Construire le symétrique d’un triangle par rapport à un point sur quadrillage

[enonce]
Dans le repère ci-dessous, on a tracé le triangle $ABC$ de sommets $A(2\,;1)$, $B(4\,;2)$ et $C(3\,;3)$, ainsi qu'un point $O(1\,;0)$.

Repère quadrillé avec le triangle ABC de sommets A(2;1), B(4;2), C(3;3) et le point O de coordonnées (1;0)

On souhaite construire le triangle $A'B'C'$, symétrique du triangle $ABC$ par rapport au point $O$.
[/enonce]

[etape]
Pour chaque sommet, quel rôle le point $O$ joue-t-il par rapport au segment qui relie ce sommet à son symétrique ?
[qcm]
[option correct="true"]$O$ est le milieu du segment[/option]
[option]$O$ est une extrémité du segment[/option]
[option]$O$ est le symétrique du sommet[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le symétrique $A'$ d'un point $A$ par rapport à $O$ est tel que $O$ est le milieu de $[AA']$ : les points $A$, $O$ et $A'$ sont alignés et $OA = OA'$.[/reponse]
[reponse motif="$O$ est une extrémité du segment"]Le point $O$ ne se trouve pas au bout du segment, mais en son centre. Repenser à ce que signifie « symétrique par rapport à un point ».[/reponse]
[reponse motif="$O$ est le symétrique du sommet"]Le symétrique du sommet est un nouveau point à construire, ce n'est pas $O$. Le point $O$ a un autre rôle vis-à-vis du segment.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Penser au demi-tour autour de $O$ : où se situe $O$ par rapport au point de départ et à son image ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Observe sur le quadrillage le déplacement qui mène de $A$ à $O$. Quel déplacement faut-il poursuivre à partir de $O$ pour atteindre le point $A'$ ?
[qcm]
[option]$1$ carreau vers la droite et $1$ carreau vers le haut[/option]
[option correct="true"]$1$ carreau vers la gauche et $1$ carreau vers le bas[/option]
[option]$1$ carreau vers la gauche et $1$ carreau vers le haut[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Comme $O$ est le milieu de $[AA']$, on poursuit dans la même direction et le même sens : encore $1$ carreau vers la gauche et $1$ carreau vers le bas.[/reponse]
[reponse motif="$1$ carreau vers la droite et $1$ carreau vers le haut"]En revenant en arrière, on retournerait vers $A$. Pour atteindre $A'$, il faut continuer dans le même sens que le déplacement de $A$ vers $O$.[/reponse]
[reponse motif="$1$ carreau vers la gauche et $1$ carreau vers le haut"]Le sens vertical est inversé : le déplacement de $O$ vers $A'$ reprend exactement celui de $A$ vers $O$, vers le bas comme vers la gauche.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le point $O$ étant le milieu de $[AA']$, le trajet de $O$ vers $A'$ reproduit à l'identique celui de $A$ vers $O$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Donner les coordonnées du point $A'$, symétrique de $A$ par rapport à $O$ : $A'$ [[ap]]
[math id="ap" attendu="(0;-1)" compare="tuple"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
En partant de $A(2\,;1)$ et en poursuivant le déplacement au-delà de $O$, on obtient $A'(0\,;-1)$. On peut vérifier que $O(1\,;0)$ est bien le milieu de $[AA']$.[/reponse]
[reponse motif="(1;0)"]Ces coordonnées sont celles de $O$ lui-même, pas celles du symétrique de $A$. Le point $A'$ se situe de l'autre côté de $O$ par rapport à $A$.[/reponse]
[reponse motif="(0;1)"]L'ordonnée n'est pas la bonne : repérer combien de carreaux séparent $A$ de $O$ vers le bas, puis continuer d'autant au-delà de $O$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Repartir du point $A$, compter le déplacement jusqu'à $O$, puis prolonger ce même déplacement au-delà de $O$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le point $O$ est le milieu de $[AA']$ : à partir de $O$, reproduire le déplacement qui mène de $A$ à $O$.[/aide]
