Décomposer 360 puis simplifier une fraction

[enonce]
On souhaite simplifier la fraction $ \dfrac{360}{504} $ sans tâtonner.
Pour cela, on va d'abord décomposer chacun des deux nombres en produit de facteurs premiers, puis utiliser ces décompositions pour réduire la fraction.
[/enonce]

[etape]
On commence par retirer tous les facteurs $ 2 $ de $ 360 $.
Après ces divisions successives par $ 2 $, le quotient impair restant vaut [[q1]].
[math id="q1" attendu="45"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On a divisé trois fois de suite par $ 2 $ : $ 360 = 2 \times 2 \times 2 \times 45 $, et $ 45 $ est impair.[/reponse]
[reponse motif="180"]C'est le résultat d'une seule division par $ 2 $. Il faut continuer à diviser tant que le quotient reste pair.[/reponse]
[reponse motif="90"]Tu n'as divisé que deux fois par $ 2 $. Le quotient obtenu est encore pair, donc on peut encore le diviser.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Diviser $ 360 $ par $ 2 $ autant de fois que possible, jusqu'à tomber sur un nombre impair.[/reponse]
[aide essai="2"]Un nombre est divisible par $ 2 $ tant que son chiffre des unités est pair. Recommencer la division par $ 2 $ à chaque étape.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $ 360 \div 2 $, puis diviser à nouveau le résultat par $ 2 $, et encore une fois.[/aide]
[solution]En divisant trois fois par $ 2 $ : $ 360 = 2 \times 180 $, $ 180 = 2 \times 90 $, $ 90 = 2 \times 45 $. Le quotient impair est $ 45 $.[/solution]
[/math]
[/etape]

[etape]
On poursuit la décomposition du quotient impair obtenu.
La décomposition de $ 45 $ en produit de facteurs premiers est [[d45]].
[math id="d45" attendu="3^2 \times 5"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$ 45 = 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5 $.[/reponse]
[reponse motif="9 \times 5"]$ 9 $ n'est pas un nombre premier. Décomposer $ 9 $ à son tour avant d'écrire le résultat.[/reponse]
[reponse motif="5 \times 9"]$ 9 $ n'est pas un nombre premier. Le décomposer à son tour.[/reponse]
[reponse motif="3 \times 15"]$ 15 $ n'est pas premier : continuer à le diviser par un nombre premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Tous les facteurs d'une décomposition doivent être des nombres premiers. Vérifier que $ 9 $ et $ 15 $ n'apparaissent pas.[/reponse]
[aide essai="2"]La somme des chiffres de $ 45 $ vaut $ 9 $, donc $ 45 $ est divisible par $ 3 $. Diviser, puis recommencer avec le quotient.[/aide]
[aide essai="3"]On obtient $ 45 = 3 \times 15 $, puis $ 15 = 3 \times 5 $. Combien de fois le facteur $ 3 $ apparaît-il ?[/aide]
[solution]$ 45 = 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 5 $, soit $ 45 = 3^2 \times 5 $.[/solution]
[/math]
[/etape]

[etape]
En rassemblant les facteurs $ 2 $ retirés à la première étape et la décomposition de $ 45 $, la décomposition complète de $ 360 $ est [[d360]].
[math id="d360" attendu="2^3 \times 3^2 \times 5"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$ 360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5 $.[/reponse]
[reponse motif="2^2 \times 3^2 \times 5"]Vérifier le nombre de facteurs $ 2 $ : à la première étape, la division par $ 2 $ a été faite trois fois.[/reponse]
[reponse motif="2^3 \times 3 \times 5"]Vérifier le nombre de facteurs $ 3 $ : la décomposition de $ 45 $ en contenait deux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Réunir les facteurs $ 2 $ de la première étape et les facteurs de $ 45 $ trouvés à la deuxième, puis regrouper les facteurs identiques en puissances.[/reponse]
[aide essai="2"]À la première étape, le facteur $ 2 $ apparaissait trois fois. À la deuxième, $ 45 = 3^2 \times 5 $.[/aide]
[aide essai="3"]Réunir $ 2 \times 2 \times 2 $ et $ 3 \times 3 \times 5 $, puis écrire chaque répétition sous forme de puissance.[/aide]
[solution]$ 360 = 2^3 \times 45 = 2^3 \times 3^2 \times 5 $.[/solution]
[/math]
[/etape]

