Comparer des carrés sans calculatrice

Sans calculatrice, comparer les nombres suivants en justifiant à l'aide des variations de la fonction carré.

$2{,}3^2$ et $2{,}7^2$
$(-5)^2$ et $(-3)^2$
$(-4{,}1)^2$ et $3{,}9^2$
$\left(-\dfrac{7}{3}\right)^2$ et $\left(\dfrac{5}{2}\right)^2$

Corrigé

On a $0 < 2{,}3 < 2{,}7$.
La fonction carré est strictement croissante sur $\left[0 ; +\infty\right[$, donc elle conserve l'ordre des nombres positifs.
On en déduit $\mathbf{2{,}3^2 < 2{,}7^2}$.
On a $-5 < -3 < 0$.
La fonction carré est strictement décroissante sur $\left]-\infty ; 0\right]$, donc elle renverse l'ordre des nombres négatifs.
On en déduit $\mathbf{(-5)^2 > (-3)^2}$, c'est-à-dire $25 > 9$.
On ne peut pas comparer directement car les nombres sont de signes opposés. On passe par les valeurs absolues.
$|-4{,}1| = 4{,}1$ et $|3{,}9| = 3{,}9$.
Comme $3{,}9 < 4{,}1$, on a $3{,}9^2 < 4{,}1^2$ (fonction carré croissante sur $\left[0 ; +\infty\right[$).
Or $(-4{,}1)^2 = 4{,}1^2$, donc $\mathbf{(-4{,}1)^2 > 3{,}9^2}$.
On compare les valeurs absolues : $\left|-\dfrac{7}{3}\right| = \dfrac{7}{3}$ et $\left|\dfrac{5}{2}\right| = \dfrac{5}{2}$.
Réduisons au même dénominateur : $\dfrac{7}{3} = \dfrac{14}{6}$ et $\dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{6}$.
Comme $\dfrac{14}{6} < \dfrac{15}{6}$, on a $\dfrac{7}{3} < \dfrac{5}{2}$, donc $\left(\dfrac{7}{3}\right)^2 < \left(\dfrac{5}{2}\right)^2$.
Or $\left(-\dfrac{7}{3}\right)^2 = \left(\dfrac{7}{3}\right)^2$, donc $\mathbf{\left(-\dfrac{7}{3}\right)^2 < \left(\dfrac{5}{2}\right)^2}$.

→ Pour réviser : Comparer des nombres avec la fonction carré

Comparer des nombres avec les fonctions carré et cube

[enonce]
On pose $a = -2{,}3$ et $b = -\sqrt{5}$.
On cherche à comparer $a$ et $b$ sans utiliser de valeur approchée de $\sqrt{5}$.
[/enonce]

[etape]
Déterminer le signe de $a$ et $b$.
Les nombres $a$ et $b$ sont :
[select id="signe"]
[option]tous les deux positifs[/option]
[option correct="true"]tous les deux négatifs[/option]
[option]de signes contraires[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$a = -2{,}3 < 0$ et $b = -\sqrt{5} < 0$. Les deux nombres sont négatifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$a = -2{,}3$ est négatif. $b = -\sqrt{5}$ est aussi négatif puisque $\sqrt{5} > 0$.[/reponse]
[aide essai="2"]$a = -2{,}3$, le signe est immédiat. Pour $b = -\sqrt{5}$, $\sqrt{5}$ est positif, donc $-\sqrt{5}$ est...[/aide]
[aide essai="3"]Les deux nombres ont un signe $-$ devant, ils sont donc tous les deux négatifs.[/aide]
[/select]
[/etape]

[etape]
Les deux nombres sont négatifs. Quelle fonction de référence permet de les comparer et pourquoi ?
