Modes de transport au collège : fractions, comparaison et proportions

Une enquête est menée auprès de $ 360 $ élèves d'un collège pour connaître leur mode de transport pour venir le matin. Les résultats sont les suivants :

$ \dfrac{5}{12} $ des élèves viennent à pied,
$ \dfrac{1}{4} $ des élèves viennent à vélo,
$ \dfrac{1}{8} $ des élèves prennent le bus,
les autres viennent en voiture.

Calculer le nombre d'élèves dans chacune des trois catégories « à pied », « à vélo » et « en bus ».
En déduire le nombre d'élèves venant en voiture.
Exprimer la proportion d'élèves venant en voiture sous la forme d'une fraction simplifiée au maximum.
Comparer les fractions $ \dfrac{5}{12} $, $ \dfrac{1}{4} $, $ \dfrac{1}{8} $ et la fraction trouvée à la question 3, en les réduisant au même dénominateur. Ranger les quatre modes de transport dans l'ordre croissant de fréquence.
Le directeur du collège affirme : « Plus de la moitié des élèves viennent au collège sans véhicule motorisé (c'est-à-dire à pied ou à vélo). » A-t-il raison ? Justifier la réponse.

Corrigé

On calcule chaque effectif comme une fraction de $ 360 $.

À pied : $ \dfrac{5}{12} \times 360 = \dfrac{5 \times 360}{12} = \dfrac{1\,800}{12} = 150 $
Il y a $ 150 $ élèves qui viennent à pied.

À vélo : $ \dfrac{1}{4} \times 360 = \dfrac{360}{4} = 90 $
Il y a $ 90 $ élèves qui viennent à vélo.

En bus : $ \dfrac{1}{8} \times 360 = \dfrac{360}{8} = 45 $
Il y a $ 45 $ élèves qui prennent le bus.
Les autres élèves viennent en voiture :
$ 360 - 150 - 90 - 45 = 75 $
Il y a $ 75 $ élèves qui viennent en voiture.
La proportion d'élèves venant en voiture est $ \dfrac{75}{360} $.

$ 75 $ et $ 360 $ se terminent par $ 5 $ ou $ 0 $, donc divisibles par $ 5 $ :
$ \dfrac{75}{360} = \dfrac{15}{72} $
$ 15 $ et $ 72 $ sont divisibles par $ 3 $ ($ 1 + 5 = 6 $ et $ 7 + 2 = 9 $) :
$ \dfrac{15}{72} = \dfrac{5}{24} $
$ 5 $ et $ 24 $ n'ont plus de diviseur commun autre que $ 1 $.

La proportion d'élèves venant en voiture est $\mathbf{\dfrac{5}{24}}$.
Un multiple commun de $ 12 $, $ 4 $, $ 8 $ et $ 24 $ est $ 24 $. On écrit chaque fraction avec le dénominateur $ 24 $ :
- $ \dfrac{5}{12} = \dfrac{5 \times 2}{12 \times 2} = \dfrac{10}{24} $ (à pied)
- $ \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 6}{4 \times 6} = \dfrac{6}{24} $ (à vélo)
- $ \dfrac{1}{8} = \dfrac{1 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{3}{24} $ (en bus)
- $ \dfrac{5}{24} $ (en voiture)
On compare les numérateurs : $ 3 < 5 < 6 < 10 $.

Rangement dans l'ordre croissant de fréquence :
bus < voiture < vélo < à pied
(soit $ \dfrac{1}{8} < \dfrac{5}{24} < \dfrac{1}{4} < \dfrac{5}{12} $).
Le nombre d'élèves venant à pied ou à vélo est :
$ 150 + 90 = 240 $

La moitié de l'effectif total est $ \dfrac{360}{2} = 180 $.

Comme $ 240 > 180 $, plus de la moitié des élèves viennent au collège à pied ou à vélo.

Le directeur a raison.

