Construire une frise et un pavage à partir d’un motif
Sur le quadrillage ci-dessous, on a tracé un motif : un carré de 2 carreaux de côté, partagé par une diagonale en deux triangles, l'un bleu et l'autre orange. Le vecteur $\vec{u}$ représenté correspond à un déplacement de 3 carreaux vers la droite.
1. Construire la frise obtenue en reproduisant le motif par la translation de vecteur $\vec{u}$, de façon à obtenir 4 motifs alignés au total.
2. On veut maintenant réaliser un pavage. À partir du motif de départ, on utilise deux translations : la translation de vecteur $\vec{a}$ (2 carreaux vers la droite) et la translation de vecteur $\vec{b}$ (2 carreaux vers le haut). Construire le pavage qui recouvre un rectangle de 6 carreaux de large sur 4 carreaux de haut, soit 3 motifs en largeur et 2 motifs en hauteur.
1. La frise
On applique la translation de vecteur $\vec{u}$ (3 carreaux vers la droite) au motif, puis on recommence à partir de chaque nouvelle image. Les motifs occupent les positions de gauche à droite, espacés de 3 carreaux. On obtient une frise de 4 motifs identiques, tous orientés de la même manière (la translation ne retourne pas le motif).
2. Le pavage
On reproduit le motif dans deux directions : vers la droite par la translation de vecteur $\vec{a}$ (2 carreaux) et vers le haut par la translation de vecteur $\vec{b}$ (2 carreaux). Comme le côté du motif mesure exactement 2 carreaux, les motifs se touchent sans laisser de trou ni se superposer. On obtient un pavage de $3 \times 2 = 6$ motifs.
Une frise n'utilise qu'une seule translation (une seule direction), tandis qu'un pavage en utilise deux et recouvre tout le plan.
Construire l’image d’un triangle par une translation sur quadrillage
[enonce]
Dans le repère ci-dessous, on a tracé le triangle $ABC$ de sommets $A(1\,;1)$, $B(3\,;2)$ et $C(2\,;4)$, ainsi que le vecteur $\overrightarrow{PQ}$ d'origine $P(0\,;0)$ et d'extrémité $Q(4\,;1)$.
On souhaite construire l'image $A'B'C'$ du triangle $ABC$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{PQ}$.
[/enonce]
[etape]
Quel est le déplacement correspondant à la translation de vecteur $\overrightarrow{PQ}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]4 carreaux vers la droite et 1 carreau vers le haut[/option]
[option]1 carreau vers la droite et 4 carreaux vers le haut[/option]
[option]4 carreaux vers la droite et 1 carreau vers le bas[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour passer de $P$ à $Q$, on avance de $4$ carreaux vers la droite (l'abscisse augmente de $4$) et de $1$ carreau vers le haut (l'ordonnée augmente de $1$).[/reponse]
[reponse motif="1 carreau vers la droite et 4 carreaux vers le haut"]Le déplacement horizontal et le déplacement vertical sont intervertis. Comparer les abscisses de $P$ et $Q$, puis leurs ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="4 carreaux vers la droite et 1 carreau vers le bas"]Le sens vertical est à revoir : l'ordonnée de $Q$ est-elle plus grande ou plus petite que celle de $P$ ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Lire le déplacement directement sur la flèche, de son origine $P$ vers son extrémité $Q$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Donner les coordonnées du point $A'$, image de $A$ par cette translation : $A'$ [[ap]]
[math id="ap" attendu="(5;2)" compare="tuple"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On applique le déplacement à $A(1\,;1)$ : $A'(1+4\,;1+1) = A'(5\,;2)$.[/reponse]
[reponse motif="(5;5)"]Le déplacement vertical n'est pas de $4$ : reprendre la valeur lue sur le vecteur pour l'ordonnée.[/reponse]
[reponse motif="(2;5)"]Attention à l'ordre : la première coordonnée est l'abscisse (déplacement horizontal), la seconde l'ordonnée (déplacement vertical). Ne pas les intervertir.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]On ajoute le déplacement de la translation aux coordonnées de $A$ : d'abord à l'abscisse, puis à l'ordonnée.[/reponse]