[qcm]
[option]La fonction cube, car elle est croissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[option correct="true"]La fonction carré, car elle est décroissante sur $]-\infty~;~0]$ et renverse l'ordre des négatifs[/option]
[option]La fonction cube, car elle conserve le signe[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour comparer deux négatifs, on utilise la fonction carré qui renverse l'ordre sur $]-\infty~;~0]$ : si $u < v \leqslant 0$, alors $u^2 > v^2$. On pourra ainsi comparer $a^2$ et $b^2$, puis inverser la conclusion.[/reponse]
[reponse motif="La fonction cube, car elle est croissante sur $\mathbb{R}$"]La fonction cube conserve l'ordre, ce qui est utile pour certaines comparaisons. Mais ici, comparer $a^3$ et $b^3$ nécessiterait de calculer $(-2{,}3)^3$ et $(-\sqrt{5})^3$, ce qui est plus complexe que de comparer les carrés.[/reponse]
[reponse motif="La fonction cube, car elle conserve le signe"]Conserver le signe ne suffit pas pour comparer. L'avantage de la fonction carré est que $(-\sqrt{5})^2 = 5$ se simplifie facilement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Pour deux nombres négatifs, la fonction carré est souvent le meilleur choix car elle élimine les racines carrées et permet de comparer facilement.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer $a^2$.
$a^2 = (-2{,}3)^2 = $ [[a2]]
[math id="a2" attendu="5.29"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$(-2{,}3)^2 = 2{,}3^2 = 5{,}29$.[/reponse]
[reponse motif="-5.29"]Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul. $(-2{,}3)^2 = (+2{,}3)^2$.[/reponse]
[reponse motif="4.6"]Attention, $(-2{,}3)^2 = (-2{,}3) \times (-2{,}3)$, ce n'est pas $2 \times (-2{,}3)$.[/reponse]
[reponse motif="4.29"]Erreur de calcul sur $2{,}3 \times 2{,}3$. Décomposer : $(2 + 0{,}3)^2 = 4 + 2 \times 2 \times 0{,}3 + 0{,}09$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$(-2{,}3)^2 = 2{,}3 \times 2{,}3$. Poser la multiplication.[/reponse]
[aide essai="2"]$2{,}3 \times 2{,}3$ : décomposer en $2{,}3 \times 2 + 2{,}3 \times 0{,}3$.[/aide]
[aide essai="3"]$2{,}3 \times 2 = 4{,}6$ et $2{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}69$. Additionner.[/aide]
[/math]
[solution]$a^2 = (-2{,}3)^2 = 2{,}3^2 = 5{,}29$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $b^2$.
$b^2 = (-\sqrt{5})^2 = $ [[b2]]
[math id="b2" attendu="5"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$(-\sqrt{5})^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Le carré annule la racine carrée.[/reponse]
[reponse motif="-5"]Le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.[/reponse]
[reponse motif="25"]$(-\sqrt{5})^2 = (\sqrt{5})^2$, pas $5^2$. La racine carrée et le carré sont des opérations inverses.[/reponse]
[reponse motif="2.24"]C'est une valeur approchée de $\sqrt{5}$, pas de $(\sqrt{5})^2$. Par définition, $(\sqrt{5})^2 = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Par définition de la racine carrée : $(\sqrt{5})^2 = 5$.[/reponse]
[aide essai="2"]$(-\sqrt{5})^2 = (\sqrt{5})^2$, car le carré d'un opposé est le même carré.[/aide]
[aide essai="3"]Par définition, $\sqrt{5}$ est le nombre positif dont le carré vaut $5$.[/aide]
[/math]
[solution]$b^2 = (-\sqrt{5})^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a $a^2 = 5{,}29$ et $b^2 = 5$. En déduire la comparaison de $a$ et $b$.
[qcm]
[option]$a > b$ car $a^2 > b^2$[/option]
[option correct="true"]$a < b$ car $a^2 > b^2$ et la fonction carré renverse l'ordre des négatifs[/option]
[option]$a < b$ car $a^2 < b^2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$a$ et $b$ sont négatifs, et $a^2 = 5{,}29 > 5 = b^2$.
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty~;~0]$, donc elle renverse l'ordre : $a^2 > b^2$ implique $a < b$.