[etape]
On applique la même démarche au dénominateur.
La décomposition complète de $ 504 $ en produit de facteurs premiers est [[d504]].
[math id="d504" attendu="2^3 \times 3^2 \times 7"]
[reponse statut="correct"]Parfait !
$ 504 = 2 \times 252 = 2 \times 2 \times 126 = 2 \times 2 \times 2 \times 63 $, et $ 63 = 3^2 \times 7 $, d'où $ 504 = 2^3 \times 3^2 \times 7 $.[/reponse]
[reponse motif="2^3 \times 3^2 \times 5"]Le dernier facteur premier obtenu n'est pas $ 5 $. Reprendre la décomposition de $ 63 $.[/reponse]
[reponse motif="2^3 \times 7 \times 9"]$ 9 $ n'est pas premier. Le décomposer à son tour avant d'écrire le résultat.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Diviser $ 504 $ par $ 2 $ tant que c'est possible, puis décomposer le quotient impair obtenu.[/reponse]
[aide essai="2"]$ 504 $ est divisible par $ 2 $ trois fois de suite. Quel quotient impair reste-t-il ?[/aide]
[aide essai="3"]Après les divisions par $ 2 $, le quotient impair est $ 63 $. Or $ 63 = 9 \times 7 $, et $ 9 = 3^2 $.[/aide]
[solution]$ 504 = 2^3 \times 63 = 2^3 \times 3^2 \times 7 $.[/solution]
[/math]
[/etape]

[etape]
Pour simplifier la fraction, on rassemble tous les facteurs premiers présents à la fois au numérateur et au dénominateur.
Le produit de ces facteurs communs vaut [[fc]].
[math id="fc" attendu="72"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les facteurs communs sont $ 2^3 $ et $ 3^2 $, et $ 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 $.[/reponse]
[reponse motif="6"]Attention aux puissances : il y a trois facteurs $ 2 $ et deux facteurs $ 3 $ en commun, pas un seul de chaque.[/reponse]
[reponse motif="36"]Vérifier la puissance de $ 2 $ : le facteur $ 2 $ apparaît trois fois dans chaque décomposition, pas deux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer les deux décompositions et garder uniquement les facteurs premiers communs, avec la plus petite puissance présente dans les deux.[/reponse]
[aide essai="2"]Comparer $ 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 $ et $ 504 = 2^3 \times 3^2 \times 7 $. Quels facteurs sont présents dans les deux ?[/aide]
[aide essai="3"]Les facteurs communs sont $ 2^3 $ et $ 3^2 $. Calculer leur produit $ 8 \times 9 $.[/aide]
[solution]Les facteurs communs sont $ 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 $.[/solution]
[/math]
[/etape]