Pour réviser : Comparer des fractions

Comparer et ranger des fractions

Comparer chacune des deux fractions, en justifiant brièvement, sans les écrire avec un dénominateur commun :
1. $ \dfrac{4}{7} $ et $ \dfrac{6}{7} $
2. $ \dfrac{17}{20} $ et $ 1 $
3. $ \dfrac{9}{4} $ et $ 1 $
Comparer ces fractions en remarquant qu'un dénominateur est multiple de l'autre :
1. $ \dfrac{5}{6} $ et $ \dfrac{11}{12} $
2. $ \dfrac{7}{4} $ et $ \dfrac{15}{8} $
Comparer ces fractions en les réduisant au même dénominateur :
1. $ \dfrac{3}{4} $ et $ \dfrac{5}{7} $
2. $ \dfrac{7}{9} $ et $ \dfrac{5}{6} $
Ranger dans l'ordre croissant :

$ \dfrac{2}{5} $ ; $ \dfrac{7}{10} $ ; $ \dfrac{3}{4} $ ; $ \dfrac{1}{2} $

Corrigé

1. Les deux fractions ont le même dénominateur $ 7 $. On compare les numérateurs : $ 4 < 6 $.
  Donc $\mathbf{\dfrac{4}{7} < \dfrac{6}{7}}$.
2. Le numérateur $ 17 $ est inférieur au dénominateur $ 20 $.
  Donc $\mathbf{\dfrac{17}{20} < 1}$.
3. Le numérateur $ 9 $ est supérieur au dénominateur $ 4 $.
  Donc $\mathbf{\dfrac{9}{4} > 1}$.
1. Le dénominateur $ 12 $ est un multiple de $ 6 $ ($ 12 = 6 \times 2 $). On écrit $ \dfrac{5}{6} $ avec le dénominateur $ 12 $ :
  $ \dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12} $
  On compare les numérateurs : $ 10 < 11 $.
  Donc $\mathbf{\dfrac{5}{6} < \dfrac{11}{12}}$.
2. Le dénominateur $ 8 $ est un multiple de $ 4 $ ($ 8 = 4 \times 2 $). On écrit $ \dfrac{7}{4} $ avec le dénominateur $ 8 $ :
  $ \dfrac{7}{4} = \dfrac{7 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{14}{8} $
  On compare les numérateurs : $ 14 < 15 $.
  Donc $\mathbf{\dfrac{7}{4} < \dfrac{15}{8}}$.
1. Un multiple commun de $ 4 $ et $ 7 $ est $ 4 \times 7 = 28 $.
  $ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 7}{4 \times 7} = \dfrac{21}{28} $
  $ \dfrac{5}{7} = \dfrac{5 \times 4}{7 \times 4} = \dfrac{20}{28} $
  On compare les numérateurs : $ 21 > 20 $.
  Donc $\mathbf{\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{7}}$.
2. Un multiple commun de $ 9 $ et $ 6 $ est $ 18 $ ($ 18 = 9 \times 2 = 6 \times 3 $).
  $ \dfrac{7}{9} = \dfrac{7 \times 2}{9 \times 2} = \dfrac{14}{18} $
  $ \dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 3}{6 \times 3} = \dfrac{15}{18} $
  On compare les numérateurs : $ 14 < 15 $.
  Donc $\mathbf{\dfrac{7}{9} < \dfrac{5}{6}}$.
Un multiple commun de $ 5 $, $ 10 $, $ 4 $ et $ 2 $ est $ 20 $. On écrit chaque fraction avec le dénominateur $ 20 $ :
- $ \dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{8}{20} $
- $ \dfrac{7}{10} = \dfrac{7 \times 2}{10 \times 2} = \dfrac{14}{20} $
- $ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20} $
- $ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 10}{2 \times 10} = \dfrac{10}{20} $
On compare les numérateurs : $ 8 < 10 < 14 < 15 $.

Rangement dans l'ordre croissant : $\mathbf{\dfrac{2}{5} < \dfrac{1}{2} < \dfrac{7}{10} < \dfrac{3}{4}}$.