Conclusion : $-2{,}3 < -\sqrt{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$a > b$ car $a^2 > b^2$"]Attention ! Pour des nombres négatifs, la fonction carré renverse l'ordre. Si $a^2 > b^2$ avec $a, b < 0$, alors $a < b$ (et non $a > b$).[/reponse]
[reponse motif="$a < b$ car $a^2 < b^2$"]La conclusion est juste ($a < b$), mais le raisonnement est faux : on a $a^2 = 5{,}29 > 5 = b^2$, pas $a^2 < b^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Comparer $a^2$ et $b^2$, puis utiliser le fait que la fonction carré est décroissante sur les négatifs pour en déduire l'ordre de $a$ et $b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Encadrements et comparaisons

[enonce]
Ce QCM porte sur les encadrements et les comparaisons utilisant les fonctions carré et cube. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Si $-3 \leqslant x \leqslant 5$, quel est l'encadrement de $x^2$ ?
[qcm]
[option]$9 \leqslant x^2 \leqslant 25$[/option]
[option correct="true"]$0 \leqslant x^2 \leqslant 25$[/option]
[option]$-9 \leqslant x^2 \leqslant 25$[/option]
[option]$0 \leqslant x^2 \leqslant 9$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
L'intervalle $[-3\,;\,5]$ contient $0$. Le minimum de $x^2$ est donc $0$ (atteint en $x = 0$).
Le maximum est $\max\left((-3)^2\,;\,5^2\right) = \max(9\,;\,25) = 25$.
D'où $0 \leqslant x^2 \leqslant 25$.[/reponse]
[reponse motif="$9 \leqslant x^2 \leqslant 25$"]Non.
Attention, l'intervalle $[-3\,;\,5]$ contient $0$, et $0^2 = 0$. Le minimum de $x^2$ n'est pas $9$ mais $0$. Quand un intervalle contient $0$, le minimum du carré est toujours $0$.[/reponse]
[reponse motif="$-9 \leqslant x^2 \leqslant 25$"]Non.
Un carré est toujours positif ou nul : $x^2 \geqslant 0$. L'encadrement ne peut pas contenir de valeur négative. Recalculer $(-3)^2$.[/reponse]
[reponse motif="$0 \leqslant x^2 \leqslant 9$"]Non.
Le maximum de $x^2$ sur $[-3\,;\,5]$ est atteint à la borne la plus éloignée de $0$ en valeur absolue. Comparer $(-3)^2 = 9$ et $5^2 = 25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand l'intervalle contient $0$, le minimum de $x^2$ est $0$ et le maximum est le plus grand des carrés des bornes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si $-6 \leqslant x \leqslant -2$, quel est l'encadrement de $x^2$ ?
[qcm]
[option]$-36 \leqslant x^2 \leqslant -4$[/option]
[option]$0 \leqslant x^2 \leqslant 36$[/option]
[option correct="true"]$4 \leqslant x^2 \leqslant 36$[/option]
[option]$2 \leqslant x^2 \leqslant 6$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les deux bornes sont négatives. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, donc elle inverse l'ordre :
$(-6)^2 = 36$ et $(-2)^2 = 4$, d'où $4 \leqslant x^2 \leqslant 36$.[/reponse]
[reponse motif="$-36 \leqslant x^2 \leqslant -4$"]Non.
Un carré est toujours positif ou nul. Les valeurs $-36$ et $-4$ ne peuvent pas être des carrés. Calculer $(-6)^2$ et $(-2)^2$.[/reponse]
[reponse motif="$0 \leqslant x^2 \leqslant 36$"]Non.
L'intervalle $[-6\,;\,-2]$ ne contient pas $0$, donc $x^2$ ne peut pas valoir $0$. Le minimum de $x^2$ est atteint à la borne la plus proche de $0$.[/reponse]
[reponse motif="$2 \leqslant x^2 \leqslant 6$"]Non.