[aide essai="3"]De $A$ à $O$ : $1$ carreau à gauche et $1$ vers le bas. Repartir de $O(1\,;0)$ et appliquer ce même déplacement pour lire l'abscisse puis l'ordonnée de $A'$.[/aide]
[/math]
[solution]
À partir de $A(2\,;1)$, on va vers $O(1\,;0)$ ($1$ carreau à gauche, $1$ vers le bas), puis on continue d'autant : $A'(0\,;-1)$. Le point $O$ est bien le milieu de $[AA']$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Donner les coordonnées du point $B'$, symétrique de $B$ par rapport à $O$ : $B'$ [[bp]]
[math id="bp" attendu="(-2;-2)" compare="tuple"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
En partant de $B(4\,;2)$ et en prolongeant le déplacement au-delà de $O$, on obtient $B'(-2\,;-2)$.[/reponse]
[reponse motif="(-2;2)"]Le déplacement vertical n'a pas le bon sens : de $B$ à $O$, on descend, donc on continue vers le bas au-delà de $O$.[/reponse]
[reponse motif="(2;2)"]L'abscisse n'est pas la bonne : compter combien de carreaux séparent $B$ de $O$ vers la gauche, puis poursuivre d'autant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Reprendre la méthode du point $A'$ en partant cette fois de $B$ pour rejoindre $O$, puis en prolongeant.[/reponse]
[aide essai="2"]De $B(4\,;2)$ à $O(1\,;0)$, compter le déplacement horizontal et le déplacement vertical, puis les reproduire au-delà de $O$.[/aide]
[aide essai="3"]De $B$ à $O$ : $3$ carreaux à gauche et $2$ vers le bas. Repartir de $O$ et appliquer le même déplacement.[/aide]
[/math]
[solution]
De $B(4\,;2)$ vers $O(1\,;0)$ : $3$ carreaux à gauche et $2$ vers le bas. En continuant d'autant : $B'(-2\,;-2)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Donner les coordonnées du point $C'$, symétrique de $C$ par rapport à $O$ : $C'$ [[cp]]
[math id="cp" attendu="(-1;-3)" compare="tuple"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
En partant de $C(3\,;3)$ et en prolongeant au-delà de $O$, on obtient $C'(-1\,;-3)$. Les trois sommets images sont maintenant connus.[/reponse]
[reponse motif="(-1;3)"]Le sens vertical est à revoir : de $C$ vers $O$, on descend, donc on poursuit vers le bas.[/reponse]
[reponse motif="(1;-3)"]L'abscisse n'est pas la bonne : compter le déplacement horizontal de $C$ jusqu'à $O$, puis le prolonger au-delà de $O$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Même démarche que pour $A'$ et $B'$, en partant des coordonnées de $C$.[/reponse]
[aide essai="2"]De $C(3\,;3)$ à $O(1\,;0)$, repérer le déplacement horizontal et vertical, puis le reproduire au-delà de $O$.[/aide]
[aide essai="3"]De $C$ à $O$ : $2$ carreaux à gauche et $3$ vers le bas. Repartir de $O$ et appliquer ce même déplacement.[/aide]
[/math]
[solution]
De $C(3\,;3)$ vers $O(1\,;0)$ : $2$ carreaux à gauche et $3$ vers le bas. En continuant d'autant : $C'(-1\,;-3)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le triangle $A'B'C'$ est maintenant tracé. Sans mesurer ses côtés, que peut-on dire de la longueur $A'B'$ par rapport à la longueur $AB$ ?
[qcm]
[option]$A'B'$ est plus grande que $AB$[/option]
[option]$A'B'$ est plus petite que $AB$[/option]
[option correct="true"]$A'B'$ est égale à $AB$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La symétrie centrale conserve les longueurs : le triangle image a exactement la même forme et les mêmes dimensions que le triangle de départ. On a donc $A'B' = AB$.[/reponse]
[reponse motif="$A'B'$ est plus grande que $AB$"]La symétrie centrale n'agrandit pas la figure : elle la fait basculer d'un demi-tour sans la déformer. Penser à ce qu'elle conserve.[/reponse]
[reponse motif="$A'B'$ est plus petite que $AB$"]La symétrie centrale ne réduit pas la figure : le triangle image est superposable au triangle de départ.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Le blason symétrique : synthèse des propriétés