Pour réviser : Comparer des fractions

Vrai/Faux : Comparaison, proportions et pourcentages

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la comparaison de fractions et le lien avec les proportions et les pourcentages, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si deux fractions ont le même numérateur positif, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Plus on partage un même nombre en parts nombreuses, plus chaque part est petite. Par exemple, $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{4}$ : un demi est plus grand qu'un quart.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Penser à un gâteau : partagé en $2$ parts, chaque part est plus grosse que si on partage le même gâteau en $4$ parts. Donc avec un même numérateur, le plus petit dénominateur donne la plus grande fraction.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Avec un même numérateur positif, plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite (et inversement).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Comme $5 > 3$, on a $\dfrac{1}{5} > \dfrac{1}{3}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Ici les deux fractions ont le même numérateur $1$. La plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur : $\dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{5}$. En décimal : $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$ et $\dfrac{1}{5} = 0{,}2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de penser que « plus le dénominateur est grand, plus la fraction est grande ». C'est l'inverse : un dénominateur plus grand correspond à un partage en plus de parts, donc à des parts plus petites.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Avec un même numérateur, plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite : $\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour comparer $\dfrac{3}{4}$ et $80\,\%$, on peut convertir $\dfrac{3}{4}$ en pourcentage et obtenir $\dfrac{3}{4} = 75\,\%$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On écrit $\dfrac{3}{4}$ avec un dénominateur $100$ : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{75}{100} = 75\,\%$. La comparaison devient alors directe : $75\,\% < 80\,\%$, donc $\dfrac{3}{4} < 80\,\%$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour comparer une fraction et un pourcentage, il est commode de tout exprimer avec le même dénominateur, $100$. Ici, $\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 75\,\%$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 75\,\%$, ce qui rend la comparaison avec $80\,\%$ directe.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le pourcentage $50\,\%$ est plus grand que la fraction $\dfrac{3}{5}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On convertit en pourcentages : $\dfrac{3}{5} = \dfrac{60}{100} = 60\,\%$. Or $50\,\% < 60\,\%$, donc $50\,\%$ est plus petit que $\dfrac{3}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas se laisser piéger par l'apparence du nombre $50$ : $50\,\%$ vaut $\dfrac{50}{100} = \dfrac{1}{2}$, alors que $\dfrac{3}{5} = \dfrac{60}{100} = 60\,\%$, ce qui est plus grand.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{3}{5} = 60\,\%$, ce qui est plus grand que $50\,\%$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Dans une classe, $\dfrac{3}{10}$ des élèves portent des lunettes. Cela représente donc $30$ élèves.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une fraction est une proportion, pas un nombre absolu. $\dfrac{3}{10}$ correspond à $30\,\%$ de l'effectif, pas à $30$ élèves : pour connaître le nombre exact, il faudrait connaître l'effectif total de la classe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre proportion et nombre : $\dfrac{3}{10}$ est une fraction du total, c'est-à-dire $30\,\%$. Sans l'effectif total, on ne peut pas en déduire un nombre d'élèves.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fraction $\dfrac{3}{10}$ représente une proportion ($30\,\%$ des élèves), pas un nombre. Sans l'effectif total, le nombre exact d'élèves portant des lunettes ne peut pas être calculé.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Toute fraction écrite avec un dénominateur égal à $100$ se lit directement comme un pourcentage. Par exemple, $\dfrac{17}{100} = 17\,\%$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
C'est exactement la définition d'un pourcentage : une fraction de dénominateur $100$. Le numérateur donne directement la valeur du pourcentage.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : un pourcentage est par définition une fraction de dénominateur $100$. Toute fraction $\dfrac{n}{100}$ s'écrit donc $n\,\%$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Un pourcentage est par définition une fraction de dénominateur $100$ : $\dfrac{17}{100} = 17\,\%$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Fractions égales et simplification