Les valeurs $2$ et $6$ sont les valeurs absolues des bornes, pas leurs carrés. Calculer $(-6)^2$ et $(-2)^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Les bornes sont négatives : la fonction carré est décroissante. Calculer les carrés des deux bornes et inverser l'ordre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Comparer $\sqrt{7}$ et $2{,}5$.
[qcm]
[option]$\sqrt{7} = 2{,}5$[/option]
[option]On ne peut pas comparer[/option]
[option correct="true"]$\sqrt{7} > 2{,}5$[/option]
[option]$\sqrt{7} < 2{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les deux nombres sont positifs. On compare leurs carrés :
$(\sqrt{7})^2 = 7$ et $(2{,}5)^2 = 6{,}25$.
Comme $7 > 6{,}25$ et la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, on conclut $\sqrt{7} > 2{,}5$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{7} = 2{,}5$"]Non.
Vérifier en élevant au carré : $(2{,}5)^2 = 6{,}25 \neq 7$. Comparer les carrés des deux nombres.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer"]Non.
On peut comparer en élevant au carré. Les deux nombres sont positifs, donc la fonction carré conserve l'ordre.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{7} < 2{,}5$"]Non.
Élever au carré : $(\sqrt{7})^2 = 7$ et $(2{,}5)^2 = 6{,}25$. Comme la fonction carré est croissante sur les positifs, le plus grand nombre a le plus grand carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour comparer deux nombres positifs, élever les deux au carré et utiliser la croissance de la fonction carré sur $[0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $-5 < a < -3$. Comparer $a^2$ et $9$.
[qcm]
[option]$a^2 < 9$[/option]
[option correct="true"]$a^2 > 9$[/option]
[option]$a^2 = 9$[/option]
[option]On ne peut pas comparer sans connaître $a$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Comme $-5 < a < -3$ et les nombres sont négatifs, on utilise les valeurs absolues : $3 < |a| < 5$.
La fonction carré est croissante sur les positifs, donc $9 < a^2 < 25$. En particulier, $a^2 > 9$.[/reponse]
[reponse motif="$a^2 < 9$"]Non.
Attention, la fonction carré est décroissante sur les négatifs. Comme $a < -3$, on a $|a| > 3$ et donc $a^2 > 9$. L'ordre est inversé.[/reponse]
[reponse motif="$a^2 = 9$"]Non.
$a^2 = 9$ correspondrait à $a = -3$, or $a < -3$ strictement. Utiliser la décroissance de la fonction carré sur les négatifs.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer sans connaître $a$"]Non.
Les variations de la fonction carré permettent de comparer sans calculer. Utiliser la décroissance sur les négatifs : si $a < -3$, que peut-on dire de $a^2$ par rapport à $(-3)^2$ ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la décroissance de la fonction carré sur $]-\infty\,;\,0]$ : si $a < -3 < 0$, comparer $a^2$ et $(-3)^2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si $0 < x < 1$, comparer $x$, $x^2$ et $x^3$.
[qcm]
[option]$x < x^2 < x^3$[/option]
[option]$x^2 < x^3 < x$[/option]
[option correct="true"]$x^3 < x^2 < x$[/option]
[option]$x^3 < x < x^2$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour $0 < x < 1$ : en multipliant $x < 1$ par $x > 0$, on obtient $x^2 < x$.
En multipliant $x^2 < x$ par $x > 0$, on obtient $x^3 < x^2$.
D'où $x^3 < x^2 < x$.[/reponse]
[reponse motif="$x < x^2 < x^3$"]Non.
Cet ordre est valable pour $x > 1$, pas pour $0 < x < 1$. Tester avec $x = 0{,}5$ : $x = 0{,}5$, $x^2 = 0{,}25$, $x^3 = 0{,}125$.[/reponse]
[reponse motif="$x^2 < x^3 < x$"]Non.
Tester avec $x = 0{,}5$ : $x^2 = 0{,}25$ et $x^3 = 0{,}125$. On a bien $x^3 < x^2$, pas l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$x^3 < x < x^2$"]Non.