Léa dessine le blason de son club en partant d'un quadrilatère $ ABCD $ vérifiant :

$ AB = 5 $ cm, $ BC = 3 $ cm, $ CD = 4 $ cm, $ DA = 6 $ cm ;
aire du quadrilatère $ ABCD $ : $ 14 $ cm² ;
$ \widehat{ADC} = 75° $.

Pour terminer son blason, elle choisit un point $ O $ extérieur au quadrilatère et construit le quadrilatère $ A'B'C'D' $, symétrique de $ ABCD $ par rapport à $ O $.

Quadrilatère ABCD et un point O extérieur, à partir desquels on doit construire le quadrilatère symétrique

Le blason final est constitué des deux quadrilatères $ ABCD $ et $ A'B'C'D' $.

Donner les longueurs des côtés du quadrilatère $ A'B'C'D' $. Justifier la réponse.
Donner la mesure de l'angle $ \widehat{A'D'C'} $. Justifier la réponse.
Calculer le périmètre du quadrilatère $ ABCD $, puis le périmètre total du blason (les deux quadrilatères réunis).
Calculer l'aire totale du blason.
Inès affirme : « Le côté $ [A'B'] $ est porté par une droite parallèle à la droite $ (AB) $. » A-t-elle raison ? Justifier.
Léa relie le point $ D $ au point $ D' $. Justifier que le point $ O $ est le milieu du segment $ [DD'] $.

Corrigé

La symétrie centrale conserve les longueurs. Les côtés du quadrilatère image ont donc les mêmes longueurs que ceux de $ ABCD $ :
$ A'B' = AB = $ $ 5 $ cm, $ B'C' = BC = $ $ 3 $ cm, $ C'D' = CD = $ $ 4 $ cm, $ D'A' = DA = $ $ 6 $ cm.
La symétrie centrale conserve les mesures des angles, donc $ \widehat{A'D'C'} = \widehat{ADC} = $ $\mathbf{75°}$.
Le périmètre de $ ABCD $ est :
$ \mathcal{P}_{ABCD} = 5 + 3 + 4 + 6 = 18 $ cm.

La symétrie centrale conserve les longueurs, donc le quadrilatère $ A'B'C'D' $ a le même périmètre. Le périmètre total du blason est donc :
$ \mathcal{P}_{\text{blason}} = 2 \times 18 $ = $ 36 $ cm.
La symétrie centrale conserve les aires. L'aire de $ A'B'C'D' $ est donc également de $ 14 $ cm². Comme les deux quadrilatères sont disjoints (car $ O $ est extérieur à $ ABCD $), l'aire totale du blason est :
$ \mathcal{A}_{\text{blason}} = 2 \times 14 $ = $ 28 $ cm².
La droite $ (A'B') $ est, par construction, le symétrique de la droite $ (AB) $ par rapport à $ O $. Or deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles.

Donc $ (AB)\,/\!/\,(A'B') $ : Inès a raison.
Par construction, $ D' $ est le symétrique de $ D $ par rapport à $ O $. Par définition de la symétrie centrale, cela signifie exactement que $ O $ est le milieu du segment $ [DD'] $.

Symétrique d’un cercle et droites parallèles

Sur la figure, on a tracé un cercle $ \mathcal{C} $ de centre $ I $ et de rayon $ 3 $ cm, ainsi qu'un point $ O $ extérieur au cercle. Une droite $ (d) $ coupe le cercle en deux points $ A $ et $ B $.

On note $ \mathcal{C}' $ le symétrique du cercle $ \mathcal{C} $ par rapport à $ O $, et $ (d') $ le symétrique de la droite $ (d) $ par rapport à $ O $.

Cercle de centre I traversé par une droite d, et un point O extérieur au cercle

Construire le point $ I' $, symétrique de $ I $ par rapport à $ O $.
Quel est le rayon du cercle $ \mathcal{C}' $ ? Justifier.
Justifier que les droites $ (d) $ et $ (d') $ sont parallèles.
On mesure $ IO = 5 $ cm. Calculer la distance $ II' $.

Corrigé

Le point $ I' $ est tel que $ O $ est le milieu du segment $ [II'] $. On le construit en traçant la demi-droite $ [IO) $ et en reportant la longueur $ IO $ de l'autre côté de $ O $.
La symétrie centrale conserve les longueurs. Le cercle $ \mathcal{C}' $ a donc le même rayon que $ \mathcal{C} $, soit $ 3 $ cm. Son centre est le point $ I' $.
Les droites $ (d) $ et $ (d') $ sont symétriques par rapport au point $ O $.

Or deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles.

Donc $\mathbf{(d)\,/\!/\,(d')}$.
Comme $ I' $ est le symétrique de $ I $ par rapport à $ O $, le point $ O $ est le milieu du segment $ [II'] $. On a donc $ OI = OI' = 5 $ cm, d'où :
$ II' = OI + OI' = 5 + 5 $ = $ 10 $ cm.

