="$84$"]Non.
$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ : tous ces facteurs sont présents dans $588 = 2^2 \times 3 \times 7^2$.
Donc $84$ divise bien $588$ : $588 \div 84 = 7$.
Cherchez plutôt un nombre dont la décomposition contient un facteur premier avec un exposant trop élevé par rapport à celui de $588$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour qu'un nombre divise $588 = 2^2 \times 3 \times 7^2$, chaque facteur premier de sa décomposition doit y apparaître avec un exposant inférieur ou égal à celui de $588$.
Vérifiez la décomposition de chaque proposition.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

PPCM : deux lignes de bus

Deux lignes de bus desservent le même arrêt. La ligne A passe toutes les $ 18 $ minutes et la ligne B toutes les $ 30 $ minutes. Les deux lignes partent ensemble à $ 7 $h$ 00 $.

Décomposer $ 18 $ et $ 30 $ en produits de facteurs premiers.
En déduire le $ \text{PGCD}(18\,;\,30) $.
Quel est le plus petit entier divisible à la fois par $ 18 $ et par $ 30 $ ?
À quelle heure les deux lignes repartent-elles ensemble pour la première fois après $ 7 $h$ 00 $ ?

Corrigé

Cet exercice illustre la résolution d'un problème de conjonction de phénomènes.

$ 18 = 2 \times 3^2 $

$ 30 = 2 \times 3 \times 5 $
On retient les facteurs communs avec les plus petits exposants :

$ \text{PGCD}(18\,;\,30) = 2 \times 3 = 6 $
On cherche le plus petit entier divisible à la fois par $ 18 = 2 \times 3^2 $ et par $ 30 = 2 \times 3 \times 5 $.

Pour être divisible par $ 18 $, un nombre doit contenir au moins les facteurs $ 2^1 $ et $ 3^2 $.

Pour être divisible par $ 30 $, il doit contenir au moins les facteurs $ 2^1 $, $ 3^1 $ et $ 5^1 $.

Le plus petit nombre vérifiant les deux conditions doit donc contenir :
- $ 2^1 $ (exigé par les deux)
- $ 3^2 $ (exigé par $ 18 $, condition plus stricte que $ 3^1 $ exigé par $ 30 $)
- $ 5^1 $ (exigé par $ 30 $)
Le plus petit multiple commun est donc $ 2 \times 3^2 \times 5 = 2 \times 9 \times 5 = 90 $.
Les deux lignes repartent ensemble toutes les $ 90 $ minutes, soit toutes les $ 1 $ h $ 30 $ min.

$7$h$00$ + $1$h$30$ = $8$h$30$

Les deux lignes repartent ensemble pour la première fois à $8$h$30$.