Tester avec $x = 0{,}5$ : $x^2 = 0{,}25 < 0{,}5 = x$. Le carré d'un nombre entre $0$ et $1$ est plus petit que le nombre lui-même.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tester avec une valeur comme $x = 0{,}5$ : calculer $x$, $x^2$ et $x^3$, puis ranger dans l'ordre croissant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les courbes de $y = x^2$ et $y = x^3$ se coupent en :
[qcm]
[option]$x = 0$ uniquement[/option]
[option]$x = 1$ uniquement[/option]
[option]$x = 0$, $x = 1$ et $x = -1$[/option]
[option correct="true"]$x = 0$ et $x = 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On résout $x^2 = x^3$, soit $x^2 - x^3 = 0$, soit $x^2(1 - x) = 0$.
Cela donne $x = 0$ ou $x = 1$. Les points d'intersection sont $(0\,;\,0)$ et $(1\,;\,1)$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 0$ uniquement"]Non.
Vérifier pour $x = 1$ : $1^2 = 1$ et $1^3 = 1$. Les courbes se coupent aussi en ce point. Résoudre $x^2 = x^3$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 1$ uniquement"]Non.
Vérifier pour $x = 0$ : $0^2 = 0$ et $0^3 = 0$. Les courbes se coupent aussi en ce point. Résoudre $x^2 = x^3$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 0$, $x = 1$ et $x = -1$"]Non.
Vérifier pour $x = -1$ : $(-1)^2 = 1$ et $(-1)^3 = -1$. Comme $1 \neq -1$, les courbes ne se coupent pas en $x = -1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre l'équation $x^2 = x^3$ en factorisant : $x^2(1 - x) = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : La fonction carré

[enonce]
Ce QCM porte sur la fonction carré. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est l'image de $-4$ par la fonction carré ?
[qcm]
[option]$-16$[/option]
[option]$-8$[/option]
[option correct="true"]$16$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
La fonction carré associe à $x$ le nombre $x^2$. On calcule :
$(-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16$[/reponse]
[reponse motif="$-16$"]Non.
Attention, $(-4)^2$ n'est pas la même chose que $-4^2$. L'écriture $(-4)^2$ signifie $(-4) \times (-4)$, et le produit de deux nombres négatifs est positif.[/reponse]
[reponse motif="$-8$"]Non.
La fonction carré élève au carré, elle ne multiplie pas par $2$. Calculer $(-4) \times (-4)$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
La fonction carré élève au carré, elle ne multiplie pas par $2$. Calculer $(-4) \times (-4)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction carré associe à $x$ le nombre $x^2$. Calculer $(-4) \times (-4)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelles sont les variations de la fonction carré ?
[qcm]
[option]Croissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[option]Croissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$[/option]
[option]Décroissante sur $\mathbb{R}$[/option]
[option correct="true"]Décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ puis croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. Elle admet un minimum en $x = 0$.[/reponse]
[reponse motif="Croissante sur $\mathbb{R}$"]Non.
La fonction carré n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier. Observer que $(-3)^2 = 9 > 4 = (-2)^2$ alors que $-3 < -2$ : l'ordre n'est pas conservé pour les négatifs.[/reponse]
[reponse motif="Croissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$"]Non.
C'est l'inverse. La fonction carré descend quand $x$ va de $-\infty$ vers $0$, puis remonte quand $x$ va de $0$ vers $+\infty$. Penser à la forme de la parabole.[/reponse]
[reponse motif="Décroissante sur $\mathbb{R}$"]Non.
La fonction carré n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier. Observer que $2^2 = 4 < 9 = 3^2$ alors que $2 < 3$ : l'ordre est conservé pour les positifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Penser à la forme de la parabole : elle descend puis remonte, avec un minimum en $x = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'équation $x^2 = 25$ a pour solutions :
[qcm]
[option]$x = 5$[/option]
[option correct="true"]$x = 5$ ou $x = -5$[/option]
[option]$x = 12{,}5$[/option]
[option]$x = 625$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Comme $25 > 0$, l'équation $x^2 = 25$ admet deux solutions :
$x = \sqrt{25} = 5$ et $x = -\sqrt{25} = -5$[/reponse]
[reponse motif="$x = 5$"]Non.