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les fractions égales et la simplification, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Plusieurs pièges classiques sont à repérer.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible lorsque le seul diviseur commun à $a$ et $b$ est $1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement la définition : si $a$ et $b$ n'ont pas de diviseur commun autre que $1$, on ne peut plus simplifier la fraction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$. Tant qu'il existe un tel diviseur, on peut encore simplifier.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Une fraction est irréductible quand $a$ et $b$ n'ont pas de diviseur commun autre que $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : On peut obtenir une fraction égale à $\dfrac{2}{5}$ en ajoutant $3$ au numérateur et $3$ au dénominateur, ce qui donne $\dfrac{5}{8}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La propriété fondamentale concerne la multiplication (ou la division), pas l'addition. En vérifiant : $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ et $\dfrac{5}{8} = 0{,}625$, donc ces fractions ne sont pas égales.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de croire qu'on peut ajouter le même nombre en haut et en bas. Or seules la multiplication et la division par un même nombre non nul conservent la valeur d'une fraction.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La propriété fondamentale concerne la multiplication ou la division, pas l'addition. $\dfrac{5}{8}$ n'est pas égale à $\dfrac{2}{5}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Les fractions $\dfrac{4}{6}$ et $\dfrac{6}{9}$ sont égales.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On simplifie chacune : $\dfrac{4}{6} = \dfrac{4 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{6}{9} = \dfrac{6 \div 3}{9 \div 3} = \dfrac{2}{3}$. Les deux donnent la même forme irréductible $\dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas se fier à l'apparence : numérateurs et dénominateurs sont différents, mais les deux fractions se simplifient en $\dfrac{2}{3}$. Diviser numérateur et dénominateur de chacune par leur diviseur commun le permet de vérifier.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les deux fractions ont la même forme irréductible $\dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fraction $\dfrac{20}{30}$ est irréductible.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$20$ et $30$ ont plusieurs diviseurs communs ($2$, $5$, $10$). En divisant par $10$ : $\dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3}$, qui est la vraie forme irréductible.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Avoir des chiffres différents ne suffit pas pour qu'une fraction soit irréductible. Il faut vérifier qu'aucun nombre autre que $1$ ne divise à la fois le numérateur et le dénominateur. Or $20$ et $30$ sont tous deux divisibles par $10$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $20$ et $30$ sont divisibles par $10$, donc $\dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3}$ : la forme irréductible est $\dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fraction $\dfrac{8}{12}$ a été simplifiée correctement en $\dfrac{4}{6}$, qui en est la forme irréductible.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La simplification a été commencée mais pas terminée : $4$ et $6$ ont encore un diviseur commun, $2$. La forme irréductible est $\dfrac{4 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La première simplification est correcte, mais elle s'est arrêtée trop tôt. Pour qu'une fraction soit irréductible, il faut s'assurer qu'il n'existe plus aucun diviseur commun. Ici $4$ et $6$ sont encore divisibles par $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\dfrac{4}{6}$ se simplifie encore en $\dfrac{2}{3}$, qui est la véritable forme irréductible.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour rendre $\dfrac{7}{9}$ et $\dfrac{4}{6}$ comparables, il est utile de les écrire avec un même dénominateur, par exemple $18$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
$18$ est un multiple commun à $9$ et $6$ ($9 \times 2 = 18$ et $6 \times 3 = 18$). On peut donc écrire $\dfrac{7}{9} = \dfrac{14}{18}$ et $\dfrac{4}{6} = \dfrac{12}{18}$, ce qui rend la comparaison directe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il faut chercher un nombre qui soit à la fois multiple de $9$ et de $6$. C'est le cas de $18$ : $18 = 9 \times 2 = 6 \times 3$. On peut donc transformer chaque fraction en $\dfrac{?}{18}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $18$ est un multiple commun à $9$ et $6$, ce qui permet d'écrire les deux fractions avec ce dénominateur commun.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Proportions et pourcentages