[etape]
En divisant le numérateur et le dénominateur par ce facteur commun, on obtient la fraction simplifiée $ \dfrac{360}{504} = $ [[res]].
[math id="res" attendu="\dfrac{5}{7}" format="irreductible"]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$ \dfrac{360}{504} = \dfrac{2^3 \times 3^2 \times 5}{2^3 \times 3^2 \times 7} = \dfrac{5}{7} $, et $ \dfrac{5}{7} $ est irréductible car $ 5 $ et $ 7 $ sont premiers.[/reponse]
[reponse statut="format"]Cette fraction peut encore être simplifiée. Diviser le numérateur et le dénominateur par tous leurs facteurs communs.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{10}{14}"]Cette fraction a la bonne valeur, mais elle n'est pas irréductible : $ 10 $ et $ 14 $ ont encore un facteur commun.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{45}{63}"]Tu n'as supprimé que les facteurs $ 2 $. Il reste à simplifier par les facteurs $ 3 $ communs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Après avoir barré les facteurs $ 2^3 $ et $ 3^2 $ communs au numérateur et au dénominateur, il ne reste qu'un facteur en haut et un en bas.[/reponse]
[aide essai="2"]Une fois les facteurs communs $ 2^3 $ et $ 3^2 $ supprimés, quel facteur reste-t-il au numérateur ? au dénominateur ?[/aide]
[aide essai="3"]Au numérateur il ne reste que $ 5 $, au dénominateur que $ 7 $.[/aide]
[solution]$ \dfrac{360}{504} = \dfrac{2^3 \times 3^2 \times 5}{2^3 \times 3^2 \times 7} = \dfrac{5}{7} $.[/solution]
[/math]
[/etape]

Décomposition en facteurs premiers et simplification de fractions

Décomposer chacun des nombres suivants en produit de facteurs premiers :
1. $ 90 $
2. $ 132 $
3. $ 360 $
À l'aide des décompositions précédentes, simplifier les fractions suivantes au maximum :
1. $ \dfrac{90}{132} $
2. $ \dfrac{360}{132} $
Donner la liste de tous les diviseurs de $ 90 $ en utilisant sa décomposition en facteurs premiers.

Corrigé

1. On divise successivement par les nombres premiers à partir de $ 2 $ :
  $ 90 = 2 \times 45 $
  $ 45 = 3 \times 15 $
  $ 15 = 3 \times 5 $
  
  $ 90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = $ $\mathbf{2 \times 3^2 \times 5}$
2. $ 132 = 2 \times 66 $
  $ 66 = 2 \times 33 $
  $ 33 = 3 \times 11 $
  
  $ 132 = 2 \times 2 \times 3 \times 11 = $ $\mathbf{2^2 \times 3 \times 11}$
3. $ 360 = 2 \times 180 $
  $ 180 = 2 \times 90 $
  $ 90 = 2 \times 3^2 \times 5 $ (d'après la question 1.a)
  
  $ 360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3^2 \times 5 = $ $\mathbf{2^3 \times 3^2 \times 5}$
1. On utilise les décompositions de $ 90 $ et $ 132 $ :
  
  $ \dfrac{90}{132} = \dfrac{2 \times 3 \times 3 \times 5}{2 \times 2 \times 3 \times 11} $
  
  On simplifie les facteurs communs ($ 2 $ et un $ 3 $) :
  
  $ \dfrac{90}{132} = \dfrac{3 \times 5}{2 \times 11} = $ $\mathbf{\dfrac{15}{22}}$
2. On utilise les décompositions de $ 360 $ et $ 132 $ :
  
  $ \dfrac{360}{132} = \dfrac{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5}{2 \times 2 \times 3 \times 11} $
  
  On simplifie les facteurs communs (deux $ 2 $ et un $ 3 $) :
  
  $ \dfrac{360}{132} = \dfrac{2 \times 3 \times 5}{11} = $ $\mathbf{\dfrac{30}{11}}$
La décomposition de $ 90 $ est $ 2 \times 3^2 \times 5 $. Tous les diviseurs de $ 90 $ s'obtiennent en combinant les facteurs premiers $ 2 $, $ 3 $, $ 3 $ et $ 5 $ (en prenant ou non chaque facteur) :
- avec aucun facteur : $ 1 $
- avec un seul facteur : $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $
- avec deux facteurs : $ 2 \times 3 = 6 $, $ 2 \times 5 = 10 $, $ 3 \times 3 = 9 $, $ 3 \times 5 = 15 $
- avec trois facteurs : $ 2 \times 3 \times 3 = 18 $, $ 2 \times 3 \times 5 = 30 $, $ 3 \times 3 \times 5 = 45 $
- avec tous les facteurs : $ 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 90 $
Les diviseurs de $ 90 $ sont : $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $, $ 6 $, $ 9 $, $ 10 $, $ 15 $, $ 18 $, $ 30 $, $ 45 $ et $ 90 $ (12 diviseurs).

