[enonce]
Ce QCM porte sur les arbres pondérés et les expériences à deux épreuves. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
On lance une pièce de monnaie équilibrée, puis on tire une boule dans une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules vertes, indiscernables au toucher. L'expérience est représentée par l'arbre pondéré suivant.

Quelle est la probabilité d'obtenir Pile puis une boule rouge ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On suit le chemin Pile $\rightarrow$ Rouge et on multiplie les probabilités le long des branches :

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{5}$"]Non.
$\dfrac{3}{5}$ est la probabilité de tirer une boule rouge sachant qu'on a déjà obtenu Pile. Pour obtenir la probabilité du chemin complet, il faut multiplier par la probabilité d'obtenir Pile.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir Pile à la première épreuve. Il faut encore tenir compte de la deuxième épreuve en multipliant par la probabilité de tirer une boule rouge.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{5}$"]Non.
$\dfrac{2}{5}$ correspond au chemin menant à une boule verte, pas rouge. Il faut suivre le chemin Pile puis Rouge et multiplier les probabilités correspondantes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long des branches successives.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Chaque matin, il pleut avec une probabilité de $\dfrac{2}{5}$ et il fait beau avec une probabilité de $\dfrac{3}{5}$.
S'il pleut, Léa prend le bus (probabilité $\dfrac{3}{4}$) ou le vélo (probabilité $\dfrac{1}{4}$).
S'il fait beau, elle prend le bus (probabilité $\dfrac{1}{3}$) ou le vélo (probabilité $\dfrac{2}{3}$).

Quelle est la probabilité que Léa prenne le vélo un jour de pluie ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On suit le chemin Pluie $\rightarrow$ Vélo et on multiplie les probabilités :

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
$\dfrac{1}{4}$ est la probabilité de prendre le vélo sachant qu'il pleut. Pour obtenir la probabilité de « Pluie et Vélo », il faut multiplier par la probabilité qu'il pleuve.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Non.
$\dfrac{2}{3}$ est la probabilité de prendre le vélo s'il fait beau, pas s'il pleut. Attention à bien suivre la bonne branche de l'arbre.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{5}$"]Non.
$\dfrac{2}{5}$ est la probabilité qu'il pleuve. Le chemin « Pluie et Vélo » nécessite de multiplier cette probabilité par celle de prendre le vélo quand il pleut.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Il faut suivre le chemin Pluie $\rightarrow$ Vélo dans l'arbre et multiplier les probabilités des deux branches successives.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On reprend l'arbre pondéré de la question précédente (météo et transport de Léa). Quelle est la probabilité que Léa prenne le vélo (quel que soit le temps) ?

[qcm]
[option]$\dfrac{1}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{11}{12}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Deux chemins conduisent à « Vélo » : Pluie-Vélo et Beau-Vélo. On calcule chaque probabilité puis on additionne :
$p(\text{Pluie et Vélo}) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{10}$
$p(\text{Beau et Vélo}) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{5}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{10}$"]Non.
$\dfrac{1}{10}$ ne correspond qu'au chemin Pluie-Vélo. Il existe un autre chemin menant à « Vélo » : Beau-Vélo. Il faut additionner les probabilités des deux chemins.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Non.
$\dfrac{2}{3}$ est la probabilité de prendre le vélo sachant qu'il fait beau. Pour obtenir la probabilité totale de prendre le vélo, il faut considérer les deux chemins possibles dans l'arbre.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{11}{12}$"]Non.
Il ne faut pas additionner les probabilités conditionnelles $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$. Chaque probabilité doit d'abord être pondérée par la probabilité de la première branche (multiplier), puis on additionne les résultats.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand plusieurs chemins conduisent au même événement, on multiplie les probabilités le long de chaque chemin, puis on additionne les résultats.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un arbre pondéré, la première épreuve a deux issues : Rouge (de probabilité $\dfrac{2}{5}$) et Vert. Depuis Rouge, on peut obtenir Gagné (probabilité $\dfrac{3}{4}$) ou Perdu.
Quelle est la probabilité inscrite sur la branche « Perdu » issue de « Rouge » ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{4}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est toujours égale à 1. Depuis « Rouge » :

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{4}$"]Non.
$\dfrac{3}{4}$ est la probabilité de « Gagné », pas de « Perdu ». La somme des branches issues d'un même noeud vaut 1, donc $p(\text{Perdu}) = 1 - \dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Les deux issues « Gagné » et « Perdu » ne sont pas forcément équiprobables. Comme $p(\text{Gagné}) = \dfrac{3}{4}$, on utilise la règle de la somme égale à 1 pour trouver la probabilité manquante.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{5}$"]Non.
$\dfrac{3}{5}$ est la probabilité de « Vert » à la première épreuve ($1 - \dfrac{2}{5}$). Pour trouver la probabilité de « Perdu » depuis « Rouge », il faut utiliser la somme des branches issues du noeud « Rouge ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est toujours égale à 1.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On complète l'arbre de la question précédente. L'arbre complet est le suivant :

Quelle est la probabilité de gagner ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Deux chemins mènent à « Gagné » :
$p(\text{Rouge et Gagné}) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$
$p(\text{Vert et Gagné}) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{10}$

[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{10}$"]Non.
$\dfrac{3}{10}$ ne correspond qu'au chemin Rouge-Gagné. Il existe aussi le chemin Vert-Gagné. Il faut additionner les probabilités des deux chemins.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{4}$"]Non.
$\dfrac{3}{4}$ est la probabilité de gagner sachant qu'on a tiré Rouge. Pour la probabilité totale de gagner, il faut pondérer par la probabilité de chaque première branche, puis additionner.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2}$ est la probabilité de gagner sachant qu'on a tiré Vert. Ce n'est pas la probabilité totale de gagner : il faut considérer les deux chemins possibles dans l'arbre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer la probabilité totale de « Gagné », il faut multiplier les probabilités le long de chaque chemin menant à « Gagné », puis additionner les résultats.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On reprend l'arbre de la question précédente. Quelle est la probabilité de perdre ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{10}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
« Perdre » est l'événement contraire de « Gagner ». Comme $p(\text{Gagné}) = \dfrac{3}{5}$ :

On peut aussi vérifier : $p(\text{Rouge et Perdu}) + p(\text{Vert et Perdu}) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{5}$"]Non.
$\dfrac{3}{5}$ est la probabilité de gagner, pas de perdre. « Perdre » est l'événement contraire de « Gagner ». Il faut retrancher de 1.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
$\dfrac{1}{4}$ est la probabilité de perdre sachant qu'on a tiré Rouge. Ce n'est pas la probabilité totale de perdre : il faut aussi prendre en compte le chemin Vert-Perdu.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{10}$"]Non.
$\dfrac{3}{10}$ correspond au chemin Vert-Perdu uniquement ($\dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{2}$). Il faut aussi ajouter la probabilité du chemin Rouge-Perdu.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On peut utiliser l'événement contraire : $p(\text{Perdu}) = 1 - p(\text{Gagné})$. Ou bien calculer directement en additionnant les probabilités des chemins Rouge-Perdu et Vert-Perdu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]