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : proportion, pourcentage, fraction d'une grandeur et comparaison. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Dans une classe de $25$ élèves, $10$ sont demi-pensionnaires. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
[qcm]
[option correct="true"]$40\,\%$[/option]
[option]$10\,\%$[/option]
[option]$25\,\%$[/option]
[option]$4\,\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La proportion vaut $\dfrac{10}{25}$. On l'écrit avec un dénominateur $100$ : $\dfrac{10}{25} = \dfrac{10 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{40}{100} = 40\,\%$.[/reponse]
[reponse motif="$10\,\%$"]Non.
Le numérateur a été lu directement comme un pourcentage, sans le rapporter à un dénominateur de $100$.[/reponse]
[reponse motif="$25\,\%$"]Non.
La valeur $25$ correspond au nombre total d'élèves (le dénominateur), pas au pourcentage de demi-pensionnaires.[/reponse]
[reponse motif="$4\,\%$"]Non.
Cette valeur correspond au coefficient multiplicateur ($\times 4$) qu'on applique pour passer du dénominateur $25$ à $100$, pas au pourcentage final.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire la proportion sous forme de fraction $\dfrac{10}{25}$, puis la transformer en fraction de dénominateur $100$ : le numérateur obtenu est le pourcentage.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Exprimer $\dfrac{3}{4}$ en pourcentage.
[qcm]
[option]$34\,\%$[/option]
[option]$43\,\%$[/option]
[option]$0{,}75\,\%$[/option]
[option correct="true"]$75\,\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On écrit la fraction avec un dénominateur $100$ : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{75}{100} = 75\,\%$.[/reponse]
[reponse motif="$34\,\%$"]Non.
Les chiffres $3$ et $4$ ont été collés tels quels : un pourcentage ne s'obtient pas par juxtaposition du numérateur et du dénominateur.[/reponse]
[reponse motif="$43\,\%$"]Non.
Comme dans la confusion précédente, le numérateur et le dénominateur ont été collés (et ici inversés). Il faut transformer la fraction pour obtenir un dénominateur $100$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}75\,\%$"]Non.
La valeur $0{,}75$ est le résultat de $3 \div 4$ exprimé en décimal. Pour obtenir le pourcentage, il faut multiplier ce décimal par $100$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver le coefficient qui transforme $4$ en $100$ (ici $25$), puis l'appliquer au numérateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Convertir $35\,\%$ sous forme de fraction irréductible.
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{7}{20}$[/option]
[option]$\dfrac{35}{100}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{35}$[/option]
[option]$\dfrac{35}{1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$35\,\% = \dfrac{35}{100}$. On simplifie en divisant par $5$ : $\dfrac{35 \div 5}{100 \div 5} = \dfrac{7}{20}$. Les nombres $7$ et $20$ n'ont plus de diviseur commun.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{35}{100}$"]Non.
La fraction est correcte, mais elle n'est pas irréductible : numérateur et dénominateur sont tous deux divisibles par $5$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{35}$"]Non.
Le numérateur et le dénominateur ont été inversés. Un pourcentage s'écrit avec $100$ au dénominateur, pas au numérateur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{35}{1}$"]Non.
Le dénominateur $100$ a disparu : un pourcentage est par définition une fraction de dénominateur $100$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire le pourcentage sous la forme $\dfrac{35}{100}$, puis simplifier en divisant numérateur et dénominateur par leurs diviseurs communs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Trois proportions sont à comparer : $\dfrac{2}{5}$, $\dfrac{45}{100}$ et $\dfrac{3}{8}$. Laquelle est la plus grande ?
