[enonce]
Ce QCM porte sur la construction du symétrique d'un point ou d'une figure par une symétrie centrale. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]
[etape]
Sur un quadrillage, le point $A$ a pour coordonnées $(1\,;\,2)$ et le centre $O$ a pour coordonnées $(3\,;\,3)$. Quelles sont les coordonnées du symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $O$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$(5\,;\,4)$[/option]
[option]$(-1\,;\,1)$[/option]
[option]$(4\,;\,5)$[/option]
[option]$(5\,;\,3)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour aller de $A(1\,;\,2)$ à $O(3\,;\,3)$, on se déplace de $+2$ horizontalement et $+1$ verticalement.
On continue dans le même sens à partir de $O$ : $A' = (3+2\,;\,3+1) = (5\,;\,4)$.[/reponse]
[reponse motif="$(-1\,;\,1)$"]Non.
Les déplacements ont été reportés dans le mauvais sens (vers $A$ au lieu de l'opposé). Il faut prolonger le déplacement de $A$ à $O$, pas le rebrousser.[/reponse]
[reponse motif="$(4\,;\,5)$"]Non.
Cette réponse correspond à la somme des coordonnées de $A$ et de $O$. Or pour la symétrie centrale, on doit reporter le déplacement de $A$ à $O$, pas additionner les coordonnées.[/reponse]
[reponse motif="$(5\,;\,3)$"]Non.
Seul le déplacement horizontal a été reporté ; le déplacement vertical a été oublié. Il faut reporter les deux déplacements.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter le déplacement horizontal et vertical de $A$ jusqu'à $O$, puis prolonger ce même déplacement à partir de $O$ pour placer $A'$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel énoncé décrit correctement la construction du symétrique du point $B$ par rapport au point $O$ avec règle et compas ?
[qcm]
[option]Tracer le cercle de centre $O$ passant par $B$ : $B'$ se trouve sur ce cercle, à un endroit quelconque.[/option]
[option correct="true"]Tracer la demi-droite $[BO)$, puis reporter au compas la longueur $OB$ de l'autre côté de $O$ pour obtenir $B'$.[/option]
[option]Tracer la perpendiculaire à $(OB)$ passant par $O$ : $B'$ est le point de cette perpendiculaire à distance $OB$.[/option]
[option]Mesurer $OB$, puis placer $B'$ à une distance $2 \times OB$ de $B$, dans une direction quelconque.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La construction respecte les deux conditions essentielles : alignement de $B$, $O$, $B'$ (grâce à la demi-droite) et égalité $OB = OB'$ (grâce au report au compas).[/reponse]
[reponse motif="Tracer le cercle de centre $O$ passant par $B$ : $B'$ se trouve sur ce cercle, à un endroit quelconque."]Non.
Tous les points du cercle sont à distance $OB$ de $O$, mais un seul satisfait l'alignement avec $B$ et $O$ : il manque cette condition.[/reponse]
[reponse motif="Tracer la perpendiculaire à $(OB)$ passant par $O$ : $B'$ est le point de cette perpendiculaire à distance $OB$."]Non.
Tracer une perpendiculaire éloigne $B'$ de la droite $(OB)$ : les trois points $B$, $O$, $B'$ ne seraient plus alignés.[/reponse]
[reponse motif="Mesurer $OB$, puis placer $B'$ à une distance $2 \times OB$ de $B$, dans une direction quelconque."]Non.
La distance $BB' = 2 \times OB$ est correcte (puisque $O$ est le milieu de $[BB']$), mais sans contrainte de direction $B'$ peut se retrouver n'importe où. Il manque l'alignement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour construire $B'$, deux conditions doivent être réalisées simultanément : l'alignement de $B$, $O$, $B'$ et l'égalité $OB = OB'$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Comment construire le symétrique d'un segment $[AB]$ par rapport à un point $O$ ?
[qcm]
[option]Construire le symétrique du milieu de $[AB]$, puis tracer un cercle de centre ce milieu.[/option]
[option correct="true"]Construire les symétriques $A'$ de $A$ et $B'$ de $B$, puis tracer le segment $[A'B']$.[/option]
[option]Tracer un segment de même longueur que $[AB]$ passant par $O$, dans une direction quelconque.[/option]
[option]Faire pivoter le segment $[AB]$ d'un quart de tour autour de $O$.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le symétrique d'un segment se construit point par point en transformant ses deux extrémités, puis en les reliant. La symétrie conserve les longueurs, donc $A'B' = AB$.[/reponse]
[reponse motif="Construire le symétrique du milieu de $[AB]$, puis tracer un cercle de centre ce milieu."]Non.
Un segment n'est pas un cercle. Il suffit de transformer les extrémités, puisque deux points déterminent un segment.[/reponse]
[reponse motif="Tracer un segment de même longueur que $[AB]$ passant par $O$, dans une direction quelconque."]Non.
La longueur $A'B' = AB$ est correcte, mais le segment image n'a pas de raison particulière de passer par $O$. Sa position est entièrement déterminée par les images de $A$ et $B$.[/reponse]
[reponse motif="Faire pivoter le segment $[AB]$ d'un quart de tour autour de $O$."]Non.