[aide essai="2"]Le point image se déplace de la même façon que le vecteur : ajouter le déplacement horizontal à l'abscisse de $A$, puis le déplacement vertical à son ordonnée.[/aide]
[aide essai="3"]Place-toi sur $A$ dans le repère, avance de $4$ carreaux vers la droite puis de $1$ carreau vers le haut, et lis les coordonnées du point d'arrivée.[/aide]
[/math]
[solution]
On ajoute le déplacement $(4\,;1)$ aux coordonnées de $A(1\,;1)$ : $A'(1+4\,;1+1) = A'(5\,;2)$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Donner les coordonnées du point $B'$, image de $B$ : $B'$ [[bp]]
[math id="bp" attendu="(7;3)" compare="tuple"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On applique le même déplacement à $B(3\,;2)$ : $B'(3+4\,;2+1) = B'(7\,;3)$.[/reponse]
[reponse motif="(7;6)"]Le déplacement vertical est plus petit que cela : reprendre la valeur lue sur le vecteur pour l'ordonnée.[/reponse]
[reponse motif="(3;3)"]L'abscisse de $B$ doit aussi être déplacée : on n'ajoute pas le déplacement uniquement à l'ordonnée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Reprendre la méthode du point $A'$ en partant cette fois des coordonnées de $B$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le même déplacement s'applique à tous les sommets : ajouter $4$ à l'abscisse de $B$ et $1$ à son ordonnée.[/aide]
[aide essai="3"]Place-toi sur $B$ dans le repère, avance de $4$ carreaux vers la droite puis de $1$ carreau vers le haut, et lis les coordonnées du point d'arrivée.[/aide]
[/math]
[solution]
$B'(3+4\,;2+1) = B'(7\,;3)$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Donner les coordonnées du point $C'$, image de $C$ : $C'$ [[cp]]
[math id="cp" attendu="(6;5)" compare="tuple"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On termine avec $C(2\,;4)$ : $C'(2+4\,;4+1) = C'(6\,;5)$.[/reponse]
[reponse motif="(6;8)"]Le déplacement vertical n'est pas de $4$ : utiliser la valeur lue sur le vecteur pour l'ordonnée.[/reponse]
[reponse motif="(5;6)"]Attention à l'ordre des coordonnées de $C$ : son abscisse vaut $2$ et son ordonnée vaut $4$. Les déplacer dans cet ordre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Même méthode que pour $A'$ et $B'$, en partant des coordonnées de $C$.[/reponse]
[aide essai="2"]Ajouter le déplacement horizontal à l'abscisse de $C$, puis le déplacement vertical à son ordonnée.[/aide]
[aide essai="3"]Place-toi sur $C$ dans le repère, avance de $4$ carreaux vers la droite puis de $1$ carreau vers le haut, et lis les coordonnées du point d'arrivée.[/aide]
[/math]
[solution]
$C'(2+4\,;4+1) = C'(6\,;5)$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Le point $A$ et son image $A'$ sont liés au vecteur de la translation. Quelle égalité vectorielle est exacte ?
[qcm]
[option]$\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{QP}$[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{PQ}$[/option]
[option]$\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Par définition de la translation de vecteur $\overrightarrow{PQ}$, l'image $A'$ d'un point $A$ vérifie $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{PQ}$ : même direction, même sens et même longueur.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{QP}$"]Le vecteur $\overrightarrow{QP}$ a le sens opposé à celui de la translation. Observer le sens de la flèche, de $P$ vers $Q$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB}$"]Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un côté du triangle, il n'a aucun lien avec le déplacement de la translation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Sans calculer son aire, que peut-on dire de l'aire du triangle image $A'B'C'$ par rapport à celle de $ABC$ ?