[qcm]
[option]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{45}{100}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{8}$[/option]
[option]Elles sont toutes égales[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Convertissons en pourcentages : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{40}{100} = 40\,\%$, $\dfrac{45}{100} = 45\,\%$ et $\dfrac{3}{8} = \dfrac{37{,}5}{100} = 37{,}5\,\%$. Le plus grand est $45\,\%$, soit $\dfrac{45}{100}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{5}$"]Non.
$\dfrac{2}{5} = 40\,\%$. Comparer ce résultat aux deux autres.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{8}$"]Non.
$\dfrac{3}{8} = 37{,}5\,\%$, c'est en fait la plus petite des trois.[/reponse]
[reponse motif="Elles sont toutes égales"]Non.
Une fois ramenées au même dénominateur (par exemple $100$ ou $40$), les numérateurs apparaissent différents.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Convertir chaque fraction en pourcentage (dénominateur $100$) ou réduire au même dénominateur, puis comparer les numérateurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Un pull qui coûtait $80$ € est soldé : on enlève $\dfrac{1}{4}$ du prix initial. Quel est son nouveau prix ?
[qcm]
[option]$20$ €[/option]
[option]$76$ €[/option]
[option]$79$ €[/option]
[option correct="true"]$60$ €[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La réduction vaut $\dfrac{1}{4}$ de $80$, soit $80 \div 4 = 20$ €. Le nouveau prix est donc $80 - 20 = 60$ €.[/reponse]
[reponse motif="$20$ €"]Non.
La valeur $20$ € est le montant de la réduction, pas le nouveau prix. Il faut encore la retrancher du prix initial.[/reponse]
[reponse motif="$76$ €"]Non.
Seule la valeur $4$ a été soustraite : la fraction $\dfrac{1}{4}$ a été lue comme $4$ €. Or il faut retrancher $\dfrac{1}{4}$ du prix, c'est-à-dire $80 \div 4$.[/reponse]
[reponse motif="$79$ €"]Non.
Seul le numérateur $1$ a été retranché : on a calculé $80 - 1$ au lieu de retrancher $\dfrac{1}{4}$ de $80$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord le montant de la réduction ($\dfrac{1}{4}$ de $80$), puis le retrancher du prix initial.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Dans un parking, $\dfrac{2}{5}$ des voitures sont blanches et $30\,\%$ sont noires. Quelle proportion représente la plus grande couleur ?
[qcm]
[option]$30\,\%$ (noires)[/option]
[option]Les deux proportions sont égales[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{5}$ (blanches)[/option]
[option]Impossible à comparer[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On écrit les deux proportions avec un dénominateur $100$ : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{40}{100} = 40\,\%$ et $30\,\% = \dfrac{30}{100}$. Comme $40 > 30$, les blanches sont plus nombreuses.[/reponse]
[reponse motif="$30\,\%$ (noires)"]Non.
Le pourcentage $30\,\%$ semble plus grand que la fraction $\dfrac{2}{5}$ « à l'œil », mais en convertissant cette fraction en pourcentage, l'ordre s'inverse.[/reponse]
[reponse motif="Les deux proportions sont égales"]Non.
Une fois écrites avec le même dénominateur, les deux fractions ont des numérateurs différents.[/reponse]
[reponse motif="Impossible à comparer"]Non.
Une fraction et un pourcentage peuvent toujours être comparés : il suffit de les écrire avec le même dénominateur (souvent $100$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Convertir la fraction en pourcentage (dénominateur $100$), puis comparer les deux pourcentages.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Comparaison de fractions