Il manque une solution. Quand $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$. Vérifier que $(-5)^2 = 25$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 12{,}5$"]Non.
L'équation demande quel nombre élevé au carré donne $25$, pas quel nombre multiplié par $2$ donne $25$. Chercher $x$ tel que $x \times x = 25$.[/reponse]
[reponse motif="$x = 625$"]Non.
On cherche $x$ tel que $x^2 = 25$, pas $25^2$. La racine carrée est l'opération inverse du carré.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété : si $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
L'équation $x^2 = -4$ admet :
[qcm]
[option correct="true"]aucune solution[/option]
[option]deux solutions $x = 2$ et $x = -2$[/option]
[option]une seule solution $x = -2$[/option]
[option]une infinité de solutions[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Un carré est toujours positif ou nul : pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 0$.
L'équation $x^2 = -4$ n'a donc aucune solution car $-4 < 0$.[/reponse]
[reponse motif="deux solutions $x = 2$ et $x = -2$"]Non.
Vérifier : $2^2 = 4$ et $(-2)^2 = 4$, ce sont les solutions de $x^2 = 4$, pas de $x^2 = -4$. Attention au signe du membre de droite.[/reponse]
[reponse motif="une seule solution $x = -2$"]Non.
Vérifier : $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$, pas $-4$. Un carré est toujours positif ou nul.[/reponse]
[reponse motif="une infinité de solutions"]Non.
L'équation $x^2 = -4$ n'a pas de solution du tout. Un carré ne peut jamais être négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Un carré est toujours positif ou nul. Vérifier le signe du membre de droite avant de résoudre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport :
[qcm]
[option]à l'origine du repère[/option]
[option]à l'axe des abscisses[/option]
[option correct="true"]à l'axe des ordonnées[/option]
[option]à la droite $y = x$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction carré est paire : $(-x)^2 = x^2$ pour tout réel $x$. Sa courbe, la parabole, est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.[/reponse]
[reponse motif="à l'origine du repère"]Non.
La symétrie par rapport à l'origine caractérise les fonctions impaires (comme la fonction cube). La fonction carré est paire, ce qui correspond à un autre axe de symétrie.[/reponse]
[reponse motif="à l'axe des abscisses"]Non.
Une courbe symétrique par rapport à l'axe des abscisses ne représente pas une fonction (deux images pour un même $x$). Observer la parabole : elle est symétrique par rapport à un axe vertical.[/reponse]
[reponse motif="à la droite $y = x$"]Non.
La droite $y = x$ est l'axe de symétrie entre une fonction et sa réciproque. Observer la parabole : elle est symétrique par rapport à un axe vertical passant par son sommet.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction carré vérifie $(-x)^2 = x^2$ : c'est une fonction paire. Identifier l'axe de symétrie correspondant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $0 < a < b$. Que peut-on dire de $a^2$ et $b^2$ ?
[qcm]
[option]$a^2 > b^2$[/option]
[option]$a^2 = b^2$[/option]
[option]On ne peut pas comparer[/option]
[option correct="true"]$a^2 < b^2$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Comme $a$ et $b$ sont positifs avec $a < b$, et que la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, l'ordre est conservé : $a^2 < b^2$.[/reponse]
[reponse motif="$a^2 > b^2$"]Non.
Attention, la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, pas décroissante. L'ordre est donc conservé pour les nombres positifs.[/reponse]
[reponse motif="$a^2 = b^2$"]Non.
Si $a < b$ et les deux sont positifs, leurs carrés sont distincts. La fonction carré est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas comparer"]Non.