Vrai/Faux : Construction du symétrique d’un point ou d’une figure

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la construction du symétrique d'un point ou d'une figure par symétrie centrale, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$ et que $OM = 4$ cm, alors $OM' = 4$ cm.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Par définition, $O$ est le milieu de $[MM']$, donc $OM = OM'$. Si $OM = 4$ cm, alors $OM' = 4$ cm aussi.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le centre $O$ se trouve à égale distance d'un point et de son symétrique.
C'est la définition même de la symétrie centrale (le milieu).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le centre étant le milieu de $[MM']$, on a toujours $OM = OM'$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour construire le symétrique du point $M$ par rapport à $O$ sur un quadrillage, on compte les déplacements de $M$ à $O$, puis on les reporte de $O$ en sens opposé (c'est-à-dire en revenant vers $M$).

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Le piège ici est le mot « sens opposé ». En réalité, on doit prolonger le déplacement de $M$ à $O$ dans le même sens (et non l'inverser), pour aller de $O$ à $M'$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au sens du déplacement.
Si on inverse, on revient vers $M$, donc $M' = M$, ce qui n'est pas correct. Il faut continuer dans la même direction.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Sur un quadrillage, on prolonge le déplacement de $M$ à $O$ dans le même sens (et non en sens opposé) pour atteindre $M'$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$ et $M \neq O$, alors les points $M$, $O$, $M'$ sont alignés.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La définition impose que $O$ soit le milieu de $[MM']$, ce qui implique en particulier que les trois points soient alignés (le milieu d'un segment se trouve nécessairement sur ce segment).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : un milieu est forcément sur le segment, donc aligné avec ses deux extrémités.
$O$ étant le milieu de $[MM']$, les trois points sont alignés.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $O$ est le milieu de $[MM']$, les points $M$, $O$ et $M'$ sont nécessairement alignés.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le symétrique d'un cercle de rayon $5$ cm par rapport à un point $O$ est un cercle de rayon $10$ cm.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La symétrie centrale conserve les longueurs : le rayon du cercle image reste $5$ cm. Seul son centre change (il devient le symétrique du centre initial).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de croire qu'une longueur double avec la symétrie.
Au contraire : la symétrie centrale conserve les longueurs, donc le rayon est inchangé.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le symétrique d'un cercle de rayon $5$ cm est un cercle de rayon $5$ cm (même rayon, centre image).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si le point $A$ est très éloigné du centre $O$, alors son symétrique $A'$ est très proche de $O$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le centre est le milieu de $[AA']$, donc $OA' = OA$. Si $A$ est éloigné de $O$, alors $A'$ est éloigné de $O$ d'autant — pas l'inverse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre proche et éloigné.
Le centre étant à égale distance de $A$ et $A'$, ces deux points sont également éloignés de $O$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $OA' = OA$, le point $A'$ est à la même distance de $O$ que $A$ : il est aussi éloigné.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tracer le symétrique d'un triangle $ABC$ par rapport à un point $O$, il suffit de construire les symétriques des trois sommets, puis de les relier dans le même ordre.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Trois sommets suffisent à définir un triangle. En transformant chacun et en reliant les trois points images, on obtient bien le triangle symétrique.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : un triangle est entièrement déterminé par ses trois sommets.
Donc transformer les sommets puis relier suffit pour construire son symétrique.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour construire le symétrique d'un polygone, on transforme chaque sommet, puis on relie les images dans le même ordre que les sommets initiaux.
[/solution]
[/etape]