[qcm]
[option]Elle est plus grande[/option]
[option]Elle est plus petite[/option]
[option correct="true"]Elle est identique[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Une translation ne fait que glisser la figure : elle conserve les longueurs, les angles et donc les aires. Le triangle image est superposable au triangle de départ.[/reponse]
[reponse motif="Elle est plus grande"]Une translation n'agrandit pas la figure : elle la déplace sans la déformer. Comparer ce que conserve une translation.[/reponse]
[reponse motif="Elle est plus petite"]Une translation ne réduit pas la figure : elle la déplace sans changer ses dimensions. Penser aux propriétés de conservation.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
Construire l’image d’un trapèze et calculer son aire
Sur un quadrillage où chaque carreau mesure $ 1 $ cm de côté, on a tracé un trapèze $ ABCD $ et un point $ E $.
- Démontrer que $ ABCD $ est un trapèze rectangle. Préciser les longueurs de ses côtés parallèles et de sa hauteur.
- Calculer l'aire du trapèze $ ABCD $.
- Sur le quadrillage, construire $ A'B'C'D' $, l'image du trapèze $ ABCD $ par la translation qui transforme $ A $ en $ E $.
- Sans faire de nouveau calcul, donner l'aire du trapèze $ A'B'C'D' $. Justifier la réponse.
- Déterminer la nature du quadrilatère $ A'B'C'D' $. Justifier.
En lisant les coordonnées sur le quadrillage :
- Le segment $ [AD] $ est vertical : $ AD = 3 - 1 = 2 $ cm.
- Le segment $ [BC] $ est vertical : $ BC = 4 - 1 = 3 $ cm.
- Le segment $ [AB] $ est horizontal : $ AB = 5 - 1 = 4 $ cm.
Comme $ [AD] $ et $ [BC] $ sont tous les deux verticaux, ils sont parallèles. Le quadrilatère $ ABCD $ possède donc deux côtés parallèles : c'est un trapèze.
De plus, le côté $ [AB] $ est horizontal, donc perpendiculaire aux deux côtés parallèles $ [AD] $ et $ [BC] $. Le trapèze $ ABCD $ possède deux angles droits consécutifs en $ A $ et en $ B $.
ABCD est donc un trapèze rectangle, dont les côtés parallèles mesurent $ AD = 2 $ cm et $ BC = 3 $ cm, et dont la hauteur est $ AB = 4 $ cm.
L'aire d'un trapèze de bases $ b $ et $ B $ et de hauteur $ h $ est donnée par :
$ \mathcal{A} = \dfrac{(b + B) \times h}{2} $
Avec $ b = AD = 2 $ cm, $ B = BC = 3 $ cm et $ h = AB = 4 $ cm :
$ \mathcal{A} = \dfrac{(2 + 3) \times 4}{2} = \dfrac{5 \times 4}{2} = \dfrac{20}{2} = 10 $ cm²
L'aire du trapèze $ ABCD $ vaut 10 cm².
La translation qui transforme $ A $ en $ E $ correspond à un déplacement de $ 3 $ carreaux vers la droite et de $ 2 $ carreaux vers le haut (lecture des coordonnées de $ A(1\,;\,1) $ à $ E(4\,;\,3) $).
On applique le même déplacement à chaque sommet du trapèze :
- $ A(1\,;\,1) $ a pour image $ A'(4\,;\,3) $.
- $ B(5\,;\,1) $ a pour image $ B'(8\,;\,3) $.
- $ C(5\,;\,4) $ a pour image $ C'(8\,;\,6) $.
- $ D(1\,;\,3) $ a pour image $ D'(4\,;\,5) $.
On relie ensuite $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D' $ dans cet ordre pour obtenir le trapèze image.
Une translation conserve les aires. Le trapèze $ A'B'C'D' $ a donc la même aire que $ ABCD $.
L'aire de $ A'B'C'D' $ vaut 10 cm².
Une translation conserve la nature des figures, les longueurs, les angles et le parallélisme.
Comme $ ABCD $ est un trapèze rectangle de côtés parallèles $ AD = 2 $ cm et $ BC = 3 $ cm et de hauteur $ 4 $ cm :
A'B'C'D' est aussi un trapèze rectangle, avec $ A'D' = 2 $ cm, $ B'C' = 3 $ cm et $ A'B' = 4 $ cm.