On sait que $a$ et $b$ sont positifs : la fonction carré est croissante sur cet intervalle, ce qui permet bien de comparer les carrés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser les variations de la fonction carré sur $[0\,;\,+\infty[$ : elle y est strictement croissante, donc elle conserve l'ordre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Comparaisons avec les fonctions carré et cube

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les comparaisons avec les fonctions carré et cube, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Comme $-3 < -2$, on peut en déduire que $(-3)^2 < (-2)^2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$(-3)^2 = 9$ et $(-2)^2 = 4$, donc $(-3)^2 > (-2)^2$. La fonction carré est décroissante sur les négatifs : l'ordre est inversé.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : sur les nombres négatifs, la fonction carré est décroissante. Quand on élève deux nombres négatifs au carré, l'ordre s'inverse.
Ici $(-3)^2 = 9 > 4 = (-2)^2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, donc $-3 < -2$ implique $(-3)^2 > (-2)^2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\sqrt{5} < 3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les deux nombres sont positifs. En élevant au carré : $(\sqrt{5})^2 = 5$ et $3^2 = 9$. Comme $5 < 9$ et la fonction carré est croissante sur les positifs, on a bien $\sqrt{5} < 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour comparer $\sqrt{5}$ et $3$, on peut élever au carré car les deux sont positifs. On obtient $5$ et $9$. Comme $5 < 9$ et que la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, on en déduit $\sqrt{5} < 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En comparant les carrés : $(\sqrt{5})^2 = 5 < 9 = 3^2$, donc $\sqrt{5} < 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $-2 \leqslant x \leqslant 3$ alors $4 \leqslant x^2 \leqslant 9$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
L'intervalle $[-2\,;\,3]$ contient $0$. Or $0^2 = 0$, donc $x^2$ peut valoir $0$. Le minimum de $x^2$ sur cet intervalle est $0$, pas $4$. L'encadrement correct est $0 \leqslant x^2 \leqslant 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est d'élever mécaniquement les bornes au carré. Quand l'intervalle contient $0$, le minimum de $x^2$ est $0$ (atteint en $x = 0$), et non $(-2)^2 = 4$.
L'encadrement correct est $0 \leqslant x^2 \leqslant 9$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'intervalle contient $0$, donc le minimum de $x^2$ est $0$, pas $4$. L'encadrement correct est $0 \leqslant x^2 \leqslant 9$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $(-1)^3 > (-2)^3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comme $-1 > -2$, on en déduit $(-1)^3 > (-2)^3$, soit $-1 > -8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Contrairement à la fonction carré, la fonction cube est croissante partout. L'ordre est toujours conservé quand on élève au cube :
$-1 > -2$ donc $(-1)^3 > (-2)^3$, c'est-à-dire $-1 > -8$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$, donc $-1 > -2$ implique $(-1)^3 = -1 > -8 = (-2)^3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous réels $a$ et $b$, si $a < b$ alors $a^2 < b^2$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Contre-exemple : $-3 < 1$ mais $(-3)^2 = 9 > 1 = 1^2$. L'inégalité $a^2 < b^2$ n'est pas toujours vraie quand $a < b$ : il faut que $a$ et $b$ soient de même signe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Cette propriété n'est valable que si $a$ et $b$ sont tous les deux positifs (la fonction carré est alors croissante). Pour les négatifs, l'ordre est inversé, et pour des signes contraires, il faut calculer.
Contre-exemple : $-3 < 1$ mais $9 > 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Contre-exemple : $-3 < 1$ mais $(-3)^2 = 9 > 1 = 1^2$. L'ordre n'est pas toujours conservé par la mise au carré.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $2^3 < 3^2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$2^3 = 8$ et $3^2 = 9$. Comme $8 < 9$, on a bien $2^3 < 3^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il suffit de calculer chaque côté séparément : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ et $3^2 = 3 \times 3 = 9$. Comme $8 < 9$, l'affirmation est vraie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $2^3 = 8 < 9 = 3^2$.
[/solution]
[/etape]