QCM : Construire le symétrique d’un point ou d’une figure

[enonce]
Ce QCM porte sur la construction du symétrique d'un point ou d'une figure par une symétrie centrale. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Sur un quadrillage, le point $A$ a pour coordonnées $(1\,;\,2)$ et le centre $O$ a pour coordonnées $(3\,;\,3)$. Quelles sont les coordonnées du symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $O$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$(5\,;\,4)$[/option]
[option]$(-1\,;\,1)$[/option]
[option]$(4\,;\,5)$[/option]
[option]$(5\,;\,3)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour aller de $A(1\,;\,2)$ à $O(3\,;\,3)$, on se déplace de $+2$ horizontalement et $+1$ verticalement.
On continue dans le même sens à partir de $O$ : $A' = (3+2\,;\,3+1) = (5\,;\,4)$.[/reponse]
[reponse motif="$(-1\,;\,1)$"]Non.
Les déplacements ont été reportés dans le mauvais sens (vers $A$ au lieu de l'opposé). Il faut prolonger le déplacement de $A$ à $O$, pas le rebrousser.[/reponse]
[reponse motif="$(4\,;\,5)$"]Non.
Cette réponse correspond à la somme des coordonnées de $A$ et de $O$. Or pour la symétrie centrale, on doit reporter le déplacement de $A$ à $O$, pas additionner les coordonnées.[/reponse]
[reponse motif="$(5\,;\,3)$"]Non.
Seul le déplacement horizontal a été reporté ; le déplacement vertical a été oublié. Il faut reporter les deux déplacements.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Compter le déplacement horizontal et vertical de $A$ jusqu'à $O$, puis prolonger ce même déplacement à partir de $O$ pour placer $A'$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel énoncé décrit correctement la construction du symétrique du point $B$ par rapport au point $O$ avec règle et compas ?
[qcm]
[option]Tracer le cercle de centre $O$ passant par $B$ : $B'$ se trouve sur ce cercle, à un endroit quelconque.[/option]
[option correct="true"]Tracer la demi-droite $[BO)$, puis reporter au compas la longueur $OB$ de l'autre côté de $O$ pour obtenir $B'$.[/option]
[option]Tracer la perpendiculaire à $(OB)$ passant par $O$ : $B'$ est le point de cette perpendiculaire à distance $OB$.[/option]
[option]Mesurer $OB$, puis placer $B'$ à une distance $2 \times OB$ de $B$, dans une direction quelconque.[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La construction respecte les deux conditions essentielles : alignement de $B$, $O$, $B'$ (grâce à la demi-droite) et égalité $OB = OB'$ (grâce au report au compas).[/reponse]
[reponse motif="Tracer le cercle de centre $O$ passant par $B$ : $B'$ se trouve sur ce cercle, à un endroit quelconque."]Non.
Tous les points du cercle sont à distance $OB$ de $O$, mais un seul satisfait l'alignement avec $B$ et $O$ : il manque cette condition.[/reponse]
[reponse motif="Tracer la perpendiculaire à $(OB)$ passant par $O$ : $B'$ est le point de cette perpendiculaire à distance $OB$."]Non.
Tracer une perpendiculaire éloigne $B'$ de la droite $(OB)$ : les trois points $B$, $O$, $B'$ ne seraient plus alignés.[/reponse]
[reponse motif="Mesurer $OB$, puis placer $B'$ à une distance $2 \times OB$ de $B$, dans une direction quelconque."]Non.
La distance $BB' = 2 \times OB$ est correcte (puisque $O$ est le milieu de $[BB']$), mais sans contrainte de direction $B'$ peut se retrouver n'importe où. Il manque l'alignement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour construire $B'$, deux conditions doivent être réalisées simultanément : l'alignement de $B$, $O$, $B'$ et l'égalité $OB = OB'$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Comment construire le symétrique d'un segment $[AB]$ par rapport à un point $O$ ?
[qcm]
[option]Construire le symétrique du milieu de $[AB]$, puis tracer un cercle de centre ce milieu.[/option]
[option correct="true"]Construire les symétriques $A'$ de $A$ et $B'$ de $B$, puis tracer le segment $[A'B']$.[/option]
[option]Tracer un segment de même longueur que $[AB]$ passant par $O$, dans une direction quelconque.[/option]
[option]Faire pivoter le segment $[AB]$ d'un quart de tour autour de $O$.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le symétrique d'un segment se construit point par point en transformant ses deux extrémités, puis en les reliant. La symétrie conserve les longueurs, donc $A'B' = AB$.[/reponse]
[reponse motif="Construire le symétrique du milieu de $[AB]$, puis tracer un cercle de centre ce milieu."]Non.
Un segment n'est pas un cercle. Il suffit de transformer les extrémités, puisque deux points déterminent un segment.[/reponse]
[reponse motif="Tracer un segment de même longueur que $[AB]$ passant par $O$, dans une direction quelconque."]Non.
La longueur $A'B' = AB$ est correcte, mais le segment image n'a pas de raison particulière de passer par $O$. Sa position est entièrement déterminée par les images de $A$ et $B$.[/reponse]
[reponse motif="Faire pivoter le segment $[AB]$ d'un quart de tour autour de $O$."]Non.