→ Pour réviser : Décomposer un entier en produit de facteurs premiers

Vrai/Faux : Nombres premiers et décomposition

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le nombre $91$ est un nombre premier.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$91$ admet un diviseur autre que $1$ et $91$ : on peut vérifier que $91 = 7 \times 13$. Comme $91$ a au moins quatre diviseurs ($1$, $7$, $13$ et $91$), il n'est pas premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
$91$ ne se laisse pas attraper par les critères classiques (par $2$, $3$, $5$), mais il faut aussi tester $7$. Poser la division : $91 \div 7$ tombe juste.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $91 = 7 \times 13$, donc $91$ admet $7$ et $13$ comme diviseurs autres que $1$ et lui-même. Il n'est pas premier.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La somme de deux nombres premiers est toujours un nombre premier.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Contre-exemple : $3$ et $5$ sont premiers, mais $3 + 5 = 8$ n'est pas premier ($8 = 2^3$). De même, $5 + 7 = 12$, $7 + 11 = 18$, ... ne sont pas premiers.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour réfuter une affirmation universelle, il suffit d'un contre-exemple. Choisir deux nombres premiers et calculer leur somme. Vérifier ensuite si la somme est premier.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Contre-exemple : $3 + 5 = 8$, qui n'est pas premier. La somme de deux nombres premiers est généralement paire (sauf si l'un des deux vaut $2$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La décomposition en facteurs premiers de $360$ est $2^3 \times 3^2 \times 5$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On vérifie : $2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 72 \times 5 = 360$. La décomposition est bien correcte. On peut aussi la retrouver en divisant successivement par $2$, $2$, $2$, $3$, $3$ et $5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calculer le produit pour vérifier : $2^3 = 8$, $3^2 = 9$, et $8 \times 9 \times 5 = 360$. La décomposition est correcte.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On a $2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$, et $2$, $3$, $5$ sont bien des nombres premiers.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'écriture $48 = 4 \times 12$ est la décomposition en facteurs premiers de $48$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Une décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers. Or ni $4$ ni $12$ ne sont premiers ($4 = 2^2$, $12 = 2^2 \times 3$). La vraie décomposition est $48 = 2^4 \times 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérifier la nature des facteurs : ils doivent tous être des nombres premiers. Ici, $4$ et $12$ ne sont pas premiers. Continuer la décomposition.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers. La vraie décomposition de $48$ est $2^4 \times 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Tout entier naturel supérieur ou égal à $2$ peut s'écrire comme un produit de nombres premiers.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est une propriété fondamentale du chapitre : tout entier $n \geqslant 2$ admet une décomposition en produit de facteurs premiers. Si $n$ est lui-même premier, le « produit » se réduit à $n$ tout seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est une propriété centrale du cours. Même un nombre premier comme $7$ s'écrit comme un produit avec un seul facteur ($7$ lui-même). Et tout autre entier se décompose en plusieurs facteurs premiers.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est le théorème fondamental sur lequel repose la décomposition en facteurs premiers : il est valable pour tout entier supérieur ou égal à $2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fraction $\dfrac{42}{105}$ se simplifie en $\dfrac{2}{5}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On décompose : $42 = 2 \times 3 \times 7$ et $105 = 3 \times 5 \times 7$. On simplifie par les facteurs communs $3$ et $7$ : $\dfrac{42}{105} = \dfrac{2 \times 3 \times 7}{3 \times 5 \times 7} = \dfrac{2}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Décomposer numérateur et dénominateur en facteurs premiers, puis simplifier les facteurs communs. Vérifier le calcul : $42 = 2 \times 3 \times 7$ et $105 = 3 \times 5 \times 7$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Après décomposition $42 = 2 \times 3 \times 7$ et $105 = 3 \times 5 \times 7$, la simplification par $3 \times 7 = 21$ donne $\dfrac{2}{5}$.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Divisibilité et nombres premiers