[enonce]
Ce QCM porte sur la comparaison de fractions : même dénominateur, comparaison à $1$, réduction au même dénominateur et rangement. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle inégalité est correcte ?
[qcm]
[option]$\dfrac{3}{8} > \dfrac{5}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{8} < \dfrac{5}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{8}{3} < \dfrac{8}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les deux fractions ont le même dénominateur $8$. La plus grande est celle qui a le plus grand numérateur : comme $3 < 5$, on a $\dfrac{3}{8} < \dfrac{5}{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{8} > \dfrac{5}{8}$"]Non.
Le sens de l'inégalité est inversé. Avec un même dénominateur positif, plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}$"]Non.
Deux fractions ayant même dénominateur ne sont égales que si leurs numérateurs sont égaux. Or $3 \neq 5$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{8}{3} < \dfrac{8}{5}$"]Non.
Ici, ce sont les dénominateurs qui sont différents. Avec un même numérateur positif, plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite. L'inégalité est donc inversée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Avec un même dénominateur positif, comparer les numérateurs : la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Comparer $\dfrac{7}{12}$ et $\dfrac{2}{3}$.
[qcm]
[option]$\dfrac{7}{12} > \dfrac{2}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{7}{12} < \dfrac{2}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{12} = \dfrac{2}{3}$[/option]
[option]Impossible à comparer[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On réduit au même dénominateur $12$ : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$. Or $7 < 8$, donc $\dfrac{7}{12} < \dfrac{8}{12}$, c'est-à-dire $\dfrac{7}{12} < \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{12} > \dfrac{2}{3}$"]Non.
Les numérateurs ($7$ et $2$) ont été comparés directement, sans réduire au même dénominateur. Cette comparaison n'est pas valable quand les dénominateurs diffèrent.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{12} = \dfrac{2}{3}$"]Non.
Pour qu'elles soient égales, $\dfrac{2}{3}$ devrait s'écrire $\dfrac{?}{12}$ avec un numérateur égal à $7$. Vérifier : $\dfrac{2 \times 4}{3 \times 4}$ donne-t-il bien $\dfrac{7}{12}$ ?[/reponse]
[reponse motif="Impossible à comparer"]Non.
Deux fractions sont toujours comparables : il suffit de les écrire avec un dénominateur commun.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand les dénominateurs diffèrent, réduire les fractions au même dénominateur, puis comparer les numérateurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Parmi ces fractions, laquelle est strictement supérieure à $1$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{4}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{9}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{12}{12}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{17}{15}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Une fraction est plus grande que $1$ lorsque son numérateur est plus grand que son dénominateur. Ici $17 > 15$, donc $\dfrac{17}{15} > 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{5}$"]Non.
Le numérateur $4$ est plus petit que le dénominateur $5$, donc cette fraction est inférieure à $1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{9}{10}$"]Non.
Le numérateur $9$ est plus petit que le dénominateur $10$, donc cette fraction est inférieure à $1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{12}{12}$"]Non.
Une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur (non nul) vaut $1$. La question demandait une fraction strictement supérieure à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Comparer numérateur et dénominateur : si le numérateur est plus grand, la fraction est plus grande que $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Ranger $\dfrac{5}{6}$, $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{7}{12}$ dans l'ordre croissant.
[qcm]
[option]$\dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{6} < \dfrac{7}{12}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{7}{12} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{6}$[/option]
[option]$\dfrac{5}{6} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{7}{12}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3} < \dfrac{7}{12} < \dfrac{5}{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On réduit au dénominateur commun $12$ : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$, $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$. On compare alors les numérateurs : $7 < 8 < 10$, soit $\dfrac{7}{12} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{6}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{6} < \dfrac{7}{12}$"]Non.
Les numérateurs ont été comparés directement, sans tenir compte des dénominateurs. Réduire au même dénominateur avant de comparer.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{5}{6} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{7}{12}$"]Non.
L'ordre est complètement inversé : c'est l'ordre décroissant... et de plus mal calculé.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3} < \dfrac{7}{12} < \dfrac{5}{6}$"]Non.
La position de $\dfrac{7}{12}$ est incorrecte. Une fois ramenées au dénominateur $12$, vérifier que les numérateurs apparaissent bien dans l'ordre croissant.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réduire les trois fractions au même dénominateur, puis ranger les numérateurs dans l'ordre croissant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle fraction est strictement comprise entre $\dfrac{1}{2}$ et $1$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{2}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{5}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{7}{6}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{6}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Comparons à $\dfrac{1}{2}$ et à $1$ : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}$ et $1 = \dfrac{8}{8}$. Or $4 < 5 < 8$, donc $\dfrac{4}{8} < \dfrac{5}{8} < \dfrac{8}{8}$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{2} < \dfrac{5}{8} < 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{5}$"]Non.
$\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}$ et $\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10}$. Comme $4 < 5$, $\dfrac{2}{5}$ est inférieure à $\dfrac{1}{2}$, pas comprise entre $\dfrac{1}{2}$ et $1$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{6}$"]Non.
Le numérateur $7$ est plus grand que le dénominateur $6$, donc cette fraction est supérieure à $1$ : elle n'est pas dans l'intervalle demandé.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{6}$"]Non.
$\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ : cette fraction est exactement égale à la borne inférieure, elle n'est donc pas strictement supérieure à $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier pour chaque fraction si elle est plus grande que $\dfrac{1}{2}$ et plus petite que $1$ en réduisant au même dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Comparer $\dfrac{9}{4}$ et $\dfrac{11}{5}$.
[qcm]
[option]$\dfrac{9}{4} = \dfrac{11}{5}$[/option]
[option]$\dfrac{9}{4} < \dfrac{11}{5}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{9}{4} > \dfrac{11}{5}$[/option]
[option]Impossible à comparer[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On réduit au dénominateur commun $20$ : $\dfrac{9}{4} = \dfrac{45}{20}$ et $\dfrac{11}{5} = \dfrac{44}{20}$. Or $45 > 44$, donc $\dfrac{9}{4} > \dfrac{11}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{9}{4} = \dfrac{11}{5}$"]Non.
Une fois réduites au même dénominateur, les fractions auraient des numérateurs identiques. Vérifier : c'est très proche, mais ce n'est pas exactement égal.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{9}{4} < \dfrac{11}{5}$"]Non.
Le sens de l'inégalité est inversé. Convertir les deux fractions avec un dénominateur commun et comparer alors les numérateurs.[/reponse]
[reponse motif="Impossible à comparer"]Non.
Toutes les fractions sont comparables : il suffit de les écrire avec un dénominateur commun, par exemple $20$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réduire au dénominateur $20$ (multiple commun à $4$ et $5$), puis comparer les numérateurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]