La symétrie centrale correspond à un demi-tour, soit un angle de $180°$, et non un quart de tour ($90°$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour transformer une figure simple par symétrie centrale, il suffit de construire les symétriques de ses points caractéristiques (sommets, extrémités).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Comment construire le symétrique d'un cercle de centre $I$ et de rayon $3$ cm par rapport à un point $O$ ?
[qcm]
[option correct="true"]Construire le symétrique $I'$ de $I$, puis tracer le cercle de centre $I'$ et de rayon $3$ cm.[/option]
[option]Tracer un cercle de centre $O$ et de rayon $3$ cm.[/option]
[option]Tracer un cercle de centre $O$ et de rayon $6$ cm.[/option]
[option]Construire le symétrique de chaque point du cercle un par un.[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La symétrie centrale conserve les longueurs, donc le rayon est inchangé. Il suffit de transformer le centre $I$ en $I'$, et le cercle image a pour centre $I'$ et même rayon $3$ cm.[/reponse]
[reponse motif="Tracer un cercle de centre $O$ et de rayon $3$ cm."]Non.
Le centre du cercle image n'est pas $O$ (sauf cas particulier où $I = O$). C'est le symétrique de $I$ par rapport à $O$.[/reponse]
[reponse motif="Tracer un cercle de centre $O$ et de rayon $6$ cm."]Non.
La symétrie centrale conserve les longueurs : le rayon ne double pas. Il reste $3$ cm.[/reponse]
[reponse motif="Construire le symétrique de chaque point du cercle un par un."]Non.
Cette méthode est théoriquement correcte mais inutilement longue. Il existe un raccourci en exploitant la définition d'un cercle (centre + rayon).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un cercle est entièrement défini par son centre et son rayon. Quel est l'effet de la symétrie sur ces deux éléments ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$A'$ est le symétrique du point $A$ par rapport au point $O$, avec $A \neq O$. Que peut-on toujours dire des trois points $A$, $O$, $A'$ ?
[qcm]
[option]Ils forment un triangle isocèle.[/option]
[option correct="true"]Ils sont alignés et $O$ est entre $A$ et $A'$.[/option]
[option]Ils forment les sommets d'un triangle équilatéral.[/option]
[option]Ils sont sur un cercle de diamètre $[OA]$.[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Par définition, $O$ est le milieu de $[AA']$, donc les trois points sont alignés et $O$ est strictement entre $A$ et $A'$.[/reponse]
[reponse motif="Ils forment un triangle isocèle."]Non.
Si les trois points formaient un triangle, ils ne seraient pas alignés. Or la symétrie centrale impose un alignement.[/reponse]
[reponse motif="Ils forment les sommets d'un triangle équilatéral."]Non.
Comme dans la réponse précédente, l'idée d'un triangle exclut l'alignement, qui est pourtant la première propriété à retenir.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont sur un cercle de diamètre $[OA]$."]Non.
Le point $A'$ ne peut pas être sur un cercle de diamètre $[OA]$ : il est de l'autre côté de $O$, à la même distance que $A$, ce qui le place à distance $OA$ de $O$, hors de ce cercle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser à la position relative des trois points : la définition de la symétrie centrale impose qu'ils soient sur une même droite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Sur un quadrillage, pour construire le symétrique d'un point $M$ par rapport à un point $O$, on doit :
[qcm]
[option correct="true"]compter les déplacements (horizontal et vertical) qui mènent de $M$ à $O$, puis les reproduire à partir de $O$ dans le même sens.[/option]
[option]compter les déplacements qui mènent de $M$ à $O$, puis les reproduire à partir de $O$ en sens opposé.[/option]
[option]placer $M'$ à la même hauteur que $M$, à droite de $O$.[/option]
[option]placer $M'$ à la même distance horizontale de $O$ que $M$, sans contrainte verticale.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On prolonge le déplacement $M \to O$ d'autant à partir de $O$, dans la même direction. Cela revient à dire que $O$ est le milieu de $[MM']$.[/reponse]
[reponse motif="compter les déplacements qui mènent de $M$ à $O$, puis les reproduire à partir de $O$ en sens opposé."]Non.
Reproduire en sens opposé ramène le déplacement vers $M$ : on n'avance pas, on revient en arrière. Il faut au contraire continuer dans le même sens.[/reponse]
[reponse motif="placer $M'$ à la même hauteur que $M$, à droite de $O$."]Non.
Cette construction correspond à une symétrie axiale par rapport à une droite verticale passant par $O$, pas à une symétrie centrale.[/reponse]
[reponse motif="placer $M'$ à la même distance horizontale de $O$ que $M$, sans contrainte verticale."]Non.
Sans contrainte sur la position verticale, $M'$ peut se retrouver n'importe où sur une droite verticale : il manque une condition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Sur un quadrillage, le centre $O$ doit être le milieu de $[MM']$. Cela revient à reporter exactement le même déplacement de chaque côté de $O$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]