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : critères de divisibilité, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers et simplification de fractions. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La décomposition en facteurs premiers de $180$ est :
[qcm]
[option]$2^2 \times 3 \times 15$[/option]
[option]$4 \times 9 \times 5$[/option]
[option correct="true"]$2^2 \times 3^2 \times 5$[/option]
[option]$2^2 \times 5 \times 9$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On divise successivement par les nombres premiers : $180 = 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 45 = 2^2 \times 3 \times 15 = 2^2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.[/reponse]
[reponse motif="$2^2 \times 3 \times 15$"]Non.
La décomposition n'est pas terminée : $15$ n'est pas premier ($15 = 3 \times 5$). Il faut continuer à décomposer chaque facteur jusqu'à n'avoir que des nombres premiers.[/reponse]
[reponse motif="$4 \times 9 \times 5$"]Non.
Ni $4$ ni $9$ ne sont des nombres premiers. La décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers. Continuer à décomposer $4$ et $9$.[/reponse]
[reponse motif="$2^2 \times 5 \times 9$"]Non.
$9$ n'est pas un nombre premier ($9 = 3 \times 3$). La décomposition en facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Diviser $180$ successivement par les plus petits nombres premiers ($2$, puis $3$, puis $5$, ...) jusqu'à obtenir le quotient $1$. Tous les facteurs doivent être premiers.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sachant que $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$, quels sont les facteurs premiers communs aux deux décompositions ?
[qcm]
[option correct="true"]$2$ et $3$[/option]
[option]$2$, $3$ et $5$[/option]
[option]$2$, $3$ et $7$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les facteurs premiers de $84$ sont $\{2\,;\,3\,;\,7\}$ et ceux de $90$ sont $\{2\,;\,3\,;\,5\}$. Les facteurs communs (présents dans les deux) sont $2$ et $3$.[/reponse]
[reponse motif="$2$, $3$ et $5$"]Non.
$5$ apparaît dans la décomposition de $90$, mais pas dans celle de $84$. Il n'est donc pas commun aux deux nombres.[/reponse]
[reponse motif="$2$, $3$ et $7$"]Non.
$7$ apparaît dans la décomposition de $84$, mais pas dans celle de $90$. Il n'est donc pas commun aux deux nombres.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ n'est pas un nombre premier ($6 = 2 \times 3$). La question demande les facteurs premiers communs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister les nombres premiers qui apparaissent dans les deux décompositions à la fois. Ce sont les facteurs communs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fraction $\dfrac{105}{147}$ se simplifie en :
[qcm]
[option]$\dfrac{15}{21}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{9}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{5}{7}$[/option]
[option]$\dfrac{5}{9}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On décompose : $105 = 3 \times 5 \times 7$ et $147 = 3 \times 7 \times 7$. On simplifie par les facteurs communs $3$ et $7$ : $\dfrac{105}{147} = \dfrac{3 \times 5 \times 7}{3 \times 7 \times 7} = \dfrac{5}{7}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{15}{21}$"]Non.
Cette fraction est égale à $\dfrac{105}{147}$ (simplifiée par $7$ seulement), mais elle peut encore être simplifiée. Décomposer entièrement numérateur et dénominateur en facteurs premiers.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{9}$"]Non.
Vérifier le calcul : $9 \times 7 \neq 147$ mais $9 \times 7 = 63$. La simplification proposée ne donne pas une fraction égale à $\dfrac{105}{147}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{9}$"]Non.
Le numérateur $5$ est correct (après simplification par $3$ et $7$), mais le dénominateur ne l'est pas. Reposer la décomposition de $147$ : $147 = 3 \times 7 \times 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer $105$ et $147$ en facteurs premiers, puis simplifier les facteurs communs aux deux.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Combien le nombre $24$ admet-il de diviseurs distincts ?