La symétrie centrale correspond à un demi-tour, soit un angle de $180°$, et non un quart de tour ($90°$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour transformer une figure simple par symétrie centrale, il suffit de construire les symétriques de ses points caractéristiques (sommets, extrémités).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Comment construire le symétrique d'un cercle de centre $I$ et de rayon $3$ cm par rapport à un point $O$ ?
[qcm]
[option correct="true"]Construire le symétrique $I'$ de $I$, puis tracer le cercle de centre $I'$ et de rayon $3$ cm.[/option]
[option]Tracer un cercle de centre $O$ et de rayon $3$ cm.[/option]
[option]Tracer un cercle de centre $O$ et de rayon $6$ cm.[/option]
[option]Construire le symétrique de chaque point du cercle un par un.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La symétrie centrale conserve les longueurs, donc le rayon est inchangé. Il suffit de transformer le centre $I$ en $I'$, et le cercle image a pour centre $I'$ et même rayon $3$ cm.[/reponse]
[reponse motif="Tracer un cercle de centre $O$ et de rayon $3$ cm."]Non.
Le centre du cercle image n'est pas $O$ (sauf cas particulier où $I = O$). C'est le symétrique de $I$ par rapport à $O$.[/reponse]
[reponse motif="Tracer un cercle de centre $O$ et de rayon $6$ cm."]Non.
La symétrie centrale conserve les longueurs : le rayon ne double pas. Il reste $3$ cm.[/reponse]
[reponse motif="Construire le symétrique de chaque point du cercle un par un."]Non.
Cette méthode est théoriquement correcte mais inutilement longue. Il existe un raccourci en exploitant la définition d'un cercle (centre + rayon).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un cercle est entièrement défini par son centre et son rayon. Quel est l'effet de la symétrie sur ces deux éléments ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
$A'$ est le symétrique du point $A$ par rapport au point $O$, avec $A \neq O$. Que peut-on toujours dire des trois points $A$, $O$, $A'$ ?
[qcm]
[option]Ils forment un triangle isocèle.[/option]
[option correct="true"]Ils sont alignés et $O$ est entre $A$ et $A'$.[/option]
[option]Ils forment les sommets d'un triangle équilatéral.[/option]
[option]Ils sont sur un cercle de diamètre $[OA]$.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Par définition, $O$ est le milieu de $[AA']$, donc les trois points sont alignés et $O$ est strictement entre $A$ et $A'$.[/reponse]
[reponse motif="Ils forment un triangle isocèle."]Non.
Si les trois points formaient un triangle, ils ne seraient pas alignés. Or la symétrie centrale impose un alignement.[/reponse]
[reponse motif="Ils forment les sommets d'un triangle équilatéral."]Non.
Comme dans la réponse précédente, l'idée d'un triangle exclut l'alignement, qui est pourtant la première propriété à retenir.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont sur un cercle de diamètre $[OA]$."]Non.
Le point $A'$ ne peut pas être sur un cercle de diamètre $[OA]$ : il est de l'autre côté de $O$, à la même distance que $A$, ce qui le place à distance $OA$ de $O$, hors de ce cercle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser à la position relative des trois points : la définition de la symétrie centrale impose qu'ils soient sur une même droite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Sur un quadrillage, pour construire le symétrique d'un point $M$ par rapport à un point $O$, on doit :
[qcm]
[option correct="true"]compter les déplacements (horizontal et vertical) qui mènent de $M$ à $O$, puis les reproduire à partir de $O$ dans le même sens.[/option]
[option]compter les déplacements qui mènent de $M$ à $O$, puis les reproduire à partir de $O$ en sens opposé.[/option]
[option]placer $M'$ à la même hauteur que $M$, à droite de $O$.[/option]
[option]placer $M'$ à la même distance horizontale de $O$ que $M$, sans contrainte verticale.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On prolonge le déplacement $M \to O$ d'autant à partir de $O$, dans la même direction. Cela revient à dire que $O$ est le milieu de $[MM']$.[/reponse]
[reponse motif="compter les déplacements qui mènent de $M$ à $O$, puis les reproduire à partir de $O$ en sens opposé."]Non.
Reproduire en sens opposé ramène le déplacement vers $M$ : on n'avance pas, on revient en arrière. Il faut au contraire continuer dans le même sens.[/reponse]
[reponse motif="placer $M'$ à la même hauteur que $M$, à droite de $O$."]Non.
Cette construction correspond à une symétrie axiale par rapport à une droite verticale passant par $O$, pas à une symétrie centrale.[/reponse]
[reponse motif="placer $M'$ à la même distance horizontale de $O$ que $M$, sans contrainte verticale."]Non.
Sans contrainte sur la position verticale, $M'$ peut se retrouver n'importe où sur une droite verticale : il manque une condition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Sur un quadrillage, le centre $O$ doit être le milieu de $[MM']$. Cela revient à reporter exactement le même déplacement de chaque côté de $O$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