[qcm]
[option]$6$[/option]
[option]$7$[/option]
[option correct="true"]$8$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les diviseurs de $24$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$ et $24$. Il y en a $8$. On peut les retrouver en cherchant tous les couples $(a\,;\,b)$ tels que $a \times b = 24$ : $1 \times 24$, $2 \times 12$, $3 \times 8$, $4 \times 6$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
Lister tous les couples $(a\,;\,b)$ d'entiers tels que $a \times b = 24$, sans en oublier. Chaque couple donne deux diviseurs.[/reponse]
[reponse motif="$7$"]Non.
Il manque un diviseur. Penser à inclure $1$ et $24$, et à ne pas oublier les couples du type $a \times b = 24$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
Un diviseur a été compté en trop. Vérifier la liste : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $24$. Il ne faut pas compter $5$ (qui ne divise pas $24$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Énumérer méthodiquement les couples d'entiers dont le produit vaut $24$. Chaque couple fournit deux diviseurs (sauf si les deux sont égaux).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le plus petit entier strictement supérieur à $100$, divisible à la fois par $4$ et par $9$, est :
[qcm]
[option]$104$[/option]
[option correct="true"]$108$[/option]
[option]$116$[/option]
[option]$144$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Un entier divisible à la fois par $4$ et par $9$ doit être un multiple commun. Les premiers multiples de $36$ sont $36$, $72$, $108$, $144$, ... Le plus petit qui dépasse $100$ est $108 = 4 \times 27 = 9 \times 12$.[/reponse]
[reponse motif="$104$"]Non.
$104$ est bien divisible par $4$ ($104 = 4 \times 26$), mais la somme de ses chiffres vaut $1 + 0 + 4 = 5$, qui n'est pas divisible par $9$. Donc $104$ n'est pas divisible par $9$.[/reponse]
[reponse motif="$116$"]Non.
$116$ est divisible par $4$ ($116 = 4 \times 29$), mais la somme de ses chiffres vaut $1 + 1 + 6 = 8$, non divisible par $9$.[/reponse]
[reponse motif="$144$"]Non.
$144$ est bien divisible par $4$ et par $9$ ($144 = 4 \times 36 = 9 \times 16$), mais ce n'est pas le plus petit qui dépasse $100$. En chercher un plus petit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Lister les multiples communs à $4$ et $9$ : ce sont les multiples de $4 \times 9 = 36$. Trouver le plus petit qui dépasse $100$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si l'on multiplie deux nombres premiers distincts, combien de diviseurs distincts possède le produit obtenu ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[option correct="true"]$4$[/option]
[option]$5$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Si $p$ et $q$ sont deux nombres premiers distincts, alors $p \times q$ a exactement quatre diviseurs : $1$, $p$, $q$ et $p \times q$. Par exemple, $15 = 3 \times 5$ a pour diviseurs $1$, $3$, $5$ et $15$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ correspond au nombre de diviseurs d'un nombre premier ($1$ et lui-même). Mais ici le produit $p \times q$ n'est pas premier : il a au moins $p$ et $q$ comme diviseurs supplémentaires. Tester un exemple avec $3 \times 5$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
Un diviseur a été oublié. Tester avec $15 = 3 \times 5$ : lister tous ses diviseurs et compter.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Un diviseur a été compté en trop. Pour $p \times q$ avec $p$ et $q$ premiers distincts, énumérer méthodiquement les diviseurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester sur un exemple concret : prendre $p = 2$ et $q = 3$. Lister tous les diviseurs de $2 \times 3 = 6$ et compter.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]